• Tidak ada hasil yang ditemukan

1000 Soal Untuk Matematika _Olimpiade_

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2018

Membagikan "1000 Soal Untuk Matematika _Olimpiade_"

Copied!
17
0
0

Teks penuh

(1)

OLIMPIADE MATEMATIKA

,

1

{

=

A

2

,

3

,

4

,

5

,

,

2004

}

A

! " ! " # $ $ "$ % % &

' 2004 ! " # $ % $ "$ %

( % # $ $ "$ %" &

) * $ $ ! % +

2 2

2 2 2

2 2

2

2005

1

2004

1

1

...

4

1

3

1

1

3

1

2

1

1

2

1

1

1

1

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

S

, - ! . " x " $ % $ $ $ ( $

" ! x

A

=

1

+

2

+

3

+

...

+

2004

$

$

A

&

/ . " AR ! ! . " " % +

f

(

1

)

=

1

;

f

(

2

)

=

2

;

f

(

3

)

=

3

;

!

(

)

(

)

(

3

)

1 2 1

) (

+ − + − =

n f

n f n

f n

f n≥4 $ ! %

f

(

2004

)

&

0 $ " %

A

=

2005

2005

B

=

2005

2004

+

2004

20051

2 3 4

5505

2202

+

2202

5505 " ! 7&

5

x

,

y

,

z ! $ $ "$ %"

x

+

3

y

+

5

z

=

50

* $ % $

(

x

,

y

,

z

)

%" %" &

6 A=2005C0+2005C2+2005C4 +...+2005C2004 $ $

A

&

2003 2004 5

2004 3 2004 1

2004C C C ... C

(2)

P

! $ # $ ! % . " " $# %

(

)

2006

(

)

2006

4 200 4

200x+ y + xy 3 4

P

" ! 8&

' $ %! % ! % 3! abc ! " % +

• - % " 7 ! $ 8 ! "

b

(

c

+

1

)

=

52

4

a

)

A

=

2

2003

+

2

2004

+

2

2005 4 % " ! %

A

"

&

, . " ! ! $ % $ ! ! . " " % +

( )

x = f

(

x+y

)

+ f

(

xy

)

f

π

π

2 1 sin 2

1 sin

2 !

(

x y

)

(

x y

) (

f x y

) (

x y

) (

f x y

)

f 2 − 2 = + − + − +

$

)

2005

(

)

2004

(

f

f

+

&

/ - P=3+33+333+...+333...333 !

Q

! $ # $ ! 9!

P

$

Q

& 2004angka

0 -

a

,

b

,

c

,

d

! e ! $ $ 9 $ % $

19

= + + +

+b c d e

a !

a

2

+

b

2

+

c

2

+

d

2

+

e

2

=

99

$ : ! % e&

2

P

=

{

1

,

2

,

3

,

4

,

,

2004

}

- %

P

%" !

3 ! # $ ! % " ! 3

* %" &

5

M

=

{

1

,

2

,

3

,

4

,

,

2005

}

- %

P

%" !

3 ! % " % *

(3)

6 1+2+3+4+...+n=aaa $ $ n ! aaa &

' aabb=

( )

xy 2 $ $

a

,

b

,

x

,

!

y

&

'

f

(

n

)

! ! . " " . % ! % n

)

2005

(

...

)

3

(

)

2

(

)

1

(

f

f

f

f

A

=

+

+

+

+

# $ " !

A

# $ ;

1

''

2004

3

=

A

2

B

2 !

A

!

B

$ "$ $

A

!

B

&

')

A

=

1

3

2

3

+

3

3

4

3

+

5

3

6

3

+

...

+

2005

3 $ $ ! %

A

&

',

a

1

,

a

2

,

a

3

,...,

a

n ! $ $ "$ ! % " % !

2005

...

3 2

1

+

a

+

a

+

+

a

n

=

a

$ " ! %

a

1

×

a

2

×

a

3

×

...

×

a

n

&

'/

A

!

B

! $

2

$ "$ % !% " $ "

! $ 2005 " "

(

A

,

B

)

&

'0 a1,a2,a3,...,an ! $ $ ( ( % !

2005

2

...

2

2

2

a1

+

a2

+

a3

+

+

an

=

$

n

a a

a

a1+ 2 + 3+...+ &

'2

a

,

b

,

c

! n ! $ $ 9 $ "$ %"

n n n

c

b

a

+

=

$

a

,

b

,

c

" $ " % ! % ! n&

'5 -

x

,

y

,

z

!

t

! $ $ % $ ! $ !

%" +

x+ y+z =t <

t z y x

1 1 1 1

= +

+ <

(4)

'6 # 4 ! % $ "

(

x

,

y

,

z

,

t

)

! x,y,z,t ! $ $ "$ %"

4 2 3 3

t z y

x + + = &

) " $ ! " $

0

,

xyz

"

z y x xyz

+ +

= 1

,

0 &

) 3 4 # $ ! 9 $ "$ % !%

! % % $ 2006&

)' " $ $ n "

n

n

+

+

4

625

2

25

4

625

2

25

# % $ $ &

)) * $ " $ $

(

x

,

y

)

%"

x

+

y

<

2005

!

x

! $ % $ ! % x&

), 3 ! $ ! % 2004 % $

(

a

,

b

,

c

)

!

a

,

b

,

c

" ! $

$ $ " . %"

a

15

+

b

15

=

c

16&

)/ . "

( )

e

e

e

x

f

x

x

+

=

!

e

=

2

,

718

...

$ $ ! %

+ + +

+

2005 2004 ...

2005 3 2005

2 2005

1

f f

f

f &

)0 " $ %! % ! %

4

! ! % !%

%" +

• % 7 $ <

• % " 7 $ ! % " &

)2 - a ! b ! $ $ % $ " % +

(5)

b

3

3

a

2

b

=

8

$ $ ! %

(

2 2

)

b

a + &

)5 a ! b ! $ $ % $ % % ! c=a×b $ ! #

2 2 2

c

b

a

D

=

+

+

D

# $ ; 1

)6 $ %! % ! % , ! abcd "

%"

abcd

+

1

=

(

ac

+

1

)(

bd

+

1

)

&

, " $ n∈ $

1

43

7

+

n

n

# $ $

&

, " $ "$

(

x

,

y

,

z

)

%" 1 +2 −3=1

z y x

&

,' n $ "$

(

n3+10

)

" !

(

n

+

10

)

$ : n &

,) * $ 1 2 3 2003

2

2004

2003

2005

...

2

4

3

5

2

3

2

4

2

2

1

3

×

×

+

×

×

+

×

×

+

×

×

&

,, - a ! b ! $ $ "$ %"

3 3 4

b

a

a

=

a ! b % ! % 2004 $ " "

(

a

,

b

)

&

,/ x!

y

! $ $ "$ %"

xy

+

x

+

y

=

71

! x2y+xy2 =880 $

(

x2+ y2

)

&

,0 $ $

A

2!

A

! $ # $ ! % $ $ " %9 %

%" +

x

x

91

19

91

19

91

19

91

19

(6)

,2

( )

(

3 2

) (

3 2

) (

3 2

)

1

2

1

1

2

1

+

+

+

+

+

=

n

n

n

n

n

n

f

" n $ "$

$ ! %

f

( )

1

+

f

( )

3

+

f

( )

5

+

...

+

f

(

999

.

999

)

&

,5 = % $ ) $ "$

x

,

y

,

z

!

z

<

y

<

x

<

2004

!

%" x3+ y4 =z5&

,6 # 4 " $ "$ n %$ n n n n

) 4 ( 1900 25

121 − + − −

" $ $ " ! 2000 &

/ 3 4

1998

+

1999

×

2

2004 " ! 7&

/ ) $ "$

x

,

y

,

z

"

2005 2006 3

3 3 3

= + +

z x

y x

&

/'

A

2

=

1111

...

111

2222

...

222

$ $

A

&

' , ' '

/) = % $ ' , $ "$ % % " ( % % % $ 9 $

" !

/, % "

(

1

×

1

!

) (

+

2

×

2

!

) (

+

3

×

3

!

)

+

...

+

(

n

×

n

!

)

&

//

-1336

1

...

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

+

+

+

=

b

a

! a % $ . % ! b

# 4 a ! $ $ ! % ' ' &

/0 # " $ $ x !

y

"

2005 1 1 1

= +

y

x &

/2 - A=1!+2!+3!+4!+...+n!;n<2004 " $

n

" A

% !% " % &

/5 (

b

a

(7)

7

2

=

b

a

(

a

+

b

)

%! % ! % '

(

a

+

b

)

% !% " %

/6 $ " %

2

175

5

75 1

0

x

x

3

2

3

2

3

2

3

2

+

+

+

+

=

$ x&

0 - % 2 $ % $ % ! # 4 ! ' ! % %

" $ a ! b %"

3 3 1

0 < +

− <

ab b a

&

0' 3 4 # " $ "$ $ " % ! % ! ! %

! # $ 9 " $ % $ $

6 &

0) 3 $ > $ !% ? ! $ $ " % " % ! " % / ))

'2' '')'' * $ $ $ !% ! % " ' , &

0, @ ! ! . % $ $ % ! " " % ! % %

% ' ) % # $ 9 ! $ " %

% " ! ' , 3 % " % $ $ %

%" 1

0/

2003 1002 ...

7 4 5 3 3 2 1

12 2 2 2 2

+ + + + + =

A !

2005 1002 ...

9 4 7 3 5 2 3

12 2 2 2 2

+ + + + + =

B

# $ $ %! ! %

(

A

B

)

&

00 3 4

3

4

3001

1

...

1003

1

1002

1

1001

1

(8)

02 @ %" 19m+90+8n=1998 ! $ " # $ "

(

m

,

n

)

! m! n∈ "$ $ " ! % ! $

(

100

,

1

)

%

" ! n % ( $ "

! $ m % ( $ &

05 * $ +

= + + + + +

2004

11 2 3 4 ... 1

k k

06

( )

x

x f x

f +2 1 =3 ! x≠0 $ " $ "

f

( )

x

=

f

( )

x

&

2 % " $ ! A0 =0,

A

1

=

1

,

! An =5An−1−6An−2 3

4 An =3n −2n " n $ "$ &

2 3 4

AB

+

1

% $ !% ! $ #

111 ... 111

=

A ! B=100...005&

' ,

' /

2' 3 4 111...11222...225 ! $ $ !% !

$ &

' , ' /

2) 3 4

10

2

2

10

2

100

50 100 100

<

<

C

&

2, $ x3+y3 # ! + + =19

y x y

x !

60

2

=

+

y

xy

x

&

2/ 3 4

53

103

+

103

53 " ! 39 &

20 = % $ " $ " %" +

x

+

y

+

xy

=

11

(9)

z+x+zx=19

22

x

,

y

,

z

! $ $ % $ %" +

x

+

y

+

z

=

1

x2 +y2 +z2 =2

• 3 + 3 + 3 =3

z y

x $ 4 4 4

z y

x + + &

25 " " $ "$

(

x

,

y

)

%"

60

95

19

+

=

y

x

&

26 - f

( ) (

x = x+3

)

4 −12

(

x+3

)

3+54

(

x+3

)

2 −108

(

x+3

)

+81 $ "$

( )

x

f

! $ $ " ! % ! $

f

(

2005

)

&

5 3 $ % $ 2,52525252... ! $ $ % " $

n m

!

m

!

n

$ $ ! n≠0

m

!

n

% $ . % % $ ! %

) (m+n 1

5 $

x

,

y

,

z

%"

,

2

1

=

+

y

x

xy

,

3

1

=

+

z

y

yz

7 1

= +x z

zx

&

5' $ ! % − − − − −

2004 1 1 ... 5 1 1 4 1 1 3 1 1 2 1

1 &

5) $ ! %

2005 2004

1 ...

4 3

1 3 2

1 2 1

1

× +

+ × + × +

× &

5, $ ! %

10000

9999

1

...

4

3

1

3

2

1

2

1

1

+

+

+

+

+

+

+

(10)

5/ -

(

a

1

×

1

!

) (

+

a

2

×

2

!

) (

+

a

3

×

3

!

)

+

...

+

(

a

n

×

n

!

)

=

2004

!

a

n

0

,

0

a

k

k

! k =1,2,3,...,n "

(

a

n

,

n

)

% % % " % &

50 3 % " " # 4343! 1

52 " $ " .

n

"

5 2 25 3 − + n n

# % $ $ " . &

55 1 1 1 1 17 57 + + + + = d c b

a ! a,b,c,d ! $ $ " . $

! % a×b×c×d &

56 8 3 10 3 2 6

2y y z z x

x +

= + = +

$ ! %

2005

2

2005

2 2

2005

z

y

x

xy

zx

yz

+

+

+

+

& 6 2004 1 2003 1 ... 6 1 5 1 4 1 3 1 2 1

1− + − + − + + −

= A ! 2004 1 ... 1005 1 1004 1 1003 1 + + + + =

B $ $ 2 2

B

A

&

6 3 4 2

! 2005 1 ... ! 4 1 ! 3 1 ! 2 1 ! 1 1 < + + + + + &

6' $ ! %

1 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 1 1 1 2005 2004 2003 2003 2004

2005+ + − + + − + + + + + + + +e e e e e e &

6) - a,b,c,d ! $ $ % $ %"

a+4b+9c+16d =52

• 4a+9b+16c+25d =150

• 9a+16b+25c+36d =800

(11)

6,

2 2004 1+

=

x $ $ ! % +

• 4x3−2007x−2000

• 4x2005−4x2004−2003x2003

6/

a

! b ! $ $ % $ %" 1 +a+b=11

ab

! a2b2

(

a+b

)

2 =61a2b2−1 $ ! %

b a

1 1

+ &

60 3 4 " $ $ , $ "$ % % ! % %

$ !% &

62 $ " % % ! 3 #

(

)

=

× =

2004

1 !

k

k k

A ! B=2005&

65

2004

1

...

4

1

3

1

2

1

1

+

+

+

+

+

=

x

4 86<x<89 &

66 3 4 # " $ $ 6 # $ 9

" $ 6 &

- $ "$ % % a,b,c,d 3 4

1

+ + + + +

+ac ad bc bd cd

ab " ! ' &

3 4 " $ "$ %! % ! % 0 ! %

abcabc " $ $ " ! 6 &

'

α

,

β

,

γ

! $ " ! 9" ! ! $ " 3= $

! % +

(

sin

α

+

sin

β

+

sin

γ

)(

cos

ec

α

+

cos

ec

β

+

cos

ec

γ

)

&

) a,b,c ! $ " " 9" " " " 3= 3 4

3

≥ − + + − + + −

+ a b c

c b

a c

b a

c b

a

(12)

, a,b,c $ % $ " . ! a+b+c=1 4

(

1

a

)(

1

b

)(

1

c

)

8

abc

&

/

x

! y $ % $ %"

x

+

x

+

y

=

5

!

10

=

+

y

y

x

&

0

1

(

1

2

)

(

1

2

4

)

(

1

2

4

8

)

...

(

1

2

4

8

...

2

−1

)

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

=

n

A

% " $ A &

2 a,b,c,d $ % $ " . 4 +

a+bab

2

2

a+b+cabc

3

3

a+b+c+dabcd

4

4

5 a,b,c $ % $ " . 4

abc ac

c a bc c b ab b

a2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 ≥6 &

6 = % $ " $ " # ! a,b,c,d $ % $

abc+ab+bc+ca+a+b+c=1

bcd+bc+cd+db+b+c+d =9

cda+cd+da+ac+c+d+a=9

dab+da+ab+bd +d +a+b=9

a

! b ! $ $ % $ ! 2

10 10

= + + +

a b

b a b a

$

b a

&

(13)

' a,b,c,d ! $ $ % $ " . ! %$

d c b a

< 4

d c d b

c a b a

< +

+

< &

) 3 4

n

$ $ n3 +2n" $ $ " ! ) &

, $ x,y,z $ % $ %"

x

2

+

2

yz

=

x

y

2

+

2

zx

=

y

z

2

+

2

xy

=

z

/ ! % ) $ % $ " . a,b,c! %$ ,

a c c b b a

=

= $

! %

c b a

c b

a

+ +

+ +

2 3

2005 2004

2003

&

0 3 4

n

$ "$ $ ! % n5−n "

! ) &

2 " $ P ! Q % % 9 % % $ % " % ! % ( $

! % " $ %! % ! % , ! ! # $ 9

! $ 6 % . ( % % % " % ! %

(

P

Q

)

1

5 " $ "$ N " N+1 " ! / ! N−1 "

! , &

6 3 % " $ $ " .

(

x

,

y

)

10000

8

8

+

<

y

x

1

' 3 4 " $ "$ % % ! ,'/ ! 5'/ "

(14)

' 3 4

11

10

1

" ! &

'' $ " . x,y,z ! % %" +

• 2

log

x

+

4

log

y

+

4

log

z

=

2

• 3

log

y

+

9

log

z

+

9

log

x

=

2

• 4

log

z

+

16

log

x

+

16

log

y

=

2

') $ " ! % a + a + a =a

5 3

2 !

x

! $

$ $ % " % $ ( $ " !

x

&

', - a+b+c+d =0 ! a×b×c×d ≠0 3 4

(

3 3 3 3

)

2

(

)

2

9

abc

abd

acd

bcd

d

c

b

a

+

+

+

=

+

+

+

&

'/ -

x

! y $ % $ ! 1< y<2 ! xy+1=0

$ ! % 4x2 +4y−3+2 y2 −6x−2y+10 &

'0 $ %! % ! % ) ! 3 $ " ! ' ! " $

! $ # $ 9 $ &

'2 $ 2 $ "$ % ! ! $ ' , a,b,c ! $ $

% " % $ % ( $ ! % a+b+c &

'5 - $ " 3= 4

8 1 2 1 sin 2

1 sin 2

1

sin A× B× C≤ &

'6 - $ " 3= 4

8 1 cos cos

cosA× B× C≤ &

) A, B,! C ! $ " ! 9" ! ! " 3= 4 +

3 2 3 sin sin

(15)

) A, B,! C ! $ " ! 9" ! ! $ " 3= 4 +

3

5

8

tan

.

tan

8

tan

.

tan

8

tan

.

tan

21

2 1 2 1 2 1 2 1 2

1

A

B

+

+

B

C

+

+

C

A

+

)' 3 4

2 1 2005 2003 cos ... 2005 5 cos 2005 3 cos 2005

cos

π

+

π

+

π

+ +

π

= &

)) - $ " 3= %" ! $ ( 4

2 2 1 tan 2 1 tan 2 1

tan A+ B+ C>

π

&

), 3 4 sinA+sinB+sinC+tanA+tanB+tanC >2

π

3 =

! $ 9 " ! " " %" ! $ ( &

)/ 3 4

x x

x x

x

x n n

2 sin 1 ... 8 sin 1 4 sin 1 2 sin 1 2 cot

cot − = + + + + &

)0 3 4 cosec100+cosec500 −cosec700 =6 &

)2 3 = ! $ %9 % %"

x

3

+

px

2

+

qx

+

r

=

0

# 4

q

p

c

b

a

2

+

2

+

2

=

2

2

&

)5

θ

#

2 1 3

cos

θ

= ! $ %9 % %"

0 1 6

8x3 − x− = &

)6 3 4 36

9 7 sec 9 5 sec 9 1

sec2

π

+ 2

π

+ 2

π

= &

, 3 = " ! 9" ! ! " 3= 4

3

3

tan

tan

tan

A

B

C

&

, 3 = " ! 9" ! ! " 3= 4

C B A ecC ecB ecA 2 1 sec . 2 1 sec . 2 1 sec 4 9 cos cos

(16)

,' 3 = " ! 9" ! ! " 3= 4

9 2 1 cot 2

1 cot 2

1

cot2 A+ 2 B+ 2 C≥ &

,) 3 4 ! " " $ $ ! $ " "

( " $ " %" " " " &

,, ( ! $ " " 9" " " " 3= 4

a

2

+

b

2

+

c

2

4

3

$ " " &

,/ - %" acos2

θ

+bcos

θ

+csin

θ

+d =0 ! ( !

$ % $ $

θ

%$ ! %A $ 0≤

θ

≤2

π

#

4

θ

1

+

θ

2

+

θ

3

+

θ

4

=

2

π

k

! k $ $ &

,0 3 4

(

a

+

b

c

)(

b

+

c

a

)(

c

+

a

b

)

abc

&

,2 ( ! $ " " 9" " " " 3= 4

(

a

+

b

+

c

)(

ab

+

bc

+

ca

)

9

abc

,5

n

$ "$ 4

(

)(

)(

) (

)(

) (

)

2005

1003 2005

2004 ...

3 2

1 + + + + < +

+ n n n n n

n &

,6

x

$ % $ " .

2004 1

1 1

... 1999 2001 2003 1999

2001 2003

≥ +

+ +

+ + +

x x

x x

x

x &

/ - % " B (( ' ) / 5 ) ' ! F(1)=1,

2 ) 2 ( =

F ! F(n+2)=F(n+1)+F(n) n≥1

• " " " $ # $ B (( F(100) ! 2

(17)

/ ! " % % /:/ $ '0 ! ! $

%" # 4 ! ' # % % ! %

2

&

/' . " . ! " " $ # ! C ! $ % ! % f

! y=z .9 D E7.9 DCE # 4 #

f

{

f x

( )

}

=

9

x

+

4

f

" 9" &

/) $ % ! ! % $ !

Referensi

Dokumen terkait

brother Raffy correctly measures three sides of the same rectangle and gets a total of?.

[r]

[r]

[r]

Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan angka-angka lain dapat diperoleh dengan membolak-balikan susunan angka tersebut. Tentukan sisa pembagian 13 2011

8 bagian dari buku tersebut berupa buku Fiqih, sebanyak 22,5% berupa buku Aqidah Akhlaq, 0,25 bagian berupa buku SKI, dan sisanya buku Quran Hadist. Urutan jenis buku dari

Tentukan selisih antara bilangan 6 angka terbesar terhadap bilangan 6 angka terkecil yang dapat dibentuk dari angka : 6, 7, 3, 1, 8, dan 5... Tentukan jumlah semua angka dari

Empat bola berjari-jari sama yaitu 10 cm terletak di atas meja sedemikian sehingga pusat dari keempat bola membentuk bujur sangkar bersisi 20 cm.. Bola kelima berjari-jari 10