Pertemuan Minggu ke Bidang Singgung, Hampiran 2. Maksimum dan Minimum 3. Metode Lagrange

(1)

Pertemuan Minggu ke-11 1. Bidang Singgung, Hampiran

2. Maksimum dan Minimum

3. Metode Lagrange

(2)

1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN

Tujuan mempelajari: memperoleh persamaan bidang singgung terhadap permukaan z = f(x, y) di titik (x₀, y₀, z₀).

Bagaimana caranya ?

(3)

• Kita mulai dengan situasi yang lebih umum, dengan suatu permukaan ditentukan oleh persamaan

Perhatikan bahwa

dapat dituliskan sebagai

(4)

• Perhatikan sebuah kurva pada permukaan ini yang melalui titik (x₀, y₀, z₀).

• Jika x = x(t) y = y(t) z = z(t)

adalah persamaan parameter untuk kurva tersebut, maka untuk semua t,

(5)

• Dengan Aturan Rantai,

Kita dapat mengungkapkan ini, dalam bentuk gradien dari F dan derivatif dari ungkapan vektor untuk kurva

sebagai

(6)

• Seperti pada pertemuan sebelumnya, menyinggung kurva.

(Baca bab 14.4, buku Kalkulus dan Geometri Anlitis Edisi Keempat)

• Sehingga, gradien di (x₀, y₀, z₀) tegak lurus pada garis singgung di titik ini.

Berlaku untuk sebarang kurva yang melalui (x₀, y₀, z₀) yang terletak pada

permukaan F(x, y, z) = k

(7)

Definisi

Andaikan F(x, y, z) = k menentukan suatu permukaan dan misalkan F dapat didiferensialkan di sebuah titik P(x₀, y₀, z₀) dari permukaam dengan F(x₀, y₀, z₀)  0. Maka bidang yang melalui P yang tegak lurus F(x₀, y₀, z₀) dinamakan bidang singgung terhadap

permukaan itu di P.

(8)

1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN

Bukti. Pernyataan pertama adalah langsung dan yang kedua menyusul darinya dengan memperhatikan F(x,y,z) = f(x,y) – z.

Teorema A

(Bidang singgung). Untuk permukaan F(x, y, z) = k, adalah F_x(x₀, y₀, z₀) (x ̶ x₀) + F_y(x₀, y₀, z₀) (y ̶ y₀)

+ F_z(x₀, y₀, z₀) (z ̶ z₀) = 0 Secara serupa, untuk permukaan z = f(x, y), persamaan bidang singgung di (x₀, y₀, f(x₀,y₀)) adalah

z ̶ z₀ = f_x(x₀, y₀) (x ̶ x₀) + f_x(x₀, y₀) (y ̶ y₀)

(9)

1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Contoh 1:

Maka persamaan bidang singgung di titik (1,1,2) adalah atau

Cari persamaan bidang singgung terhadap z = x²+ y² di titik (1,1,2).

Penyelesaian:

maka Jadi,

Teorema A

z ̶ z₀ = f_x(x₀, y₀) (x ̶ x₀) + f_x(x₀, y₀) (y ̶ y₀)

(10)

1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN Contoh 2:

Cari persamaan bidang singgung dan garis normal terhadap permukaan x² + y² + 2z² = 23 di (1,2,3).

Penyelesaian:

sehingga

Teorema A, persamaan bidang singgung

sehingga persamaan bidang singgung di titik (1,2,3)

Persamaan simetri dari garis normal yang melalui (1,2,3) adalah

F_x(x₀, y₀, z₀) (x ̶ x₀) + F_y(x₀, y₀, z₀) (y ̶ y₀) + F_z(x₀, y₀, z₀) (z ̶ z₀) = 0

(11)

1. BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN

• Andaikan z = f(x,y) dan P(x₀, y₀, z₀) suatu titik tetap pada permukaan

yang berpadanan.

Berikan

• sumbu-sumbu koordinat

baru (sumbu – sumbu dx, dy, dan dz) yang sejajar dengan sumbu-sumbu lama, dengan P sebagai titik asal.

• Pada sistem yang lama, bidang singgung di P mempunyai persamaan

(12)

• Pada sistem yang lama, bidang singgung di P mempunyai persamaan

tetapi pada sistem yang baru persamaan ini mengambil bentuk sederhana

Definisi

Andaikan z = f(x, y), dengan f suatu fungsi yang dapat

didiferensialkan, dan andaikan dx dan dy (disebut diferensial- diferensial dari x dan y) berupa peubah-peubah. Diferensial dari peubah tak bebas, dz, disebut juga diferensial total dari f dan ditulis df(x,y), didefinisikan oleh

(13)

Pentingnya

• dz adalah dari kenyataan bahwa jika

dx = x dan dy = y, masing-masing mewakili perubahan kecil

dalam x dan y, maka dz akan berupa suatu hampiran (aproksimasi) yang baik terhadap z, perubahan dalam z.

Contoh:

(14)

Pada gambar di atas, dz tidak kelihatan berupa suatu hampiran yang baik terhadap z.

Hampiran terhadap z akan semakin baik jika x dan y semakin kecil.

(15)

CONTOH 3:

Andaikan . Hitung z dan dz bila

(x,y) berubah dari (2,1) ke (2,03 , 0,98).

Penyelesaian:

di (2,1) dengan x = 0,03 dan y = -0,02.

(16)

CONTOH 4:

Rumus P = k(T/V), dengan k suatu konstanta, memberikan tekanan P dari suatu gas yang terkurung yang volumenya V dan suhu T. Secara hampiran, cari persentase kesalahan (galat) maksimum pada P yang ditimbulkan oleh suatu kesalahan 0,4% pada pengukuran suhu dan suatu kesalahan 0,9% pada pengukuran volume.

Penyelesaian:

Kesalahan pada P (P) akan dihampiri dengan dP.

0,004T 0,009T

(17)

CONTOH 4 (lanjutan penyelesaian):

Kesalahan relatif maksimum, , kira-kira 0,013, dan persentase galat maksimum kira-kira 1,3%.

(18)

BIDANG SINGGUNG, HAMPIRAN 1.

DIFERENSIAL DAN HAMPIRAN

Pada kasus fungsi satu peubah, masalah diferensial menuju ke hampiran yang sahih dekat x₀

Analog dengan yang di atas, untuk fungsi dua peubah adalah

(19)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM

• Baca Bab 4 (Pasal 4.1 dan Pasal 4.3) Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 1, Edwin J. Purcell & Dale Varberg.

• Andaikan p = (x, y) dan p₀ = (x₀, y₀) masing-masing berupa sebuah titik peubah dan sebuah titik tetap, di ruang dimensi dua

Definisi

Andaikan p₀ suatu titik di S, yaitu wilayah dari f.

(i) f(p₀) adalah nilai maksimum (global) dari f pada S jika f(p₀)  f(p) untuk semua p di S.

(ii) f(p₀) adalah nilai minimum (global) dari f pada S jika f(p₀)  f(p) untuk semua p di S.

(iii) f(p₀) adalah nilai ekstrem (global) dari f pada S jika ia adalah

suatu nilai maksimum (global) atau suatu nilai minimum (global).

Definisi yang sama berlaku dengan kata global digantikan oleh lokal jika, pada (i) dan (ii), kita hanya memerlukan bahwa pertaksamaan berlaku pada N  S, dengan N suatu lingkungan dari p₀.

(20)

Gambar di atas memberikan tafsiran geometri dari definisi tentang nilai maksimum, nilai minimm, global dan lokal.

Perhatikan bahwa suatu maksimum (atau minimum) global secara otomatis adalah suatu maksimum (atau minimum) lokal.

(21)

Teorema A

(Teorema Keujudan Maksimum-Minimum). Jika f kontinu pada suatu himpunan tertutup dan terbatas S, maka f mencapai suatu nilai maksimum (global) dan suatu nilai minimum (global) dua-duanya di sana.

Pembuktian dapat ditemui pada hampir semua buku kalkulus DIMANA NILAI-NILAI EKSTREM MUNCUL ?

(22)

Teorema B

(Teorema Titik Kritis). Andaikan f didefinisikan pada suatu himpunan S yang mengandung p₀. Jika f(p₀) adalah suatu nilai

ekstrem, maka p₀ haruslah berupa suatu titik kritik; yakni, p₀ berupa salah satu dari:

(i) Suatu titik batas dari S; atau (ii) Suatu titik stasioner dari f; atau (iii) Suatu titik singular dar f

Titik-titik batas, lihat Pasal 15.3 Buku Kalkulus dan Geometri Analitis Jilid 2, Edwin J. Purcell & Dale Varberg

(23)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Teorema B

Titik-titik stasioner.

Kita sebut p₀ suatu titik stasioner jika p₀ adalah suatu titik dalam dari S dimana f terdiferensialkan dan f(p₀) = 0.

Pada titik yang demikian, bidang singgung adalah mendatar.

(24)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Teorema B

Titik-titik singular.

Kita sebut p₀ suatu titik singular jika p₀ adalah suatu titik dalam dari S dimana f tidak terdiferensialkan – misalnya, titik dimana grafik f

mempunyai pojok tajam.

(25)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Teorema Titik Kritis Fungsi Satu Peubah.

Fungsi g(x) = f(x,y₀) mempunyai suatu nilai ekstrim di x₀ jika

Dengan cara yang serupa, fungsi h(y) = f(x₀,y) mempunyai suatu nilai ekstrim di y₀ jika memenuhi

Gradien adalah 0 karena kedua parsialnya adalah 0.

(26)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 1:

Cari nilai-nilai maksimum atau minimum lokal dari

Penyelesaian:

- Fungsi yang diberikan dapat didiferensialkan sepanjang wilayahnya, yaitu bidang xy.

- Jadi, titik-titik kritis yang mungkin adalah titik-titik stasioner yang diperoleh dengan cara menetapkan f_x(x,y) dan f_y(x,y) sama dengan nol.

Tinggal memutuskan

apakah (1,0) memberikan suatu maksimum atau

suatu minimum atau bukan keduanya.

(27)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 1 (lanjutan penyelesaian):

- Kita akan segera mengembangkan suatu alat sederhana untuk menjawab pertanyaan di atas.

- Namun, sementara kita gunakan langkah sederhana

Tinggal memutuskan apakah (1,0) memberikan suatu maksimum atau suatu minimum atau bukan keduanya.

Jadi, f(1,0) sebenarnya

adalah suatu minimum global untuk f. Tidak terdapat nilai-

nilai maksimum lokal.

(28)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 2:

Tentukan nilai-nilai minimum atau maksimum lokal dari

Penyelesaian:

Titik-titik kritis diperoleh dengan menetapkan

Hasil dari hitungan di atas adalah (0,0).

Apakah memberikan suatu nilai maksimum, minumin atau bukan keduanya ?

(29)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM Contoh 2 (lanjutan penyelesaian):

Hasil dari hitungan, titik kritis adalah (0,0).

Apakah memberikan suatu nilai maksimum, minimun atau bukan keduanya ?

Titik (0,0) tidak memberikan suatu nilai maksimum ataupun minimum.

Titik ini disebut titik pelana.

Fungsi yang diberikan tidak mempunyai ekstrem lokal

(30)

• Contoh 2 mengilustrasikan kenyataan yang menyulitkan bahwa

tidak menjamin bahwa terdapat suatu ekstrem lokal di (x₀,y₀).

Apakah ada syarat untuk menentukan suatu titik merupakan nilai ekstrem ?

(31)

2. MAKSIMUM DAN MINIMUM SYARAT CUKUP UNTUK EKSTREM

Teorema C

(Uji Parsial-Kedua). Andaikan bahwa f(x,y) mempunyai turunan parsial kedua kontinu di suatu lingkungan dari (x₀,y₀) dan bahwa

, hitung

Maka:

(i) Jika D > 0 dan f_xx(x₀,y₀) < 0, maka f(x₀,y₀) adalah nilai maksimum lokal.

(ii) Jika D > 0 dan f_xx(x₀,y₀) > 0, maka f(x₀,y₀) adalah nilai minimum lokal.

(iii) Jika D < 0, maka f(x₀,y₀) bukan suatu nilai ekstrem ((x₀,y₀) adalah titik pelana).

(iv) Jika D = 0, maka pengujian tidak memberi kesimpulan.

(32)

Contoh 3:

Tentukan ekstrem, jika ada, untuk fungsi F yang didenisikan oleh F(x,y) = 3x³ + y² – 9x + 4y.

Penyelesaian:

Sehingga (x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)

dan

(33)

Contoh 3 (lanjutan penyelesaian):

(x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)

Pada titik (1,-2)

Karena D > 0 dan F_xx > 0 maka

F(1,-2) = -10 adalah nilai minimum lokal dari F.

(34)

(x,y) adalah (1,-2) dan (-1,-2)

Pada titik (-1,-2)

karena D < 0 maka (-1,-2) adalah titik pelana dan F(-1,-2) bukan merupakan nilai ekstrem.

(35)

Contoh 4:

Tentukan jarak minimum antara titik asal dan permukaan z² = x²y + 4

Penyelesaian:

- Ambil P(x,y,z) titik sebarang pada permukaan tersebut.

- Kuadrat jarak dari titik asal dan P adalah

- Kita mencari koordinat P yang memberikan d² suatu minimum.

- Karena P terletak pada permukaan itu, koordinatnya memenuhi persamaan permukaan.

(36)

Contoh 4 (lanjutan penyelesain):

z² = x²y + 4

- Substitusi z² = x²y + 4 pada , kita peroleh d² sebagai fungsi dua peubah x dan y:

- Untuk mencari titik kritisnya, kita tetapkan f_x(x,y) = 0 dan f_y(x,y) = 0.

- Dengan menghilangkan y dari persamaan – persamaan ini, kita dapatkan

Jadi, atau .

(37)

- Jadi, atau .

- Substitusi nilai-nilai di atas pada persamaan diperoleh

dan

- Sehingga, titik-titik kritisnya adalah (0,0),

- Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan

(38)

- Titik-titik kritis adalah (0,0), ,

- Untuk menguji masing-masing ini, kita perlukan

- maka titik dan

tidak memberikan suatu ekstrem.

- dan , sehingga (0,0)

menghasilkan jarak minimum.

(39)

- Berdasarkan perhitungan D dan f_xx, titik (0,0) memberikan jarak minimum.

- Jarak minimum antara titik asal dan permukaan adalah

(40)

Contoh 5:

Tentukan nilai-nilai maksimum dan minimum dari

Pada himpunan tertutup Penyelesaian:

Satu-satunya titik kritis dalam adalah (1,1).

Batas dari S adalah lingkaran , yang secara parameter dapat dijelaskan oleh

(41)

Kita ingin memaksimumkan dan meminimumkan fungsi satu peubah ,

Dengan Aturan Rantai,

(42)

g’(t) = 0  tant = 1

(43)

adalah 2 titik kritis untuk g.

Adakah titik kritis yang lain ?

(44)

Ilustrasi dari tracing titik yang memenuhi fungsi f(x) = sinx

(45)

Ilustrasi dari tracing titik yang memenuhi fungsi f(x) = cosx

(46)

f(x) = cosx f(x) = sinx

(47)

adalah 2 titik kritis untuk g.

Adakah titik kritis yang lain ?

Dan

dalam x dan y , keempat titik tersebut setara dengan ?

pada lingkaran batas.

ADA

(48)

Dari perhitungan di atas, titik-titik batas adalah

Nilai-nilai f di titik-titik batas ini adalah:

Maksimum Minimum

(49)

3. METODE LAGRANGE

Kita mulai dengan membedakan dua jenis masalah, yaitu:

1.Untuk mencari nilai minimum dari

adalah suatu masalah nilai ekstrem bebas.

2. Untuk mencari nilai minimum dari terhadap kondisi bahwa

adalah masalah nilai ekstrem terkendala.

Banyak permasalahan di dunia nyata, khususnya di bidang ekonomi, termasuk jenis yang kedua.

Sebagai contoh, seorang pengusaha ingin memaksimumkan

keuntungan, tetapi dibatasi oleh banyaknya bahan mentah yang tersedia, banyaknya tenaga kerja, dan sebagainya.

(50)

Contoh 4 di atas adalah sebuah masalah nilai ekstrem terkendala.

Kita diminta mencari jarak minimum dari permukaan ke titik asal.

Kita formulasikan masalah sebagai peminimuman

terhadap kendala .

(51)

Kita tangani masalah tersebut dengan substitusi nilai z² dari kendala dalam rumus untu d² dan kemudian menyelesaikan masalah nilai ekstrem bebas yang dihasilkan.

Tetapi, seringkali terjadi nahwa persamaan kendala tidak mudah diselesaikan untuk salah satu peubah dan, kendatipun jika ini dapat dikerjakan, boleh jadi terdapat metode lain yang lebih praktis.

Metode tersebut disebut metode pengali Lagrange, dinamai menuurt Joseph-Louis Lagrange.

(52)

3. METODE LAGRANGE TAFSIRAN GEOMETRI DARI METODE

▪ Pertama, mari kita pandang kasus dimana kita ingin

memaksimumkan atau meminimumkan f(x,y) terhadap kendala g(x,y) = 0.

▪ Gambar di bawah memberikan saran suatu tafsiran geometri dari masalah ini.

(53)

▪ Kurva ketinggian dari f adalah kurva-kurva f(x,y) = k, dengan k suatu konstanta.

▪ Kurva-kurva tersebut diperlihatkan sebagai kurva-kurva hitam pada gambar di atas untuk k = 200, 300, …, 700.

▪ Grafik dari kendala g(x,y) = 0 juga berupa sebuah kurva, yang diperlihatkan dalam warna biru pada gambar di atas.

(54)

▪ Untuk memaksimumkan f terhadap kendala g(x,y) = 0 sama

dengan mencari kurva ketinggian dengan kemungkinan k terbesar yang memotong kurva kendala.

▪ Secara geometri, kurva ketinggian yang maksimum menyinggung kurva kendala di suatu titik P₀(x₀,y₀).

▪ Nilai maksimum f terhadap kendala g(x,y) = 0 adalah f(x₀,y₀).

(55)

▪ Metode Lagrange menyajikan suatu prosedur aljabar untuk penentuan P₀ dan P₁.

▪ Karena di titik-titik demikian, kurva ketinggian dan kurva kendala saling menyinggung(yaitu, mempunyai suatu garis singgung

bersama), kedua kurva tersebut mempunyai suatu garis tegak lurus bersama.

(56)

▪ Berdasar Pasal 15.5, di sebarang titik dari kurva ketinggian, vektor gradien adalah tegak lurus.

▪ Dan dengan cara serupa adalah tegak lurus terhadap kurva kendala.

(57)

Jadi

▪ , dan sejajar di P₀ dan juga di P₁; yaitu dan

untuk suatu bilangan ₀ dan ₁ tidak nol.

(58)

Teorema A

(Metode Lagrange). Untuk memaksimumkan atau meminumkan f(p) terhadap kendala g(p) = 0, selesaikan sistem persamaan

untuk p dan .

Tiap titik p yang demikian adalah suatu titik kritis untuk masalah nilai ekstrem tekendala dan  yang berpadanan disebut pengali Lagrange.

dan

(59)

3. METODE LAGRANGE CONTOH 1:

Berapa luas daerah terbesar yang dapat dimiliki oleh suatu persegi panjang jika panjang diagonalnya 2 ?

Penyelesaian:

Letakkan

• persegi panjang dikuadran pertama.

• Dua sisi persegi panjang sepanjang sumbu-sumbu koordinat.

Titik

• sudut yang berhadapan dengan titik asal mempunyai koordinat (x,y), dengan x dan y positif.

Panjang

• diagonalnya adalah

dan luasnya adalah xy.

Jadi

• , kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x² + y²– 4 =0

(60)

3. METODE LAGRANGE CONTOH 1 (lanjutan penyelesaian):

• Jadi, kita boleh merumuskan masalah berupa pemaksimuman f(x,y) = xy terhadap kendala g(x,y) = x² + y²– 4 =0

• Memanggil kembali Teorema A

• Gradien yang berpadanan adalah

• Persamaan Lagrange menjadi

yang harus diselesaikan secara serentak.

dan

(1) (2) (3)

(61)

(1)(2) (3)

Persamaan (1) dikalikan dengan y, menjadi:

(4) (5)

Dari Persamaan (4) dan Persamaan (5), diperoleh:

(6)

Dari Persamaan (6) ke Persamaan (4), diperoleh:

dan

Substitusi nilai x dan y ke Persamaan (1), diperoleh:

(62)

(1) (2) (3)

Jadi, penyelesaian Persamaan (1) sampai (3), dengan membuat x dan y positif, adalah

Kita simpulkan bahwa persegi panjang yang luasnya terbesar dengan diagonal 2 adalah bujursangkar, yang panjang sisinya . Luasnya adalah 2.

Tafsiran geometri masalah ini diperlihatkan pada Gambar pada slide selanjutnya.

(63)

(64)

Gunakan metode Lagrange untuk mencari nilai-nilai maksimum dan minimum dari

pada ellips

Penyelesaian:

Kita boleh menuliskan kendala sebagai g(x,y) = x² + 4y² – 4 = 0

Persamaan-persamaan Lagrange adalah (1)

(2) (3)

(65)

Perhatikan dari persamaan ketiga bahwa x dan y keduanya tidak dapat sama dengan nol.

Jika , persamaan (1) menyimpulkan bahwa . Kemudian, Persamaan (2) mensyaratakan bahwa . Kita simpulkan dari Persamaan (3) bahwa .

Jadi, kita telah memperoleh titik-titik kritis . (1)

(2) (3)

Persamaan-persamaan Lagrange adalah

(66)

Kemudian, jika , dari Persamaan (2) diperoleh . Berdasar Persamaan (1), .

Dari Peramaan (3), .

Kita simpulan bahwa juga merupakan titik-titik kritis.

(1) (2) (3)

Persamaan-persamaan Lagrange adalah

(67)

Dari hasil penyelesaian Persamaan Lagrange, kita memperoleh titik- titik kritis adalah ( 2,0) dan (0,1).

Sekarang, untuk ,

Sehingga nilai minimum dari f(x,y) pada ellips yang diberikan adalah -4; nilai maksimum adalah 1.

(68)

Tentukan minimum f(x,y,z) = 3x + 2y + z + 5, terhadap kendala g(x,y,z) = 9x² + 4y² –z = 0.

Penyelesaian:

Gradien f dan g adalah:

Untuk menemukan titik-titik kritis, kita pecahkan dan

(69)

dan Solusi

Ini setara, dengan memecahkan sistem empat persamaan simultan berikut dalam empat peubah x, y, z, .

(1) (2) (3) (4) Gradien:

(70)

Dari Persamaan (3), diperoleh:

(1) (2) (3) (4) (5)

Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (1), diperoleh:

(5) (6)

Substitusi Persamaan (5) ke Persamaan (2), diperoleh:

(7)

(71)

(1) (2) (3) (4)

(5) (6) (7) Substitusi Persamaan (6) dan Persamaan (7) ke Persamaan (4), diperoleh:

Jadi penyelesaian sistem empat persamaan simultan tersebut adalah

(72)

Dan satu-satunya titik kritis adalah

Maka nilai minimum f(x,y,z) terhadap kendala g(x,y,z) = 0 adalah

Bagaimana kita mengetahui bahwa nilai di atas adalah suatu nilai minimum ?

(73)

• Bilamana lebih dari satu kendala yang ditekankan pada peubah- peubah suatu fungsi yang harus dimaksimumkan atau

diminimumkan, digunakan pengali-pengali Lagrange tambahan.

• Sehingga terdapat satu pengali Lagrange untuk setiap kendala.

• Misalnya, jika kita mencari ekstrem suatu fungsi f tiga peubah, terhadap dua kendala g(x,y,z) = 0 dan h(x,y,z) = 0, maka kita pecahkan persamaan-persamaan:

(1) (2) (3)

untuk x, y, z,  dan , dengan  dan  adalah pengali-pengali Lagrange.

(74)

• Ini setara dengan terhadap pencarian penyelesaian sistem lima persamaan simultan dalam peubah-peubah x, y, z,  dan .

(1) (2) (3) (4) (5)

Dari penyelesaian sistem ini, kita peroleh titik-titik kritis.

(75)

Tentukanlah nilai-nilai maksimum dan minimum dari pada ellips yang merupakan perpotongan tabung

pada bidang

(76)

Penyelesaian:

Kita ingin memaksimumkan dan meminimumkan

dan

terhadap

Persamaan-persamaan Lagrange yang berpadanan adalah (1)

(2) (3) (4) (5)

(77)

(2) (3) (4) (5) Dari Persamaan (1), diperoleh

(6)

Dari Persamaan (2) dan (3), diperoleh (7)

(78)

(2) (3) (4)

(5)

Substitusi Persamaan (6) dan Persamaan (7) ke Persamaan (4), diperoleh

(6)

Jika

(7)

(79)

Kita simpulkan bahwa 5 adalah nilai maksimum dan 1 adalah nilai minimum.

(80)

TERIMAKASIH