Metode Pengali Lagrange dan Aplikasinya dalam Bidang Ekonomi

2.1 Pemrograman Non linier

Pemrograman non linier adalah suatu bentuk pemrograman yang berhubungan dengan suatu perencanaan aktivitas tertentu yang dapat diformulasikan dalam model matematika yang memuat fungsi tujuan non linier dan fungsi kendala linier atau non linier. Hal ini didasarkan pada penemuan beberapa contoh penerapan dalam dunia usaha bisnis yang menggunakan asumsi ketaklinieran dalam membuat perencanaan. Bentuk umum dari pemrograman non linier adalah untuk menentukan , , … , , sehingga mencapai tujuan yaitu:

Memaksimumkan/meminimumkan : , , , … , 2.1

dengan kendala : , ,

0 1,2, … ,

di mana dan merupakan fungsi-fungsi dengan n variabel keputusan.

2.2 Maksimum dan Minimum

Dalam program non linier tidak selamanya terdapat satu titik maksimum ataupun minimum. Sebuah fungsi dapat memiliki lebih dari satu maksimum ataupun minimum.

dan disebut nilai maksimum pada . Sebaliknya, minimum mutlak (minimum global) dari adalah nilai yang paling rendah dari seluruh nilai-nilai fungsi tersebut. Dengan kata lain, dikatakan memiliki minimum mutlak (global) di jika untuk semua di , di mana adalah daerah asal (domain) dari dan disebut nilai minimum pada . Jika memiliki maksimum atau minimum lokal di , maka adalah titik kritis . Jika tidak memiliki maksimum atau minimum dan memiliki kemiringan 0 di , maka adalah titik belok (saddle

point) (Stewart, 1999). Dengan demikian suatu fungsi yang mempunyai titik

maksimum kurvanya berbentuk cembung ke atas dan fungsi yang mempunyai titik minimum kurvanya berbentuk cembung ke bawah, diperlihatkan oleh Gambar 2.1.

Gambar 2.1 Grafik Maksimum dan Minimum

Uji Turunan Pertama

Andaikan adalah titik kritis dari fungsi kontinu .

1. Jika berubah dari positif ke negatif pada , maka memiliki maksimum lokal pada .

3. Jika tidak berubah tanda dari positif ke negatif atau sebaliknya pada , maka tidak memiliki maksimum ataupun minimum lokal pada .

Uji Turunan Kedua

Andaikan kontinu dekat .

1. Jika 0 dan 0, maka memiliki minimum lokal pada . 2. Jika 0 dan 0, maka memiliki maksimum lokal pada .

Pada kasus suatu fungsi dengan satu variabel bebas nilai ekstrim dapat dilukiskan dalam suatu grafik dengan dua dimensi. Titik maksimum dilukiskan sebagai puncak suatu bukit dan titik minimum sebagai dasar suatu lembah. Dengan dua variabel bebas, fungsi , merupakan bidang yang berada dalam ruang berdimensi tiga. Meskipun titik maksimum dilukiskan sebagai puncak bukit dan titik minimum dilukiskan sebagai dasar lembah, akan tetapi baik bukit maupun lembah mempunyai sifat tiga dimensi.

Definisi 2.1:

Titik , dikatakan sebagai titik stasioner pada daerah asal fungsi jika , 0 dan _! , 0.

Definisi 2.1, menyatakan bahwa syarat perlu adanya nilai ekstrim fungsi dua variabel adalah fungsi mempunyai turunan parsial pertama dan adanya titik yang memenuhi turunan pertama sedemikian sehingga nilainya nol.

Andaikan adalah fungsi dua variabel dari dan sedemikian sehingga dan turunan-turunan parsial orde kedua kontinu. Andaikan pula bahwa

, 0 dan _! , 0.

1. , dikatakan sebagai nilai maksimum , jika:

, !! , " # ! , $ 0, dan , 0 atau

!! , 0.

2. , dikatakan sebagai nilai minimum , jika:

, !! , " # ! , $ 0, dan , 0 atau

3. , _!! , " # _! , $ 0, uji gagal dan , dikatakan bukan nilai ekstrim dan , disebut dengan titik pelana.

Pada fungsi multivariabel (lebih dari satu variabel bebas), yaitu , , … , untuk uji syarat kedua dapat menggunakan suatu determinan yang dikenal dengan nama determinan Hessian.

Contoh 2.1:

Tentukan nilai ekstrim dari fungsi 12 %" 45 () 40 *) 5 pada "∞, ∞

Penyelesaian :

Syarat perlu untuk mencari nilai ekstrim yang pertama adalah turunan pertama dari adalah 0. Maka 60 (" 3 *) 2 0, sehingga diperoleh titik-titik kritis dari yaitu 0, 1 dan 2. Turunan kedua dari adalah 60 4 *" 9 ) 4 , sehingga 0 untuk 1 dan 0 untuk 2. Maka memiliki maksimum di 1 dan minimum di 2. Sehingga 1 12 merupakan nilai maksimum dari dan 2 "11 merupakan minimum dari . Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.2.

Gambar 2.2 Grafik 12 %" 45 () 40 *) 5 Maksimum

2.3 Matriks Hessian

Matriks Hessian adalah matriks yang setiap elemennya dibentuk dari turunan pasial kedua dari suatu fungsi. Misalkan fungsi dengan / variabel yang memiliki turunan parsial kedua dan turunannya kontinu. Matriks Hessian dari

ditulis H adalah: menghapus / " @ baris dan kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut.

Contoh 2.2:

Andaikan A adalah suatu matriks berukuran 3 ? 3 sebagai berikut:

A B2 6 31 5 2

Principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri. Determinan dari suatu

Leading principal minor ke @ dari suatu matriks / ? / diperoleh dengan menghapus / " @ baris terakhir dan kolom yang bersesuaian. Dari matriks A di atas, maka leading principal minor ke-1 adalah 2 (hapus dua baris dan dua kolom

terakhir). Leading principal minor ke-2 adalah:

D2 6_{1 5E}

Dengan demikian, leading principal minor ke-3 adalah matriks A itu sendiri.

Determinan dari suatu leading principal minor adalah determinan leading principal. Banyaknya determinan leading principal dari suatu matriks / ? /

adalah /.

Untuk menentukan apakah suatu matriks adalah definit positif, semidefinit positif, definit negatif, semidefinit negatif, atau indefinit dapat dilakukan suatu pengujian sederhana di mana hanya berlaku jika matriksnya simetris.

Uji Matriks Definit Positif

1. Semua elemen diagonal positif.

2. Semua determinan leading principal positif.

Uji Matriks Semidefinit Positif

1. Semua elemen diagonal non negatif.

2. Semua determinan leading principal non negatif.

Suatu matriks dapat dikatakan definit negatif (semidefinit negatif), yaitu dengan melakukan uji negatif dari matriks untuk definit positif (semidefinit positif). Jika matriks tersebut memiliki sekurang-kurangnya dua elemen diagonal yang berlawanan tanda, maka matriks tersebut menjadi indefinit.

Contoh 2.3:

Untuk mendapatkan titik ekstrim dari suatu fungsi dipakai sebuah contoh sebagai berikut:

Maka solusi untuk menyelesaikannya tentukan titik ekstrim yang memenuhi syarat sehingga turunan pertama untuk setiap variabel adalah

46

4 7 3 ) " 4 0 2.3

46

4 5 2 " 4 2 " 2 0 2.4

0 atau 2

Kemudian substitusi masing-masing nilai dan ke persamaan 2.3. untuk 0, dan ₄ 46

7 0 diperoleh:

3 ) " 4 0 " 4 0

" 4 0 0 atau 4

untuk 2, dan 46

4 7 0 diperoleh:

3 ) " 4 0 3 " 4 0

3 4

IJ4₃

I2_{3 √3} 2

3 √3 atau "23 √3

Persamaan 2.3 dan 2.4 dipenuhi oleh titik-titik:

0,0 , 0,4 , L2_{3 √3, 2M , L"}2_{3 √3, 2M}

Untuk mengetahui titik maksimum dan minimum maka digunakan matriks Hessian untuk menyelidikinya sehingga turunan kedua dari adalah:

N

N

N 2 , dan

N

N NN 2 " 4

Jadi matriks Hessiannya menjadi

Q R 6_{2 " 4} 2 " 4₂ S

sehingga diperoleh Q T6 U, karena matriks Q merupakan matriks Q maka

Q Q R 6_{2 " 4} 2 " 4₂ S

Tabel 2.1 Nilai Matriks Hessian Untuk Masing-Masing Titik Ekstrim

, Matriks H Q Q Sifat H Sifat , ,

0,0 D 0 "4_{"4 0 E} 0 -16 Tak tentu Titik belok 1

0,4 D0 4_{4 0E} 0 -16 Tak tentu Titik belok 1

L2_{3 √3, 2M} V4√3₀ 40

3 √3W 4√3

16 Definit

positif Minimum " 16

9 √3 ) 1

L"2_{3 √3, 2M} V"4√3_{0 "}40

3 √3W "4√3

16 Definit

negatif Maksimum 16

L"2_{3 √3, 2M}

L2_{3 √3, 2M}

0,0

0,4

Grafik dalam ruang tiga dimensi diperlihatkan oleh Gambar 2.3.

Gambar 2.3 Grafik , *) " 4 ) 1

2.4 Optimasi

2.4.1 Optimasi Tak Bersyarat

Masalah optimasi tak bersyarat merupakan masalah optimasi yang tidak memiliki batasan-batasan, hanya memiliki fungsi tujuan yang sederhana, yaitu:

Memaksimumkan/meminimumkan: 2.5

untuk semua , , … , dan adalah sebuah fungsi yang dapat didiferensialkan. Syarat perlu dan cukup agar suatu penyelesaian ∗ merupakan penyelesaian optimal adalah

Y ∗ 46

4 Z 0 di

∗ _{untuk 1,2, … , / 2.6}

Teorema Fermat:

Jika mempunyai minimum atau maksimum lokal di ∗ dan jika derivasi pertama dari memiliki nilai pada titik ∗ ,maka Y ∗ 0.

Teorema 2.1:

Titik ∗ adalah titik maksimum lokal dari jika dan hanya jika:

(i) Y ∗ 0

(ii) H ∗ 0 definit negatif atau "1 |Q| 0 untuk 1,2, … , / dengan H adalah matriks Hessian

Teorema 2.2:

Titik ∗ adalah titik minimum lokal dari jika dan hanya jika:

(i) Y ∗ 0

(ii) H ∗ 0 definit positif atau |Q| 0 untuk 1,2, … , / dengan H adalah matriks Hessian

bujur sangkar di mana elemen-elemennya merupakan turunan kedua parsial. Jika , , … , maka matriks Hessiannya mempunyai dimensi n ? n. Diagonal utama (principal diagonal) dari matriks Hessian terdiri dari turunan

kedua parsial langsung, sedangkan elemen-elemen di luar diagonal utama merupakan turunan kedua silang.

Jadi penggunaan determinan Hessian untuk uji syarat kedua akan menghasilkan:

1. Maksimum relatif jika H ∗ definit negatif. 2. Minimum relatif jika H ∗ definit positif.

3. Jika kedua kondisi tidak dipenuhi maka tidak diperoleh suatu kesimpulan, apakah fungsi mempunyai maksimum atau minimum.

2.4.2 Optimasi Bersyarat

Optimasi bersyarat adalah masalah optimasi yang memiliki syarat atau memiliki batasan-batasan yang merupakan masalah pemodelan matematika dalam optimasi fungsi yang mensyaratkan beberapa kondisi atau syarat untuk diperoleh solusi optimal yaitu syarat yang mengoptimumkan fungsi tujuan. Masalah optimasi bersyarat dengan kendala persamaan merupakan masalah optimasi yang dibatasi dengan batasan-batasan berupa persamaan dengan bentuk umum sebagai berikut:

Memaksimumkan/meminimumkan : 2.7

dengan kendala :

0

1,2, … ,

^ , , … , _`

/

Determinan Hessian juga dapat digunakan untuk uji syarat kedua dari optimasi fungsi dengan kendala persamaan, dinamakan matriks Hessian terbatas (bordered Hessian). Disebut dengan matriks Hessian terbatas karena turunan parsial kedua

kendala. Matriks Hessian Terbatas adalah matriks yang entri-entrinya adalah turunan parsial kedua dari fungsi Lagrange berikut:

a , , b , ) b ,

oleh turunan pertama dari fungsi kendala dengan nol sebagai principal diagonal.

Ordo dari bordered principal minor ditentukan oleh principal minor yang dibatasi.

Determinan Hessian asli adalah ea_a a_{a e}.

Qc Qc disebut second bordered principal minor karena principal minor yang

dibatasi mempunyai dimensi 2 ? 2.

Untuk fungsi dengan n variabel determinan Hessiannya sebagai berikut:

2. Minimum relatif jika Q_c definit positif, di mana Q_c 0 atau |Q_c| 0 untuk 2,3, … , / dengan Q_c adalah matriks Hessian terbatas (bordered Hessian).

Uji syarat kedua dengan bordered Hessian dimulai dari Q_c bukan Q_c .

2.5 Metode Pengali Lagrange

Salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan masalah ekstrim terbatas adalah dengan cara substitusi. Dengan metode substitusi, salah satu variabel bebas dari persamaan terkendala disubstitusikan pada fungsi tujuan yang akan dicari nilai ekstrimnya. Sebagai hasilnya, masalah ekstrim terkendala diselesaikan melalui ekstrim bebas fungsi. Namun demikian, metode substitusi tidak selalu membawa hasil, jika batasan-batasannya tidak hanya melibatkan satu persamaan kendala.

Disamping itu, masalah-masalah ekstrim terbatas sering timbul dalam masalah-masalah nyata, di mana batasan-batasannya tidak hanya satu fungsi. Masalah yang sering timbul dengan metode substitusi adalah tidak mudah untuk menentukan titik kritisnya. Salah satu metode untuk mengatasi masalah ekstrim terkendala adalah metode pengali Lagrange. Metode pengali Lagrange dikembangkan didasarkan pada kenyataan bahwa ekstrim terbatas, nilai ekstrimnya selalu terletak pada titik kritisnya. Metode pengali Lagrange menyediakan suatu metode aljabar yang cukup baik untuk menentukan titik kritis, sehingga masalah ekstrim terkendala dengan metode pengali Larange dapat di atasi.

optimalitas dari permasalahan program nonlinier. Metode pengali Lagrange dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai:

a ,λ ) ∑i_j λ _2.9

Asumsikan masalah maksimisasi suatu fungsi kontinu dan dapat diturunkan , , … , dengan kendala , , … , , di mana juga kontinu dan dapat diturunkan. Kondisi tersebut menyarankan bahwa dapat dipilih variabel pada kendala dan menyatakan variabel yang lain, sehingga Q , , … , _k . Kemudian disubstitusikan ke fungsi tujuan untuk mendapatkan:

T , , … , k , Q , , … , k U 2.10

Dalam bentuk persamaan 2.10, metode klasik dapat diterapkan karena fungsinya tanpa kendala. Suatu syarat perlu untuk titik ekstrim adalah dengan menghilangkan semua turunan pertama yaitu 4l

4 Z 0, di mana 1,2, … , / " 1.

Dengan menggunakan dalil rantai diperoleh:

4l

substitusi persamaan 2.12 ke persamaan 2.11, sehingga:

Syarat cukup sebuah fungsi agar mempunyai minimum/maksimum dapat ditentukan dengan matriks Hessian terbatas. Matriks Hessian Terbatas (Bordered Hessian) didefinisikan sebagai berikut:

P• _{adalah transpose dari matriks P,} dan

j ~ ~ menjadi definit positif atau negatif untuk setiap variasi nilai ~ adalah setiap akar dari polinomial , yang diperoleh dari determinan persamaan di bawah ini harus positif atau negatif.

~ ~

2.24 Pengali Lagrange mempunyai arti secara fisik yang menarik, dimisalkan terdapat permasalahan optimasi dengan satu kendala sebagai berikut:

Maksimumkan / minimumkan 2.18

dengan kendala

Fungsi Lagrangenya adalah

a ,λ )λy " z _2.19

Syarat perlu untuk penyelesaiannya adalah 4|

4 } 0 untuk ‡ 1,2, … , / dan 2.20

4|

4λ 0 2.21

Persamaan 2.23 dan 2.24 menghasilkan hasil yang final yaitu: ~ λ ~

atau ~ λ∗~ _2.25

Dari persamaan 2.22 pada penyelesaian optimum, perubahan fungsi tujuan berbanding lurus dengan perubahan kendala dengan faktor sebesar pengali Lagrange yaituλ_.

2.6 Utilitas Marjinal

Fungsi utilitas adalah fungsi yang menjelaskan besarnya utilitas (kepuasan, kegunaan) yang diperoleh seseorang dari mengkonsumsi suatu barang atau jasa. Pada umumnya semakin banyak jumlah suatu barang dikonsumsi semakin besar utilitas yang diperoleh, kemudian mencapai titik puncaknya (titik jenuh) pada jumlah konsumsi tertentu, sesudah itu justru menjadi berkurang atau bahkan negatif jika jumlah barang yang dikonsumsi terus menerus ditambah.

Utilitas total merupakan fungsi dari jumlah barang yang dikonsumsi. Persamaan utilitas total (U) dari mengkonsumsi suatu jenis barang berupa fungsi kuadrat parabolik, dengan kurva berbentuk parabola terbuka ke bawah. Utilitas marjinal (MU) adalah utilitas tambahan yang diperoleh dari setiap satu unit barang

yang dikonsumsi. Secara matematik, fungsi utilitas marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi utilitas total. Jika fungsi utilitas total dinyatakan dengan ‰ { di mana U melambangkan utilitas total dan Q jumlah barang yang

dikonsumsi, maka utilitas marjinal

Grafiknya kurva fungsi utilitas diperlihatkan oleh Gambar 2.4.

Gambar 2.4 Grafik Fungsi Utilitas

Karena fungsi utilitas total yang nonlinier pada umumnya berbentuk fungsi kuadrat, fungsi utilitas marjinalnya akan berbentuk fungsi linier. Kurva utilitas marjinal (MU) selalu mencapai nol tepat pada saat kurva utilitas total (U) berada

pada posisi puncaknya.

Contoh 2.3:

Utilitas total ‰ { 90{ " 5{ , utilitas marjinalnya adalah Š‰ ‰ 90 " 10{

‰ maksimum pada Š‰ 0 sehingga 90 " 10{ 0 → { 9 maka ‰_{i••‘ i’i} 90 9 " 5 9

Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.5.

Gambar 2.5 Grafik ‰ 90{ " 5{ dan Š‰ 90 " 10{

2.7 Produk Marjinal

Produk marjinal (MP) ialah produk tambahan yang dihasilkan dari suatu unit

tambahan faktor produksi yang digunakan. Secara matematik, fungsi produk marjinal merupakan derivatif pertama dari fungsi produk total. Jika fungsi produk total dinyatakan ” di mana ” melambangkan jumlah produk total dan adalah jumlah masukan, maka produk marjinal:

Š” ” ‹•_‹ 2.27

menjadi negatif. Area di mana produk marjinal negatif menunjukan bahwa penambahan penggunaan masukan yang bersangkutan justru akan mengurangi jumlah produk total (Dumairy, 1996).

Contoh 2.4:

Produksi total ” 9 " *, produk marjinalnya adalah Š” ” 18 " 3

sehingga ”_{i••‘ i’i} pada ” 0 pada 6 dengan ”_{i••‘ i’i} 108

” berada dititik belok dan Š” maksimum pada ”" Š” ′ 0 yaitu pada 3

Grafiknya diperlihatkan oleh Gambar 2.6.