MATEMATIKA TEKNIK
MATEMATIKA TEKNIK
APLIKASI TURUNAN
APLIKASI TURUNAN
Di susun oleh
Di susun oleh
Kelompok 3
Kelompok 3
Sandy
Sandy Surapati
Surapati
D51110287
D51110287
Sunaryadi
D51110288
Sunaryadi
D51110288
Andi
Andi Arfan
Arfan
D51110289
D51110289
Hardyanti
Hardyanti Muchtar
Muchtar
D51110290
D51110290
Anugrah
Anugrah Sakti
Sakti A
A
D51110291
D51110291
Syandi
Syandi Ardin
Ardin
D51110292
D51110292
Syahrir
Syahrir Ramadhana
Ramadhana
D51110293
D51110293
Afrianto
I. Maksimum dan Minimum
Dalam hidup ini, kita sering mengahadapi masalah untuk mendapatkan cara terbaik untuk melakukan sesuatu.Sebagai contoh, seorang petani ingn memilih kombinasi tanaman yang dapat menghasilkan kuntungan terbesar. Seorang dokter ingin memilih dosis terecil suatu obat yang akan menyembuhkan penyakit tertentu.Seorang kepala pabrik akan menekan sekscil mungin biaya distribusi barangnya. Kadangkala salah satu dari masalah diatas dapat dirumuskan sehingga melibatkan pemaksimuman atau peminimumam suatu fungsi pada suatu himpunan yang dirinci. Bila demikian, metode-metode kalkulus menyediakan sarana amph untuk memecahan masalah tersebut.
Definisi
Andaikan S, daerah asal dari f, mengandung titik c.Kita katakana bahwa:
(i) f(c) adalah nilai maksimum f pada S jika f (c) ≥ f(x) untuk semua x di S; (ii) f(c) adalh nilai minimum f pada S jika f(c) ≤ f(x) untuk semua x di S;
(iii)f(c) adalah nilai ekstrim f pada S jika ia adalah nilai maksimum atau nilai minimum. (iv)Fungsi yang ingin kita nakimumkan atau minimumkan adalahfungsi objektif .
TEOREMA KEBERADAAN MAKS-MN
Jika f kontinu pada selag tutup [a,b] maka f mencapai nilai maksmimum dan minimum disana. Contoh:
Carilah titik-titik kritis dari f(x) = -2x3+ 3x2pada [-½,2]
Penyelesaian Titik-titik ujug adalah -½ dan 2. Untuk mencari titik stationer kita selesaikan f’(x) =-6x2 + 6x =0 untuk x, diperoleh 0 dan 1. Tidak aa titik-titik singular. Jadi titik-titik kritis
adalah -½, 0, 1, 2.
TEOREMA TITIK KRITIS
Andaikan f terdefenisikan pada selang l yang memuat titik c. Jika f(c) adalah nilai ekstrim maka c haruslah berupa suatu titik kritis yakni c berupa salah satu:
(ii) Titik stationer dari f(f’(c) = 0); atau (iii)Titik singular dari f(f’(c) tidak ada)
Contoh:
Seorang petani mempunyai 100 meter kawat duri yang akan dipergunakan untuk membuat dua kandan identik yang berdampingan, seperti diperlihatkan dalam Gambar. Berapa ukuran seluruh keliling agar luas maksimum ?
Penyelesaian:
Misalkan : x = panjang y = Lebar
Maka 3x+2y = 100 menjadi y = 50-3/2x Luas total A diberikan oleh A=xy= 50x-3/2x2
Karena harus terdapat tiga sisi dengan panjang x, kita lihat bahwa 0≤ x ≥ 100/3, jadi yang menjadi masalah adalah memaksimumkan A, Pada [0,100/3] sekarang
Ditetapkan 50-3x=0 maka x=50/3 pada titik stationer.
Jadi sekarang kita telah mendapatkan tiga titik kritis 0,50/3,dan 100/3, kedua titik ujung 0 dan 100/3 memberikan A=0 sedangkan x=50/3 menghasilkan A=416,67. Ukuran yang diinginkan adalah x= 50/3=16,67 meter dan y= 50-3/2(50/3) = 25 meter.
II. Kemonotonan dan Kecekungan
Definisi
Andaikan f terdefinisi pada selang I ( buka, tutup, atau tak satupun ). Kita katakan bahwa :
(i) f naik pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1dan x2dalam I .
x1 < x2 → f (x1) < f(x2)
(ii) f turun pada I jika, untuk setiap pasang bilangan x1dan x2daalm I .
x1> x2→ f (x1) > f(x2)
(iii)f monoton murni pada I jika f pada I atau turun pada I.
Teorema A. Teorema kemonotonan
Andaikan f kontinu pada selang I dan terdiferensiasi pada setiap titik-dalam dari I .
(i) jika f’ (x) > 0 untuk semua x titik-dalam I,maka f naik pada I.
(ii) jika f’ (x) < 0 untuk semua x titik-dalam, maka f turun pada I.
Teorema ini biasanya memperbolehkan kita untuk menentukrn secara persis dimana suatu fungsi yang terdiferensiasikan naik dan dimana fungsi tersebut turun. Ini merupakan masalah penyelesaian dua ketaksamaan.
Teorema B. Teorema kecekungan
Nadaikan f terdiferensiasikan dua kali pada selang buka I.
(i) jika f’’ (x) > 0 untuk semua x dalam I, maka f cekung ke atas pada I. (ii) jika f”’ (x) < 0 untuk semua x dalam I, f cekung ke bawah pada I.
Untuk kebanyakan fungsi , teorema ini mengubah masalah penentuan kecekungan menjadi masalah penyelesaian ketaksamaan
Contoh soal
Anggaplah air dituangkan ke dalam wadah berbentuk kerucut, seperti yang diperlihatkan dalam gambar 12, dengn laju konstan inci kubik perdetik. Tentukanlah ketinggian h sebagai fungsi waktu t dan gambarlah plot h(t) dari waktu t = 0 sampai
waktu wadah tersebut terisi penuh dengan air.
2 in
4 in
Penyelesaian
Sebelum kita menyelesaikan masalah ini, pikirkanlah seperti apa grafik tersebut nantinya. Pertama-tama, ketinggian akan meningkat dengan cepat, karena hanya diperlukan sedikit air untuk mengisi dasarnya. Seiring wadah kerucut tersebut mulai terisi dengan air, ketinggian meningkat agak lambat. Apakah yang dikatakan pernyataan-pernyataan ini mengenai fungsi h(t), turunannya h’(t), dan turunannay keduanya h’’(t) ? sementara air dituangkan kedalam kerucut, ketinggiannya akan bertambah barati h’(t) akan positif. Ketinggiannya akan meningkat lebih lambat seiring ketinggian air yang bertambah. Jadi, fungsi h’(t) menurun, sehingga h’’(t)
negatif. Grafik h(t) kemudian bertambah (karena h’(t) positif) dan cekung ke bawah (karena h’’(t) negatif).
Sekarang sekali kita telah memiliki ide intuitif mengenai apa jadinya grafik itu
( meningkat dan cekung ke bawah), kitaselesaikan masaalh ini secara analitis. Volume kerucut yang tegak melingakar adalah V = , dengan V, r, dan h adalah fungsi-fungsi waktu. Karena alian air ke dalam kerucut laju sebesar inci kubik per detik, fungsi V adalah V = , di mana t diukur dalam detik. Fungsi-fungsi h dan r berhubungan ; perhatikanlah segitiga-segitiga yang sama pada gambar.
2 in
4 in h
Dengan menggunakan sifat-sifat dari segitiga yang sama, kita memperoleh jadi, r = h/4.
Volume air di dalam kerucut , sebesar V =
Di sisi lain volumenya adalah V = t . dengan menyamakn kedua persamaan tersebut untuk V maka
Jadi,diperlukan waktu sekitar 8,4 detik untuk mengisi wadah tersebut. Sekarang kita selesaikan
untuk h daalm persamaan di atas yang menyatakan relasi h dan t, menjadi
h =
Turunan pertama dan kedua dari h adalah h’(t)= Dt
=
Yang bernilai positif,dan
h’’(t) = D
= -
yang bernilia negative. Grafik h(t) ditunjukkan dalam gambar di bawah. Seperti yang diharapkan grafik h meningkat dan cekung ke bawah.200 v 150 100 50 0 1 2 3 4 t
III. Maksimum dan Minimum Lokal
Defenisi
i) f(a) dinamakan nilai maksimum lokal fungsi f di x=a bila mana terdapat selang terbukaI
yang memuat a, sehingga ; f(a) ≥f(x) , ∀ x € I dan titik (a,f(a)) dinamakan titik maksimum lokal dari fungsi f.
(ii) f(a) dinamakan nilai minimum lokal fungsi f di x=a bila mana terdapat selang terbuka I
yang memuat a, sehingga ; f(a)≤f(x) , ∀ x € I dan titik (a,f(a)) dinamakan titik minimum lokal dari fungsi f.
(iii) f(a) adalah nilai ekstrim lokal fungsi f jika ia berupa nilai maksimum lokal atau minimum lokal.
Dimana nilai-nilai ektrim terjadi ?
Teorema titik krisis berlaku sebaimana dinyataan, dengan ungkapan nilai ekstrim diganti oleh nilai ektrim lokal. Jadi titik-titik krisis ( titik ujung, titik stasioner, titik singular ) adalah calon untuk titik tempat kemungkinan terjadinya ektrim lokal. Kita katakan bahwa setiap titik kritis harus merupakan ekstrim lokal.
Teorema 1
( Uji turunan pertama untuk ektrim lokal ). Misalkan fungsi f kontinu pada selang terbuka ( a, b) yang memuat titik kritis c.
(i) Jika f’(x)>0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)<0 untuk semua x dalam (c,b) maka
( ii) Jika f’(x)<0 untuk semua x dalam (a,c) dan f’(x)>0 untuk semua x dalam (c,b)
maka f(c) adalah nilai minimum lokal fungsi f.
(iii) Jika f’(x) bertanda sama pada kedua pihak c, maka f(c) bukan nilai ektrim lokal
fungsi f. Contoh
Carilah nilai ektrim lokal dari f(x)= x2-6x+5 pada (-∞, ∞)
Penyelesaian ;
Perhatikan fungsi di atas adalah polinom, jadi fungsi tersebut kontinu dimana-mana. Kemudian f’(x)=2x-6 ada untuk semua x. Jadi satu-satunya titik kritis untuk fungsi f adalah penyelesaian tunggal dari f’(x)=0, yakni x=3.
Karena f’(x)=2(x-3)<0 untuk semua x<3, maka fungsi f turun pada (-∞,3] dan karena 2(x-3)>0 untuk x>3, maka fungsi f naik pada [3,∞). Karena itu, menurut uji turunan pertama, maka f(3)=-4 adalah nilai minimum lokal. Karena 3 adalah satu-satunya titik krisis, maka tidak terdapat nilai ektrim lain.
Terdapat uji lain untuk maksimum lokal dan minimum lokal yang terkadang lebih mudah diterapkan daripada uji pertama. Uji tersebut menyangkut perhitungan turunan kedua pada titik stasioner, tidak berlaku pada titik singular.
Teorema 1
Misalkan f’ dan f” ada pada tiap titik dalam selang buka (a,b) yang memuat c sedemikian sehingga f’(x)=0.
(i) jika f’(c)<0, maka f(c) adalah nilai maksimum lokal. (ii) jika f’(c)>0, maka f(c) adalah nilai minimum lokal.
Contoh
Diketahui f(x)= x2-6x+5 definisi dari fungsi f. Gunakan uji coba turunan kedua untuk
Turunan pertama f’(x)=2x-6, maka titik krisisnya adalah x=3, selanjutnya dengan turunan kedua f”(x)=2. Ini berarti nilai f di titik x=3, f(3)=-5 merupakan nilai minimum f.
IV. Lebih Banyak Masalah Maks-Min
Ekstrim pada Selang Terbuka
Contoh :
Carilah (jika mungkin) nilai maksimum dan minimum dari f(x)=x4-4x pada (-∞,∞).
Penyelesaian
F’(x) = 4x3-4 = 4(x3-1) = 4(x-1)(x2+x+1)
Karena x2+x+1=0 tidak mempunyai penyelesaian,bilangan real (rumus abc), maka hanya terdapat satu titik kritis, yaitu x=1. Untuk x < 1, f ’(x)<0, sedang untuk x > 1, f ’(x)>0.
Kita menyimpulkan bahwa f(1)=-3 adalah nilai minimum lokal untuk f, dan karena f turun di sebelah kiri 1 dan naik di sebelah kanan 1, memang benar merupakan nilai minimum dari f. Fakta-fakta yang dinyatakan di atas menunjukkan bahwa f tidak mempunyai nilai maksimum.
Masalah-Masalah Praktis. Contoh :
Sebuah surat edaran memuat 50cm2 bahan cetakan. Jalur bebas cetak di atas dan di bawah
selebar 4 cm dan di smaping kiri dan kanan selebar 2 cm. Berapakah ukuran surat edaran tersebut yang memerlukan kertas sedikit mungkin?
Penyelesaian
Andaikan x adalah lebar dan y adalah tinggi surat edaran tersebut Kita bermaksud meminimumkan A.
Seperti terlihat, A diungkapkan dalam bentuk dua peubah, situasi yang tidak kita ketahui bagaimana menanganinya. Tetapi, kita akan mencari sebuah persamaan yang mengaitkan x dan
y sehingga satu dari peubah-peubah ini dapat dihilangkan dari ungkapan untuk A. Ukuran bahan cetakan adalah x-4 dan y-8 dan luasnya adalah 50 cm2, sehingga
(x-4)(y-8)=50. Bilamana kita selesaikan ini untuk y, kita peroleh
Dengan penggantian ungkapan ini untuk y dalam A = xy yang memberikan A dalam x
Nilai-nilai x yang diperbolehkan adalah 4<x<∞ ; kita ingin meminimumkan A pada selang buka (4,∞)
Sekarang
Titik-titik kritis hanya diperoleh dengan menyelesaikan ; ini menghasilkan x = 9
Dan x= -1, kita menolak x=-1 karena titik itu tidak berada dalam selang (4,∞) karena dA/dx<0 untuk x dalam (4,9) dan dA/dx<0 untuk x dalam (9,∞), kita menyimpulkan A mencapai nilai minimumnya pada x = 9, nilai x membuat y=18 (diperoleh dengan mensubstitusikan ke dalam persamaan yang mengaitkan x dan y). Sehingga ukuran surat edaran yang menggunakan kertas paling sedikit adalah 9 cm x 18 cm.
4cm
2 cm
V. Penerapan Ekonomi
Setiap bidang ilmu mempunyai bahasanya sendiri-sendiri. Tentu saja ini benar untu bidang ekonomi, yang mempunyai kosakata yang dikembagkan secara sangat khusus. Sekali kita mempelajari kosakata ini, kita akan menemukan bahwa banyak masalah ekonomi sebenarnya merupakan masalah kalkulus biasa yang dikenakan baju baru.
Tinjaulah sebuah perusahaan pada umumnya, PT ABC. Untuk memudahkan, anggap bahwa ABC menghasilkan dan memasarkan sebuah barang . Jika ABC menjual x satuan barang tahun ini, ABC akan mampu membebankan harga, p(x) untuk tiap satuan. Kita tunjukkan bahwa p bergantung pada x karena bilamana ABC akan perlu mengurangi harga tiap satuan agar dapat menjual seluruh hasil keluarannya. Pendapatan total yang dapat diharapkan ABC diberikan oleh R(x) = xp(x) jumlah satuan kali harga tiap satuan.
Untuk memasarkan x satuan ABC akan mempunyai biay total, C(x) ini biasanya beruapa jumlah dari biaya tetap ditambah biaya tidak tetap, yang secara langsung bergantung pada banyanya satuan yang diproduksi.
Konsep dasar untuk sebuah perusahaan adalah total laba. P(x) Laba adalah selisih antara pendapatan dan biaya yakni:
P(x) = R(x)- C(x) = xp(x) – C(x) PENGUNAAN KATA MARJINAL
Andaikan ABC mengetahui fungsi biayanya C(x) dan untuk sementra merencanakan memproduksi 2000 satuan tahun ini. Direktut utama Toko Buku Karisma ingin menetapkan biaya tambahan tiap satuan jika ABC memperbesar produksinya sedikit. Misalnya, apakah itu
akan kurang dari pendapatan tambahan tiap satuan? Jika demikian akan merupakan pertimbangan ekonomi yang baik untuk memperbesar produksinya.
Jika fungsi biaya adalah seperti diperlihatkan dalam gambar. Direktur utama took buku menanyakan nilai ∆C/∆x pada saat ∆x = 1. Tetaoi kita mengharapkan bahwa ini sangat dekat terhadap nilai
Pada saat x = 2000, ini disebut biaya marjinal. Para matematikawan mengenalnya sebagai dC/dx, turunan C terhadap x.
Dengan cara yang serupa kita definisikanHarga marjinal sebagai dp/dx,pendapatan merjinalsebagai dR/dx, danlaba marjinalsebagai dP/dx.
Contoh
Sebuah perusahaan memperkirakan akan dapat menjual 1000 satuan tiap minggu jika menetapkan harga satuan sebesar $ 3,00 tetapi penjualan mingguannya akan meningkat 100 satuan dengan tiap penurunan harga sebesar $ 0,10. Jika x banyaknya satuan yang terjual tiap minggu (≥ 1000), cari:
(a) Fungsi harga ,p(x);
(b) Banyaknya satuan dan harga yang berpadanan yang akan memaksimumkan pendapatan mingguan;
(c) Pendapatan mingguan dan maksimum.
Penyelesaian
a. Kita mengenal bahwa = x= 1000+ (100)
atau
p(x) = 3,00 – (0,10) = 4 – 0,001x
b. R(x) = xp(x) = 4x – 0,001x+2
Titik-titik kritis hanyalah titik ujung 100 dan titik s tationer 2000, yang diperoleh dengan menetapkan dR/dx= 0. Uji turunan pertama (R’(x) >0 untuk 1000 ≤ 2000 dan R’(x) < 0 untuk x > 2000 memperlihatkan bahwa x = 2000 memberikan pendapatan maksimum. Ini berpadanan terhadap harga satuan p(2000) =$ 2,00
