sma11fis Fisika AbdulHaris

FISIKA

SMA/MA Kelas XI

l

l

Hak Cipta pada Departemen Pendidikan Nasional Dilindungi Undang-undang

Fisika SMA/MA Kelas XI

Penulis: Abdul Haris Humaidi, Maksum Editor: Riswandi

Pembaca ahli: Agus Mulyanto Desainer sampul: Aji Galarso Andoko Ilustrator: Fakhruddin Hadi, Mukti Ali Penata letak: Miftah Arifin

Pengarah artistik: Sudaryanto

Diterbitkan oleh Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional Tahun 2009

Diperbanyak oleh ... 530.07

ABD ABDUL Haris Humaidi

f Fisika : untuk SMA/MA Kelas XI / penulis, Abdul Haris Humaidi. ; editor, Riswandi, ; illustrator, Fakhruddin Hadi, Mukti Ali .-- Jakarta : Pusat Perbukuan, Departemen Pen-didikan Nasional, 2009.

vii, 314 hlm, : ilus. ; 25 cm Bibliografi : hlm. 311-312 Indeks

ISBN: 978-979-068-802-5 (no jilid lengkap) ISBN: 978-979-068-806-3

1. Fisika-Studi dan Pengajaran I. Judul II Riswandi III. Fakhruddin Hadi IV Mukti Ali

Kata Sambutan

iii

Kata Pengantar

Puji syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT, berkat rahmat dan kar-unia-Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Departemen Pendidikan Nasional, pada tahun 2009, telah membeli hak cipta buku teks pelajaran ini dari penulis/penerbit untuk disebarluaskan kepada masyarakat melalui situs internet (website) Jaringan Pendidikan Nasional.

Buku teks pelajaran ini telah dinilai oleh Badan Standar Nasional Pen-didikan dan telah ditetapkan sebagai buku teks pelajaran yang memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam proses pembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 27 Tahun 2007 tanggal 25 Juni 2007.

Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepada para penulis/penerbit yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanya ke-pada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luas oleh para siswa dan guru di seluruh Indonesia.

Buku-buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepada De-partemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (down load), diganda-kan, dicetak, dialihmediadiganda-kan, atau difotokopi oleh masyarakat. Namun, untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannya harus me-menuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Diharapkan bahwa buku teks pelajaran ini akan lebih mudah diakses sehingga siswa dan guru di seluruh Indonesia maupun sekolah Indonesia yang berada di luar negeri dapat memanfaatkan sumber belajar ini.

Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepada para siswa kami ucapkan selamat belajar dan manfaatkanlah buku ini se-baik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku ini masih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritik sangat kami harapkan.

Kata Pengantar

Apakah kalian menganggap fisika sebagai mata pelajaran yang rumit? Tentu tidak, bukan? Walaupun fisika mempelajari tentang pelbagai senyawa fisika, reaksi fisika, dan perhitungan fisika, tapi semuanya bisa dipelajari dengan mudah. Apalagi jika didukung dengan penggunaan buku pelajaran yang tepat. Oleh karena itu, kami menghadirkan Seri Fisika SMA/MA ini. Penyajian materi yang lengkap, interaktif, dan dengan beragam contoh kasus menarik, kami harapkan dapat menjadi bekal agar fisika mudah dipahami.

Beragam elemen dan rubrikasi di dalam buku ini antara lain Aper-sepsi, berisi semacam pemanasan sebelum masuk ke materi pelajaran. Peta Konsep, yang memuat konsep-konsep inti yang akan diberikan pada setiap bab. Tujuan Pembelajaran, yakni uraian singkat memuat target yang ingin dicapai pada setiap bab. Kata Kunci, berisi kata-kata yang merupakan inti pembahasan materi dalam bab terkait. Eksperimen, yakni praktikum yang dilakukan siswa untuk membuktikan kebenaran materi yang sedang dipelajari. Ekspedisi, yaitu tugas individu yang bisa kalian lakukan untuk menambah pengetahuan. Kegiatan ini dapat berupa mencari materi tambahan di buku atau internet, percobaan sederhana, atau tugas proyek. Mozaik, berupa informasi tambahan yang terkait dengan materi yang sedang diulas. Tips & Trik, yaitu langkah sederhana untuk memudahkan kalian dalam memahami soal serta penjelasan materi. Teropong, berisi materi singkat untuk mengingatkan kalian tentang materi yang telah dis-ampaikan sebelumnya. Eureka, yakni tugas yang harus di kerjakan secara berkelompok berupa kegiatan diskusi. Inti Sari, berisi ringkasan materi dalam satu bab. Telaah Istilah, yakni penjelasan kata-kata asing yang ada pada materi yang disampaikan. Uji Kompetensi, yang muncul di setiap akhir subbab dan berisi soal-soal untuk menguji kompetensi yang kalian kuasai. Ulangan Harian, adalah tes penguasaan materi di setiap akhir bab.

Selain rubrik-rubrik tersebut, masih ada ulangan blok yang meliputi Latih-an UlLatih-angLatih-an Tengah Semester, Latihan UlanganAkhir Semester, dan Latihan Ujian Kenaikan Kelas. Ketiganya berfungsi menguji ketercapaian kompetensi.

Demikianlah, buku ini telah kami upayakan agar dapat tampil dengan kualitas maksimal. Untuk itu, kami segenap Tim Penulis Fisika SMA/MA mengucapkan terima kasih kepada Fakultas Sains dan Teknologi UIN Sunan Kalijaga Yogyakarta, penerbit Pustaka Insan Madani, dan pelbagai pihak yang telah mendukung kami dalam wujud apa pun.

v

Kata Pengantar

Daftar Isi

Kata Sambutan iii

Kata Pengantar iv Daftar Isi v

Kinematika Partikel

Bab I

A. Gerak Lurus 2

1. Vektor Posisi 3

2. Perpindahan dan Kecepatan 5

3. Percepatan 10

4. Analisis Gerak Lurus Beraturan (GLB) Berdasarkan Grafik 16

5. Analisis Gerak Lurus Berubah Beraturan (GLBB) Berdasarkan Grafik 17

B. Gerak Parabola 22

C. Gerak Melingkar 30

1. Posisi Sudut dan Perpindahan Sudut 31

2. Kecepatan Sudut 32

3. PercepatanSudut 34

Gravitasi dan Gaya Pegas

Bab II

A. Gravitasi 44

1. Hukum Gravitasi Newton 45

2. Medan Gravitasi 47

B. Penerapan Hukum Gravitasi Newton 49

1. Hukum Gravitasi Newton pada Sistem Tata Surya 51

2. Hukum Gravitasi pada Benda-benda di Bumi 53

3. Hukum Gravitasi pada Sistem Bumi-Satelit 56

C. Gaya Pegas 58

1. Elastisitas 59

2. Modulus Elastisitas 59

3. Hukum Hooke 61

4. Susunan Pegas 64

D. Pegas dan Gerak Harmonis Sederhana 69

1. Besaran-besaran pada Gerak Harmonis Sederhana 70

2. Bentuk Sinusoidal Gerak Harmonis Sederhana 71

3. Kecepatan dan Percepatan Getar 72

4. Periode Getar 73

E. Pendulum Sederhana 75 Latihan Ulangan Tengah Semester I 81

Usaha dan Energi

Bab III

B. Usaha dan Energi 89

1. Sumber dan Bentuk Energi 91

2. Energi Kinetik dan Energi Potensial 92

C. Gaya Konservatif dan Gaya Disipatif (Pengayaan) 101

1. Gaya Konservatif dan Medan Konservatif 101

2. Gaya Disipatif 104

D. Hukum Kekekalan Energi 105

1. Hukum Kekekalan Energi pada Gerak Vertikal 106

2. Hukum Kekekalan Energi pada Gerak Parabola 110

3. Hukum Kekekalan Energi untuk Gerak Harmonis Sederhana 113

4. Hukum Kekekalan Energi untuk Gerak Benda di Bidang Miring 115

5. Hukum Kekekalan Energi pada Gerak Melingkar 116

E. Daya 120

Momentum dan Impuls

Bab IV

A. Momentum dan Impuls 128

1. Momentum 128

2. Impuls dan Perubahan Momentum 129

B. Hukum Kekekalan Momentum 132

C. Tumbukan 136

1. Hukum Kekekalan Momentum pada Tumbukan 136

2. Hukum Kekekalan Energi Mekanik pada Tumbukan 136

3. Jenis Tumbukan 137 Latihan Ulangan Akhir Semester I 151

Keseimbangan Benda Tegar

Bab V

A. Momen Gaya (Torsi) 158

1. Pengertian Momen Gaya 159

2. Momen Gaya Akibat Resultan Beberapa Gaya 162

B. Momen Inersia 164

C. Momentum Sudut dan Hukum Kekekalan Momentum Sudut 168

D Hukum II Newton pada Gerak Rotasi 172

1. Momen Gaya pada Katrol 172

2. Gerak Menggelinding 175

3. Hukum Kekekalan Energi pada Gerak Rotasi 177

E Keseimbangan Benda Tegar 181

1. Syarat Keseimbangan 181

2. Titik Berat 183

3. Jenis-jenis Keseimbangan 186

Fluida

Bab VI

A. Fluida Statis 194

1. Massa Jenis Zat 195

2. Tekanan Hidrostatis 196

3. Alat Ukur Tekanan 200

B. Hukum-Hukum Dasar Fluida Statis dan Penerapannya 201

1. Hukum Pascal 201

2. Hukum Archimedes 203

C. Gelaja Fluida Statis 212

1. Tegangan Permukaan 212

vii

Daftar Isi

3. Viskositas 216

D. Fluida Dinamis 218

1. Fluida Ideal dan Fluida Sejati 218

2. Pelbagai Jenis Aliran Fluida 219

3. Persamaan Kontinuitas 219

4. Prinsip Bernoulli 221

5. Penerapan Hukum Dasar Fluida Dinamis dalam Kehidupan Keseharian 224 Latihan Ulangan Tengah Semester II 235

Teori Kinetik Gas

Bab VII

A. Gas Ideal 240

1. Pengertian Gas Ideal 241

2. Persamaan Umum Gas Ideal 241

3. Persamaan Gas Van Der Walls (Pengayaan) 248

B. Teori Kinetik Gas 249

1. Tekanan Gas 249

2. Energi Kinetik sebagai Fungsi Temperatur 254

3. Kelajuan rms 256

C. Teori Ekuipartisi dan Energi Dalam Gas 259

1. Teori Ekuipartisi 259

2. Energi dalam Gas 261

D. Penerapan Teori Kinetik Gas 263

1. Gerak Brown 263

2. Penguapan 264

3. Kelembaban 264

4. Difusi pada Organisme 265

Termodinamika

Bab VIII

A. Kalor, Usaha, dan Hukum I Termodinamika 270

1. Hubungan Usaha dan Tekanan 271

2. Hukum I Termodinamika 273

3. Kapasitas Kalor dan Kalor Jenis 275

4. Proses-proses Termodinamika 280

B. Siklus Termodinamika 285

C. Penerapan Hukum I Termodinamika 288

1. Mesin Kalor/Mesin Bahang (Heat Engine) 288

2. Mesin Carnot (Siklus Carnot) 289

3. Mesin Uap 291

4. Metabolisme Manusia 292

D. Hukum II Termodinamika 292

1. Hukum II Termodinamika 293

2. Proses Reversibel dan Irreversibel 294

3. Perubahan Entropi dalam Proses Reversibel (Pengayaan) 295

4. Perubahan Entropi dalam Proses Irreversibel (Pengayaan) 296

5. Penerapan Hukum II Termodinamika 297 Latihan Ulangan Kenaikan Kelas 303

Kinematika Partikel

1

,JOFNBUJLB1BSUJLFM

Microsoft Encarta Premium 2006

.

JDIBFM4DIVNBLFS'FSOBOEP"MPOTP,JNJ3BJLLPOFOEBOTFEFSFUOBNB MBJOOZBNVOHLJOCVLBOMBIOBNBZBOHBTJOHCBHJQFOHHFNBSBSFOBCBMBQ '"SFOBCBMBQ'NFSVQBLBOBKBOHBEVLFDFQBUBOQBMJOHCFSHFOHTJEJEVOJB %JBKBOHCBMBQJOJQBSBQFNCBMBQCFSUBOEJOHVOUVLNFOKBEJZBOHUFSDFQBU4BMBI TBUVLPOTFQmTJLBZBOHEBQBUEJQFMBKBSJEBSJBSFOBCBMBQ'BEBMBI,JOFNBUJLB 1BSUJLFM,BMJBOJOHJOUBIVMFCJICBOZBLNFOHFOBJLPOTFQmTJLBZBOHNFOEBTBSJ BSFOBCBMBQ'JOJ 6OUVLJUVQFMBKBSJMBINBUFSJEJCBCJOJEFOHBOTVOHHVI TVOHHVI

*

,

ata

K u n c i

• Gerak • Vektor posisi

•Perpindahan

• Kecepatan

• Percepatan • Posisi sudut

• Kecepatan Sudut • Percepatan Sudut

%JCBC,JOFNBUJLB1BSUJLFMJOJLBMJBOBLBOEJCJNCJOHVOUVLNFOH

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

A Gerak

Lurus

%BSJBSFOBCBMBQ'LJUBEBQBUCFMBKBSCBOZBLUFOUBOHLPOTFQGJTJLB 4BMBITBUVLPOTFQZBOHNFOEBTBSJBSFOBCBMBQ'BEBMBIHFSBL4FMBJO JUVKVHBUFSEBQBUCFCFSBQBLPOTFQMBJOOZB,FUJLBNPCJMTFEBOHNFMBKV LJUBEBQBUNFNQFMBKBSJCFTBSBOKBSBLLFDFQBUBOEBOQFSDFQBUBO,FUJLB NFOJOKBVHFSBLSPEBNPCJMLJUBEBQBUNFNQFMBKBSJLPOTFQHFSBLNFMJOH LBS%BMBNHFSBLNFMJOHLBSLJUBEBQBUNFNQFMBKBSJCFTBSBOQFSJPEFGSF LVFOTJLFDFQBUBOTVEVUEBOQFSDFQBUBOTVEVU#FTBSBOCFTBSBOUFSTFCVU TFCFOBSOZBUFMBIEJQFMBKBSJEJLFMBT9

6OUVLJUVLBMJBOQFSMVNFOHJOHBULFNCBMJQFOHFSUJBOWFLUPSHFSBL MVSVT EBO HFSBL NFMJOHLBS 6OUVL NFNCBOUV NFOZFHBSLBO JOHBUBO LBMJBO NFOHFOBJ LPOTFQ UFSTFCVU DPCB EJTLVTJLBO KBXBCBO QFSUBOZBBO QBEB&VSFLBEJCBXBIJOJ

E

u r e k a

Diskusikanlah dengan teman di sampingmu, jawaban dari pertanyaan-pertanyaan berikut.

1. Bilamanakah benda dikatakan bergerak?

2. Coba jelaskan perbedaan jarak dan perpindahan.

3. Bagaimanakah cara menyatakan sebuah vektor dalam vektor

satuan? Gambarkan satu vektor pada koordinat kartesian, leng-kap dengan vektor satuannya.

4. Tuliskan persamaan kedudukan, kelajuan, kecepatan, dan

per-cepatan pada GLB, GLBB, serta gerak melingkar.

Kinematika Partikel

3

%BSJ IBTJM EJTLVTJ QBEB FVSFLB UFSTFCVU LBMJBO UFMBI NFNCFEBLBO

QFOHFSUJBO CFCFSBQB CFTBSBO BOUBSB MBJO KBSBL QFSQJOEBIBO LFMBKVBO EBOLFDFQBUBO4FDBSBBXBNKBSBLEBOQFSQJOEBIBOBEBMBITBNB/BNVO EJUJOKBV EBSJ TVEVU QBOEBOH GJTJLB LFEVBOZB NFSVQBLBO EVB IBM ZBOH CFSCFEB+BSBLUFSNBTVLCFTBSBOTLBMBSTFEBOHLBOQFSQJOEBIBOUFSNBTVL CFTBSBO WFLUPS %FNJLJBO QVMB QFSCFEBBO LFMBKVBO EBO LFDFQBUBO ,FMBKVBO NFSVQBLBO CFTBSBO TLBMBS TFEBOHLBO LFDFQBUBO NFSVQBLBO CFTBSBOWFLUPS

%JTVCCBCJOJLJUBBLBONFOHBOBMJTJTHFSBLMVSVT%BMBNNFOHBOBMJ TJTHFSBLMVSVTNFOHHVOBLBOWFLUPSLJUBNFNFSMVLBOCFCFSBQBCFTBSBO BOUBSBMBJOWFLUPSQPTJTJQFSQJOEBIBOLFDFQBUBOEBOQFSDFQBUBO6OUVL NFOHFUBIVJLFUFSLBJUBOBOUBSCFTBSBOUFSTFCVUQFMBKBSJMBIVSBJBOCFSJLVU

7FLUPS1PTJTJ

6OUVLNFNBIBNJQFOHFSUJBOWFLUPSQPTJTJDPCBQFSIBUJLBOTFCVBI CFOEBZBOHNFOFNQFMEJUFNCPLNJTBMOZBTFFLPSDJDBL%JUJOKBVEBSJTF CVBITVEVU LJUBBNCJMTVEVULJSJCBXBIDJDBLUFSTFCVUCFSBEBQBEBKBSBL NFOEBUBSYNFUFSEBOLFUJOHHJBOZNFUFS+JLBTVEVUUFSTFCVULJUBBOHHBQ TFCBHBJQVTBULPPSEJOBUNBLBDJDBLUFSTFCVUCFSBEBQBEBLPPSEJOBU YZ

7FLUPS QPTJTJNFOZBUBLBO LFEVEVLBO TFCVBI QBSUJLFM EJUJOKBV EBSJ QVTBU LPPSEJOBU 7FLUPS QPTJTJ EJOZBUBLBO EBMBN WFLUPS TBUVBO .JTBMOZBUJUJLEJNBOBDJDBLCFSBEBLJUBCFSJUBOEB15JUJL1CFSBEBQBEB LPPSEJOBU YZNBLBWFLUPSQPTJTJUJUJL1EBQBULBMJBOMJIBUQBEB(BNCBS

#FSEBTBSLBOHBNCBSUFSTFCVUUJUJL1EBQBUEJOZBUBLBOEBMBNWFLUPS QPTJTJTFCBHBJCFSJLVU

01 Su ru ru r Sr YJJ + Z K

,FUFSBOHBO

01 Su ruu rWFLUPSQPTJTJ

J WFLUPSTBUVBOTFBSBITVNCVY

K WFLUPSTBUVBOTFBSBITVNCVZ

#FTBSQBOKBOHSrNFOZBUBLBOKBSBLUJUJL1LFQVTBULPPSEJOBUZBOH EBQBUEJDBSJEFOHBOSVNVTCFTBSWFLUPS

r

S S Y + Z

6OUVLNFNCBOUVLBMJBONFNBIBNJQFOHFSUJBOWFLUPSQPTJTJQFSIB

UJLBODPOUPICFSJLVU

Gambar 1.1 Titik P dinya ta-kan dengan vektor posisi rr

atau u ru

OP

T

e r o p o n g

Di kelas X, kalian telah mempelajari cara menguraikan vektor. Berdasarkan gambar 1.1, komponen vektor x dan y dapat dicari dengan persamaan berikut.

x = r cos α, dan y = r sin α Z

K

J Y

Q YZ

α

C o n t o h

1PTJTJTFCVBICFOEBEJHBNCBSLBOEBMBN LPPSEJOBUTFQFSUJHBNCBS

B /ZBUBLBOWFLUPSQPTJTJCFOEBUFSTF CVU

C #FSBQBLBI KBSBL CFOEB UFSTFCVU EBSJQVTBULPPSEJOBU

1FOZFMFTBJBO

%JLFUBIVJ -JIBUHBNCBS %JUBOZBLBO

B SSr C Sr +BXBC

B %BSJ HBNCBS UFSTFCVU CFOEB CFS BEBQBEBLPPSEJOBU1 TFIJOHHB WFLUPSQPTJTJCFOEBUFSTFCVUEBQBU EJOZBUBLBOTFCBHBJCFSJLVU

r

S =i + K

C +BSBL CFOEB EBSJ QVTBU LPPSEJOBU EJOZBUBLBOEFOHBOCFTBSWFLUPSSSr

r = +

=

+

++

S =S Y +Z

₊

N

BEBMBI N

4FCVBIQBLVCFSBEBEJUFNCPLCFSVLVS BON¨N4FCVBICFOBOHEJJLBU EJ QBLV LFNVEJBO EJUBSJL NFOVKV TVEVUCBHJBOLJSJCBXBI1BOKBOHCFOBOH NFUFS EBO NFNCFOUVL TVEVU P UFSIBEBQBSBINFOEBUBS#BHBJNBOBLBI LJUB NFOZBUBLBO WFLUPS QPTJTJ QBLV UFSTFCVU

1FOZFMFTBJBO %JLFUBIVJ SN

P

%JUBOZBLBOSSr +BXBC

6OUVLNFOZBUBLBOQPTJTJCFOEBEBMBN

WFLUPSQPTJTJLJUBIBSVTNFODBSJYEBO ZUFSMFCJIEBIVMV

P Y S

DPT DPT

α

TJO TJO

Z S α

P

%BSJ QFSTBNBBO EJ BUBT WFLUPS QPTJTJ

QBLVEJOZBUBLBOEFOHBO

r

Sr J K

,FUJLBWFLUPSQPTJTJTFCVBICFOEBCFSVCBIEJLBUBLBOCFOEBNFOH

BMBNJQFSQJOEBIBO%JLFMBT9LBMJBOUFMBINFNQFMBKBSJIVCVOHBOQFSQJO EBIBOEFOHBOLFDFQBUBO%FOHBOEFNJLJBOLFDFQBUBOKVHBCFSIVCVOHBO EFOHBO WFLUPS QPTJTJ #BHBJNBOBLBI CFOUVL IVCVOHBO LFDFQBUBO EBO WFLUPSQPTJTJ

Z

Y

Kinematika Partikel

5

1FSQJOEBIBOEBO,FDFQBUBO

.BTJINFOHBNCJMDPOUPIDJDBLEJEJOEJOH4FNVMBDJDBLCFSBEBEJ

UJUJL1 YZEFOHBOWFLUPSQPTJTJS

r

S,FNVEJBODJDBLCFSHFSBLTFIJOHHB CFSBEBEJUJUJL2 YZEBMBNTFMBOHXBLUVUFSUFOUV7FLUPSQPTJTJEJUJUJL 2EJOZBUBLBOEFOHBOSr1FSIBUJLBO(BNCBS%BSJHBNCBSUFSTFCVU CFOEBCFSHFSBLEBSJUJUJL1LFUJUJL2CFSBSUJCFOEBNFOHBMBNJQFSQJOEB IBOEBSJ1LF2

B .FOZBUBLBO1FSQJOEBIBO%BMBN7FLUPS1PTJTJ

%BSJ (BNCBS QFSQJOEBIBO EBSJ UJUJL 1 LF UJUJL 2 EJOZBUBLBO TFCBHBJQFSVCBIBOWFLUPSQPTJTJ1FSQJOEBIBOCFOEBEBSJ1LF2EJUVMJT LBOTFCBHBJCFSJLVU

r _rr _r

r

T S

T Z K Z K

J Z Z

Δ =

− + J

r− r

r r

r r

Y J + Z KZ K Y J + Z K

Y −YY

J+ ZZZ J + ZZ YY K

T Y J Z K

r

ΔY J ΔZZ

,FUFSBOHBO_r

T QFSQJOEBIBO N

Y

ΔYYYoYQFSVCBIBOQPTJTJQBEBTVNCVY

Z

ΔZZZoZQFSVCBIBOQPTJTJQBEBTVNCVZ

C .FOZBUBLBO,FDFQBUBO%BMBN7FLUPS1PTJTJ

,FDFQBUBO SBUBSBUB EJEFGJOJTJLBO TFCBHBJ QFSQJOEBIBO QFS TFMBOH XBLUVUFSUFOUV+BEJLFDFQBUBOSBUBSBUBEJOZBUBLBOTFCBHBJ

W T

U SBUBSBUB

r r

Δ

EFOHBO NFOTVCTUJUVTJLBO QFSTBNBBOrT LJUB NFOEBQBULBO CFOUVL QFS TBNBBO

W Y J Z K

U W SBUBSBUB SBUB r r Δ Δ Δ + SSBUB Y U J Z U K Δ Δ + ΔΔ 4FLBSBOHLJUBUJOKBVLPNQPOFOLFDFQBUBOQBEBTVNCVYEBOTVNCV ZEJNBOB r

W Y

UJ Y Δ

Δ EBO r

W Z

U K Z Δ

Δ

%BSJQFSTBNBBOUFSTFCVUTFDBSBVNVNWFLUPSLFDFQBUBOEBQBUEJUVMJT TFCBHBJCFSJLVU

T

e r o p o n g

d(3 t )

dt

= (3 × 3)t 9t

3

3-1 22

1. Di kelas X, kecepat -an sesaat dinyatak-an dengan limit perubah -an keduduk-an (perpin-dahan) dalam selang waktu mendekati nol

Δt→0, yang dinya- ta kan dengan rumus,

Δ Δ Δ v Lim t 0 d t

2. Di kelas XI, pada jaran matematika,

kalian akan meme-lajari materi sial/turunan. Rumus

umum untuk mencari turunan sebagai kut.

d(a t )

dt

= (a × n) t

n

n-1

Contoh:

Gambar 1.2 Perpindahan benda dinyatakan sebagai perubahan vektor posisi. Z

Z

Y Y

Z

Y

Q YZ

2 YZ

4SS

S

_{W W J W K}r _{YJ W}+ _Z

,FUFSBOHBO_r

W WFLUPSLFDFQBUBO

WYLPNQPOFOWFLUPSLFDFQBUBOQBEBTVNCVY WZLPNQPOFOWFLUPSLFDFQBUBOQBEBTVNCVZ

4FMBJO LFDFQBUBO SBUBSBUB LJUB KVHB NFOHFOBM LFDFQBUBO TFTBBU #BHBJNBOBLBIQFSTBNBBOLFDFQBUBOTFTBBUEBMBNWFLUPSQPTJTJ #FSEBTBS LBOQFSTBNBBOLFDFQBUBOTFTBBU QFSIBUJLBOUFSPQPOHLJUBEBQBUNFODBSJ QFSTBNBBOOZBEFOHBONFOHHBOUJLFEVEVLBO EEFOHBOWFLUPSQPTJTJ Sr +BEJ LFDFQBUBO TFTBBU TFCBHBJ GVOHTJ WFLUPS QPTJTJ EJSVNVTLBO TFCBHBJ CFSJLVU

r r

r

W -JN S U

W

TFTBBUT _U

TFTBBUT

Δ Δ

Δ

ES EE EU

r

EEEEE

1FSTBNBBOW ES EU r r

NFOZBUBLBOCBIXBLFDFQBUBONFSVQBLBOUVSVOBO EJGGFSFOTJBM WFLUPS QPTJTJ UFSIBEBQ XBLUV %FOHBO LBUB MBJO LFDFQBUBO NFSVQBLBOGVOHTJXBLUVEBOEBQBUEJUVMJTLBOTFCBHBJW Ur 4FDBSBVNVN LFDFQBUBOTFCBHBJGVOHTJXBLUVEJUVMJTLBOEBMBNCFOUVL

W U ES EU E Y J Z K

EU

r r

+

W EY EUJ

EZ EU K

r

U +

6OUVL NFNVEBILBO LBMJBO EBMBN NFNBIBNJ QFOKFMBTBO UFSTFCVU QFSIBUJLBODPOUPICFSJLVU

Pada perkalian bilangan berpangkat berlaku sifat-sifat berikut.

Yang perlu diperhatikan,

&

5

ips

T r i k

(ab) = a b

a2= a

ab = b a

2 2 2

2

(a + b) a + b dan

a + b a + b

2 2 2

2 2

Kinematika Partikel

7

C o n t o h

4FCVBINPCJMCFSHFSBLEFOHBOLFDFQBU BOUFSUFOUV1PTJTJNPCJMEBMBNTFUJBQ XBLUV EJOZBUBLBO EFOHBO QFSTBNBBO_r

S U J U K EFOHBOS EBMBN NFUFS EBOUEBMBNTFLPO5FOUVLBO

B QPTJTJNPCJMQBEBTBBUUT C QPTJTJNPCJMQBEBTBBUUT D LFDFQBUBONPCJMQBEBTBBUUT

EBOQBEBTBBUUT

E LFDFQBUBOSBUBSBUBQBEBTFMBOH

XBLUVUTEBOUT

1FOZFMFTBJBO

%JLFUBIVJS r U J U K %JUBOZBLBO

B SQBEBTBBUUT

C SQBEBTBBUUT

D WQBEBTBBUUTEBOQBEBTBBU

UT

E WSBUBSBUBVOUVLTFMBOHXBLUVUT EBOUT

+BXBC

B 6OUVL NFODBSJ QPTJTJ NPCJM QBEB XBLUVULJUBUJOHHBMNFOTVCTUJUVTJ LBOOJMBJULFQFSTBNBBOQPTJTJ

r

S U J U K

6OUVLUTQFSTBNBBOWFLUPS

QPTJTJOZBBEBMBI

S r J K

J K

C 6OUVLUTQFSTBNBBOQPTJTJOZB BEBMBI

r

S J J

J K

J

D 6OUVLNFODBSJLFDFQBUBOQBEBTBBU U LFDFQBUBOTFTBBULJUBCJTBNFOH HVOBLBOQFSTBNBBOCFSJLVU

r r

W ES

r r

EU EE

E U J U K EU J K

#FTBSOZB LFDFQBUBO EJDBSJ EFOHBO QFS TBNBBO

W WY WWZ

NT

+

+

%BSJQFSTBNBBOLFDFQBUBOQBEBQPJOD

LFDFQBUBO CFOEB UJEBL UFSHBOUVOH QBEB XBLUV %FOHBO LBUB MBJO LFDFQBUBO CFOEB TFMBMV TBNB TFUJBQ TBBU %FOHBO EFNJLJBO LFDFQBUBO CFOEB QBEB TBBU UTEBOQBEBTBBUUTBEBMBITBNB ZBJUVNT

D .FODBSJ7FLUPS1PTJTJEBSJ7FLUPS,FDFQBUBO

+JLB LFDFQBUBO TFCBHBJ GVOHTJ XBLUV EJLFUBIVJ LJUB EBQBU NFODBSJ QFSTBNBBOWFLUPSQPTJTJEFOHBOPQFSBTJJOUFHSBM1FSTBNBBOWFLUPSLFDFQBU BOTFCBHBJGVOHTJXBLUVZBOHUFMBILBMJBOQFMBKBSJEJSVNVTLBOTFCBHBJ CFSJLVU

r r

W U ES EU

BUBVEBQBUEJUVMJTLBOEBMBNCFOUVL

r r

W EU ES

+JLBLFEVBSVBTEJJOUFHSBMLBOLJUBBLBONFOEBQBULBOQFSTBNBBOWFL UPSQPTJTJ

r r

r r r W EU ES

W EU S S U r rt

∫

∫

∫

%BSJQFSTBNBBOUFSTFCVUWFLUPSQPTJTJQBEBXBLUVU SrUEJOZBUBLBO

TFCBHBJCFSJLVU

r r r

S SU + W EU

t

∫

,FUFSBOHBOr

S_rUWFLUPSQPTJTJQBEBTBBUU

SWFLUPSQPTJTJNVMBNVMB

+JLBUEBOWLPOTUBO (-#EJEBQBULBOQFSTBNBBOWFLUPSQPTJTJ

TFUJBQXBLUVTFCBHBJCFSJLVU

r r ₊r

S S W UU

C o n t o h

1FSIBUJLBODPOUPICFSJLVU

4FCVBI NPCJM CFSHFSBL EFOHBO QFSTB

NBBO LFDFQBUBO Wr UJUK NT

4FTFPSBOHNFMJIBUNPCJMUFSTFCVUCFSHF SBL EBSJ LPPSEJOBU N /ZBUBLBO QPTJTJNPCJMQBEBTBBUUTEBOUT 1FOZFMFTBJBO

%JLFUBIVJ

Wr UJUKNT

1PTJTJBXBMQBEBLPPSEJOBU

%JUBOZBLBOSSSUVOUVLUTEBOUT

+BXBC1PTJTJBXBMNPCJMQBEBLPPSEJOBU CFSBSUJS JSSr J+ K

r r r

S S W EU

J K U J K EU

J K U J

U S S SS

J KK U K

J KK

+ + K + +

K ×U J+

∫

∫

t t × + + + K

J K U J _K U _{U K}

T

e r o p o n g

Integral merupakan ke-balikan dari differensial/ turunan. Untuk menyele-saikan integral, kita bisa menggunakan persa-maan berikut.

Jika integral dibatasi, maka berlaku persamaan berikut.

(p t ) dt = 1 n +1

pt +c

n n

) d 1 +1 ∫

(pt )dt = 1 n +1 p n a b ∫

Kinematika Partikel

9

6OUVLUTNBLB

Sr J+++ +

K J +K

+BEJWFLUPSQPTJTJNPCJMQBEBTBBUUT

BEBMBIJ+K

6OUVLUTNBLB

+ ×

+

_{+ + ×}

S + × J K

J+K

r

+BEJWFLUPSQPTJTJNPCJMQBEBTBBUUT BEBMBIJ+K

U j i K o m p e t e n s i

1. Gambarkan dan nyatakan vektor posisi setiap titik pada bidang kar-tesius berikut.

a. A(4,5)

b. B(-6,10)

c. C(-7,-2)

d. D(5,-3)

2. Sebuah benda semula berada pada koordinat A(2,0). Setelah 5

detik benda tersebut berada pada koordinat B(0,8). Tentukan besar kecepat an gerak benda tersebut.

3. Arman melihat seekor burung di sebuah pohon kelapa pada

keting-gian 6 meter yang berada di sebelah timurnya pada jarak 8 meter. 10 detik kemudian, burung tersebut telah berada di atas pohon akasia pada ketinggian 10 meter. Pohon akasia tersebut berada di sebelah selatan Abdullah pada jarak 14 m. Hitunglah kecepatan terbang burung tersebut. Petunjuk: anggap Arman sebagai pusat koordinat.

4. Seorang pembalap F-1 melaju dengan kecepatan yang selalu

berubah setiap waktu. Kecepatan pembalap dinyatakan dengan

persamaan v = ( 12t i 16t jr − − 2 m/s. Hitunglah posisi pembalap pada saat t = 10 detik.

5. Posisi seorang atlet marathon yang sedang berlari dinyatakan de ngan persamaan rr = (3 + 4t) i−5t j2, dengan r dalam meter, dan t dalam detik. Tentukan kecepatan pelari tersebut setelah berlari selama 5 detik.

6. Sebuah mobil bergerak dengan persamaan kecepatan r

r

v=(3t+4) i−

r r

3 J+(3t−2) j. Tentukan vektor posisi mobil pada saat t = 5 detik.

#BHBJNBOBNVEBICVLBO 6OUVLNFOBNCBIQFOHFUBIVBOLBMJBO

LFSKBLBO6KJ,PNQFUFOTJEJCBXBIJOJ

1FSDFQBUBO

1FSDFQBUBO EJEFGJOJTJLBO TFCBHBJ QFSVCBIBO LFDFQBUBO QFS TFMBOH XBLUVUFSUFOUV1FSDFQBUBONFSVQBLBOCFTBSBOWFLUPSZBOHNFNQVOZBJ CFTBSEBOBSBI#BHBJNBOBLBIQFSTBNBBOQFSDFQBUBOHFSBLEFOHBONFOH HVOBLBOBOBMJTJTWFLUPS

B .FOZBUBLBO7FLUPS1FSDFQBUBOEBMBN7FLUPS,FDFQBUBO

$PCBLBMJBOCBDBLFNCBMJDFSJUBQBEBBXBMTVCTVCCBCLFDFQBUBOEJ EFQBO 1BEB TVCTVCCBC UFSTFCVU LJUB NFOHBNCJM DPOUPI TFFLPS DJDBL ZBOH CFSHFSBL EJ EJOEJOH EFOHBO MJOUBTBO UFSUFOUV 1BEB TBBU CFSHFSBL DJDBLUFSTFCVUNFNQVOZBJLFDFQBUBOEJTFUJBQUJUJL.JTBMOZBLFDFQBUBO DJDBLTBBUEJUJUJL1BEBMBIWEBOLFDFQBUBOEJUJUJL2BEBMBIW

7FLUPS LFDFQBUBO EBO WFLUPS QPTJTJ EJ UJUJL 1 EBO 2 EJHBNCBSLBO EBMBN CJEBOH LBSUFTJVT TFQFSUJ (BNCBS %BSJ HBNCBS UFSTFCVU EBO EBSJEFGJOJTJQFSDFQBUBOTFCBHBJQFSVCBIBOLFDFQBUBOQBEBTFMBOHXBLUV UFSUFOUVQFSDFQBUBOSBUBSBUBEBQBUEJSVNVTLBO r r r r B W U W W U U SBUBSBUB Δ Δ %FOHBODBSBZBOHTBNBQBEBTBBUNFODBSJLFDFQBUBOSBUBSBUBLJUB NFOEBQBULBOSVNVTQFSDFQBUBOSBUBSBUBTFCBHBJCFSJLVU r r r

B W J W K

U SBUBSBUB Y Z Δ Δ Δ + -BMVCBHBJNBOBLBISVNVTVOUVLNFODBSJQFSDFQBUBOQBEBXBLUVU 1FSDFQBUBOQBEBXBLUVUNFSVQBLBOQFSDFQBUBOTFTBBU%JLFMBT9LBMJBO UFMBINFOHFUBIVJSVNVTQFSDFQBUBOTFTBBUTFCBHBJCFSJLVU r

BTFFTBBU -JN_ΔU Δ

Δ → r W U 1FSTBNBBOJOJEBQBUEJUVMJTLBOEBMBNCFOUVLEJGFSFOTJBM TFTBBU r r B EW EU

%FOHBO NFOTVCTUJUVTJLBO WWYJWZK WFLUPS QFSDFQBUBO QBEB XBLUVUEBQBUEJUVMJTLBOEBMBNCFOUVLQFSTBNBBO r r B EW EU Gambar 1.3 Resultan v2

dengan v1 (Δv) pada selang

waktu tertentu menunjukkan percepatan. Z WZ WZ Q W WY W

WY Y

2

ΔWWW

T

e r o p o n g

Vektor percepatan

merupakan turunan vek-tor kecepatan. Semen-tara vektor kecepatan

merupakan turunan vektor posisi. Dengan demikian dapat diambil kesimpulan bahwa vektor

percepatan merupakan turunan dari turunan vek-tor posisi.

Dalam bahasa matematika vektor percepat -an ditulisk-an sebagai berikut.

a = d dt

dr

dt

Kinematika Partikel

11

_Br E W J W KY + Z

EU

r

B EWY Z

EU J EW

EU

+ j

,PNQPOFOQFSDFQBUBOQBEBTVNCVYEBOTVNCVZBEBMBI

_B EWY

EU J Y

r r

EBO Z

Z

B EW

EU K

r r

+BEJWFLUPSQFSDFQBUBOEBQBUEJUVMJTLBOEBMBNCFOUVL B B J Y + B KZ

r r r

#BHBJNBOBLBILJUBNFOHHVOBLBOQFSTBNBBOQFSDFQBUBOVOUVLNF

OZFMFTBJLBOQFSNBTBMBIBOHFSBLCFOEB 6OUVLNFOHFUBIVJOZBQFSIBUJLBO DPOUPIEJCBXBIJOJ

C o n t o h

4FTFPSBOH CFSKBMBO EFOHBO LFDFQBUBO ZBOH TFMBMV CFSVCBI TFUJBQ XBLUV ,FDFQBUBO PSBOH UFSTFCVU EJOZBUBLBO EFOHBO QFSTBNBBO Wr U J U KW EBMBNNTEBOUEBMBNT

B 5VMJTLBO QFSTBNBBO QFSDFQBUBO QBEBXBLUVU

C 5FOUVLBO CFTBS QFSDFQBUBO QBEB UTEBOQBEBUT

D 5FOUVLBO CFTBS QFSDFQBUBO SBUB SBUBQBEBTFMBOHXBLUVUTEBO UT

1FOZFMFTBJBO %JLFUBIVJ_r

W U J U KNT %JUBOZBLBO B BrQBEBXBLUVU

C BrQBEBTBBUUTEBOUT

D B_SBUBSBUBQBEBTFMBOHXBLUVUT

EBOUT

+BXBC

B 1FSDFQBUBO QBEB XBLUV U NFSV QBLBO QFSDFQBUBO TFTBBU TFIJOHHB EBQBU EJDBSJ EFOHBO QFSTBNBBO CFSJLVU

r r

B EW

r

EU

E U J U K EU J K

+BEJ QFSTBNBBO QFSDFQBUBO TFUJBQ

XBLUVBEBMBIBr J K

C %BSJ QFSTBNBBO QFSDFQBUBO QBEB QPJOBQFSDFQBUBOUJEBLUFSHBOUVOH XBLUV4FIJOHHBCFTBSQFSDFQBUBO TFUJBQ TBBU TFMBMV UFUBQLPOTUBO #FTBSQFSDFQBUBOOZBEBQBUEJDBSJ EFOHBOQFSTBNBBOCFSJLVU

r

B B B

NT

Y Z

+

+

+

+BEJCFTBSQFSDFQBUBOQBEBUT

EBOU T BEBMBI TBNB ZBJUV

D #FTBS QFSDFQBUBO SBUBSBUB EBQBU EJDBSJEFOHBOQFSTBNBBO

_B W W

U U SBUBSBUB W U UU EFOHBO W K W W W J W W J × + r r EBO r r W r K W W

× 4FIJOHHB SBUBSBUB B − NT

+BEJ QFSDFQBUBO SBUBSBUB QBEB TFMBOH

XBLUVUTEBOUTBEBMBINT

1PTJTJ TFCVBI QFTBXBU UFSCBOH CFSVCBI

QFSTBNBBOSr U J _N5FOUVLBO

B QFSTBNBBO WFLUPS LFDFQBUBO QBEB TFUJBQXBLUV

C QFSTBNBBOWFLUPSQFSDFQBUBOTFUJBQ XBLUV

D CFTBS LFDFQBUBO QBEBU T EBO QBEBUT

E CFTBS QFSDFQBUBO SBUBSBUB QBEB TFMBOHXBLUVUTTBNQBJUT

%JLFUBIVJSr U J _N

%JUBOZBLBO

B W

C B

DWVOUVLUTEBOVOUVLUT

EBSBUBSBUBVOUVLTFMBOHXBLUVUT TBNQBJUT

+BXBC

B LFDFQBUBO TFUJBQ XBLUV NFSVQBLBO LFDFQBUBOTFTBBU

r r

W ES

r r EU E U EU U J U J NT +BEJLFDFQBUBOQFTBXBUTFUJBQXBLUV EJOZBUBLBOEFOHBOQFSTBNBBO

W U_JNT

C 1FSDFQBUBOTFUJBQXBLUVNFSVQBLBO QFSDFQBUBOTFTBBU r B BB EW EU E U EU U J r U J NT D 1FSTBNBBOLFDFQBUBOQBEBTBBUUT BEBMBITFCBHBJCFSJLVU

W U J

J

r

NJ T

×

4FIJOHHB CFTBS LFDFQBUBO QBEB

UTBEBMBINT

1FSTBNBBO LFDFQBUBO QBEB TBBU

UTBEBMBITFCBHBJCFSJLVU

Wrr J

J = N T

4FIJOHHB CFTBS LFDFQBUBO QBEB

Kinematika Partikel

13

E 1FSDFQBUBO SBUBSBUB QBEB TFMBOH

XBLUVUTTBNQBJUTEJDBSJ

EFOHBOQFSTBNBBOTFCBHBJCFSJLVU

B W

=

−

SBUB SBUB

−−W U −U

U U

U U

C .FODBSJ7FLUPS,FDFQBUBOEBSJ7FLUPS1FSDFQBUBO

+JLBEJLFUBIVJQFSTBNBBOQFSDFQBUBOTFCBHBJGVOHTJXBLUVLJUBCJTB NFODBSJ QFSTBNBBO LFDFQBUBOOZB %BSJ QFOKFMBTBO TFCFMVNOZB LJUB NFOEBQBULBOQFSTBNBBOWFLUPSQFSDFQBUBOTFCBHBJCFSJLVU

r

r r r B EW

EU EW B EU

+JLBLFEVBSVBTEJJOUFHSBMLBOLJUBNFOEBQBULBOQFSTBNBBO

r r

r r r

r r

EW B EU

W W B EUU

W

W U

U

U

∫ ∫

∫

%BSJQFSTBNBBOUFSTFCVUWFLUPSLFDFQBUBOQBEBTBBUUEBQBUEJDBSJ EFOHBOSVNVTCFSJLVU

_{r r r}

W W_U + BB EU

U U

∫

,FUFSBOHBO

SrUWFLUPSQPTJTJQBEBTBBUU

SrWFLUPSQPTJTJNVMBNVMB

6OUVLUEJEBQBULBOQFSTBNBBOLFDFQBUBOQBEBXBLUVUTFCBHBJ

CFSJLVU

_{W W}r_U r +_{B U}r

+JLBLBMJBOQFSIBUJLBOQFSTBNBBOUFSTFCVUTBNBEFOHBOQFSTBNBBO QBEB HFSBL MVSVT CFSVCBI CFSBUVSBO (-## ZBOH UFMBI LBMJBO QFMBKBSJ 6OUVLNFNBIBNJQFOFSBQBOQFSTBNBBOUFSTFCVUQFSIBUJLBODPOUPICFSJLVU

Untuk menyelesaikan soal yang berkaitan dengan vektor, ikutilah langkah berikut.

1. Tentukan satu titik sebagai pusat koordi nat. Titik ini dapat dianggap sebagai titik acuan.

2. Gambarkan vektor yang dimaksud pada bidang koordinat. 3. Uraikan vektor tersebut

pada sumbu x dan sumbu y.

&

5

ips

T r i k

= −

=

−

N T

+BEJ QFSDFQBUBO SBUBSBUB QBEB

TFMBOHUTTBNQBJUTBEBMBI

C o n t o h

4FCVBI QFTBXBU CFSHFSBL LF BSBI UFOH HBSB EFOHBO QFSDFQBUBO LPOTUBO NT

EBONFNCFOUVLTVEVUPEBSJBSBIUJNVS

+JLB LFDFQBUBO QFTBXBU NVMBNVMB NT UFOUVLBO

B QFSTBNBBO WFLUPS QFSDFQBUBO EFOHBO BSBIVUBSBTFCBHBJTVNCVZQPTJUJGEBO BSBIUJNVSTFCBHBJTVNCVYQPTJUJG C QFSTBNBBOWFLUPSLFDFQBUBOBXBM D QFSTBNBBO WFLUPS LFDFQBUBO QBEB TBBU

UEFUJL 1FOZFMFTBJBO %JLFUBIVJ

BNT

P

WNT

%JUBOZBLBO

B B

C W

D WUVOUVLUEFUJL

+BXBC

4FCFMVN NFOKBXBC QFSUBOZBBO BEB CB JLOZB KJLB LBMJBO NFOHHBNCBS TLFNB QFSKBMBOBO QFTBXBU UFSMFCJI EBIVMV EB MBN CJEBOH LBSUF TJVT (FSBL QFTBXBU EBQBU EJHBNCBSLBO TFCBHBJCFSJLVU

B 6OUVL NFODBSJ QFSTBNBBO QFSDFQBUBO UFSMFCJI EBIVMV LJUB NFODBSJBYEBOBZ

#FSEBTBSLBO HBNCBS EJ BUBT BYEBOBZ

EJDBSJEFOHBOQFSTBNBBO B B B B Y P Z P D B PT DPT NT T B JO TJO N α α × × TT "SBIBY

TFIJOHHBBSBIOZBQPTJUJG J"LBOUFUB

QJBSBIBZTFBSBIEFOHBOTVNCVZOFHB

UJG TFIJOHHB BSBIOZB OFHBUJG K

%FOHBO EFNJLJBO QFSTBNBBO WFLUPS

QFSDFQBUBOOZBBEBMBI

Brr JJ− KKNT

C ,FDFQBUBO EBO QFSDFQBUBO NFNQVOZBJ BSBIZBOHTBNBTFIJOHHBLJUBCJTBNFO DBSJWYEBOWZTFCBHBJCFSJLVU

DPT DPT NT TJO TJO Y P Z P WW

WW

α α × × NT

+BEJ QFSTBNBBO LFDFQBUBO BXBM BEBMBI

Wrr JJ− KKNT

Z

Y

BY

BY B

Kinematika Partikel

15

D 6OUVLNFODBSJLFDFQBUBOQBEBXBLUVU

LJUB EBQBU NFOHHVOBLBO QFSTBNBBO CF SJLVU

r r r

W WU W+

∫

B EU

J K J K EUEE

J K U K

+

K

∫

KK

J + U J−

U +U U K

6OUVLUEFUJL

W + × J− + K

W

r

r

KK

+BEJQFSTBNBBOLFDFQBUBOQBEBTBBUU

EFUJLBEBMBIWr KK NT

.FOBSJLCVLBO /BITFCBHBJBKBOHMBUJIBOLBMJBOLFSKBLBO6KJ

,PNQFUFOTJEJCBXBIJOJ

U j i K o m p e t e n s i

1. Diketahui persamaan percepatan adalah r r

a = dv dt, dan

r r

v = dr dt.

Dengan mengintegralkan kedua persamaan tersebut, buktikan-lah bahwa vektor posisi pada waktu t dapat dicari dengan per-samaan:

r r r

r = r + v t +1 2

a t

t 0 0

2

2. Kecepatan partikel yang bergerak pada bidang kartesius di-nyatakan dengan persamaan v = (5t i - (4 - 2t)j)r 2 m/s. Tentukan : a. besar kecepatan saat t = 3 s,

b. persamaan percepatan partikel pada saat t = 3 s, c. persamaan vektor posisi partikel pada saat t = 3 s.

3. Seseorang di stasiun melihat kereta api bergerak menuju sta-siun. Kereta api tersebut mengerem dengan perlambatan yang di nyatakan dengan persamaan a = -10tiir km/jam2. Jika kereta api berhenti setelah 10 menit dari mulai pengereman, tentukan jarak yang ditempuh kereta mulai dari pengereman sampai berhenti. Tentukan pula kecepatan kereta sebelum pengereman.

4. Vektor posisi sebuah taksi dinyatakan dengan persamaan

r = (t + 2t)i +(-t - 3)jr 2 , dengan r dalam km dan t dalam jam. Tentukan : a. kecepatan pada saat t = 1,5 jam,

b. percepatan pada saat t = 1,5 jam,

c. kecepatan rata-rata pada selang waktu t = 1 jam sampai t = 1,5 jam,

d. percepatan rata-rata pada selang waktu t = 1 jam sampai t = 1,5 jam.

"OBMJTJT(FSBL-VSVT#FSBUVSBO (-##FSEBTBSLBO(SBGJL

6OUVL (-# LFDFQBUBO CFOEB UFUBQ TFIJOHHB QFSDFQBUBOOZB TBNB EFOHBOOPM+JLBLFDFQBUBOOZBLPOTUBOCFSBSUJLPNQPOFOLFDFQBUBOQBEB TVNCVYNBVQVOTVNCVZBEBMBILPOTUBO+BEJQBEB(-#CFSMBLVQFS TBNBBOCFSJLVU

WLPOTUBO

TFIJOHHBWYLPOTUBOEBOWZLPOTUBO

%BMBNNFODBSJQFSTBNBBOHFSBLEFOHBOHSBGJLLJUBUJEBLUBIVBSBI HFSBLOZBTFIJOHHBLJUBIBOZBCJTBNFODBSJOJMBJCFTBSEBSJCFTBSBOQBEB QFSTBNBBOHFSBL+BEJVOUVLNFODBSJQFSTBNBBOHFSBLCFSEBTBSHSBGJL LJUBUJEBLNFNFSMVLBOUBOEBWFLUPS

%JLFMBT9LBMJBOUFMBINFMBLVLBOFLTQFSJNFO(-#EFOHBONFOH

HVOBLBOUJDLFS UJNFS %BSJ IBTJM FLTQFSJNFO UFSTFCVU LBMJBO EBQBU NF OHFUBIVJCFOUVLHSBGJLIVCVOHBOLFEVEVLBOUFSIBEBQXBLUVEBOHSBGJL IVCVOHBOLFDFQBUBOUFSIBEBQXBLUV)VCVOHBOBOUBSBLFEVEVLBOEBO XBLUVVOUVL(-#EBQBULBMJBOMJIBUQBEB(BNCBS

%BSJHSBGJLUFSTFCVULJUBEBQBUNFODBSJQFSTBNBBOLFDFQBUBOHFSBL ,FDFQBUBO EJUVOKVLBO PMFI LFNJSJOHBO HSBGJL BUBV HSBEJFO HBSJT %BSJ QFSTBNBBO HSBEJFO ZBOH UFMBI LBMJBO QFMBKBSJ LFNJSJOHBO HSBGJL QBEB (BNCBSEJUVMJTLBOTFCBHBJCFSJLVU

HSBEJFO

U

Δ ΔEU E E

U U

E E U U −

− −−

%FOHBOEFNJLJBOSVNVTVOUVLNFODBSJCFTBSLFDFQBUBOEBSJHSBGJL UFSTFCVUBEBMBITFCBHBJCFSJLVU

W E E

U U

U

− −

+JLBUNBLBCFTBSLFDFQBUBOEJUVMJTLBOTFCBHBJCFSJLVU

W E E

U U−

W T U

,FUFSBOHBO

WCFTBSLFDFQBUBO NT

EULFEVEVLBOBLIJS N

ELFEVEVLBOBXBM N

EUoETQFSQJOEBIBO N

UXBLUV T

%BSJ QFSTBNBBO LFDFQBUBO LJUB EBQBU NFODBSJ LFEVEVLBO QBEB XBLUVUEFOHBOQFSTBNBBO

_W E E

U E E W U

U E EE

U E EE

T

e r o p o n g

Kedudukan benda (d) digunakan untuk menjelaskan gerak benda pada garis bukan bidang. Jika kedudukan benda dinyatakan dalam bidang kartesius, kedudukan (d)

dinya takan dengan vektor posisi (r).

Kesimpulannya, kedudukan dan vektor posisi merupakan dua hal yang sama.

Kinematika Partikel

17

E EU +W U

4FNFOUBSBJUVKBSBLZBOHEJUFNQVITBNBEFOHBOQFSQJOEBIBO+BSBL BUBVQFSQJOEBIBOEBQBUEJDBSJEFOHBOQFSTBNBBOCFSJLVU

EUEWU

TWU

+JLBHSBGJLIVCVOHBOLFEVEVLBOEFOHBOXBLUVNFSVQBLBOHBSJTMV

SVTEFOHBOLFNJSJOHBOUFSUFOUVCBHBJNBOBLBICFOUVLHSBGJLIVCVOHBO BOUBSBLFDFQBUBOEBOXBLUV %BMBN(-#LFDFQBUBOQBEBTFUJBQXBLUV BEBMBILPOTUBO#FSEBTBSLBOIBTJMFLTQFSJNFOZBOHLBMJBOMBLVLBOEJLFMBT 9HSBGJLIVCVOHBOLFDFQBUBOEBOXBLUVEBQBUEJMJIBUQBEB(BNCBS %BSJHSBGJLUFSTFCVUKBSBLQFSQJOEBIBOEJUVOKVLLBOPMFIMVBTEBFSBI ZBOHEJBSTJS-VBTEBFSBIZBOHEJBSTJSEBQBUEJDBSJEFOHBOQFSTBNBBO

-VBTWU

4FIJOHHBKBSBLQFSQJOEBIBOEJOZBUBLBOEBMBNCFOUVL

TWU

6OUVLNFNCBOUVLBMJBOEBMBNNFOHHVOBLBOQFSTBNBBOQFSTBNBBO

QBEB(-#QFSIBUJLBODPOUPICFSJLVU

C o n t o h

4FCVBI NPCJM CFSHFSBL EFOHBO LFDFQBUBO LPOTUBO ,FEVEVLBO NPCJM QBEB TFUJBQ XBLUVEJQFSMJIBULBOQBEBHSBGJLLFEVEVLBO UFSIBEBQ XBLUV#FSEBTBSLBOHSBGJLUFOUV LBOLFDFQBUBONPCJMUFSTFCVU

Gambar 1.5 Grafik hubungan kecepatan (v) dengan waktu (t) pada GLB.

E

_UE

1FOZFMFTBJBO

#FSEBTBSLBO HSBGJL UFSTFCVU LFDFQBUBO NPCJMEJUVOKVLLBOPMFILFNJSJOHBOHSBGJL ,FDFQBUBO NPCJM EJDBSJ EFOHBO QFSTBNBBO CFSJLVU

WΔE_ΔU

− − LNKBN

+BEJ LFDFQBUBO NPCJM UFSTFCVU BEBMBI LNKBN

"OBMJTJT (FSBL -VSVT #FSVCBI #FSBUVSBO (-##

#FSEBTBSLBO(SBGJL

BLPOTUBO

TFIJOHHHBBYLPOTUBOEBOBZLPOTUBO

%JLFMBT9LBMJBOQFSOBINFMBLVLBOQFSDPCBBOVOUVLNFODBSJCFO

UVLHSBGJLIVCVOHBOBOUBSBLFDFQBUBOEFOHBOXBLUVEBOHSBGJLIVCVOH BOQFSDFQBUBOEFOHBOXBLUVQBEB(-##

1BEB(-##HSBGJLIVCVOHBOBOUBSBLFDFQBUBOEFOHBOXBLUVEJHBN

CBSLBO TFQFSUJ HBNCBS %BSJ HBNCBS UFSTFCVU UBNQBL CBIXB HSBGJL IVCVOHBOLFDFQBUBO WEFOHBOXBLUV UNFSVQBLBOHBSJTMVSVTEFOHBO LFNJSJOHBOUFSUFOUV,FNJSJOHBOHBSJTJOJNFOVOKVLLBOQFSDFQBUBO %FOHBOEFNJLJBOQFSDFQBUBOEBQBUEJDBSJEFOHBOQFSTBNBBOHSBEJFO HBSJT

HSBEJFO=B W U

B W W

U U

W W U U

=Δ

Δ

= −

− = − −

U

#FTBSQFSDFQBUBOEBSJHSBGJLUFSTFCVUBEBMBI

_BWUW

UU

+JLBUNBLBCFTBSQFSDFQBUBOEBQBUEJDBSJEFOHBOSVNVT

BWUW

U

%BSJQFSTBNBBOEJBUBTLJUBCJTBNFODBSJCFTBSLFDFQBUBOQBEBXBLUV UTFCBHBJCFSJLVU

_WUWBU

#BHBJNBOBLBIDBSBNFODBSJKBSBLEBOQFSQJOEBIBOZBOHEJUFNQVI

QBEB XBLUVU EBSJ HSBGJL QBEB (BNCBS 1BEB HSBGJL UFSTFCVU QFS QJOEBIBO EBO KBSBL EJUVOKVLLBO PMFI MVBT EBFSBI ZBOH EJBSTJS %FOHBO EFNJLJBOKBSBLEBOQFSQJOEBIBOEBQBUEJDBSJEFOHBOSVNVTCFSJLVU

T W U + B U

%BSJNBOBLBISVNVTQFSQJOEBIBOEBOKBSBLUFSTFCVUEJEBQBULBO

,FNVEJBOCBHBJNBOBLBILJUBNFODBSJLFEVEVLBOCFOEBEBMBNXBLUVU 6OUVLNFOHFUBIVJOZBLFSKBLBO&LTQFEJTJCFSJLVUJOJ

Kinematika Partikel

19

kspedisi

E

Perhatikan grafik pada gambar 1.6, kemu-dian jawablah pertanyaan berikut.

1. Bagaimanakah rumus luas segi empat OACD?

2. Bagaimanakah rumus luas segi tiga

ABC?

3. Bagaimanakah rumus luas OABD?

4. Luas OABD menunjukkan

perpindah-an atau jarak yperpindah-ang ditempuh benda pada waktu t. Jika panjang OA = t, AB = v₀, dan BC = v_t – v₀ (ingat v_t – v₀ = at), bagaimanakah rumus per-pindahan atau jarak yang ditempuh pada waktu t?

5. Dari rumus perpindahan yang telah

kalian dapatkan, bagaimanakah

cara mencari kedudukan benda pada waktu t (dt)?

6. Gambarkan grafik hubungan antara

percepatan (a) dengan waktu (t).

7. Dari gambar grafik pada soal nomor 6, bagaimanakah cara mencari kecepat-an, perpindahkecepat-an, dan kedudukan benda pada waktu t?

8. Dari persamaan-persamaan GLBB yang kalian dapatkan, adakah kesa-maan antara persakesa-maan gerak terse-but dengan persamaan yang didapat-kan dengan menggunadidapat-kan analisis vektor?

Tulislah jawaban kalian dan presentasikan di depan kelas.

%BSJ IBTJM&LTQFEJTJ EJ BUBT LBMJBO UFMBI NFOFNVLBO QFSTBNBBO VOUVLNFODBSJLFEVEVLBOQBEBXBLUVUTFCBHBJCFSJLVU

E EU W U B U

+ +

6OUVL NFOHFUBIVJ QFOHHVOBBO QFSTBNBBO (-## UFSTFCVU VOUVL NFOZFMFTBJLBOQFSNBTBMBIBOHFSBLCFOEBQFSIBUJLBODPOUPICFSJLVU

C o n t o h

4FPSBOH TJTXB NFOHFOEBSBJ TFQFEB NPUPSEFOHBOLFDFQBUBOBXBMLNKBN EFUJLLFNVEJBOLFDFQBUBOOZBNFOKBEJ LNKBN+JLBQFSDFQBUBOTFQFEBNPUPS LPOTUBOTFMBNBEFUJLUFOUVLBO B CFTBSQFSDFQBUBOTFQFEBNPUPS C LFDFQBUBOBLIJS LFDFQBUBOQBEBTBBU

UEFUJL

D KBSBL ZBOH EJUFNQVI TFMBNB EFUJL

1FOZFMFTBJBO %JLFUBIVJ

WLNKBN

_NNT

T

U T

WULNKBN

NT %JUBOZB

B B

C WUVOUVLUT

D TUVOUVLUT

+BXBC

B CFTBS QFSDFQBUBO B EJDBSJ EFOHBO QFSTBNBBOCFSJLVU

BWUW U 6OUVLUTNBLB B NT

+BEJ QFSDFQBUBO TFQFEB NPUPS

UFSTFCVUBEBMBINT

C ,FDFQBUBO QBEB TBBUU WU EBQBU

EJDBSJEFOHBOQFSTBNBBO

WUWBU

6OUVLUTNBLBLFDFQBUBOOZB

BEBMBI

WU

NT

+BEJ LFDFQBUBO TFQFEB NPUPS

TFUFMBIEFUJLBEBMBINT D +BSBL ZBOH EJUFNQVI TFMBNB

EFUJLBEBMBI

_{TU W U B U}

N

=W U +

= ⋅ + ⋅ = + = +

+BEJ KBSBL ZBOH EJUFNQVI TFMBNB

EFUJLBEBMBIN

1BL .BLSVT NFMBLVLBO QFSKBMBOBO EBSJ TBUV LPUB LF LPUB MBJO NFOH HVOBLBO NPCJM ,FDFQBUBO NPCJM ZBOH EJLFOEBSBJ 1BL .BLSVT EJ HBNCBSLBOQBEBHSBGJLEJCBXBIJOJ

W LNKBN

U KBN " # $ % #FSEBTBSLBOHSBGJLUFSTFCVU B HFSBLBQBLBIZBOHEJMBLVLBOQBEBQFS KBMBOBOEBSJ"LF#EBSJ#LF$EBO EBSJ$LF% C #FSBQBLBIQFSDFQBUBONPCJMEBSJ"LF #EBSJ#LF$EBOEBSJ$LF% D #FSBQBLBIKBSBL"LF#KBSBL#LF$ KBSBL$LF%EBOKBSBLUPUBMZBOHEJ UFNQVI E )JUVOHMBILFMBKVBOSBUBSBUBQFSKBMBO BOEBSJ"LF% 1FOZFMFTBJBO %JLFUBIVJ1FSIBUJLBOHSBGJL %JUBOZBLBO B +FOJTHFSBL"##$EBO$% C B"#B#$B$%

D T"#T#$T$%

E WSBUBSBUB

+BXBC

B ,BMBV LJUB QFSIBUJLBO LFDFQBUBO HFSBL"LF#CFSUBNCBITFDBSBUFSBUVS TFUJBQXBLUV%FOHBOEFNJLJBOHFSBL EBSJ"LF#NFSVQBLBO(-## 1BEBHFSBLEBSJ#LF$LFDFQBU BOOZBLPOTUBOTFUJBQXBLUVTFIJOHHB HFSBLUFSTFCVUNFSVQBLBO(-#

,FDFQBBO HFSBL EBSJ LF $ LF %

CFSLVSBOHTFDBSBUFSBUVSTFUJBQXBLUV %FOHBOEFNJLJBOHFSBLEBSJ$LF% NFSVQBLBO(-##

C 6OUVL NFODBSJ QFSDFQBUBO LJUB CJTB NFOHHVOBLBOQFSTBNBBOCFSJLVU

BWUW

Kinematika Partikel

21

1FSDFQBUBOEBSJ#LF$BEBMBIB#$ _B #$ LNKBN 1FSDFQBUBOEBSJ$LF%BEBMBIB$% _B $% LNKBN #FSBSUJHFSBLEBSJ$LF%NFOHBMBNJ QFSMBNCBUBOLNKBN D 6OUVLNFODBSJKBSBLUFNQVILJUBCJTB NFOHHVOBLBO QFSTBNBBO EJ CBXBI JOJ

T W U B U

+

(FSBLEBSJ"LF#NFNQVOZBJW

EBOBLNKBN4FIJOHHBKBSBL"

LF# T_"#BEBMBI

_T "# LN BU ×× %FOHBONFNQFSIBUJLBODPOUPIUFSTFCVUTFEJLJUCBOZBLLBMJBOUFMBI NFOHVBTBJ DBSB NFODBSJ QFSTBNBBO HFSBL CBJL (-# NBVQVO (-## CFSEBTBSLBOHSBGJL6OUVLNFOBNCBILFUFSBNQJMBOLBMJBOLFSKBLBO6KJ ,PNQFUFOTJEJCBXBIJOJ

U j i K o m p e t e n s i

1. Gerak sebuah mobil digambarkan pada

grafik hubungan kecepatan terhadap waktu seperti berikut. Berdasarkan grafik tersebut, manakah yang menunjukkan :

a. gerak beraturan,

b. gerak berubah beraturan dengan

percepatan konstan,

c. gerak berubah beraturan dengan

perlambatan konstan,

d. benda berhenti.

W NT

" # $ % UT (FSBLEBSJ#LF$NFNQVOZBJW

EBOBLNKBN4FIJOHHBKBSBL"LF # T"#BEBMBI

_{T" # W U BU}

LN

=W U +

= ⋅ = + (FSBLEBSJ$LF%NFNQVOZBJW

EBOB−LNKBN_{TFIJOHHBKBSBL$}

LF% T$%BEBMBI

_$% LN

T$ % W U + BU

× × E ,FMBKVBOSBUBSBUBEBQBUEJDBSJEFOHBO SVNVTCFSJLVU

WSBUBB B SBUB

" # # $ $ %

" # # $ $ %

KBSBL XBLUV # # # # = = + # $+ + _{# $}+ = + +

T" #+T T U" #+U## U$

+

= LN KBN

+BEJ LFMBKVBO SBUBSBUB EBSJ " LF %

2. Berdasarkan grafik pada soal no. 1, tentukan:

a. kecepatan dan jarak tempuh mobil untuk gerak dari A ke B, b. percepatan dan jarak yang ditempuh mobil untuk gerak dari B ke C, c. percepatan dan jarak yang ditempuh mobil untuk gerak dari C ke D, d. jarak total yang ditempuh mobil,

e. kecepatan rata-rata mobil dari A ke D.

3. Abidin melakukan perjalanan dari Yogyakarta menuju Semarang

menggunakan sepeda motor. Ia berangkat dari Yogyakarta pukul 07.00 WIB. Mula-mula, ia melaju dengan kecepatan tetap 40 km/jam dan sampai di Magelang pukul 08.30 WIB. Dari Magelang sampai Ambarawa, Abidin menambah kecepatannya menjadi 72 km/jam, dan sampai di Ambarawa pukul 09.15 WIB. Di Ambarawa, ia beristi-rahat selama 1 jam. Kemudian melanjutkan perjalanan ke Semarang dengan kelajuan tetap 60 km/jam selama 2 jam.

a. Gambarkan perjalanan Abidin dalam grafik kecepatan

dap waktu.

b. Berdasarkan data perjalanan Abidin, tentukan jarak rata-rata

Yogyakarta Magelang, Magelang Ambarawa, Ambarawa

Semarang, dan Yogyakarta - Semarang.

c. Berdasarkan jarak yang telah kalian hitung, gambarkan

jalanan Abidin pada grafik kedudukan terhadap waktu.

%BMBN LFIJEVQBO TFIBSJIBSJ LJUB UJEBL IBOZB EJ IBEBQLBO QBEB HFSBLMVSVT"EBLBMBOZBLJUBNFOKVNQBJCFOEBZBOHCFSHFSBLEFOHBOMJO UBTBOCFSVQBMFOHLVOHBO(FSBLTFNBDBNJOJEJTFCVUHFSBLQBSBCPMBBUBV BEBZBOHNFOZFCVUHFSBLQFMVSV#BHBJNBOBLBILPOTFQ(-#EBO(-## NFOEBTBSJHFSBLQBSBCPMBJOJ 1FSIBUJLBOEFOHBOTFLTBNBQFOKFMBTBOEJ CBXBIJOJ

B Gerak

Parabola

(FSBLQBSBCPMBEBQBULJUBKVNQBJQBEBHFSBLQFMVSVZBOHEJUFNCBL LBOLFVEBSB,FUJLBQFMVSVEJUFNCBLLBOLFVEBSBEFOHBONFNCFOUVL TVEVUUFSUFOUVZBOHEJTFCVUTVEVUFMFWBTJMJOUBTBOZBOHEJUFNQVIQFMVSV CFSVQBHBSJTMFOHLVOHBUBVQBSBCPMB*UVMBITFCBCOZBHFSBLQBSBCPMBEJ TFCVUKVHBHFSBLQFMVSV

4FCFMVNNFMBOHLBIMFCJIKBVIDPCBLBMJBOEJTLVTJLBOQFSNBTBMBIBO QBEB&VSFLBCFSJLVU

E

u r e k a

Diskusikan dengan teman disamping kalian kasus berikut.

Kinematika Partikel

23

Mengenal Gerak Parabola

E

k s p e r i m e n

Sudut (α) Jarak (Xmax) Waktu (txmax) Tinggi (hmax)

300 . . . . . . . . .

450

600

900

A. Dasar Teori

Gerak parabola atau disebut juga sebagai gerak peluru merupakan gerak benda dengan lintasan berbentuk garis lengkung. Gerak parabola dapat diuraikan pada arah horizontal dan vertikal. Kecepatan gerak pada arah horizontal selalu tetap setiap saat.

B. Tujuan Percobaan

Setelah melakukan percobaan ini, kalian diharapakan mampu: 1. mengenali karakteristik gerak parabola.

2. membuktikan bahwa gerak pada arah horizontal tidak memengaruhi gerak vertikal.

3. mengetahui pengaruh sudut elevasi terhadap ketinggian maksimum dan jarak

mum yang dicapai benda.

C. Alat dan Bahan

1. pistol mainan dan pelurunya,

2. mistar

3. stop watch

4. busur derajat besar

D. Cara Kerja

1. Lakukan percobaan ini secara berkelom

pok. Kekompakan dan kerja sama yang baik

merupakan faktor penting untuk menghasilkan

hasil yang baik.

2. Letakkan pistol menempel di dinding.

kan pistol mainan sehingga membentuk sudut

30o (selanjutnya disebut sudut elevasi) perhatikan gambar. Gunakan busur derajat untuk

mengukur sudut. (Perhatikan gambar)

3. Tariklah pelatuk pistol agar peluru melesat. Pada saat bersamaan, siswa lain meng

hidupkan stopwatch dan mematikannya saat peluru jatuh di lantai. Siswa lainnya lagi memperhatikan ketinggian maksimum yang dicapai peluru, dan memberi tanda di dinding.

4. Ukurlah jarak mendatar dan ketinggian maksimum yang dicapai peluru.

5. Ulangi langkah 2 sampai 4 sebanyak 3 kali.

6. Ulangi langkah 2 sampai 5 dengan mengubah sudut elevasi menjadi 45o, 60o, dan 90o, atau besar sudut lainnya.

7. Masukkan hasil pengamatan pada tabel berikut.

YNBY

INBY

1BEBHFSBLQBSBCPMBHFSBLQBEBBSBIWFSUJLBMTVNCVZEJQFOHBSVIJ QFSDFQBUBOLPOTUBONBLBQBEBBSBITVNCVZUFSKBEJ(-##4FNFOUBSB JUV(-#UFSKBEJQBEBBSBITVNCVYLBSFOBQBEBBSBIJOJUJEBLBEBQFS DFQBUBO 6OUVL NFNCVLUJLBO LFCFOBSBO QFSOZBUBBO UFSTFCVU MBLVLBO &LTQFSJNFOCFSJLVU

#FSEBTBSLBOIBTJMFLTQFSJNFOLBMJBOUFMBINFOHFOBMCFCFSBQBLBSBL UFSJTUJLHFSBLQBSBCPMB%BSJIBTJMFLTQFSJNFOCFTBSTVEVUFMFWBTJCFSQFO HBSVIUFSIBEBQMBNBQFMVSVEJVEBSB XBLUVKBSBLZBOHEJUFNQVIEBO LFUJOHHJBONBLTJNVNZBOHEJDBQBJ#BHBJNBOBLBIQFOHBSVIJOJKJLBEJ OZBUBLBOEBMBNCFOUVLQFSTBNBBO $PCBLBMJBOQFSIBUJLBO(BNCBS

Gambar 1.7 Skema lintasan gerak parabola

1FSTBNBBOEJ5JUJL"

5JUJL"NFSVQBLBOUJUJLBXBMCFOEB,FDFQBUBOQBEBUJUJLJOJNFSV QBLBO LFDFQBUBO BXBM W 6OUVL NFODBSJ LPNQPOFO LFDFQBUBO BXBM QBEBTVNCVY WYEBOLPNQPOFOLFDFQBUBOBXBMQBEBTVNCVZ WZLJUB EBQBUNFOHHVOBLBOQFSTBNBBO

W_YWDPTα

WZWTJOα

,FUFSBOHBO

WY LFDFQBUBONVMBNVMBQBEBTVNCVY

W_Z LFDFQBUBONVMBNVMBQBEBTVNCVZ

W LFDFQBUBONVMBNVMB NT

α

TVEVUFMFWBTJ

E. Pembahasan

1. Hitunglah jarak rata-rata, waktu rata-rata, dan tinggi maksimum rata-rata dari hasil perco-baan untuk setiap sudut.

2. Jika kecepatan awal saat peluru keluar dari mulut pistol dianggap sama, bagaimanakah wak-tu yang diperlukan peluru unwak-tuk sampai di lantai pada semua sudut? Menunjukkan apakah kenyataan ini?

3. Adakah pengaruh sudut elevasi terhadap jarak tempuh dan ketinggian maksimum? Sudut

manakah yang memberikan jarak tempuh terjauh? Sudut manapula yang menyebabkan peluru melesat paling tinggi?

4. Berikan contoh gerak parabola yang dapat kalian jumpai pada peristiwa sehari-hari.

5. Bagaimanakah kesimpulan kalian setelah melakukan eksperimen ini?

Kinematika Partikel

25

1FSTBNBBOEJ5JUJL#

,FUJLBCFOEBCFSHFSBLOBJLEBSJUJUJL"LFUJUJL#LPNQPOFOHFSBL QBEBBSBIWFSUJLBM TVNCVZNFOHBMBNJQFSMBNCBUBOTFCFTBSH QFSDFQBU BOHSBWJUBTJ*OJNFOVOKVLLBOCBIXBHFSBLQBEBBSBIIPSJTPOUBMNFSV QBLBOHFSBLMVSVTCFSVCBICFSBUVSBO (-##4FNFOUBSBLFDFQBUBOHFSBL QBEBBSBIIPSJTPOUBM TVNCVYUJEBLNFOHBMBNJQFSDFQBUBO%FOHBOLBUB MBJOLFDFQBUBOQBEBBSBIIPSJTPOUBMUJEBLCFSVCBIBUBVUFUBQTFUJBQTBBU *OJ NFOVOKVLLBO CBIXB HFSBL QBEB BSBI NFOEBUBS NFSVQBLBO HFSBL MVSVTCFSBUVSBO

*OJ CFSBSUJ LPNQPOFO LFDFQBUBO QBEB TVNCV Y WY QBEB TFUJBQ LFEVEVLBO CBJLEJ"#$%BUBV&TBNBEFOHBOLPNQPOFOLFDFQBU BOBXBMOZB WY

_WYWYWDPTα

6OUVLNFODBSJKBSBLNFOEBUBSZBOHUFMBIEJUFNQVI YEBMBNXBLUV

ULJUBNFOHHVOBLBOQFSTBNBBO

_Y

UWYU YU WUDPTα

4FNFOUBSBJUVLFDFQBUBOHFSBLCFOEBQBEBBSBIWFSUJLBM TVNCVZ

QBEBXBLUVU WZEBQBUEJDBSJEFOHBOQFSTBNBBOVNVN

_W

ZWZ−HU

WZ WTJOα−HU

,BSFOBLPNQPOFOHFSBLWFSUJLBMNFSVQBLBO(-##NBLBNFOVSVU

QFSTBNBBOLFEVEVLBOQBEB(-##LFUJOHHJBOCFOEBQBEBTBBUUEBQBU EJIJUVOHNFOHHVOBLBOQFSTBNBBO

ZUWUTJOα 1 HU

2

,FUFSBOHBO

ZLFUJOHHJBOCFOEB N

WLFDFQBUBOBXBMCFOEB NT

UXBLUV T

HQFSDFQBUBOHSBWJUBTJ NT

,FEVEVLBOEJ5JUJL$ 5JUJLUFSUJOHHJ

5JUJL$NFSVQBLBOUJUJLUFSUJOHHJZBOHEJDBQBJCFOEB1BEBUJUJLJOJ LFDFQBUBOQBEBTVNCVZBEBMBIOPM WZ4FIJOHHBEBSJQFSTBNBBO

W_ZWTJOα−HU

LJUBNFNQFSPMFIQFSTBNBBOXBLUVVOUVLNFODBQBJUJUJLUFSUJOHHJ UINBY TFCBHBJCFSJLVU

T

e r o p o n g

Untuk mencari ketinggian benda (y) yang bergerak naik, kita ingat persa-maan r = v dt∫ . Dengan mengganti r menjadi y, kita mendapatkan persa-maan,

Persamaan ini pada dasarnya sama dengan persamaan kedudukan pada GLBB

y = v dt

y = (v sin gt) dt

y = v t sin -1 2

gt

y 0 t

0 0 t

0

2

∫

∫

U W H INBY TJO = α ,FUFSBOHBO

UINBYXBLUVVOUVLNFODBQBJUJUJLUFSUJOHHJ T

W LFDFQBUBOBXBM NT

H QFSDFQBUBOHSBWJUBTJ NT

6OUVL NFODBSJ UJUJL UFSUJOHHJ ZBOH EBQBU EJDBQBJ CFOEB LJUB UJOH HBM NFOTVCTUJUVTJLBO U JOJ LF EBMBN QFSTBNBBO Z W U= −HU

TJOα

4FIJOHHBUJUJLUFSUJOHHJZBOHEBQBUEJDBQBJCFOEB INBLTEJDBSJEFOHBO QFSTBNBBO

Z I W W

H H

W H

NBLT= NBY = TJO TJO TJO

⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ α α α ⎠⎠ ⎟ =⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ − ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ I W H W H NBLT

TJO α TJO α

=

INBLT W

TJO α HH

,FUFSBOHBO

INBLTUJUJLUFSUJOHHJZBOHEJDBQBJCFOEB N

5JUJLUFSUJOHHJJOJEJDBQBJQBEBKBSBLNFOEBUBS Y_INBY6OUVLNFODBSJ Y_INBYLJUBCJTBNFOHHVOBLBOQFSTBNBBOCFSJLVU

Y W W

H

Y W

H INBY INBY TJO TJO DPT α _α α ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟DPT αα _α

Y W

H INBY TJO #FSEBTBSLBOQFSTBNBBOQFSTBNBBOEJBUBTLPPSEJOBUUJUJL$BEBMBI $ W H W H

TJO α TJO α ⎛

⎝

⎜ ⎞

⎠

⎟ ,PPSEJOBU JOJ BEBMBILPPSEJOBU UJUJL UFS

UJOHHJBUBVLPPSEJOBUUJOHHJNBLTJNVN

T

e r o p o n g

sin cos =1 2

sin 2 αcosα α Pada pelajaran matema-tika, kalian mengenal bentuk operasi berikut.

Dari sifat tersebut kita mendapatkan,

Kinematika Partikel

27

1FSTBNBBOEJ5JUJL%

1FSTBNBBOEJUJUJL%TBNBEFOHBOQFSTBNBBOEJUJUJL#+BEJLFUJLB

CFOEBCFSHFSBLUVSVOCFSMBLVQFSTBNBBOQFSTBNBBOCFSJLVU

W W W

Y W U

W W HU

Z W U HU

Y Y Z = = = = − = − DPT DPT TJO TJO α α α α

1FSTBNBBOEJ5JUJL&

5JUJL&NFSVQBLBOUJUJLUFSKBVIZBOHEJDBQBJCPMBQBEBBSBINFOEBUBS IPSJTPOUBM1BEBUJUJL&LFUJOHHJBOCPMBBEBMBIOPM ZTFIJOHHB _{W U}

TJOα −− =

− = HU

W TJOα HU

+BEJ XBLUV ZBOH EJQFSMVLBO VOUVL NFODBQBJ KBSBL UFSKBVI U_YNBY BEBMBI = U W H TJO NBY α Y ,FUFSBOHBO

UYNBYXBLUVVOUVLNFODBQBJKBSBLUFSKBVIBUBVYNBY

6OUVLNFODBSJKBSBLUFSKBVIZBOHEJDBQBJCFOEBTVCTUJUVTJLBOQFSTB NBBOEJBUBTLFEBMBNQFSTBNBBOY

YWUDPTα

TFIJOHHB

Y W W

H Y W H NBY NBY TJO _DPT TJO DPT = ⎛ ⎝ ⎜ ⎞ ⎠ ⎟ = α _α α α

YNBY =W TJO

_α

HH

,FUFSBOHBO

YNBYKBSBLUFSKBVIZBOHEJDBQBJCFOEB

Persamaan umum pada gerak parabola dapat digu-nakan untuk menyelesaikan semua persoalan yang berkaitan dengan gerak parabola. Hanya saja, kita perlu mengetahui keadaan khusus, seperti:

1. Kecepatan vertikal pada titik tertinggi adalah nol (vy = 0).

2. Ketinggian benda pada jarak mendatar terjauh adalah nol (y = 0). 3. Kecepatan pada arah

sumbu x di setiap kedudukan adalah

tetap atau sama besar.

&

5

ips

1FSTBNBBO6NVNEJ4FUJBQ5JUJL

4FDBSB VNVN VOUVL TFUJBQ LFEVEVLBO CFSMBLV QFSTBNBBOQFSTB NBBOCFSJLVU

_{Y W U}

Z W U HU

W W W

W W HU

U

U

YU Y ZU

=

= −

= =

= −

DPT

TJO DPT TJO

α α

α α

,FUFSBOHBO

YUKBSBLNFOEBUBSQBEBXBLUVU N

ZULFUJOHHJBOCFOEBQBEBXBLUVU N

W_YULPNQPOFOLFDFQBUBOQBEBTVNCVYQBEBXBLUVU NT

W_ZULPNQPOFOLFDFQBUBOQBEBTVNCVZQBEBXBLUVU NT

6OUVLNFOBNCBIQFNBIBNBOLBMJBOLFSKBLBO&LTQFEJTJCFSJLVU

%BMBNLFIJEVQBOTFIBSJIBSJCBOZBLTFLBMJEJKVNQBJHFSBLQBSBCPMB 6OUVLNFOHFUBIVJQFOFSBQBOQFSTBNBBOHFSBLQBSBCPMBEBMBNLFIJEVQ BOTFIBSJIBSJQFSIBUJLBODPOUPICFSJLVU

kspedisi

E

Dari persamaan-persamaan yang telah dipela-jari, buktikan bahwa:

1. Waktu untuk mencapai jarak terjauh (txmax)

adalah dua kali waktu untuk mencapai titik tertinggi (thmax).

2. Jarak terjauh yang dicapai (x_max) sama dengan dua kali jarak mendatar saat benda mencapai titik tertinggi (x_hmax).

3. Jarak terjauh dicapai ketika sudut elevasi benda 45o_.

4. Dua benda yang ditembakkan dengan

ke-cepatan awal sama dan membentuk sudut elevasi

α

dan (90 −

α

) akan jatuh di titik yang sama.

Tuliskan jawaban kalian pada buku tugas, kemu-dian diskusikan hasilnya dengan teman lainnya.

C o n t o h

#VGGPO NFMBLVLBO UFOEBOHBO HBXBOH TF IJOHHB CPMB NFMFTBU EFOHBO LFDFQBUBO

LNKBNEBONFNCFOUVLTVEVUPUFSIBEBQ

UBOBI+JLBQFSDFQBUBOHSBWJUBTJEJUFNQBUJUV

BEBMBINTUFOUVLBO

B LFDFQBUBOCPMBQBEBTBBUUEFUJL

C LFUJOHHJBO NBLTJNVN ZBOH EJDBQBJ

CPMB

D XBLUV VOUVL NFODBQBJ UJOHHJ NBLTJ

NVN

E KBSBLNBLTJNVNZBOHEJDBQBJCPMB F XBLUVZBOHEJQFSMVLBOCPMBVOUVLTBN

Kinematika Partikel

29

1FOZFMFTBJBO

%JLFUBIVJ

WLNKBN

NT

α

P

HNT

%JUBOZBLBO

B WUVOUVLUT

C INBY D U_INBY E Y_NBY F UYNBY

+BXBC

B 6OUVLNFODBSJW_UQBEBTBBUUTLJUB

QFSMV NFODBSJ W_YU EBO W_ZU UFSMFCJI

EBIVMV6OUVLJUVHVOBLBOQFSTBNBBO

W W

W W HU

YU P ZU P N T = = = − W = − = DPT DPT TJO TJO α α

=− T

,FDFQBUBO CPMB QBEB TBBU T EJDBSJ

EFOHBOCFTBSWFLUPS = + = = + = T

U YU + ZU W_U = W

+BEJ LFDFQBUBO CPMB TFUFMBI EFUJL

BEBMBINT

C 6OUVL NFODBSJ INBY HVOBLBO QFS

TBNBBO

_{IN YYBBBB} TJO

J

=

= (TJO )

= ⋅⎛ ⎝⎜ ⎛⎛ ⎝⎝ ⎞⎠⎟⎞⎞⎠⎠ = W H ⋅ α P N

D 6OUVL NFODBSJU_INBY HVOBLBO QFS

TBNBBO U W H I U P T NBYBB TJO TJO = = = α

E 6OUVL NFODBSJ YNBY HVOBLBO QFS

TBNBBO

_Y W

H P NBYBB TJO

TJO = = α = = = = TJO P N N

F 6OUVL NFODBSJUYNBY HVOBLBO QFS

TBNBBO = = = TJO NBYBB Y P T U W H α

+BEJ CPMB BLBO TBNQBJ EJ UBOBI MBHJ

6OUVL NFOHBTBI LPNQFUFOTJ LBMJBO LFSKBLBO TPBMTPBM QBEB6KJ ,PNQFUFOTJCFSJLVU

C Gerak

Melingkar

4FCFMVNLJUBNFMBOHLBIMFCJIKBVIBEBCBJLOZBLBMJBONFOHJOHBU

LFNCBMJLPOTFQHFSBLNFMJOHLBSZBOHQFSOBIEJQFMBKBSJEJLFMBT9/BI VOUVLNFNCBOUVLBMJBONFOHJOHBUNBUFSJHFSBLNFMJOHLBSKBXBCMBIQFS UBOZBBOQFSUBOZBBOQBEB&VSFLBEJCBXBIJOJ

E

u r e k a

Dengan mencari dari berbagai buku fisika, diskusikan jawaban per-tanyaan-pertanyaan berikut bersama teman sebangkumu.

1. Apakah pengertian periode, frekuensi, kecepatan linear, kecepatan sudut, percepatan sentripetal, dan percepatan sudut? Tuliskan pula rumus setiap besaran tersebut?

2. Persamaan gerak melingkar berubah beraturan dapat dianalogikan

dengan persamaan gerak lurus berubah beraturan. Lengkapilah tabel analogi persamaan gerak melingkar berubah beraturan dan gerak lurus berubah beraturan berikut.

U j i K o m p e t e n s i

1. Totti melakukan tendangan bebas sehingga bola melambung dengan membentuk sudut 30o terhadap tanah. Bola tersebut men-capai jarak terjauh 25 m. Jika percepatan gravitasi di tempat itu 10 m/s2, Tentukan:

a. kecepatan awal akibat tendangan yang dilakukan.

b. lama bola di udara,

c. koordinat tinggi maksimum bola,

d. kecepatan bola ketika sampai di tanah.

2. Sebuah pesawat pada ketinggian 80 m

menjatuhkan satu karton mie instan un-tuk membantu korban banjir. Pada saat itu kecepatan pesawat 30 km/jam. Jika gesekan udara dan angin diabaikan, tentukan:

a. jarak jatuhnya karton jika dihitung dari titik tepat di

bawah pesawat,

Kinematika Partikel

31

%FOHBO NFMBLVLBO EJTLVTJ CFSTBNB LFMPNQPL LBMJBO QBEB&VSFLB

UFSTFCVUTFEJLJUCBOZBLLBMJBOUFMBINFOHFUBIVJLPOTFQHFSBLNFMJOHLBS 1BEBTVCCBCJOJLJUBBLBONFNCBIBTQFSTBNBBOHFSBLNFMJOHLBSNFOH HVOBLBOBOBMJTJTWFLUPS1FSTBNBBOHFSBLNFMJOHLBSZBOHBLBOLJUBCBIBT BEBMBI QFSTBNBBO HFSBL NFMJOHLBS TFDBSB VNVN /BI EBSJ QFSTBNBBO ZBOHLJUBEBQBULBOOBOUJEJIBSBQLBOLBMJBOEBQBUNFOFSBQLBOOZBQBEB QFMCBHBJLFBEBBO

%BMBN NFNCBIBT HFSBL NFMJOHLBS BEB CFCFSBQB CFTBSBO QFOUJOH ZBJUVQPTJTJTVEVUQFSQJOEBIBOTVEVULFDFQBUBOTVEVUEBOQFSDFQBUBO TVEVU #BHBJNBOBLBI LJUB NFODBSJ QFSTBNBBO CFTBSBOCFTBSBO UFSTFCVU EBMBN HFSBL NFMJOHLBS EFOHBO BOBMJTJT WFLUPS .BSJ LJUB JLVUJ EFOHBO TBLTBNBQFOKFMBTBOCFSJLVU

1PTJTJ4VEVUEBO1FSQJOEBIBO4VEVU

1BEBNBUFSJHFSBLMVSVTEJLFMBT9LBMJBOUFMBINFNQFMBKBSJQFOHFS UJBOQFSQJOEBIBO1FSQJOEBIBOEJBSUJLBOTFCBHBJQFSVCBIBOLFEVEVLBO KJLBEJUJOKBVEBSJBDVBOUFSUFOUV#FSEBTBSLBOQFOHFSUJBOJOJQFSQJOEBI BOTVEVUNFOZBUBLBOQFSVCBIBOQPTJTJTVEVUZBOHEJUFNQVICFOEBZBOH CFSHFSBLNFMJOHLBS"HBSLBMJBOMFCJINVEBINFNBIBNJQFOHFSUJBOQPTJTJ TVEVUEBOQFSQJOEBIBOTVEVUQFSIBUJLBO(BNCBS

%BSJHBNCBSUFSTFCVUCFOEBCFSHFSBLNFMJOHLBSEFOHBOKFKBSJMJOH LBSBO3#FOEBTFNVMBCFSBEBEJUJUJL"TFUFMBICFSHFSBLEBMBNTFMBOH XBLUV UFSUFOUV CFOEB TBNQBJ EJ UJUJL # *OJ CFSBSUJ CFOEB NFOHBMBNJ QFSQJOEBIBOZBOHEJOZBUBLBOEFOHBOCVTVS"# T4FNFOUBSBQFSQJOEBI BOTVEVUEJOZBUBLBOEFOHBOCFTBSTVEVUθ)VCVOHBOQFSQJOEBIBO T EFOHBOQPTJTJTVEVU θEJOZBUBLBOEFOHBOQFSTBNBBO

Gambar 1.8 Perpindahan sudut pada benda yang bergerak melingkar dinya-takan sebagai perubahan posisi sudut (θ).

Tuliskan jawaban kelompok kalian, kemudian presentasikan di depan kelompok lainnya dengan bimbingan guru kalian.

Besaran Gerak lurus Besaran Gerak

melingkar Keterangan

Percepatan . . . . . .

. . .

s = s0 V0t +

1 _dt2

2

Perpindahan sudut

. . . Kecepatan

pada saat t detik

vt = . . .

. . .

wt = w0 + at

wt = . . . α= ω ω

-t - -t

t 0 0

α

a = ×R

θ

s = ×R

v = v + 2as_t2 ₀2 s =θ×R

"

#

$ $

θ1

θ0

θ_U

4

Tθ . 3 ,FUFSBOHBO

TQFSQJOEBIBO N

θQFSQJOEBIBOTVEVU SBE

3KFKBSJMJOHLBSBO N

1BEB HFSBL MVSVT QFSQJOEBIBO CFOEB EBMBN TFMBOH XBLUV UFSUFOUV EJTFCVU LFDFQBUBO 4FNFOUBSB QBEB HFSBL NFMJOHLBS QFSVCBIBO TVEVU ZBOH EJUFNQVI QBEB TFMBOH XBLUV UFSUFOUV EJTFCVU LFDFQBUBO TVEVU LFDFQBUBO BOHVMFS #BHBJNBOBLBI QFSTBNBBO LFDFQBUBO TVEVU QBEB CFOEBZBOHNFMBLVLBOHFSBLNFMJOHLBS 6OUVLMFCJIKFMBTOZBTJNBLMBI QFOKFMBTBOEJCBXBIJOJ

,FDFQBUBO4VEVU

1FSVCBIBO TVEVU QBEB TFMBOH XBLUV UFSUFOUV EJTFCVULFDFQBUBO TVEVU,FDFQBUBOTVEVUNFOZBUBLBOLFDFQBUBOCFOEBNFOFNQVITVEVU UFSUFOUVEBMBNTFMBOHXBLUVUFSUFOUV#BHBJNBOBLBINFODBSJQFSTBNBBO LFDFQBUBOTVEVUEBSJQFSQJOEBIBOTVEVU *LVUJMBIVSBJBOCFSJLVU

B .FODBSJ1FSTBNBBO,FDFQBUBO4VEVUEBSJ1PTJTJ4VEVU

,BMJBO UFMBI NFNQFMBKBSJ DBSB NFODBSJ QFSTBNBBO LFDFQBUBO EBSJ WFLUPSQPTJTJ%FOHBODBSBZBOHTBNBLJUBKVHBCJTBNFODBSJQFSTBNBBO LFDFQBUBOTVEVUEBSJWFLUPSQFSQJOEBIBOTVEVU

$PCBLBMJBOQFSIBUJLBOHFSBLKBSVNKBNQBEBHBNCBS#FSEBTBS

LBO HBNCBS UFSTFCVU LJUB NJTBMLBO LFEVEVLBO KBSVN EBO HBNCBS TFNVMBEJBOHLB NJTBMLBOUJUJL"4FUFMBICFSHFSBLKBSVNNFOVOKVL BOHLBUFSUFOUV NJTBMLBOUJUJL#EBONFOFNQVITVEVUθEBMBNXBLUVU %BSJUJUJL#CFOEBCFSHFSBLLFUJUJL$NFOFNQVITVEVUθEBMBNXBLUV U4FUFMBICFSHFSBLTFMBNBXBLUVUPUBMUCFOEBUFMBINFOFNQVITVEVU UPUBMθU 1BEBNBUFSJHFSBLMVSVTLFDFQBUBOEJEFGJOJTJLBOTFCBHBJQFSQJOEBIBO KBSBLCFOEBEBMBNTFMBOHXBLUVUFSUFOUVEBOEJSVNVTLBOTFCBHBJCFSJLVU W T U = Δ

%BMBN HFSBL NFMJOHLBS QFSQJOEBIBOOZB EJOZBUBLBO EFOHBO QFS QJOEBIBOTVEVUEBOLFDFQBUBOOZBEJOZBUBLBOEFOHBOLFDFQBUBOTVEVU #FSEBTBSLBOHBNCBSLFDFQBUBOTVEVUSBUBSBUBEBSJUJUJLBXBMTBNQBJ UJUJ