Pengantar
Sistem
Manfaat Aljabar Linier
Pengaplikasian vektor pada program aplikasi desain grafis
1. Program desain vektor dan bitmap
Desain visual vektor : coral draw
Desain visual bitmap : adobe photoshop
Pada citra vektor, gambar dikombinasi dengan rumus matematika
Pada citra bitmap, gambar dibentuk dengan penyusunan titik-titik warna (piksel)
2. Program desktop publishing
Program aplikasi yang digunakan untuk keperluan
MATERI
1. Pengenalan Aljabar Linier
2. Identifikasi Masalah, Pembuatan Model, Pemecahan
Masalah dan Pengujian Keabsahan Model
3. Metode Grafik
4. Metode Eliminasi Gauss 5. Echelon Matriks
6. Matrik Invers 7. Determinan
8. Metode Cramers 9. Dekomposisi Matriks
10. Mencari luas segitiga dengan determinan 11. Matriks Transpose, Trace, Rank
Persamaan Linier
Contoh persamaan linier :
+ =
= + +
− − + =
Pada Persamaan Linier
Tidak melibatkan hasil kali atau akar peubah
Semua peubah muncul sekali dengan pangkat satu dan tidak muncul sebagai peubah bebas dari sebuah fungsi
trigonomerti, logaritma, atau eksponensial
Bentuk umum persamaan linier :
Contoh bukan persamaan linier
+ =
+ − + =
− sin =
Suatu penyelesaian dari suatu persamaan linier + + + = adalah
sederatan n angka � , � , … , � , sedemikian sehingga persamaan tersebut terpenuhi jika kita mensubsitusikan = , = ,…,
= .
Himpunan semua penyelesaian persamaan tersebut disebut himpunan
penyelesaiannya atau kadang-kadang
Contoh
a. Cari himpunan penyelesaian dari − =
HP:
=
= −
Atau
= +
Contoh
b. Cari himpunan penyelesaian dari
− + =
Hp :
= + −
Sistem Persamaan Linier
Contoh :
− + = −
+ + = −
Mempunyai penyelesaian
= ; = ; = −
Karena nilai ini memenuhi kedua persamaan diatas.
Sistem Persamaan Linier
Sebuah himpunan terhingga persamaan linier dalam peubah-peubah , , … , .
Sederet angka , , … , merupakan
+ =
+ =
Apakah merupakan sistem persamaan linier? Apakah mempunyai penyelesaian?
Karena sistem ekuivalen mempunyai persamaan yang kontradiksi.
Sebuah sistem persamaan yang tidak mempunyai penyelesaian disebut sebagai tak konsisten.
Tidak mempunyai penyelesaian
(a)
mempunyai satu penyelesaian
(b)
mempunyai tak hingga penyelesaian
+ + + =
+ + + =
. . .
+ + + =
Setiap sistem persamaan linier mungkin tidak mempunyai penyelesaian, mempunyai tepat satu penyelesaian, dan
Definisi
Suatu susunan bilangan berbentuk segiempat. Bilangan-bilangan dalam susunan itu disebut anggota dalam matriks tersebut
Contoh
− − −
Ukuran Matriks
Diberikan oleh jumlah baris (garis horisontal) dan kolom (garis vertikal) yang dikandungnya
Contoh:
Matriks Kolom (Vektor Kolom)
Matriks yang hanya memuat satu kolom Contoh : matriks 2x1
Matriks Baris (Vektor Baris)
Matriks yang hanya memuat satu baris Contoh : matriks 1x4
Anggota pada baris I dan kolom j dari sebuah matriks A akan dinyatakan
Contoh matriks A ukuran 2x3
Matriks umum … sebagai
…
…
Keringkasan matriks dinotasikan
� atau
Contoh A= −
Kita mempunyai = ; = − ; = ;
=
Untuk matris baris dan matriks kolom dituliskan dengan huruf kecil dan tebal
� = … � =
Matriks bujur sangkar
definisi
1. Dua matriks didefiniskan sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan
anggota-anggotanya berpadanan Contoh :
= = =
2. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang berukuran sama, maka jumlah A+B adalah matriks yang diperoleh dengan
menambahkan anggota-anggota B dengan anggota-anggota A yang berpadanan.
Berlaku sama pada selisih matiks Contoh:
definisi
3. Jika A adalah sebarang matriks dan c
adalah sebarang skalar, maka hasil kali cA
adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan setiap anggota A dengan c.
Contoh
= =
Kombinasi linier
Contoh : = =
definisi
4. Jika A adalah sebuah matriks × dan B adalah matriks × , maka hasil kali AB
adalah matriks × yang anggotanya didefinisikan sebagai berikut.
Untuk mencari anggota dalam baris I dan kolom j dari AB, pilih baris I dari matriks A dan kolom j dari matriks B.
Kalikan anggota-anggota yang
