PENAKSIRAN METODE PENAKSIRAN CONTOH. Kasus 1: taksiran titik IP = 3,5 Kasus 2: taksiran selang IP = [3,4]

PENAKSIRAN

Penaksiran Titik Penaksiran Selang Selang Kepercayaan untuk µ Selang Kepercayaan untuk σ²

MA 2181 Analisis Data Utriweni Mukhaiyar Oktober 2010

© 2008 by USP & UM

METODEPENAKSIRAN

1. Penaksiran Titik

Nilai tunggal dari suatu parameter melalui pendekatan metode tertentu.

2. Penaksiran Selang

2. Penaksiran Selang

Nilai sesungguhnya dari suatu parameter yang berada di selang tertentu.

2

© 2008 by UM

CONTOH

1. Seorang mahasiswa calon sarjana Matematika, memiliki target IP ketika lulus adalah 3,5.

2. Seorang mahasiswa lainnya memiliki target IP ketika lulus adalah minimal 3.

3

Kasus 1: taksiran titik IP = 3,5 Kasus 2: taksiran selang IP = [3,4]

© 2008 by UM

ILUSTRASI

Parameter Populasi σ² µ

k i Populasi

Sampel

titik??

Parameter sampel menaksir parameter populasi

4

Parameter Sampel menaksir

? ?

??

selang??

© 2008 by UM

P^ENAKSIRANT^ITIK

Statistik yang digunakan untuk mendapatkan taksiran titik disebut penaksir atau fungsi keputusan.

 X

2

2

s

5

Apakah dan sX ²merupakan penaksir yang baik dan paling efisien bagi  dan ²?

© 2008 by UM

PENAKSIRTAKBIAS DANPALINGEFISIEN Definisi

Statistik dikatakan penaksir takbias parameter

 bila, ˆ





_ˆ E[ˆ]





_ E[]

6

 Dari semua penaksir takbias yang mungkin dibuat, penaksir yang memberikan variansi terkecil disebut penaksir yang paling efisien

2 ˆ 2

ˆ₁ ₂

 





© 2008 by UM

P^ENAKSIRT^AKB^{IAS UNTUK}DAN² Misalkan peubah acak X ~ N(,²)





penaksir tak bias untuk .



 ⁿ

i

Xi

X n

1

1

 penaksir takbias untuk ².

7

 





 

 ⁿ

i

i X

n X s

1 2 2

1 1

Bukti : dengan menunjukkan bahwa,



 ] [X E

2 2] [s  E

© 2008 by UM

P^ENAKSIRANS^ELANG

 ˆ dan^ˆ2 dicari sehingga memenuhi :

ˆ ^{1 2} ˆ₁ ˆ₂

ˆ ˆ  

   ˆ1



Taksiran selang suatu parameter populasi :

 dan : nilai dari peubah acak dan

 dan dicari sehingga memenuhi :

8

1 ₂



ˆ ˆ



1

2

P 1

taraf/koefisien kepercayaan

2

1 ˆ

ˆ  

  

Selang kepercayaan : perhitungan selang berdasarkan sampel acak.

dengan 0 <  < 1.

© 2008 by UM

S^KEMAP^ENAKSIRAN

POPULASI

µ σ²

9 1

POPULASI 2 POPULASI

BERPASANGAN 2

POPULASI

σ²

diketahui σ² tidak diketahui D

σ12 , σ22

diketahui σ12 = σ22

tidak diketahui σ12 ≠ σ22 tidak diketahui 1

POPULASI 2 POPULASI

BERPASANGAN 2

POPULASI

D

Tabel z Tabel t Tabel z Tabel t Tabel t

Tabeln²1 _Tabel

2 1,v

Fv

© 2008 by UM

KURVANORMALBAKU(Z~N(0,1))

MENGHITUNG TABELz

/2 ^{P(-z1-/2 ≤ Z ≤ z1-/2)} /2

10

 = 0 1 -

/2 /2

z_1-/2 -z1-/2

(1-/2)

 = 5% maka z1-/2= z_0,975 =1,96  P(Z ≤ z_0,975) = 1 – 0,025 = 0,975 dan -z_1-/2 = -z_0,95= -1,96.

© 2008 by UM

KURVA T-STUDENT(T~T_V)

MENGHITUNG TABELt

/2 /2/2

/2 ^{P(-t/2 ≤ T ≤ t/2)}

11

© 2008 by UM

/2 /2

 = 5% dan n =10 maka t_/2;n-1= t_0,025;9 = 2,262  P(T ≤ t_0,025) = 0,025 dan -t_/2;n-1 = -t_0,025;9= -2,262

 = 0 1 -

/2 /2

t_/2 -t/2

SELANGKEPERCAYAAN(1-) UNTUK

Kasus 1 populasi, ² diketahui

 

  





  



 1

1 2

1 2 Z z

z P

TLP ^X

z n n X

z

X   





1 2

12    



© 2008 by UM 12

TLP : ~ (0,1)

/ Z N

n

X 





 

 



  

 



    



 1

12

12 X z n

z n X P

SK (1-)untuk jika ²diketahui :

S^ELANGK^EPERCAYAAN(1-) UNTUK

Kasus 1 populasi, ² tidak diketahui

 

  



 



   1

2 2

t T t P

 t

X 

n t S n X

t S X

2 2



  



© 2008 by UM 13



 

  

 



     1

2

2 n

t S n X

t S X P

SK (1-)untuk jika ²tidak diketahui :

~ 1

/ t^n n S



CONTOH1

Survey tentang besarnya biaya pengeluaran yang dilakukan pada 50 buah rumah sakit di Amerika diketahui berdistribusi normal dengan simpangan baku $ 1,000 dan rata-rata

l d l h b $

pengeluaran adalah sebesar $ 5,500. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

14

© 2008 by UM

CONTOH2

Survey tentang besarnya biaya pengeluaran yang dilakukan pada 50 buah rumah sakit di Amerika diketahui berdistribusi normal. Rata- rata pengeluaran adalah sebesar $ 5,500 dengan

b k $

simpangan bakunya $ 1,000. Dengan menggunakan taraf keberartian 2% carilah selang kepercayaannya !

Dapatkah Anda membedakan contoh 1 dengan

contoh 2? 15

© 2008 by UM

A^NALISISC^ONTOH

Contoh 1 Contoh 2

Diketahui : n = 50 , , σ = 1000 n = 50 , , S = 1000 Ditanya : SK 98% untuk  ( = 0 02) SK 98% untuk  ( = 0 02)

5500

X X5500

Ditanya : SK 98% untuk  ( 0,02) SK 98% untuk  ( 0,02) Jenis kasus : kasus menaksir  dengan ²

diketahui, kasus menaksir  dengan ² tidak diketahui, Jawab : z_1-/2= z_0,99= 2,33 t/2;n-1= t_0,01;49= 2,326

16

n z X n z

X   





12

12    

 n

t S n X t S X

2 2



  



© 2008 by UM

SOLUSICONTOH1 DAN2

50 331000 , 2 50 5500

331000 , 2

5500  

1. SK 98%untuk jika ²diketahui :

17

512 , 5829 488

, 5170 

2. SK 98%untuk jika ²tidak diketahui : 50 3261000 , 2 50 5500

3261000 , 2

5500  

946 , 5828 054 , 5171 

© 2008 by UM

S

ELANG

K

EPERCAYAAN

(1-)

UNTUK



₁

-



₂

KASUS 2 POPULASI

X1~ N(µ1, σ12) X₂~ N(µ₂, σ22)

1.SK (1-) untuk (1-2) jika12 dan 22 diketahui

18

2 2 2 2

1 2 1 2

1 2 1 / 2 1 2 1 2 1 / 2

1 2 1 2

(X X) Z (X X) Z

n n n n

 

     

 

        

_

_

© 2008 by UM

SELANGKEPERCAYAAN(1-) UNTUK₁-₂

KASUS 2 POPULASI

2. SK (1-) untuk (1-2) jika12 , 22 tidak diketahui dan 12 ≠22

2 2 2 2

1 2 1 2

( ) S S ( ) S S

X X X X

© 2008 by UM 19

1 2 1 2

1 2 ; / 2 1 2 1 2 ; / 2

1 2 1 2

(X X) t (X X) t

n n n n

     

        

2 2 2

1 2

1 2

2 2 2 2

1 1 2 2

1 2

dimana

( / ) ( / )

1 1

S S

n n

S n S n

n n



 

  

 



  

3. SK (1-) untuk (_1-₂) jika₁² , ₂² tidak diketahui dan ₁² = ₂² SELANGKEPERCAYAAN(1-) UNTUK₁-₂

KASUS 2 POPULASI

1 2 ; / 2 1 2 1 2 ; / 2

1 2 1 2

1 1 1 1

(X X) t Sp (X X) t Sp

n n n n

     

        

20

2 2

1 1 2 2

1 2

( 1) ( 1)

dimana

2

p

n S n S

S n n

  

  

1 1 2 2

1 1 22

2 2

2 2

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1

1 2

1 2

atau

2 2

n n n n

p

X X X X

X X n X X n

S n n

JK JK

n n

       

       

       

   

  

 

 

   

dan v = n₁+ n₂ - 2

© 2008 by UM

PENGAMATANBERPASANGAN Ciri-ciri:

Setiap satuan percobaan mempunyai sepasang pengamatan

Data berasal dari satu populasi yang samap p y g

Contoh

Berat badan sebelum dan sesudah diet

Penentuan perbedaan kandungan besi (dalam ppm) beberapa sampel zat, hasil analisis X-ray

dan Kimia 21

© 2008 by UM

S^ELANGK^EPERCAYAAN(1-) UNTUK_D SK untuk selisih pengamatan berpasangan dengan rataan dan simpangan baku Sd:

1; 1;

d d

n D n

S S

dt_ 



 d t_  d

22

1; 1;

2 2

n D n

n



n

d merupakan rata-rata dari selisih 2 kelompok data.

2

1 



_d 

dimana dengan n = banyaknya pasangan.

© 2008 by UM

KURVA KHI KUADRAT(X~ )

MENGHITUNG TABEL

2



v



2

/2

/2





 





  

 ^{2 2} 1

2

1 X

P

23

0 ²

2

 2

12

_

1 -



 2 2

023 ,

2 19

9

; 025 , 0 2

1 2,



 

 n

 = 5% dan n =10 maka,

7 ,

2 2

9

; 975 , 0 2

1 2,

1  



 

 

© 2008 by UM n

KURVA FISHER(F~ )

MENGHITUNG TABELF

/2

/2   





  

 1

2 1 2

1, ;,

;

1 vv F f vv

f P

2 1,v

F

v

f 1

24 0

2

f 1_2

f 1 -



 ;¹,² 2^;1,2 2

36 ,

8 4

, 9

; 025 , 1 0 , 1 2;^{1 2}



 

 f

f

n

n

 = 5% , n₁= 10 dan n₂= 9 maka, dan 24

, 1 0 , 4 1 1 1

9 , 8

; 975 , 1 0 , 1 2; 1 , 1 2; 1

1 2 2 1

















 f f

f

n n n

n 



1 , 1 2; 1 , 1 2; 1

1 2 2

1   

 

n n n

n f

f





© 2008 by UM

S^ELANGK^EPERCAYAAN(1-) ^UNTUKσ²

Kasus 1 populasi

2 2 2 (n S1) X





 _{ } 







  

 ² 1

2 2 2

12 X

P

25

 

  







 



    



) 1 1 ( )

1 (

2 2 / 1

2 2 2

2 /

2 n S

S P n

2 2 1

2 ( 1) ~

 n S _n

X 



2 2

2

2 2

( 1); ( 1);1

2 2

( 1) ( 1)

n n

n S n S

 

  

  

   

SK (1 - ) 100% untuk ² :

© 2008 by UM

S^ELANGK^EPERCAYAAN(1-) ^UNTUK₁² /22

Kasus 2 populasi

2 2

2 1 2 2S ~ f

F _

 

  

 



  

 1

2 1 2

1 ;,

, 2 2;

1 vv F f vv

f P

26 2 1, 2, 2 2 2

1 f vv

S ^



SK (1 - ) 100% untuk ₁² /₂²:

 



























 1

1

1 2 2

1

, 2; 2 2 2 1 2 2 2 1 , 2; 2 2 2 1

v v v

v

S f S f

S PS

1 2 2

1

, 2; 2 2 2 1 2 2 2 1 , 2; 2 2 2

1 1

v v v

v

S f S f

S S



 

 _



© 2008 by UM

REFERENSI

Devore, J.L. and Peck, R., Statistics – The Exploration and Analysis of Data, USA: Duxbury Press, 1997.

Pasaribu, U.S., 2007, Catatan Kuliah Biostatistika.

Wild, C.J. and Seber, G.A.F., Chance Encounters – A first Course in Data Analysis and Inference USA: John Course in Data Analysis and Inference, USA: John Wiley&Sons,Inc., 2000.

Walpole, Ronald E. Dan Myers, Raymond H., Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan, Edisi 4, Bandung:

Penerbit ITB, 1995.

Walpole, Ronald E. et.al., Probability & Statistics for Enginerrs

& Scientists, Eight edition, New Jersey : Pearson Prentice

Hall, 2007. ²⁷

© 2008 by UM