Pendahuluan Teori Ensembel dan Ensembel Mikrokanik. Ref. Kerson Huang, Statistical Mechanics, Chap. 7

Pendahuluan Teori Ensembel

dan Ensembel Mikrokanik

Ruang Fasa Klasik (Classical Phase Space)

• Model : Gas dalam volum V sejumlah N partikel klasik

yang terbedakan.

• Satu keadaan dari sistem ini dikarakterisasi oleh 1 buah koordinat di ruang fasa yang berdimensi 6N yaitu :

(q₁,..,q_N, p₁,…,p_N) dengan q_k adalah posisi partikel ke-k dan p_k: momentum partikel ke-k. Titik ini disebut juga titik

fasa (phase point)

• Ruang fasa  terdiri dari 6 koordinat (x,y,z, Px,Py,Pz), setiap keadaan 1 partikel diwakili oleh 1 titik.

• Ruang yg berdimensi 6N, dengan koordinat di atas disebut

ruang fasa (Γ). Sketsa gambar berikut ini menunjukkan

hubungan ruang fasa  dan Γ dalam menggambarkan 1 sistem N partikel yang sama:

Ruang Fasa  dan 

r(x,y,z) (P_x, p_y, p_z) r₁,…,r_N P₁,…,p_N 1 partikel 1 sistem N partikel 1 sistem N partikel saat t tertentu 1 sistem N partikel

Dinamika sistem N partikel dinyatakan oleh koordinat posisi sebanyak 3N q={q₁,…,q_N} dan momentum p={p₁,p_2,…p_N},

dengan q_k, p_k : koordinat vektor posisi dan momentum

partikel ke –k.

Misal hamiltonian sistem diberikan oleh : H= H(p₁,p_2,…p_N, q₁,q_2,…q_N,), maka persamaan gerak sistem diberikan oleh

(perkomponen): N j q H q q H p j j j j 1,..,3          

Dinamika Sistem N Partikel (Hamiltonian)

• Spefisikasi keadaan 1 sistem N partikel ini akan diberikan

oleh 3N+3N koordinat posisi dan momentum {q,p}. • Tiap titik di ruang fasa Γ mewakili satu keadaan system

pada suatu saat t.

• Evolusi sistem N-partikel ini akan berupa trayektori di ruang fasa Γ.

Jika sistem bersifat konservatif (kekekalan energi), maka berlaku

• Misal gas dengan keadaan makroskopik tertentu (misal P,V,T tertentu) akan terkait dengan sejumlah sangat besar keadaan mikroskopik {q,p} yang semuanya terkait dengan keadaan makroskopik yang sama tsb.

• Kumpulan dari sistem-sistem dengan keadaan

makroskopik yang sama ini disebut sebagai ENSEMBEL. • Dalam limit thermodinamika

(N--> , N/V : berhingga},

maka kumpulan titik-titik di ruang fasa tsb dapat didekati sebagai kontinuum.

• Sehingga jumlah total keadaan mikroskopik di ruang fasa tsb, akan diberikan oleh volume sbb:

: jumlah seluruh keadaan mikroskopik sistem yang berada di dalam volum d3N_{p d}3N_q.

• Dengan fungsi ρ= ρ(q,p,t) disebut fungsi rapat keadaan yg menyatakan jumlah keadaan mikroskopik per satuan

volum di ruang fasa.

• Sehingga deskripsi lengkap evolusi sistem diberikan oleh evolusi fungsi ρ(p,q,t). p qd d t) 3N 3N , , ( pq 

Kecepatan Evolusi Titik-titik Fasa

Di ruang fasa, titik-titik fasa {q,p} akan bergerak dengan kecepatan yang diberikan oleh vektor kecepatan:

}

,

{ p

q

v







• Gerak titik ini di Γ akan terbatas dalam volume di Γ sebab TOTAL ENERGI dan momentum sistem sudah

tertentu dan terbatas.

• Tinjau sekumpulan (ensembel) titik-titik representasi sistem yang terkait dengan makroskopik yang sama di ruang Γ.

• Sejalan dengan t, titik-titik tsb akan bergerak

(mengalir), pergerakan ini digambarkan oleh evolusi dari fungsi kerapatan ρ(q,p,t).

Rata-rata Ensembel





  p q p q p q p q p q N N N N d d t d d t f f _{3 3} 3 3 ) , , ( ) , , ( ) , (  

• Dengan mengetahui ρ ini dapat dihitung rata-rata dari suatu besaran f tertentu (rata-rata ensembel):

• Integral tsb prinsipnya dilakukan di seluruh ruang fasa 6N-D, akan tetapi secara efektif, hanya perlu dilakukan dimana ρ≠0 saja.

• Suatu ensembel disebut stasioner kalau nilai ρ bukan fungsi waktu (t) secara eksplisit, yaitu jika

•

• Untuk ensembel stasioner, maka nilai rata-rata

ensembelnya juga tidak bergantung waktu, jadi <f> independent dari waktu.

0    t 

Tinjau suatu elemen volume dω dengan luas permukaan σ

di ruang fasa Γ.

Adalah Laju (rate) penambahan jumlah titik dalam elemen volum ω

Sedangkan laju netto arus titik-titik yang menembus keluar permuakaan batas σ:

Teorema Liouville:

Pergerakan Titik Representasi

σ ω n v dσ p q q p t d d d N d N t 3 3 ) , , (   



      



 d t v n q p, , ) ˆ (

Menurut teorema Divergensi Gauss maka :

Dengan divergensi ruas kanan adalah:

Karena titik-titik representasi dlm ruang fasa kekal (tidak ada sumber atau sumur), maka berlaku hukum kekekalan jumlah titik representasi, sehingga:

Atau:

Pers. Ini harus berlaku tak peduli berapapun ukuran ω, sehingga mestilah: Pers. Kontinutas/Liouville:

Persamaan Kontinuitas/Liouville



              N k k k k k 3 1 ) ( p p q q v         





   nˆd ( v)d v      





      d d t ( v) 0 ) ( _           



    d t v 0 ) (       t  v

Jadi mestilah:

Tetapi suku terakhir =0, sebab berlaku :

Sehingga: atau

Sedang suku kedua dapat dituliskan sbg:

Teorema Liouville

0 3 1               



 N k k k k k t p p q q    0 3 1 3 1                           





  N k k k k k N k k k k k t p p q q p p q q         k k k k k k H H p q q q p q            2  k k k k k k H H q p p p q p              2  0       k k k k p p q q  0 3 1 2 2               



 N k k k k k k H H p p q p q k k k k k k k k q H p p H q p p q q                    

Berarti pers kontinutas menjadi: Atau dapat dituliskan sbg:

Telah dipakai definisi Poisson Bracket :

Berarti secara umum karena dρ/dt=0, maka jumlah titik kekal dan aliran titik tsb seperti fluida incompressible. Jikalau ensembel stasioner

atau dalam Kesetimbangan maka akibatnya: atau {ρ,H}=0

Teorema Liouville

0 3 1                



 dt d t N k k k k k     p p q q   0 3 1            



 N k k k k k p p q q     0    t  0 } , {      H t dt d  _



                N k _{k k k} q_k H p p H q H 3 1 } , {  

Solusi dari kondisi stasioner ini adalah (1) jika: ρ independent dari q dan p!

Dengan ω adalah daerah dimana titik-titik fasa (microstate) memenuhi syarat batas persoalannya (macrostate yg sama) Nilai fungsi rapat keadaan ρ = konstan, artinya sembarang nilai (q,p) punya peluang nilai sama untuk muncul!

Asal di dalam volume ω yg memenuhi syarat batas!

Postulate : Equal Apriori Probability

     lainnya kons 0 ) , ( tan ) , (   q p q p

Prinsip Equal Apriori Probability:

Setiap keadaan mikroskopik (microstate) yg berkenaan dengan keadaan makroskopik (macrostate) yang sama (syarat batas), memiliki peluang yang sama untuk muncul atau terpilih.

Akibatnya nilai rata-rata besaran f(q,p) diberikan oleh:

Postulate : Equal Apriori Probability

 



  f f t d qd p N N 3 3 ) , , ( ) , (q p q p Ensembel mikrokanonik

Ensembel Mikrokanonik

1.   Hypersurface

2.   Hypershell 3.   Hypervolumel

 f   rata-rata ensembel f = rata-rata thd waktu  f  =  rata-rata thd waktu f  2 perata2_{an ini independen}

= rata-rata waktu f dari 1 anggota ensembel untuk t lama sekali = f _terukur

     lainnya C 0 ) , ( ) , (   q p q p           /2 3 3 2 / 3 3 ) , , ( E H N N E H N N_{qd p C d qd p} d t p q   _{  volume Hypershell} E H E H E H      ) , ( 2 / ) , ( ) , ( p q p q p q contoh:

Ensembel Mikrokanonik

Jika ₀  volume (fundamental) yg berisi 1 keadaan microstate, maka banyak keadaan untuk “volume” ω adalah:

Kaitan mekanika statistik dengan thermodinamika diberikan oleh definisi entropi :

0





 



 ln

k

S

Mengapa S=k ln Ω

• Secara termodinamika, kesetimbangan termal terjadi jika temperatur sistem sama (T₁=T₂).

• Bagaimana hal ini dipahami di Mekanika Statistik?

• Definisikan Ω (N,V,E)= banyak microstate terkait dengan macrostate dengan nilai besaran (N,V,E) tertentu.

• Tinjau 2 buah sistem makroskopik 1 dan 2 yg dipisah dinding

diathermal. Gabungan sistem 1+2 terisolasi.

• Asumsi • N_1, N₂ : masing-masing konstan • V₁, V₂ : masing-masing konstan • E₀= E₁+E₂= konstan N_1, E₁ V₁ N_2, E₂ V₂

Kesetimbangan Thermal Dalam

Mekanika Statistik

• Banyak keadaan sistem-1 : Ω₁ (N₁ ,V₁ ,E₁) • Banyak keadaan sistem-2 : Ω₂ (N₂ ,V₂ ,E₂)

• Banyak keadaan sistem 1+2, dimana energi sistem 1: E₁ dan sistem 2: E₂ adalah:

Ω (E₁,E₂) = Ω₁ (E₁)Ω₂ (E₂) = Ω₁ (E₁)Ω₂ (E₀-E₁)

• Kesetimbangan tercapai jika nilai E₁ memaksimalkan Ω (E₁,E₂) • Saat kesetimbangan berarti : dΩ/dE₁ =0

0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 * 1 2 2 2 2 * 1 1 1 * 1 2 2 1 1 1 1                  E E E E E E E _{E E E E E E}

Syarat Kesetimbangan Thermal

• Karena E₀=E₁+E₂, maka saat kesetimbangan thermal :

) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 * 2 2 2 2 2 * 1 1 1 2 2 1 1 E E E E E E E E E E            2 2 1 1 2 * 2 2 1 2 * 1 1 1 1 1 ) ( ) ( 1 ) ( ) ( 1 E E E E E E E E E E _  _         2 2 1 1 2 * 2 2 * 1 1 1( ) ln ( ) ln E E E E E E E E          0 ) ( ) ( ) ( ) ( 1 1 1 2 * 2 2 2 2 2 * 1 1 1 * 1 2 2 1 1 1 1                    E E E E E E E E E _{E E E E E E}

Kesetimbangan Thermal Dalam

Mekanika Statistik

• Bandingkan dengan kesetimbangan thermal menurut thermodinamika, yaitu T₁= T₂, dan

• Maka ln Ω sebanding dengan S (entropi thermodinamika). Planck mengusulkan :

• Dengan k: konstanta Boltzmann.

) ( ln E k S   T E S V N 1 ,   

Kesetimbangan Thermal Dalam

Mekanika Statistik

• Dalam limit thermodinamika, formulasi yang ekivalen dari bentuk diatas adalah :

• Γ(E) : banyak keadaan dengan H < E

• ρ(E) : density of states (dΩ/dE) atau rapat keadaan

) ( ln E k S   ) ( ln E k S  

Berapa Besar Fundamental Volume ω

₀

?

Tinjau kasus Osilator harmonis 1D.

Hamiltonian sistem 1 partikel :

Persamaan geraknya : Dengan solusi umum :

Energi total osilator E :

Persamaan trayektori di ruang fasa (q,p) untuk H=E=konstan  Permukaan 0   q m k q m p kq p q H 2 2 1 ) , ( 2 2 _  ) cos( ) (t  A t ₀ q 2 2 2 2 1 2 1 A m kA E    E m p k q E H     2 / 2 2 2 1 2 / 2 2 2   mE p k E q Persamaan Ellips 2  m k  1 2 / 2 2 2 2   mE p m E q 

• “Volume” (Luas) ellips di ruang fasa

• Luas kulit ellips dengan energi antara E-1/2 dan E-1/2:

Berapa Besar Fundamental Volume ω

₀

?

q p mE 2 2 / 2E m     mE E m E A _ 2 2 / 2 _ 2





    _{     }   



      2 ) 2 / 1 ( ) 2 / 1 ( 2 2 / 1 2 / 1 E E dqdp A E H E

• Menurut Mekanika Kuantum, energy 1 Osilator Harmonis : E_n= (n+1/2)ћω

Menghitung Banyak Keadaan (semi klasik)

h A       2 N

h

3







• Jadi jarak antara 2 energi berdekatan E= ћω • Berarti nilai  terkecil :  = ћω

• Luas terkecil di ruang fasa yang berisi 1 status keadaan:

• “Volume” fundamental di ruang fasa yg berisi 1 status keadaan:ω₀=h

• Hal ini berlaku umum, (px)_terkecil berisi 1 status keadaan = h • Sehingga secara umum: untuk N partikel dalam V banyak

Banyak Keadaan Ensembel Mikrokanonik

           /2 3 3 3 2 / 3 3 1 ) , , ( E H N N N E H N N _{d qd p} h p qd d t p q



• Jadi banyak status keadaan untuk ensembel mikrokanonik :

• Batasan Volume di ruang fasa di atas dapat diganti menjadi : hypersurface atau hypervolume

Strategi Menerapkan Ensembel

Mikrokanonik

1. Dapatkan Hamiltonian sistem yang terisolasi

2. Tentukan “volume” di ruang fasa yg dipakai (alternative): H= E= konstan = hypersurface

E-/2 < H < E+/2 : hypershell H < E = konstan : hypervolume

3. Hitung banyak keadaan microstate terkait: Ω, atau ρ atau Γ

Strategi Menerapkan Ensembel

Mikrokanonik

5. Pecahkan persamaan U = fungs (S,V) dengan U=E= energi system

6. Pakai hubungan-hubungan Thermodinamika, misalnya:

7. Pergunakan berbagai hubungan thermodinamika yg lain untuk mendapatkan berbagai besaran thermodinamika yg dikehendaki, misalnya U S V V S T S U P S U T _                            

Strategi Menerapkan Ensembel

Mikrokanonik

A = U – TS G = U+PV – TS V V T U C _        

Partikel Tunggal bebas dalam Volume V







            mE p p p z y x mE p p p V E H z y x z y x dp dp dp h V p d q d h p qd d t 2 ) ( 3 2 ) ( 3 3 3 3 3 1 2 2 2 2 2 2 1 ) , , ( pq  m p p p H x y z 2 2 2 2 _{ }  3 3 4 p V_p   3 3 1 3 4 ) ( h p V p    mE p2  2 3 2 / 3 1 3 ) 2 ( 4 ) ( h mE V E   

Hamiltonian Partikel tunggal bebas : Banyak keadaan dalam hypervolume dengan H =<E:

Integralnya = volume bola dalam ruang momentum dengan jari-jari, p2_=2mE

Sehingga banyak keadaannya : Atau dalam variabel energi :

Partikel Tunggal bebas dalam Volume V

Density of state (rapat keadaan, thd energi:

Dengan cara serupa akan kita turunkan untuk N partikel bebas dalam ruang volume V.

dE h E m V dE E d dE E g ₃ 2 / 1 2 / 3 1( ) 2 (2 ) ) (    

Gas Ideal dalam Volume V

     





    _{V p p p mE} N N E H N N N iz iy ix p d q d h p qd d t 2 3 3 3 3 3 2 2 2 1 ) , , ( pq 



    N i iz iy ix p p p m H 1 2 2 2 2 1

Hamiltonian N partikel bebas dalam volume V :

Banyak keadaan dalam hypervolume dengan H =<E:



      mE p p p Nz Ny Nx z y x N N iz iy ix dp dp dp dp dp dp h V 2 1 1 1 3 2 2 2 

Gas Ideal dalam Volume V

) 1 2 3 ( ) 2 ( ) ( ) 1 2 3 ( ) ( 2 / 3 2 / 3 3 3 2 / 3 3        N mE E V N R R V N N N N N N  

Integralnya = volume hypersphere dalam ruang momentum dengan jari-jari, R2_{=2mE, sehingga volum hypersphere-nya}

adalah :

Dengan Γ(x) : fungsi gamma!

Jadi banyak keadaan dalam hypervolume dengan H <=E:

) 1 2 3 ( ) 2 ( ) ( 2 / 3 2 / 3 3 3           N mE h V E N N N N 

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal

Definisi entropi diberikan oleh Entropi S : S= k ln Ω

Untuk N besar dapat dipakai aproksimasi Stirling : ln x!  xlnx - x                                    ln(2 ) 2 3 ln ) 1 2 3 ( ln ) ( ln ) , ( ₃ 2 / 3 3 mE N h V N N k E k V E S N N  2 3 ) 2 3 ln( 2 3 ln 2 3 )! 2 3 ln( ln 2 3 ) 1 2 3 ( ln 2 / 3 _{N N N N N N} N N                    

Hubungan Thermodinamika Gas Ideal

Sehingga entropi dapat diaproksimasi sbb:

Untuk menurunkan berbagai perilaku thermodinamika, tuliskan E sebagai fungsi E:

Temperature T: atau

Persamaan keadaan diperoleh dari :

2 3 3 4 ln ) , ( 2 / 3 2 Nk N h mE V Nk V E S                  Nk U S U T V 3 2                 _         1 3 2 exp 4 3 ) , ( _2/3 2 Nk S V N m h V S E U  NkT U 2 3  V NkT V U V U P S             3 2

Paradox Gibbs

Telah diturunkan entropi Gas Ideal is:

Untuk gas ideal monoatomik telah diperoleh bahwa:

Sehingga S dapat ditulis ulang sbb: 2 3 3 4 ln ) , ( 2 / 3 2 Nk N h mE V Nk V E S                  NkT U E 2 3                    2 0 0 2 / 3 3 4 ln 1 2 3 2 3 ) ( ) ln( ) , ( h m k s kT T u Ns Vu Nk V E S



Paradox Gibbs

• Sekarang, tinjau sebuah volume V yang disekat 2, masing V₁ berisi N₁ dan V₂ berisi N₂, sehingga

V=V₁+V₂, N=N₁+N₂.

• Misal kedua gas memiliki massa dan temperature yg sama.

• Kemudian kedua gas tersebut diperbolehkan bercampur! Tentu suku u(T) tetap sama setelah pencampuran.

Pertanyaan : berapa perubahan entropi yang terjadi akibat pencampuran ini ?

Paradox Gibbs

Entropi sistem mula-mula S_i = S₁+S₂

Entropi sistem setelah pencampuran: S_f

Perubahan entropinya : S Karena V>V₁ V>V₂, maka S>0 0 2 2 / 3 2 2 0 1 2 / 3 1 1

k

ln(

V

u

)

N

s

N

k

ln(

V

u

)

N

s

N

S

_i









0 2 1 2 / 3 2 1 2 1 0 2 / 3

₎

₍

₎

_ln((

₎

₎

₍

₎

ln(

Vu

Ns

N

N

k

V

V

u

N

N

s

Nk

S

_f















i f

S

S

S







)

ln(

)

ln(

)

ln(

)

ln(

)

ln(

2 2 1 1 2 2 1 1

V

V

k

N

V

V

k

N

S

V

k

N

V

k

N

V

Nk

S















Paradox Gibbs

• Padahal kedua volum mengandung gas dengan temperatur sama dan massa sama (sejenis),

• maka ketika dicampur tak ada alasan entropinya bertambah!

• Bayangkan berapa entropinya jika partisi ruang V, banyak?

• Entropi jadi tak terdefinisikan! (Kenapa?)

Solusi Gibbs:

Menghitung jumlah status keadaan salah, mestinya dibagi N! (tanpa ada penjelasan alasannya!)

Buktikan hal ini tidak mempengaruhi fungsi-fungsi thermodinamika yang diperoleh dan mampu

Prinsip Ekipartisi Umum

Ada hubungan umum yang menarik antara temperatur, energi rata-rata sistem dan derajat kebebasannya.

Misalkan X_i : p_i atau q_i dg i=1….,3N.

Hitung nilai rata-rata (X_i H/ X_j ) dengan H: hamiltonian sistem. < 𝑥_𝑖 𝜕𝐻 𝜕𝑥_𝑗 > = 1 Γ 𝐸 _{𝐸<𝐻<𝐸+𝑑𝐸} 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥𝑖 𝜕𝐻 𝜕𝑥_𝑗 = 𝑑𝐸 Γ 𝐸 𝜕 𝜕𝐸 _𝐻<𝐸 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥𝑖 𝜕𝐻 𝜕𝑥_𝑗

Prinsip Ekipartisi Umum

Jika Σ 𝐸 = _𝐻<𝐸 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑓 maka Σ E + dE − Σ E = Γ 𝐸 = 𝜔 𝐸 𝑑𝐸 = (𝜕Σ 𝐸 𝜕𝐸 )𝑑𝐸 Γ 𝐸 = 𝐸<𝐻<𝐸+𝑑𝐸 = 𝐻<𝐸+𝑑𝐸 − 𝐻<𝐸

Selanjutnya mengingat E/ x_i=0, maka:

𝐻<𝐸

𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥_𝑖 𝜕𝐻

𝜕𝑥_𝑗 = _𝐻<𝐸 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥𝑖

𝜕(𝐻 − 𝐸) 𝜕𝑥_𝑗

Prinsip Ekipartisi Umum

Kemudian memakai hubungan product rule:

𝜕𝑥_𝑖(𝐻 − 𝐸) 𝜕𝑥_𝑗 = 𝜕𝑥_𝑖 𝜕𝑥_𝑗 𝐻 − 𝐸 + 𝑥𝑖 𝜕 (𝐻 − 𝐸) 𝜕𝑥_𝑗 𝑥_𝑖 𝜕 (𝐻 − 𝐸) 𝜕𝑥_𝑗 = 𝜕𝑥_𝑖(𝐻 − 𝐸) 𝜕𝑥_𝑗 − 𝛿𝑖𝑗 𝐻 − 𝐸 Maka: 𝐻<𝐸 𝑑𝑝𝑑𝑞𝑥_𝑖 𝜕𝐻 𝜕𝑥_𝑗 = _𝐻<𝐸 𝑑𝑝𝑑𝑞 𝜕𝑥_𝑖(𝐻 − 𝐸) 𝜕𝑥_𝑗 − 𝛿𝑖𝑗 _𝐻<𝐸𝑑𝑝𝑑𝑞(𝐻 − 𝐸)

Suku pertama ruas kanan =0 (sebab menjadi intergal permukaan, dan dipermukaan tsb H=E)

Prinsip Ekipartisi Umum

Substitusikan semua hasil diperoleh:

< 𝑥_𝑖 𝜕𝐻 𝜕𝑥_𝑗 > = 𝛿𝑖𝑗 𝜔 𝐸 𝜕 𝜕𝐸 _𝐻<𝐸 𝑑𝑝𝑑𝑞 𝐻 − 𝐸 = 𝛿_𝑖𝑗 𝜔 𝐸 _𝐻<𝐸𝑑𝑝𝑑𝑞 = 𝛿_𝑖𝑗 𝜔 𝐸 Σ 𝐸 • = 𝛿𝑖𝑗 𝜕Σ 𝐸 /𝜕(𝐸)Σ 𝐸 = 𝛿_𝑖𝑗 𝜕ln(Σ 𝐸 )/𝜕(𝐸) = 𝛿_𝑖𝑗𝑘 𝜕𝑆/𝜕𝐸 = 𝑘𝑇𝛿𝑖𝑗 • Jadi : < 𝑥_𝑖 𝜕𝐻 𝜕𝑥_𝑗 > = 𝑘𝑇𝛿𝑖𝑗

Hasil ini dikenal dengan nama: Generalized Equipartition Theorem.

Prinsip Ekipartisi Umum

Hasil-hasil khusus:

a. i=j dan x_i=p_i maka < 𝑝_𝑖 𝜕𝐻

𝜕𝑝_𝑖 > = 𝑘𝑇 atau < 𝑝𝑖𝑞𝑖 > = 𝑘𝑇

b. i=j dan x_i=q_i maka < 𝑞_𝑖 𝜕𝐻

𝜕𝑞_𝑖 > = 𝑘𝑇 atau < 𝑞𝑖𝑝𝑖 > = −𝑘𝑇

Banyak Hamiltonian sistem yg dapat dinyatakan sebagai fungsi kuadrat dari posisi dan momentum:

𝐻 = Σ_𝑖𝐴_𝑖𝑝_𝑖2 + Σ_𝑖𝐵_𝑖𝑞_𝑖2 Dengan A_i dan B_i konstanta. Jelas bahwa :

𝑖

𝐴_𝑖𝑝_𝑖 𝜕𝐻

𝜕𝑝_𝑖 + 𝐵𝑖𝑞𝑖

𝜕𝐻

Prinsip Ekipartisi Umum

Maka berarti : < 𝐻 > = 1 2 Σ𝑖 < 𝑝𝑖 𝜕𝐻 𝜕𝑝_𝑖 > +< 𝑞𝑖 𝜕𝐻 𝜕𝑞_𝑖 > = 1 2 𝑓𝑘𝑇 Sebab tiap suku <…> yg tak NOL menyumbang kT.

Jadi setiap derajat kebebasan sistem menyumbang ½ kT kepada energi rata-rata sistem.

Prinsip ini dikenal dengan nama theorema Ekipartisi energi.

Prinsip Ekipartisi Umum

• Berdasarkan prinsip ini maka kapasitas kalor sistem C_V adalah (kf/2).

• Jadi kapasitas kalor sebanding dengan derajat kebebasan sistem.

• Paradox prinsip ekipartisi klasik. Dalam Fisika klasik, setiap sistem memiliki derajat kebebasan tak hingga sebab benda dapat dibagi secara terus menerus tak terbatas ad infinitum.

• Ini membawa konsekuensi kapasitas kalor sistem apapun juga menjadi tak hingga.

Prinsip Ekipartisi Umum

• Pemecahan hal ini terletak di konsep Fisika kuantum. • Dalam mekanika kuantum derajat kebebasan sistem

hanya muncul jika tersedia cukup energi untuk mengeksitasinya.

• Sehingga formula prinsip ekipartisi hanya valid jikalau temperatur cukup tinggi sehingga derajat kebebasannya memang berwujud.