Slide CIV 209 AnalisisStruktur CIV 209 P12 13

Analisis Struktur Statis Tak Tentu

dengan Metode Slope-Deflection

Pertemuan

–

12, 13

Mata Kuliah : Analisis Struktur

Kode : CIV - 209

•

Deflection

•

Sub Pokok Bahasan :

• Persamaan Slope-Deflection

• Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection • Analisis Portal Tak Bergoyang

Persamaan Slope-Deflection

• Perpindahan(displacement) merupakan variabel utama yang tak

diketahui, disebut pula sebagai derajat kebebasan (degree of freedom)

• Jumlah Degree of Freedom yang dimiliki suatu struktur sering juga disebutkan sebagai derajat ketidaktentuan kinematik

• Perpindahan yang dimaksud selain lendutan dapat pula berupa sudut rotasi pada suatu titik

• Selanjutnya disusun pula persamaan kompatibilitas untuk mendapatkan perpindahan dari titik-titik kumpul, dan kemudian dapat digunakan untuk menghitung reaksi tumpuan

1 DOF

4 DOF

Persamaan Slope-Deflection

• Merupakan sebuah persamaan yang menghubungkan antara sudut rotasi (slope) dan lendutan (deflection) dengan beban yang bekerja pada struktur

• Perhatikan balok AB yang merupakan bagian dari struktur balok menerus dengan beban sembarang sebesar q. dan memiliki kekakuan seragam sebesar EI.

• Selanjutnya akan dicari hubungan antara momen ujung M_AB dan M_BA dengan sudut rotasi q_A dan q_B serta lendutan D yang mengakibatkan penurunan pada tumpuan B.

• Sesuai dengan perjanjian tanda yang dipakai, maka momen dan sudut rotasi bernilai positif

apabila memiliki arah putar searah jarum jam. • Sedangkan lendutan D dianggap bernilai

•

_S

M

_A

’ = 0

•

_S

M

_B

’

= 0

(1)

(2) 0

3 2 2

1 3 2

1

 

  



 _

  

      



 _

  



 L

L EI M L

L EI

M_{AB BA}

0 3

2 2

1 3 2

1

 

   

 

   

      

 

   



 L _L

L EI M L

L EI M

A AB

Persamaan Slope-Deflection

•

_S

M

_B

’ = 0

(3) 0

3 2

1 3

2 2

1

 D     



 _

      

  



 _

   

 L

L EI M L

•

Dalam uraian sebelumnya telah diturunkan hubungan antara

M

_AB

dan

M

_BA

yang bekerja pada titik A dan B dengan perpindahan yang

diakibatkan olehnya, yaitu

q

_A

,

q

_B

dan

D

.

•

Pada kenyataannya perpindahan yang terjadi, baik berupa sudut

rotasi maupun lendutan pada balok terjadi bukan disebabkan oleh

momen pada titik tersebut, namun disebabkan oleh beban luar

yang bekerja pada bentangan balok.

•

Supaya beban luar tersebut dapat diakomodasi dalam persamaan

slope

–

deflection

, maka beban luar tersebut harus ditransformasi

menjadi momen ekuivalen yang bekerja pada titik ujung balok.

•

Hal ini dapat dilakukan dengan mudah, yaitu dengan menemukan

Persamaan Slope-Deflection

• Reaksi momen tersebut selanjutnya diistilahkan dengan sebutan Fixed-End Moment (FEM)

• Selanjutnya persamaan-persamaan 1, 2 dan 3 dapat dijumlahkan beserta beban luar yang bekerja, dan dapat dituliskan menjadi :

• Atau secara umum bentuk persamaan slope-deflection adalah :

(4)









BA

A B

BA

AB B

A AB

L L

I E M

L L

I E M

FEM 3

2 2

FEM 3

2 2

    



 _

     D   

     

    



 _

     D   

     

q q

q q



N F



N

N

Ek

Persamaan Slope-Deflection

• Dengan :

M_N adalah momen internal pada ujung dekat

E,k adalah modulus elastisitas dan kekakuan balok k = I/L qN, qF adalah sudut rotasi pada ujung dekat dan ujung jauh,

memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila memiliki arah sesuai putaran jarum jam

y adalah rotasi balok akibat adanya penurunan pada

tumpuan, y = D/L, besaran ini memiliki satuan radian dan bernilai positif apabila searah jarum jam

• Persamaan 4 berlaku apabila ujung-ujung balok terjepit, apabila salah satu ujungnya sendi, maka persamaan slope-deflection menjadi :

(5)



N



N

N

Ek

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.1

Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan

  FEM ( 3 2

2

deflection

-slope persamaan dari

m FEM

m

FEM

Example 11.1

Dengan meninjau keseimbangan titik B diperoleh :

SM_B = 0 M_BA + M_BC = 0 Akhirnya didapatkan q_B = 6,17/EI

Substitusikan q_B ke persamaan-persamaan sebelumnya dan diperoleh : M_AB = 1,54 kNm M_BA = 3,09 kNm

M_BC =  3,09 kNm M_CB = 12,86 kNm









10,8

3 8 , 10 ) 0 ( 3 )

0 ( 2 6 2

2 , 7 3

2 2 , 7 ) 0 ( 3 0 2

6 2

 

 

 

     

 

 

 

     

B B

CB

B B

BC

EI I

E M

EI I

E M

q q

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.1

Free body diagram :

A_y = - (1,54/8) - (3,09/8) = - 0,579 kN () B_yL = (1,54/8) + (3,09/8) = 0,579 kN ()

Example 11.1

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.2

Gambarkan diagram gaya lintang dan momen lentur untuk balok pada Gambar, asumsikan EI konstan

 

120 3333

, 0 120 ) FEM ( 3 2

2

deflection

-slope persamaan dari

m FEM

m kN 120 12 FEM

m kN 120 12

FEM

2 FEM ( 3

deflection

-slope persamaan gunakan

Example 11.2

Dari keseimbangan gaya titik B :

SM_B = 0 M_BA + M_BC = 0 Dan nilai q_B =  144/EI.

Substitusikan q_B ke persamaan-persamaan sebelumnya guna mendapatkan :

M_AB =  135 kNm

M_BA = 90 kNm

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.3

Tentukan momen di A dan B pada balok, apabila tumpuan B mengalami penurunan sebesar 80 mm. E = 200 GPa, I = 5(10)6 _mm4

Dari kesetimbangan titik B :

SM_B = 0 M_BA – 8000N(3m) = 0

qB = 0,054 rad





 





 

000 . 30 000

. 000 . 200 ( 2

000 . 30 000

. 500 200 (

Example 11.4

Tentukan momen internal pada tumpuan balok apabila titik C mengalami penurunan sebesar 30 mm. E = 200 GPa, I = 600(10)6 133 5

, 4

10 10 600

m ) 10 ( 100 6

10 10 600

m 600

rad 00667 , rad 005 , FEM

m

FEM

Analisis Balok Dengan Metode Slope-Deflection

Example 11.4

0 1066 3

, 333 . 53 0 )] 00667 , 133 ][ 10 200 [ 2

7 , 1066 7

, 666 . 106 0

)] 00667 , 133 ][ 10 200 [ 2

: CD Bentang

600 000

. 40 000

. 80 0 )] 005 , 100 ][ 10 200 [ 2

600 000

. 40 000

. 80 0 )] 005 , 100 ][ 10 200 [ 2

: BC Bentang

4 , 86 7

, 666 . 200 [ 333 . 200 [ 2

: AB Bentang

TUGAS :

Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

• Suatu portal dikategorikan sebagai portal tak bergoyang apabila : 1. Disediakan tumpuan yang cukup untuk menahan goyangan 2. Memiliki geometri dan pola pembebanan yang simetris

Example 11.5

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, apabila EI konstan









bergoyang) (tak

0 0

m kN 80 96

) 8 )( 24 ( 5 96

5 FEM

m kN 80 96

) 8 )( 24 ( 5 96

5 FEM

A

2 2

2 2

 

  

 

 

 

 

 



CD BC

AB D CB BC

wL wL

y y

y

Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

1667 ,

333 ,

333 ,

1667 ,

FEM 3 137 80

833 , 833

Example 11.6

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, gunakan E = 200 GPa

3 6 12

6

3 6 12

6

3 6 12

6

3 6 12

6

m ) 10 ( 23 , 72 6

, 3

) 10 )( 10 ( 260

m ) 10 ( 78 , 17 5

, 4

) 10 )( 10 ( 80

m ) 10 ( 67 , 66 8

, 4

) 10 )( 10 ( 320

m ) 10 ( 56 , 35 5

, 4

) 10 )( 10 ( 160

 

 

 

 

 

 

 

 

CE CD BC AB

Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

Example 11.6

rad ) 10 ( 113 , 5

rad ) 10 ( 758 , 2 42

0 , 059 . 81 9

, 138 . 20

12 9

, 138 . 20 3

, 759 . 888 , 0

m kN 888 , 0

m kN 444 ,

bergoyang) (tak

FEM

m

FEM

m

FEM

•

Suatu struktur portal akan bergoyang

ke samping apabila geometri atau

pembebanan yang terjadi tidak

simetri

•

Pada portal di samping beban

P

menimbulkan momen

M

_BC

dan

M

_CB

pada titik kumpul B dan C

•

M

_BC

cenderung memindahkan titik B

ke kanan, sedangkan

M

_CB

cenderung

memindahkan titik C ke kiri

•

Karena

M

_BC

lebih besar daripada

M

_CB

Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

Example 11.7

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan.

• Struktur termasuk portal bergoyang karena baik geometri dan beban tidak simetri

• Beban bekerja pada titik B, sehingga tidak ada FEM

• Titik B dan C mengalami simpangan sama besar yaitu D

• Sehingga y_AB = D/4 dan y_DC = D/6

• Keduanya positif karena batang AB dan CD berotasi searah jarum jam

Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

Example 11.7

Sehingga diperoleh 3 buah persamaan :

0 6

4 200

0 200

208

66 , 75

78 , 243 800

833 , 5 667

, 467

, 183

m kN 158

m kN 158

m kN 225

m kN 225

m kN 347

Example 11.8

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan. A dan D jepit, serta C adalah berupa sendi

Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

Example 11.8

Substitusikan nilai M_AB, M_BA, M_BC dan M_DC

21EI 320

21 240

Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

Example 11.10

Tentukan momen pada tiap titik kumpul, anggaplah EI konstan.





433 , 0

417 , 0

866 ,

FEM

m

FEM

Analisis Portal Tak Bergoyang Metode Slope-Deflection

Example 11.10

Dari kesetimbangan momen di titik B dan C :

Persamaan ketiga diperoleh dengan mengambil jumlahan momen terhadap O

0 0

 

 

CB CD

BC BA

M M

M M

0 4 , 194 04

, 1 04

, 2 4

, 3 4

, 2

0 ) 8 , 1 ( 108 ) 24 , 12 ( 6

) 2 , 10 ( 3

0

 

 

 

 

   



  

   



  

  S

DC CD

BA AB

CD DC

BA AB

DC AB

O

M M

M M

M M

M M

M M

Example 11.10

Diperoleh 3 buah persamaan :

m 34,2

m kN 7,60

m kN 34,2

m kN 7,60

m kN 31,3

: diperoleh sehingga

awal persamaan

ke kembali substitusi

47 880

, 3 512

, 0 840

, 1

72 , 9 0784

, 0 533

, 0 167

, 0

72 , 9 392

, 0 167

, 0 733

TUGAS :