METODE NUMERIK STEEPEST DESCENT

(1)

METODE NUMERIK

STEEPEST DESCENT

1 Juni 2016

Ujian Akhir Semester

Untuk memenuhi ujian alhir semester mata kuliah metode numerik

Selvi Kusdwi Lestari (1384202138)

6A1

Pendidikan Matematika

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan

Universitas Muhammadiyah Tangerang

(2)

KATA PENGANTAR

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas rahmat dan karunia yang telah diberikan-Nya, sehingga kami dapat menyelesaikan makalah dengan baik. Makalah ini dibuat untuk memenuhi tugas makalah Metode Numerik Steepest Descent di Universitas Muhammadiyah Tangerang. Selain itu kami berharap juga makalah ini mampu memberikan konstribusi dalam menunjang pengetahuan para maha-siswa/mahasiswi dan pihak lain pada umumnya.Dalam penulisan makalah ini. Penulis menyadari bahwa masih jauh dari kesempurnan. Oleh karena itu, sar-an dsar-an kritik ysar-ang membsar-angun ssar-angat Penulis harapksar-an demi kesempurnasar-an dimasa yang akan datang.

Tangerang, 1 Juni 2016

(3)

PEMBAHASAN

1 Pengertian Metode Steepest Descent

Metode Steepest Descent ini adalah metode gradien sederhana yang menggu-nakan vektor gradien untuk menentukan arah pencarian pada setiap iterasi. Da-ri arah pencaDa-rian yang telah ditetapkan tersebut maka akan ditentukan ukuran langkahnya. Metode Steepest Descent digunakan untuk mencari nila x yang mi-nimum suatu fungsi. Metode steepest descent ini memiliki perbedaan dengan metode numerik lainnya. Perbedaan tersebut dapat dilihat dari cara menentuka arah pencarian (d). Dimana metode ini menggunakan nilai negatif dari hasil ∇f (Xk) dimana Xk = (x1, x2).

2 Algoritma Steepest Descent

Seperti metode-metode yang sebelumnya, dalam menentukan optimasi maka metode steepest descent juga memiliki algoritma yang harus dipenuhi. setiap metode memiliki algoritma yang berbeda, adapun algoritma dari metode nume-rik steepest descent adalah sebagai benume-rikut ;

• Diberikan fungsi minimum Z = f (X), dimana X ∈ R2

• Tentukanlah titik awal yaitu Xk = (x1,x2), lalu tentukan nilai toleransi

kesalahan ε dan ambilah k = 1,

• Hitunglah turunan dari f (X),yaitu dengan persamaan ∇f (Xk)

• Kemudian hitunglah || ∇f (Xk) || , jika perhitungan || ∇f (Xk) || < ε

interasi dihentikan. Jika || ∇f (Xk) || > ε, maka lanjutkan kelangkah

selanjutnya

• Carilah arah pencarian pada titik xk dengan cara dk = -∇f (Xk).

• Akan dihitung λk = min Z (Xk + λkdk)

• Carilah nilai turunan dari f (λk) dan sama dengankan nol, untuk mencari

nilai λk

• Hitunglah Xk+1dengan persamaan Xk+1 = Xk + λkdk

(4)

3 Contoh Soal

Diberika suatu fungsi minimum f (X) = 5x12+2x22+2x1x2 - 20x1 - 4x2 + 18

dengan titik awal x1 = (0,3) dan ε = 0, 1. Dengan menggunakan metode

stee-pest descent, maka tentukanlah nilai x1dan x2yang membuat minimum fungsi

tersebut. Penyelesaian : Diketahui fungsi f (X) = 5x12+2x22+2x1x2 - 20x1 - 4x2 + 18 ∂f ∂(x1) = 10x1+ 2x2− 20 ∂f ∂(x2) = 4x2+ 2x1− 4 Iterasi 1 Diketahui x1 = (0,3) ∇f (X1) = ∇f (x1, x2) ∇f (X1) = ∇f (0, 3) ∇f (X1) = 10 (0) + 2 (3) − 20 4 (3) + 2 (0) − 4 ∇f (X1) = −14 8

Cek apakah || ∇f (X1) || <, =, atau > ε

[[∇f (X1)]] =

q

(−14)2+ (8)2=√260 = 16, 125 > ε Tentukan arah pencarian d1 = -∇f (X1)

∇f (X1) = (−14, 8)t⇒ d1= −∇f (X1) = (14, −8)t Dihitung λk = min f (Xk + λkdk) λ1= min f (X1+ λ1d1) λ1= min f ((0, 3) + λ1(14, −8)t) λ1= min f ((0, 3) + (14λ1, −8λ1)) λ1= min f (14λ1, 3 − 8λ1)

Subtitusikan f (14λ1 , 3 - 8λ1) pada persamaan awal, sehingga menjadi ;

f (λ1) = 5(14λ1)2+ 2(3 − 8λ1)2+ 2(14λ1)(3 − 8λ1) − 20(14λ1) − 4(3 − 8λ1) + 18

f (λ1) = 980λ12+ 18 − 96λ1+ 128λ12+ 84λ1− 224λ12− 280λ1− 12 + 32λ1+ 18

(5)

Carilah turunan ∇f (λ1), dan sama dengankan 0 agar diperoleh nilai dari λ1 df (λ1) d(λ1) = 0 ⇔ 1768λ1− 260 = 0 ⇔ 1768λ1= 260 ⇔ λ1= 260 1768 ≈ 0, 147

Telah diketahui bahwa λ1= 0,147 maka akan dicari nilai X2

X2= X1+ λ1d1 X2= (0, 3) + 0, 147(14, −8)t X2= (2, 058, 1, 824) Iterasi 2 Diketahui X2 = (2,058 , 1,824) ∇f (X2) = ∇f (x1, x2) ∇f (X2) = ∇f (2, 058, 1, 824) ∇f (X2) = 10 (2, 058) + 2 (1, 824) − 20 4 (1, 824) + 2 (2, 058) − 4 ∇f (X2) = 4, 228 7, 412

[[∇f (X2)]] =

q

(4, 228)2+ (7, 412)2=p72, 813728 = 8, 533 > ε Tentukan arah pencarian d2 = -∇f (X2)

∇f (X2) = (4, 228, 7, 412)t⇒ d2= −∇f (X2) = (−4, 228, −7, 412)t Dihitung λk = min f (Xk + λkdk) λ2= min f (X2+ λ2d2) λ2= min f ((2, 058, 1, 824) + λ2((−4, 228, −7, 412))t) λ2= min f ((2, 058, 1, 824) + (−4, 228λ2, −7, 412λ2)) λ2= min f (2, 058 − 4, 228λ2, 1.824 − 7, 412λ2)

Subtitusikan f (2,058-4,228λ2 , 1.824-7,412λ2) pada persamaan awal

f (λ2) = 5(2, 058 − 4, 228λ2)2+ 2(1, 824 − 7, 412λ2)2+ 2(2, 058 − 4, 228λ2)(1, 824 − 7, 412λ2)

− 20(2, 058 − 4, 228λ2) − 4(1, 824 − 7, 412λ2) + 18

f (λ2) = 5(4, 235364 − 17, 402448λ2+ 17, 875984λ22) + 2(3, 326976 − 27, 038976λ2+ 54, 937744λ22)

+ 2(3, 753792 − 22, 965768λ2+ 31, 337936λ22) − 41, 16 + 84, 56λ2− 7, 296 + 29, 648λ2+ 18

(6)

Carilah turunan ∇f (λ2), dan sama dengankan 0 agar diperoleh nilai dari λ2 df (λ2) d(λ2) = 0 ⇔ 523, 86256λ2− 72, 813178 = 0 ⇔ 523, 86256λ2= 72, 813178 ⇔ λ2= 72, 813178 523, 86256 ≈ 0, 139

X3= X2+ λ2d2 X3= (2, 058, 1, 824) + 0, 139(−4, 228, −7, 412)t X3= (1, 470, 0, 794) Iterasi 3 Diketahui X3 = (1,470 , 0,794) ∇f (X3) = ∇f (x1, x2) ∇f (X3) = ∇f (1, 470, 0, 749) ∇f (X3) = 10 (1, 470) + 2 (0, 749) − 20 4 (0, 749) + 2 (1, 470) − 4 ∇f (X3) = −3, 712 2, 116

[[∇f (X3)]] =

q

(−3, 712)2+ (2, 116)2=p18, 2564 = 4, 273 > ε Tentukan arah pencarian d3 = -∇f (X3)

∇f (X3) = (−3, 712, 2, 116)t⇒ d3= −∇f (X3) = (3, 712, −2, 116)t Dihitung λk = min f (Xk + λkdk) λ3= min f (X3+ λ3d3) λ3= min f ((1, 470, 0, 794) + λ3((3, 712, −2, 116))t) λ3= min f ((1, 470, 0, 794) + (3, 712λ3, −2, 116λ3)) λ3= min f (1, 470 + 3, 712λ3, 0.794 − 2, 116λ3)

Subtitusikan f (1,470 + 3,712λ3 , 0.794 - 2,116λ3) ke persamaan awal

f (λ3) = 5(1, 470 + 3, 712λ3)2+ 2(0, 794 − 2, 116λ3)2+ 2(1, 470 + 3, 712λ3)(0, 794 − 2, 116λ3)

− 20(1, 470 + 3, 712λ3) − 4(0, 794 − 2, 116λ3) + 18

f (λ3) = 5(2, 1609 + 10, 91328λ3+ 13, 778944λ23) + 2(0, 630436 − 3, 360208λ3+ 4, 47745623)

+ 2(1, 16718 − 0, 163192λ3− 7, 854592λ23) − 29, 4 − 74, 24λ3− 3, 176 + 8, 464λ3+ 18

(7)

X4= X3+ λ3d3 X4= (1, 470, 0, 794) + 0, 147(3, 712, −2, 116)t X4= (2, 016, 0, 483) Iterasi 4 Diketahui X4 = (2,016 , 0,483) ∇f (X4) = ∇f (x1, x2) ∇f (X4) = ∇f (2, 016, 0, 483) ∇f (X4) = 10 (2, 016) + 2 (0, 483) − 20 4 (0, 483) + 2 (2, 016) − 4 ∇f (X4) = 1.126 1, 964

[[∇f (X4)]] =

q

∇f (X4) = (1, 126, 1, 964)t⇒ d4= −∇f (X4) = (−1, 126, −1, 964)t Dihitung λk = min f (Xk + λkdk) λ4= min f (X4+ λ4d4) λ4= min f ((2, 016, 0, 483) + λ4((−1, 126, −1, 964))t) λ4= min f ((2, 016, 0, 483) + (−1, 126λ4, −1, 964λ4)) λ4= min f (2, 016 − 1, 126λ4, 0, 483 − 1, 964λ4)

Subtitusikan f (2,016 -1,126λ4 , 0,483 - 1,964λ4) ke persamaan awal

f (λ4) = 5(2, 016 − 1, 126λ4)2+ 2(0, 483 − 1, 964λ4)2+ 2(2, 016 − 1, 126λ4)(0, 483 − 1, 964λ4)

− 20(2, 016 − 1, 126λ4) − 4(0, 483 − 1, 964λ4) + 18

f (λ4) = 5(4, 064256 − 4, 540032λ4+ 1, 2667876λ24) + 2(0, 233289 − 1, 897224λ4+ 3, 85729624)

+ 2(0, 973728 − 4, 503282λ4+ 2, 211464λ24) − 40, 32 + 22, 52λ4− 1, 932 + 7, 856λ4+ 18

(8)

[[∇f (X5)]] =

q

∇f (X5) = (−0, 97, 0, 398)t⇒ d5= −∇f (X5) = (0, 97, −0, 398)t Dihitung λk = min f (Xk + λkdk) λ5= min f (X5+ λ5d5) λ5= min f ((1, 859, 0, 17) + λ5((0, 97, −0, 398))t) λ5= min f ((1, 859, 0, 17) + (0, 97λ5, −0, 398λ5)) λ5= min f (1, 859 + 0, 97λ5, 0, 17 − 0, 398λ5)

Subtitusikan f (1,859 + 0,97 λ5, 0,17 - 0,398λ5) ke persamaan awal

f (λ5) = 5(1, 859 + 0, 97λ5)2+ 2(0, 17 − 0, 398λ5)2+ 2(1, 859 + 0, 97λ5)(0, 17 − 0, 398λ5)

− 20(1, 859 + 0, 97λ5) − 4(0, 17 − 0, 398λ5) + 18

f (λ5) = 5(3, 455881 + 3, 60646λ5+ 0, 9409λ25) + 2(0, 0289 − 0, 13532λ5+ 0, 15840425)

+ 2(0, 31603 − 0, 574982λ5− 0, 38606λ25) − 37, 18 − 19, 4λ5− 0, 68 + 1, 592λ5+ 18

(9)

Carilah turunan ∇f (λ5), dan sama dengankan 0 agar diperoleh nilai dari λ5 df (λ5) d(λ5) = 0 ⇔ 8, 498376λ5− 1.196304 = 0 ⇔ 8, 498376λ5= 1.196304 ⇔ λ5= 1.196304 8, 498376 ≈ 0, 141

X6= X5+ λ5d5 X6= (1, 859, 0, 17) + 0, 141(0, 97, −0, 398)t X6= (1, 996, 0, 114) Iterasi 6 Diketahui X6 = (1,996 , 0,114) ∇f (X6) = ∇f (x1, x2) ∇f (X6) = ∇f (1, 996, 0, 114) ∇f (X6) = 10 (1, 996) + 2 (0, 114) − 20 4 (0, 114) + 2 (1, 996) − 4 ∇f (X6) = 0, 188 0, 424

[[∇f (X6)]] =

q

Subtitusikan f (1,996 - 0,188 λ6 , 0,114 - 0,424λ6) ke persamaan awal

f (λ6) = 5(1, 996 − 0, 188λ6)2+ 2(0, 114 − 0, 424λ6)2+ 2(1, 996 − 0, 188λ6)(0, 114 − 0, 424λ6)

− 20(1, 996 − 0, 188λ6) − 4(0, 114 − 0, 424λ6) + 18

f (λ6) = 5(3, 984016 − 0, 750496λ6+ 0, 035344λ26) + 2(0, 012996 − 0, 096672λ6+ 0, 17977626)

+ 2(0, 227544 − 0, 867736λ6+ 0, 079712λ26) − 39, 92 + 3, 76λ6− 0, 456 + 1, 696λ6+ 18

(10)

[[∇f (X7)]] =

q

∇f (X7) = (−0, 154, 0, 304)t⇒ d7= −∇f (X7) = (0, 154, −0, 304)t Dihitung λk = min f (Xk + λkdk) λ7= min f (X7+ λ7d7) λ7= min f ((1, 966, 0, 093) + λ7((0, 154, −0, 304))t) λ7= min f ((1, 966, 0, 093) + (0, 154λ7, −0, 304λ7)) λ7= min f (1, 966 + 0, 154λ7, 0, 093 − 0, 304λ7)

Subtitusikan f (1,966 + 0,154 λ7 , 0,093 - 0,304λ7) ke persamaan awal

f (λ7) = 5(1, 966 + 0, 154λ7)2+ 2(0, 093 − 0, 304λ7)2+ 2(1, 966 + 0, 154λ7)(0, 093 − 0, 304λ7)

− 20(1, 966 + 0, 154λ7) − 4(0, 093 − 0, 304λ7) + 18

f (λ7) = 5(3, 865156 + 0, 605528λ7+ 0, 023716λ27) + 2(0, 008649 − 0, 056544λ7+ 0, 09241627)

+ 2(0, 182838 − 0, 583342λ7− 0, 046816λ27) − 39, 32 − 3, 08λ7− 0, 372 + 1, 216λ7+ 18

(11)

X8= X7+ λ7d7 X8= (1, 966, 0, 093) + 0, 277(0, 154, −0, 304)t X8= (2, 009, 0, 009) Iterasi 8 Diketahui X8 = (2,009 , 0,009) ∇f (X8) = ∇f (x1, x2) ∇f (X8) = ∇f (2, 009, 0, 009) ∇f (X8) = 18 (2, 009) + 4 (0, 009) − 18 8 (0, 009) + 4 (2, 009) − 4 ∇f (X8) = 0, 108 0, 054

Cek apakah [[ ∇f (X8) ]] <, =, atau > ε

[[∇f (X8)]] =

q

Subtitusikan f (2,009 - 0,105 λ7 , 0,009 - 0,054λ8) ke persamaan awal

f (λ8) = 5(2, 009 − 0, 108λ8)2+ 2(0, 009 − 0, 054λ8)2+ 2(2, 009 − 0, 108λ8)(0, 009 − 0, 054λ8)

− 20(2, 009 − 0, 108λ8) − 4(0, 009 − 0, 054λ8) + 18

f (λ8) = 5(4, 036081 − 0, 433944λ8+ 0, 011664λ28) + 2(0, 000081 − 0, 000972λ8+ 0, 00291628)

+ 2(0, 018081 − 0, 109458λ8+ 0, 005832λ28) − 40, 18 + 2, 16λ8− 0, 036 + 0, 216λ8+ 18

(12)

Cek apakah [[ ∇f (X8) ]] <, =, atau > ε

[[∇f (X9)]] =

q

(−0, 002)2+ (0, 014)2=p0, 0002 = 0, 014 > ε Terlihat Bahwa || ∇f (X9) ]] = 0,014 < ε = 0, 1 sehingga, iterasi berhenti.

Dengan konsep algoritma steepest descent yang telah dijelaskan di atas, maka perhitungan disajikan dalam tabel di bawah ini ;

Iterasi xk ∇f (xk) ||∇f (xk)|| dk λk xk+1 1 (0,3) (-14, 8) 16,125 (14, - 8) 0,147 (2,058 , 1,824) 2 (2,058, 1,824) (4,228 , 7,412) 8,533 (-4,228 , -7,412) 0,0,139 (1,470 , 0,794) 3 (1,470 , 0,794) (-3,712 , 2,116) 4,273 (3,712 , -2,116) 0,147 (2,016 , 0.483) 4 (2,016 , 0.483) (1,126 , 1,964) 2,264 (-1,126 , -1,964) 0,139 (1,859 , 0,17) 5 (1,859 , 0,17) (-0,97 , 0,398) 1,048 (0,97 , -0,398) 0,141 (1,996 , 0,114) 6 (1,996 , 0,114) (0,188 , 0,424) 0,464 (-0,188 , -0,424) 0,162 (1,966 , 0,093) 7 (1,966 , 0,093) (-0,154 , 0,304) 0,341 (0,154 , -0,304) 0,277 (2,009 , 0,009) 8 (2,009 , 0,009) (0,108 , 0,054) 0,121 ... ... ... Berdasarkan perhitungan pada tabel, nilai hampiran (x1, x2) yang akan

(13)

4 Metode Analitik

diketahui bahwa dierikan suatu fungsi minimum f (X) = 5x12+2x22+2x1x2

-20x1 - 4x2 + 18 maka cara menentukan nilai x1 dan x2 dengan cara analitik

adalah sebagai berikut :

carilah turunan dari fungsi f (X) terhadap x1:

∂f ∂(x1)

= 10x1+ 2x2− 20

Hasil dari turunan pertama fungsi terhadap x1 sama dengankan 0 agar

mem-peroleh persamaan baru

∂f ∂(x1) = 0 ⇔ 10x1+ 2x2− 20 = 0 ⇔ 2x2= −10x1+ 20 ⇔ x2= −5x1+ 10 ...(persamaan1)

carilah turunan dari fungsi f (X) terhadap x2:

∂f ∂(x2)

= 4x2+ 2x1− 4

Subtitusikan persamaan 1 ke hasil dari turunan pertama fungsi terhadap x2dan

sama dengankan 0 agar memperoleh nilai x1

∂f ∂(x1) = 0 ⇔ 4x2+ 2x1− 4 = 0 ⇔ 4(−5x1+ 10) + 2x1− 4 = 0 ⇔ −20x1+ 40 + 2x1− 4 = 0 ⇔ −18x1+ 36 = 0 ⇔ −18x1= −36 ⇔ x1= 2

Telah didapatkan nilai dari x1adalah 2, maka subtitusikan x1=2 ke persamaan

x2 = -5x1 + 10 , maka akan didapatkan nilai x2, yaitu :

⇔ x2= −5x1+ 10

⇔ x2= −5(2) + 10

(14)

Telah diketahui bahwa x1=2 dan x2=0 . Sekarang akan dibuktikan mahwa

nilai x1=2 dan x2=0 adalah pembuat minilal fungsi f (X) = 5x12+2x22+2x1x2

- 20x1 - 4x2+ 18. ∂2_f ∂(x1)2 ! ∂2_f ∂(x2)2 ! − _∂2_f ∂(x1)(x2) 2 > 0 ⇔ (10)(4) − (2)2_{> 0} ⇔ 40 − 4 > 0 ⇔ 36 > 0

Dari perhitungan di atas terbukti bahwa x1=2 dan x2=0 adalah pembuat