1
1
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI
SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINEAR DARI
KE
KE
A.
A. TRANSFORMASI-TRATRANSFORMASI-TRANSFORMASI LINEAR NSFORMASI LINEAR SATU-SATUSATU-SATU
Transformasi linear yang memetakan vektor-vektor (titik-titik)
Transformasi linear yang memetakan vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda ke vektor-vektoryang berbeda ke vektor-vektor (titik-titik)
(titik-titik) yang berbeda merupakyang berbeda merupakan transformasi linear yang sangat penting. Salah satuan transformasi linear yang sangat penting. Salah satu contoh transformasi seperti itu adalah operator linear
contoh transformasi seperti itu adalah operator linear
yang merotasikan setiapyang merotasikan setiap vektor pada sudutvektor pada sudut
. Secara geometris jelas bahwa jika . Secara geometris jelas bahwa jika u dan v merupakan vektor-vektoru dan v merupakan vektor-vektor yang berbeda padayang berbeda pada
, maka demikian juga vektor-vektor, maka demikian juga vektor-vektor
dandan
yang dirotasikanyang dirotasikan (gambar 1).(gambar 1).
Sebaliknya, jika
Sebaliknya, jika
adalah proyeksi orthogonaladalah proyeksi orthogonal
pada biodangpada biodang–
–
xy. Maka titik-xy. Maka titik-titik berbeda pada garis verticaltitik berbeda pada garis vertical yang sama terpetakan ke titik-titik yang sama terpetakan ke titik-titik yang sama pada bidangyang sama pada bidang
–
–
xy. xy.
T(u)T(u) T(v) T(v) u u v v Vektor-vektorVektor-vektor u dan v dirotasiku dan v dirotasikan ke vektor-vektor berbeda an ke vektor-vektor berbeda T(u) dan T(v)T(u) dan T(v)
Suatu transformasi linear
Suatu transformasi linear
disebut satu-satu jika T memetakan vektor-vektordisebut satu-satu jika T memetakan vektor-vektor (titik-titik)(titik-titik) yang berbeda padayang berbeda pada
ke vektor-vektor (titik-titik) ke vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda padayang berbeda pada
x x y y zz M M Q Q P P
Titik-titik berbeda P dan Q dipetakan ke titik M yang sama Titik-titik berbeda P dan Q dipetakan ke titik M yang sama
Gambar 1 Gambar 1
Gambar 2 Gambar 2
2
2
Maka kita dapat bahwa untuk setiap vektor w
Maka kita dapat bahwa untuk setiap vektor w dalam daerah hasil transformasi linear satu-satudalam daerah hasil transformasi linear satu-satu T, tepat ada satu vektor
T, tepat ada satu vektor x sedemikian sehingga T(x)=w.x sedemikian sehingga T(x)=w.
Kita telah mengamati bahwa operator rotasi
Kita telah mengamati bahwa operator rotasi
(gambar 1) adalah satu-satu. Dari(gambar 1) adalah satu-satu. Dari teorema 4.3.1 kita dapatkan bahwa daerah hasil Tteorema 4.3.1 kita dapatkan bahwa daerah hasil T haruslah semua anggotaharuslah semua anggota
dan bahwadan bahwa matriks standar untuk T pastimatriks standar untuk T pasti bisa dibalik. Untuk menunjukkan bahwa daerah hasil dari Tbisa dibalik. Untuk menunjukkan bahwa daerah hasil dari T adalah semua anggota
adalah semua anggota
kita harus menunjukkan bahwa setiap vektor w padakita harus menunjukkan bahwa setiap vektor w pada
adalahadalah bayingan suatu vektor x dibawah T. karena vektor xbayingan suatu vektor x dibawah T. karena vektor x yang diperoleh dengan merotasikayang diperoleh dengan merotasikan wn w pada sudut
pada sudut
––
dipetakan ke w jika dirotasikan pada sudutdipetakan ke w jika dirotasikan pada sudut
. Dari tabel 6 pada bagian 4.2. Dari tabel 6 pada bagian 4.2 matriks standar untuk T adalahmatriks standar untuk T adalah
Dapat dibalik karenaDapat dibalik karena
Kita amati bahwa operator proyeksiKita amati bahwa operator proyeksi
(gambar 2) tidak satu-satu. Dari (gambar 2) tidak satu-satu. Dari teoremateorema 4.3.1 kita dapatkan bahwa daerah hasil T bukanlah semua anggota4.3.1 kita dapatkan bahwa daerah hasil T bukanlah semua anggota
dan bahwa matriksdan bahwa matriks standar untuk T tidak bisastandar untuk T tidak bisa dibalik. Untuk menunjukkan bahwa daerah hasil T bukan semuadibalik. Untuk menunjukkan bahwa daerah hasil T bukan semua anggota
anggota
kita harus menemukan suatu vektor w padakita harus menemukan suatu vektor w pada
yang bukan merupakan bayanganyang bukan merupakan bayangan setiap vektor x dibawah T. Tetapi sembarang vektor w di luar bidangsetiap vektor x dibawah T. Tetapi sembarang vektor w di luar bidang
–
–
xy mempunyai sifatxy mempunyai sifat ini, karena semua bayangan di bawah T terletak padaini, karena semua bayangan di bawah T terletak pada bidangbidang
–
–
xy. Dari tabel 5 pada bagianxy. Dari tabel 5 pada bagian 4.2 matriks standar untuk T4.2 matriks standar untuk T adalahadalah
Teorema 4.3.1Teorema 4.3.1
Jika A adalah suatu matriks n x n dan
Jika A adalah suatu matriks n x n dan
adalah perkalian dengan A, makaadalah perkalian dengan A, maka pernyataan berikut ini ekuivalen :pernyataan berikut ini ekuivalen : (a)
(a) A dapat dibalik A dapat dibalik (b)
(b) Daerah hasil dariDaerah hasil dari
adalahadalah
(c)3
3
B.
B. INVERS DARI SEBUAH OPERATOR LINEAR SATU-SATUINVERS DARI SEBUAH OPERATOR LINEAR SATU-SATU
Jika
Jika
adalah suatu operator linear satu-satu, maka dari teorema 4.3.1 adalah suatu operator linear satu-satu, maka dari teorema 4.3.1 matriks Amatriks A dapat dibalik. Jadi,dapat dibalik. Jadi,
sendiri adalah sebuah operator linear. Operator inisendiri adalah sebuah operator linear. Operator ini disebut invers daridisebut invers dari
. Operator-operator linear. Operator-operator linear
dandan
saling membatalkan dampak saling membatalkan dampak dalam pengertian bahwa untuk semua x dalamdalam pengertian bahwa untuk semua x dalam
((
))
Atau secara ekuivalenAtau secara ekuivalen
Dari suatu sudut pandang geometris yang lebih umum, jDari suatu sudut pandang geometris yang lebih umum, j ika w adalah bayangan x di ika w adalah bayangan x di bawahbawah
, maka, maka
memetakan w kwmbali ke x memetakan w kwmbali ke x karenakarena
((
))
Jika suatu operator linear satu-satu pada
Jika suatu operator linear satu-satu pada
dituliskan sebagaidituliskan sebagai
, maka invers dari, maka invers dari operator T dinyatakan denganoperator T dinyatakan dengan
. Karena matriks standar untuk . Karena matriks standar untuk
adalah invers dariadalah invers dari matriks standar untuk T, kitamatriks standar untuk T, kita dapatkandapatkan
Contoh Contoh
maps x to wmaps x to w
maps maps to to XX w w x x Gambar 3 Gambar 34
4
Anggap
Anggap
adalah operator yang merotasikan setiap vektor adalah operator yang merotasikan setiap vektor dalamdalam
pada sudutpada sudut
,, sehingga dari tabel 6 bagian 4.2.sehingga dari tabel 6 bagian 4.2.
**
++
Terbukti secara geometris bahwa untuk meniadakan dampak dari T kita harus
Terbukti secara geometris bahwa untuk meniadakan dampak dari T kita harus merotasikanmerotasikan setiap vektor pada
setiap vektor pada
dengan sudutdengan sudut––
. Tetapi inilah tepatnya yang dilakukan oleh operator. Tetapi inilah tepatnya yang dilakukan oleh operator
, karena matriks standar untuk , karena matriks standar untuk
adalahadalah
**
++
Contoh;Contoh;
Tunjukkan bahwa operator linear
Tunjukkan bahwa operator linear
didefinisikan persamaandidefinisikan persamaan
Sehingga matriks standar untuk T adalahSehingga matriks standar untuk T adalah
**
++**
++**
++
Matriks ini dapat dibalikMatriks ini dapat dibalik (sehingga T satu-satu) dan matriks standar untuk (sehingga T satu-satu) dan matriks standar untuk T adalahT adalah
Jadi Jadi
**
++
**
++
Dapat kita simpulkan menjadiDapat kita simpulkan menjadi
5
5
C.
C. SIFAT-SIFAT KELINEARANSIFAT-SIFAT KELINEARAN
Suatu transformasi
Suatu transformasi
linear jika persamaan yangmenghubungkan x dan w = T(x)linear jika persamaan yangmenghubungkan x dan w = T(x) adalah persamaan-persamaan linear.adalah persamaan-persamaan linear.
Pembuktian : Pembuktian :
Pertama-tama anggap bahwa T adalah suatu transformasi linear, dan anggap A adalah matriks Pertama-tama anggap bahwa T adalah suatu transformasi linear, dan anggap A adalah matriks standar untuk T. dari sifat-sifat aritmatika dasar dari mastriks kita dapatkan bahwa
standar untuk T. dari sifat-sifat aritmatika dasar dari mastriks kita dapatkan bahwa
dan dan
Sebaliknya anggSebaliknya anggap bahwa sifat (a) dan (b) ap bahwa sifat (a) dan (b) berlaku untuk transformasi T. Kita bisaberlaku untuk transformasi T. Kita bisa membuktikan bahwa T linear dengan menemukan suatu matriks A dengan sifat
membuktikan bahwa T linear dengan menemukan suatu matriks A dengan sifat bahwabahwa
T(x) = Ax T(x) = Ax
Untuk semua vektor x dalam
Untuk semua vektor x dalam
. Ini akan menunjukkan bahwa T adalah perkalian dengan A. Ini akan menunjukkan bahwa T adalah perkalian dengan A dan karna itu linear. Sifat (a) bisa diperluas sampai tiga atu lebih suku, misalnya jika u,v,dan dan karna itu linear. Sifat (a) bisa diperluas sampai tiga atu lebih suku, misalnya jika u,v,dan w adalah sembarang vektor padaw adalah sembarang vektor pada
, maka dengan pertama-tama mengelompokkan u dan w, maka dengan pertama-tama mengelompokkan u dan w dan menerapkan sifat (a) kita perolehdan menerapkan sifat (a) kita peroleh
Secara lebih umum untukSecara lebih umum untuk sebarang vektorsebarang vektor
padapada
kita dapatkankita dapatkan
Sekarang untuk mencari matriks A anggapSekarang untuk mencari matriks A anggap
adalah vektor-vektoradalah vektor-vektor
[[
]]
[[
]]
[[
]]
Dan anggap A adalah matriks yang vektor kolomnya berturut-turutDan anggap A adalah matriks yang vektor kolomnya berturut-turut adalahadalah
yaituyaitu
Teorema 4.3.2Teorema 4.3.2 Suatu transformasi
Suatu transformasi
adalah linear jika dan hanya jika hubungan berikut iniadalah linear jika dan hanya jika hubungan berikut ini berlaku untuk semua vektor u dan vberlaku untuk semua vektor u dan v padapada
dan setiap scalar c.dan setiap scalar c.(a)
(a) T(u+v)=T(u)+T(v)T(u+v)=T(u)+T(v) (b)
6 6 Jika Jika
Adalah sebarang vektorAdalah sebarang vektor
, maka hasil Ax adalah kombinasi linear dari vektor-vektor kolom, maka hasil Ax adalah kombinasi linear dari vektor-vektor kolom dari A dengan koefisien dari x,dari A dengan koefisien dari x, sedemikian sehinggsedemikian sehinggaa
AnggapAnggap
adalah proyeksi orthogonal bidangadalah proyeksi orthogonal bidang–
–
xy. Dengan mengacu pada gambarxy. Dengan mengacu pada gambar 4, terbukti secara geometris bahwa4, terbukti secara geometris bahwa
,,
,,
Sifat (a) untuk n suku Sifat (a) untuk n suku
Teorema 4.3.3Teorema 4.3.3 Jika
Jika
adalah suatu transformasi linear, danadalah suatu transformasi linear, dan
adalah vektor-vektoradalah vektor-vektor basis standar untukbasis standar untuk
, maka matriks standar untuk T , maka matriks standar untuk T adalahadalahx x y y x x y y zz (0,1) (0,1) (1,0) (1,0)
(1,0,0) (1,0,0) (0,1,0 (0,1,0 (0,0,1) (0,0,1) Gambar 4 Gambar 4Basisi standar untuk
7
7
Sehingga berdasarkan teorema 4.3.3 Sehingga berdasarkan teorema 4.3.3
Dengan menggunakan teorema 4.3.3 dengan cara yang lain, anggap
Dengan menggunakan teorema 4.3.3 dengan cara yang lain, anggap
adalahadalah perkalian denganperkalian dengan
**
++
Bayangan vektor-vekBayangan vektor-vektor basis standar bisa dibaca tor basis standar bisa dibaca secara langsung dari kolom-kolom matrikssecara langsung dari kolom-kolom matriks A: A:
**++
,,
**++
,,
**++
Contoh. Contoh. AnggapAnggap
adalah garis pada bidang -xy yang melalui titiadalah garis pada bidang -xy yang melalui titik asal dan membentuk sudutk asal dan membentuk sudut
dengnan sumbu-x positif, dimanadengnan sumbu-x positif, dimana
. Sebagaimana yang diilustrasikan pada gambar. Sebagaimana yang diilustrasikan pada gambar 5a, anggap5a, anggap
adalah operator linear yang memetakan setiap vektor ke proyeksiadalah operator linear yang memetakan setiap vektor ke proyeksi ortogonalnya padaortogonalnya pada
.. a)a) Cari matriks standar untuk TCari matriks standar untuk T b)
b) Cari proyeksi orthogonal vektor x=(1,5) pada garis melalui Cari proyeksi orthogonal vektor x=(1,5) pada garis melalui titik asal yang membentuk titik asal yang membentuk sudut
sudut
dengan sumbu-x positif dengan sumbu-x positifPenyelesaia Penyelesaian n a)a)
DimanaDimana
dandan
adalah vektor-vektor basis standar untuk adalah vektor-vektor basis standar untuk
. Tinjau kasus dimana. Tinjau kasus dimana
adalah serupa. Dengan melihat gambar 5b, kita dapatkanadalah serupa. Dengan melihat gambar 5b, kita dapatkan‖‖
‖‖
, sehingga, sehingga
‖‖
‖‖
‖‖
‖‖**
++
T(x) T(x) x x
1 1 1 18
8
Dan dengan melihat ke gambar 5c, kita
Dan dengan melihat ke gambar 5c, kita dapatkandapatkan
‖‖
‖‖
, sehingga, sehingga**
++
Penyelesaia Penyelesaian n b)b) Karena
Karena
dandan
√ √
, maka dari bagian a) , maka dari bagian a) kita dpatkan bahwa matriks standarkita dpatkan bahwa matriks standar untuk operator proyeksi ini adalahuntuk operator proyeksi ini adalah
⁄⁄ √ √ ⁄⁄
√ √ ⁄⁄ ⁄⁄
Jadi,Jadi,
**+
+ ⁄⁄ √ √ ⁄⁄
√ √ ⁄⁄ ⁄⁄**++[[
√ √
√ √ ]]
Atau dalam notasi horizontal,Atau dalam notasi horizontal,
√ √ √ √
D.
D. INTERPRETASI GEOMETRIS VEKTOR-EIGENINTERPRETASI GEOMETRIS VEKTOR-EIGEN
Jika A adalah suatu matrikx
Jika A adalah suatu matrikx nxn, makanxn, maka
disebut suatu nilai eigen dari A jika tidak ada vektordisebut suatu nilai eigen dari A jika tidak ada vektor tak-nol xtak-nol x sedemikian sehinggasedemikian sehingga
atau secara ekuivalenatau secara ekuivalen
Vektor-vektor taknol x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigenVektor-vektor taknol x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor eigen dari A dari A yangyang berpadanan dengan
berpadanan dengan
..Nilai eigen dan vektor eigen bi
Nilai eigen dan vektor eigen bias juga didefinisikan untuk operator-operator linear padaas juga didefinisikan untuk operator-operator linear pada
Amati bahwa jika A
Amati bahwa jika A adalah matriks standar untuk T, maka definisi adalah matriks standar untuk T, maka definisi di ata dapat ditulis di ata dapat ditulis sebagaisebagai
Definisi: jikaDefinisi: jika
adalah suatu operator linear, maka suatu scalaradalah suatu operator linear, maka suatu scalar
disebut suatudisebut suatu nilai eigen dari T jika ada suatu x tnilai eigen dari T jika ada suatu x tak nol padaak nol pada
sedemikian sehinggasedemikian sehinggaVektor-vektor tak-nol x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor-eigen dari
Vektor-vektor tak-nol x yang memenuhi persamaan ini disebut vektor-eigen dari T yangT yang b
9
9
Yang kita dapatkan bahwa Yang kita dapatkan bahwa
Nilai-eigen dari T tepat Nilai-eigen dari T tepat merupakan nilai-eigen dari matriks standarnya, Amerupakan nilai-eigen dari matriks standarnya, A
X adalah suatu vektor eigen dari X adalah suatu vektor eigen dari T yang berpadanan denganT yang berpadanan dengan
jika dan hanya jika xjika dan hanya jika xadalah suatu vektor igen dari A
adalah suatu vektor igen dari A yang berpadanayang berpadanann
JikaJika
adalah suatu nilai eigen dari A adalah suatu nilai eigen dari A dan x adalah suatu vektor eigen dan x adalah suatu vektor eigen yang berpadananyang berpadanan, maka, maka
, sehingga perkalian dengan A , sehingga perkalian dengan A memetakan x ke memetakan x ke suatu penggandaan skalarnysuatu penggandaan skalarnyaasendiri. Pada
sendiri. Pada
dandan
, hal ini , hal ini berarti bahwa perkalian dengan A memetakan setiap vektor-berarti bahwa perkalian dengan A memetakan setiap vektor-eigen x ke suatu vektoreigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan x (gambar 6)yang terletak pada garis yang sama dengan x (gambar 6) Jika
Jika
maka operator linearmaka operator linear
memampatkan x dengan factormemampatkan x dengan factor
jikajika
atau meregang x dengan factoratau meregang x dengan factor
jikajika
. Jika. Jika
, maka, maka
membalik arah x,membalik arah x, dan memampatkan vektor yang terbalik ini dengan factordan memampatkan vektor yang terbalik ini dengan factor
||||
jikajika||||
atau meregangatau meregang vektor yang terbalik ini dengan factorvektor yang terbalik ini dengan factor
||||
jikajika||||
(gambar 7)(gambar 7)Contoh: Contoh: Anggap
Anggap
adalah operator linear adalah operator linear yang merotasikan setiap vektor dengan sudutyang merotasikan setiap vektor dengan sudut
.. Terbukti secara geometris bahwa jikaTerbukti secara geometris bahwa jika
bukanlah penggandaan dari bukanlah penggandaan dari , , maka T maka T tidak tidak
GAMBAR 6GAMBAR 6
x x
xx x x x x x x
xx
xx
xx x x x x10
10
memetakan sebarang vektor tak nol x pada garis
memetakan sebarang vektor tak nol x pada garis yang sama dengan x;akibatnya, T tidak yang sama dengan x;akibatnya, T tidak mempunyai nilai eigen real. Tetapi jika
mempunyai nilai eigen real. Tetapi jika
merupakan penggandan darimerupakan penggandan dari
, maka setiap vektor, maka setiap vektor tak nol xtak nol x dipetakan ke garis yang sama dengan x, sehingga setiap vektor tak nol dipetakan ke garis yang sama dengan x, sehingga setiap vektor tak nol adalah vektoradalah vektor eigen dari
eigen dariT T . mari kita . mari kita memeriksa pengamatan geometris ini secara aljabar. Matrik standarmemeriksa pengamatan geometris ini secara aljabar. Matrik standar untuk T adalah
untuk T adalah
**
++
Nilai eigen matriks iniNilai eigen matriks ini adalah penyelesaadalah penyelesaian dari persamaan karakteristik ian dari persamaan karakteristik
yaitu yaitu
Tetapi jikaTetapi jika
bukanlah penggandaan daribukanlah penggandaan dari
, maka, maka
, sehingga persamaan ini tidak , sehingga persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian real untukmempunyai penyelesaian real untuk
dan akibatnya A tidak mempunyai vektor eigen real.dan akibatnya A tidak mempunyai vektor eigen real. JikaJika
adalah penggandaan dariadalah penggandaan dari
, maka, maka
dandan
atauatau
,, persamaan karakteristik menjadipersamaan karakteristik menjadi
, sehingga, sehingga
merupakan satu-satunya nilaimerupakan satu-satunya nilai eigen. Dalm kasus ini matrikseigen. Dalm kasus ini matriks A adalahA adalah
**
++
Jadi untuk semua x dalamJadi untuk semua x dalam
Sehingga T memetakan setiap vektor pada dirinya sendiri ,Sehingga T memetakan setiap vektor pada dirinya sendiri , dan dengan demikian pada garisdan dengan demikian pada garis yang sama. Dalam kasus dimana
yang sama. Dalam kasus dimana
dandan
, persamaan karakteristik menjadi, persamaan karakteristik menjadi
, sehingga, sehingga
adalah satu-satunya nilai eigen dari A. dalam kasus iniadalah satu-satunya nilai eigen dari A. dalam kasus inimatriks A adalah matriks A adalah
**
+
+
Jadi, untuk semua x dalamJadi, untuk semua x dalam
Sehingga T memetakan setiap vektor ke negatifnya, dan dengan demikian pada garis yang Sehingga T memetakan setiap vektor ke negatifnya, dan dengan demikian pada garis yang sama dengan x.
11
11
Contoh Contoh Anggap
Anggap
adalah proyeksi orthogonal pada bidang xy. adalah proyeksi orthogonal pada bidang xy. Vektor-vektor pada bidangVektor-vektor pada bidang xy dipetakan ke dirinya sendiri di bawah T, sehingga setiap vektor tak nol dalam bidang xy xy dipetakan ke dirinya sendiri di bawah T, sehingga setiap vektor tak nol dalam bidang xy adalah suatu vektor eigenadalah suatu vektor eigen
. Setiap vektor x pada sumbu z dipetakan ke 0 di bawah T,. Setiap vektor x pada sumbu z dipetakan ke 0 di bawah T, yang berada pada garis yang sama dengan x, sehingga setiap vektor tak nol pada sumbu z yang berada pada garis yang sama dengan x, sehingga setiap vektor tak nol pada sumbu z adalah suatu vektor eigenadalah suatu vektor eigen yang berpadanayang berpadanan dengan nilai n dengan nilai eigeneigen
. Vektor-vektor yang. Vektor-vektor yang tidak berada pada bidang xy atau pada sumbu ztidak berada pada bidang xy atau pada sumbu z tidak dipetakan ke penggandaan scalar daritidak dipetakan ke penggandaan scalar dari diri mereka sendiri, sehingga vektor eigen atau nil
diri mereka sendiri, sehingga vektor eigen atau nilai eigennya tidak ada.ai eigennya tidak ada. Untuk membuktikannya
Untuk membuktikannya, ingat bahwa matriks standar , ingat bahwa matriks standar untuk T adalahuntuk T adalah
Persamaan karakteristik dari A adalah Persamaan karakteristik dari A adalah
, Atau, Atau
Yang mempunyai penyelesaianYang mempunyai penyelesaian
dandan
yang diatas telah diantisipasi.yang diatas telah diantisipasi. Vektor eigen daVektor eigen dari matriks A ri matriks A yang berpayang berpadanan dengdanan dengan nilai eigenan nilai eigen
adalah penyelesaian dariadalah penyelesaian dari
Jika
Jika
sistem ini adalahsistem ini adalah
Yang mempunyai penyelesaianYang mempunyai penyelesaian
atau dalam bentuk matriksatau dalam bentuk matriks
ini adalah vektor-vektor pada sumbu z. ini adalah vektor-vektor pada sumbu z. Jika,
Jika,
maka akan menjadimaka akan menjadi
Yang mempunyai penyelesaianYang mempunyai penyelesaian
atau dalam bentuk matriksatau dalam bentuk matriks
Ini adalah vektor-vektor pada bidang x Ini adalah vektor-vektor pada bidang x
12
12
KESIMPULAN KESIMPULAN
Dengan menggabung
Dengan menggabungkan Teorema 2.3.6 dan kan Teorema 2.3.6 dan Teorema 4.3.1 menghasilkan teorema berikutTeorema 4.3.1 menghasilkan teorema berikut Teorema 4.3.4
Teorema 4.3.4
Jika A adalah suatu matriks n x n dan jika
Jika A adalah suatu matriks n x n dan jika
adalah perkalian dengan A, makaadalah perkalian dengan A, maka pernyataan-pernypernyataan-pernyataan berikut ataan berikut ini ekuivalenini ekuivalen a)
a) A bisa dibalik A bisa dibalik b)
b) Ax=0 hanya mempunyai penyelsaian trivialAx=0 hanya mempunyai penyelsaian trivial c)
c) Bentuk baris-eselon tereduksi dari A adalahBentuk baris-eselon tereduksi dari A adalah
d)d) Adapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali Adapat dinyatakan sebagai suatu hasil kali matriks-matriks dasarmatriks-matriks dasar e)
e) Ax=b konsisten untuk setiap matriks bn x IAx=b konsisten untuk setiap matriks bn x I f)
f) Ax=b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks bn x Ax=b tepat mempunyai satu penyelesaian untuk setiap matriks bn x II g)
g)
h)h) Daerah hasilDaerah hasil
i)13
13
Soal Latihan: Soal Latihan:
1.
1. Cari matriks standar untuk operator linear Cari matriks standar untuk operator linear yang didefinisikan oleh persamaan-yang didefinisikan oleh persamaan-persamaan di bawah ini dan gunakan Teorema 4.3.1 untuk menentukan
persamaan di bawah ini dan gunakan Teorema 4.3.1 untuk menentukan apakahope
apakahoperator ini rator ini satu-satu.satu-satu. a.
a.
b.b.
2.2. Tentukan apakah operator linierTentukan apakah operator linier
yang didefinisikan oleh yang didefinisikan oleh persamaan- persamaan-persamaan berikut ini adalah satu-satu; jika demikian, caripersamaan berikut ini adalah satu-satu; jika demikian, cari matriks standar untuk matriks standar untuk operator inversnya, dan cari
operator inversnya, dan cari
a.a.
b.b.
3.3. Gunakan Teorema 4.3.2 untuk menentukan apakahGunakan Teorema 4.3.2 untuk menentukan apakah
adalah suatu operatoradalah suatu operator linear.linear. a.
a.
b.b.
4.4. Gunakan Teorema 4.3.2 untuk menentukan apakahGunakan Teorema 4.3.2 untuk menentukan apakah
adalah suatuadalah suatu otransformasi linear.otransformasi linear. a.
a.
b.b.
5.5. Tentukan apakah perkalian dengaTentukan apakah perkalian dengan A adalah suatu n A adalah suatu transformasi linier satu-satu.transformasi linier satu-satu. a.
a. A =A =
