TUGAS DAN JAWABAN HIMPUNAN (SET)
MATA KULIAH : MATEMATIKA DISKRIT
Tentukan apakah pernyataan di bawah ini benar atau salah.
1. {Ø} ⊆ {Ø}
→ Misalkan, A = {Ø}. Maka, pernyataan himpunan {Ø} adalah subset dari himpunan {Ø} adalah benar karena memenuhi keberlakuan :
(i) A ⊆ A (yaitu, { Ø} ⊆ { Ø} }
(ii) Ø ⊆ A (yaitu, subset A = {Ø, {Ø} )
2. Ø ∈ {Ø}
→ Himpunan {Ø} mengandung satu elemen yaitu Ø. Maka, pernyataan himpunan Ø adalah elemen himpunan {Ø} adalah benar.
3. {Ø} ∈ {Ø}
→ Yang merupakan elemen/anggota (∈) dari himpunan {Ø} adalah Ø. Maka, pernyataan himpunan {Ø} adalah elemen dari himpunan {Ø} adalah salah.
4. {a, b} ⊆ {a, b, {{a, b}}}
→ Misalkan A = {a, b, {{a, b}}}. Subset A = { Ø, {a}, {b}, {{{a, b}}}, {a, b}, {a, {{a, b}}}, {b, {{a, b}}}, {a, b, {{a, b}}} }. Karena himpunan yang terdiri dari elemen tunggal yaitu {a, b} adalah subset A. Maka, pernyataan {a, b} adalah subset dari himpunan A adalah benar.
5. A ⊆ B, B ∈ C → A ∈ C
→ Misalkan x suatu elemen A, yaitu x ∈ A. Karena A adalah subset B, maka x juga termasuk B, yaitu x ∈ B. Tetapi menurut hipotesis, B ∈ C. Oleh karena itu, setiap elemen B termasuk x, juga anggota C. Jika, x ∈ A maka x ∈ C. Maka, pernyataan A ⊆ B, B ∈ C → A ∈ C adalah benar.
6. A ∈ B, B ⊆ C → A ∈ C
→ Misalkan x suatu elemen A, yaitu x ∈ A. Karena A adalah elemen B, maka x juga termasuk B, yaitu x ∈ B. Tetapi menurut hipotesis, B ⊆ C. Oleh karena itu, setiap elemen B termasuk x, juga anggota C. Jika, x ∈ A maka x ∈ C. Maka, pernyataan A ∈ B, B ⊆ C → A ∈ C adalah benar.
7. A = {Ø, {Ø}} → Ø ∈ 2ᴬ
8. A = {Ø, { Ø}} → {{ Ø}} ⊆ 2ᴬ
→ Himpunan kuasa adalah suatu himpunan yang elemnnya merupakan semua himpunan bagian, termasuk himpunan kosong dan himpunan itu sendiri. 2ᴬ = {Ø, { Ø}, {{ Ø}}, {{Ø, {Ø}}} }. Himpuan {{ Ø}} termasuk elemen/anggota 2ᴬ. Maka, pernyataan {{ Ø}} ⊆ 2ᴬ adalah salah.
9. {a, b} ⊆ {a, b, c, {a, b, c}}
→ Misalkan A = {a, b, c, {a, b, c}}. Subset A = {Ø, {a}, {b}, {c}, {{a, b, c}}, {a, b}, {a, c}, {a, {a, b, c}}, {b, c}, {b, {a, b, c}}, {c, {a, b, c}}, {a, b, c}, {a, b, {a, b, c}}, {b, c, {a, b, c}}, {a, c, {a, b, c}}, {a, b, c, {a, b, c}}. Karena himpunan yang terdiri dari elemen tunggal, yaitu {a, b} adalah subset A. Maka, pernyataan {a, b} adalah subset dari A adalah benar.
10. {a, b} ∈ {a, b, c, {a, b, c}}
→ Misalkan, A = {a, b, c, {a, b, c}}. Maka, elemen/anggota A adalah a, b, c, dan {a, b, c}. Sedangkan, {a, b} bukan elemen A. Maka, pernyataan {a, b} adalah elemen A adalah salah.
11. {a, b} ∈ {a, b, {a, b}}
→ Misalkan, A = {a, b, {a, b}}. Maka, elemen/anggota A adalah a, b dan {a, b}. {a, b} termasuk anggota A. Maka, pernyataan {a, b} ∈ {a, b, {a, b}} adalah benar.
12. A ∈ B, B ⊆ C → A ⊆ C
→ Benar. Misalkan x suatu elemen A, yaitu x ∈ A. Karena A adalah elemen B, maka x juga termasuk B, yaitu x ∈ B. Tetapi menurut hipotesis, B ⊆ C. Oleh karena itu, setiap elemen B termasuk x, juga anggota C. Jika, x ∈ A maka x ∈ C. Maka, pernyataan A ∈ B, B ⊆ C → A ⊆ C adalah benar.
13. A ⊆ B, B ∈ C → A ⊆ C
→ Benar. Misalkan x suatu elemen A, yaitu x ∈ A. Karena A adalah subset B, maka x juga termasuk B, yaitu x ∈ B. Tetapi menurut hipotesis, B ∈ C. Oleh karena itu, setiap elemen B termasuk x, juga anggota C. Jika, x ∈ A maka x ∈ C. Maka, pernyataan A ⊆ B, B ∈ C → A ⊆ C adalah benar.
