Sertifika No: 16226
YGS KONU ANLATIMLI e-kitap
© Copyright YEDİİKLİM EĞİTİM BİLGİSAYAR YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ.
Bu kitabın bütün hakları YEDİİKLİM EĞİTİM BİLGİSAYAR YAYINCILIK SAN. TİC. LTD. ŞTİ.ne aittir. Yayınevimizin yazılı izni olmaksızın, kitabın tümünün veya bir kısmının elektronik, mekanik ya da
fotokopi yoluyla basımı, yayımı, çoğaltılması ve dağıtımı yapılamaz. Bu kitap, Kültür Bakanlığı bandrolü ile satılmaktadır.
Yayın Yönetmeni Yazar Redaktör
Emel MAHLUT YEDİİKLİM - POTA
YAYIN KURULU Mehmet TÜRKYILMAZNurçe ÇOLAK
Kapak Tasarımı Sayfa Tasarımı
Yusuf ÖZALP YEDİİKLİM
• ADIYAMAN • AFYONKARAHİSAR • AĞRI • ANKARA - ETİMESGUT • ANKARA - SİNCAN • ANKARA • ANTALYA • AYDIN • BALIKESİR - BANDIRMA • BALIKESİR • BATMAN • BİLECİK • BOLU • BURSA - FOMARA • BURSA - GÖRÜKLE • ÇORUM • DİYARBAKIR • DÜZCE • EDİRNE • ELÂZIĞ • ESKİŞEHİR • GAZİANTEP • GİRESUN • HATAY - ANTAKYA • ISPARTA • İSTANBUL - AVCILAR
• İSTANBUL - BAKIRKÖY • İSTANBUL - ESENLER • İSTANBUL - GAZİOSMANPAŞA
• İSTANBUL - KADIKÖY • İSTANBUL - MECİDİYEKÖY • İSTANBUL - PENDİK • İSTANBUL - ÜMRANİYE • İSTANBUL - SİLİVRİ • İSTANBUL - BÜYÜKÇEKMECE • İSTANBUL - MALTEPE • İZMİR - KARŞIYAKA • İZMİR - KONAK-1 • İZMİR - KONAK-2 • İZMİT • KAHRAMANMARAŞ - ELBİSTAN • KAHRAMANMARAŞ
• KARABÜK • KAYSERİ - KARTAL • KAYSERİ • KIRIKKALE • KIRKLARELİ - LÜLEBURGAZ • KIRŞEHİR • KONYA-1 • KONYA-2 • KÜTAHYA • MALATYA • MANİSA - AKHİSAR • MANİSA - DEMİRCİ • MANİSA - SALİHLİ • MANİSA - SOMA • MANİSA • MARDİN - KIZILTEPE • NEVŞEHİR • NİĞDE • ORDU - FATSA • ORDU • RİZE - ÇAYELİ • RİZE • SAKARYA - HENDEK • SAKARYA • SAMSUN
• SİVAS • ŞANLIURFA • TEKİRDAĞ - ÇORLU • TEKİRDAĞ • TRABZON • VAN • ZONGULDAK
İletişim YEDİİKLİM Eğitim Bilgisayar Yayıncılık
San. Tic. Ltd. Şti.
Zübeyde Hanım Mah. Samyeli Sok. No.: 17 İskitler / ANKARA
Tel: 0 312 384 64 19 - 20 Faks: 0 312 384 64 23 www.yediiklim.net yediiklim@yediiklim.net
www.yediiklim.com.tr
POTA Yayınları
Kızılay Mah. Fevzi Çakmak-2 Sok. No.: 38 / 17 06420 Çankaya ANKARA
Tel: 0 312 231 38 40 Faks: 0 312 231 38 50 www.potayayin.com
ÖN SÖZ
Sevgili Öğrenciler,Yaşam boyu süren eğitim-öğretim olgusunun ülkemizdeki aşamalarından biri olan ve geleceğinizin şekillenme-sinde önemli yapı taşlarından biri sayılabilecek YGS ve LYS’ye hazırlık sürecinde sizlere kaynaklık ve amaçlarınıza giden yolda yol arkadaşlığı etmek üzere elinizdeki kitap serisini hazırlamış bulunmaktayız.
Bu kitap serisi ortaöğretim derslerinizi kapsayan konu ve içerikleri bulunduracak şekilde ve sınavda karşılaşabi-leceğiniz konularla ilgili olabilecek alt başlıklar göz ardı edilmeden hazırlanmıştır.
Ülkemizin aydınlık ve çağdaş geleceğinin güvencesi olan öğrencilerimizin duyacakları mutluluk ve gurur, YEDİ-İKLİM ve POTA ailesi olarak bizlerin de mutluluk ve gurur kaynağı olacaktır.
Tüm aday öğrencilerimize sağlık ve başarılarla dolu bir hayat dileriz.
1.
BÖLÜM
YGS
MATEMATİK
Doğal Sayılar - Tam Sayılar
RAKAM
Sayıları ifade etmeye yarayan sembollere rakam denir. 10 luk sayı sisteminde kullanılan rakamların kümesi: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} dur.
SAYI KÜMELERİ
DOĞAL SAYILAR
N = {0, 1, 2, 3, …, n, …} kümesine doğal sayılar kümesi de -nir. En küçük doğal sayı 0 dır.
Doğal sayılar kümesi üstten sınırsızdır. SAYMA SAYILARI
N+ = {1, 2, 3, …, n, …} kümesine sayma sayıları kümesi denir. Bu kümeye pozitif doğal sayılar kümesi de denir.
0 sayısının pozitif olmadığına dikkat ediniz. TAM SAYILAR
Z = { …, −n, …, −2, −1, 0, 1, 2, …, n, …} kümesine tam sa-yılar kümesi denir.
Z+ = { 1, 2, 3, …, n, …} kümesine pozitif tam sayılar kü-mesi denir.
Z− = { …, −n, …, −3, −2, −1} kümesine negatiftamsayılar kümesi denir.
Bu tanımlara göre, aşağıdaki sonuçlar yazılabilir: 1. Z = Z−∪ { 0 } ∪ Z+
2. N+ = Z+
3. 0 tam sayısı negatif ya da pozitif değildir; işaretsizdir. − 0 = + 0 = 0 dır.
Tek Tam sayılar, Çift Tam Sayılar
Tam sayılar kümesi; tek tam sayılar kümesi, çift tam sayılar kümesi olarak da gruplandırılır:
{…, −2n, …, −2, 0, 2, …, 2n, …} kümesine çift tam sayılar kümesi denir.
{…, −2n + 1, …, −1, 1, …, 2n − 1, …} kümesine tek tam sa-yılar kümesi denir.
Aynı biçimde;
{0, 2, 4, …, 2n, …} kümesine çift doğal sayılar kümesi, {1, 3, 5, …, 2n + 1, …} kümesine tek doğal sayılar küme-si denir. Açıklama Ç T + Ç T Ç T T Ç Ç T Ç T Ç Ç Ç T n ∈ Z+ iken Çn = Ç
Tn = T (Kuvvetin çiftlik ya da tekliğe etkisi yoktur.) 0! = 1
1! = 1 Tek n ∈ N+ ve n≥ 2 için n! çift olur.
Çiftlik teklik problemlerinde kolaylık olması amacıy -la çift sayı-lar yerine 0, tek sayı-lar yerine 1 kul-lanılır.
!
Örnek Örnek
Aşağıdaki sayıların tek ya da çift tam sayı olup olmadık-larını araştırınız.
a) 21 413 . 19 507 b) 10441 – 20110 c) 100 + 1010 + 1020
Çözüm Çözüm
a) İki tek tam sayının çarpımı tek tam sayı olduğundan, so -nuç tek tam sayıdır.
b) 104 sayısı çift olduğundan, 10441 çifttir. 201 sayısı tek olduğundan, 20110 tektir.
Çift tam sayı ile tek tam sayının farkı tek tam sayıdır. c) 100 = 1 dir. 1010 ve 1020 çift tam sayıdır. Buna göre, sonuç tek tam sayıdır.
YGS Matematik Doğal Sayılar - Tam Sayılar
Örnek Örnek
x ve y tam sayıları için x + 2y = 11 olduğuna göre, I. x tek sayıdır.
II. x sayısı y’den büyüktür. III. x ve y’nin her ikisi de pozitiftir. ifadelerinden hangisi her zaman doğrudur?
A) Yalnız I B) Yalnız III C) I ve II
D) I ve III E) II ve III
(2011 - YGS) Çözüm
Çözüm
,
I. x, y ∈ Z için (2y) sayısı daima çifttir. x sayısının tek sayı olması şarttır.
x 2y 11 ç tek ift tek
+ =
X Z Y
II. y = 5 için x = 1 olduğuna göre, x sayısı y den büyük ol -mayabilir.
III. y = –1 için x = 13 olduğuna göre, x ve y nin her ikisi de pozitif olmak zorunda değildir.
Cevap: A
Örnek Örnek
A, B ve C doğal sayıları aşağıdaki özellikleri sağlamaktadır. • A tek sayıysa B ve C nin her ikisi de çift sayıdır. • A çift sayıysa B de çift sayıdır.
• B ve C den en az biri tek sayıdır. Buna göre, bu sayılardan hangileri çifttir?
A) Yalnız A B) Yalnız B C) Yalnız C
D) A ve B E) B ve C
(2009 - ÖSS Mat)
Çözüm Çözüm
B ve C den en az biri tek sayı olduğuna göre birincil önerme -ye (B ve C nin her ikisinin de çift olması) göre A nın tek değil çift sayı olduğu anlaşılır. İkinci önerme A nın çift olması duru -munda B nin de çift sayı olduğunu ifade ediyor. O halde A ve B sayıları çift sayılardır.
Cevap: D
Örnek Örnek
a, b ve c tam sayılar için a > b > c > 0 ve c = a – b dir. a ve b nin en büyük ortak böleni 4 olduğuna göre, aşağı-dakilerden hangisi kesinlikle çift sayıdır?
A) a b4+ B) b c4+ C) a c4+ D) a c–4 E) a b c+ +4 (2006 - ÖSS Mat 1) Çözüm Çözüm ,
obeb (a, b) = 4 ise a = 4m ve b = 4n olsun. (m, n ∈ Z+) c = a – b = 4m – 4n = 4(m – n) olur.
Seçenekler incelendiğinde;
A) a b4+ =4m4+4n=m n+ sayısı tek veya çift olabilir. B) b c4+ =4n+44m–4n=m sayısı tek veya çift olabilir. C) 4a c+ =44m+4m–4n=5m–4n sayısı da tek veya çift
olabilir.
D) a c4– =4m–44m+4n=n sayısı tek veya çift olabilir. E) a b c+ + =4 4m+4n+44m–4n=84m=2m
sayısı kesinlikle çifttir.
Cevap: E
Örnek Örnek a, b, c doğal sayılar ve
a + 3b = 2c + 4
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi her zaman çift sayıdır?
A) a . b B) b . c C) a + b
D) a + c E) b + c
Doğal Sayılar - Tam Sayılar YGS Matematik
Çözüm Çözüm a+3b=2\c+4
çift olduğu için (a + 3b) de çifttir.
(2c + 4) çift bir sayıdır. Ancak c sayısı tek veya çift olabilir. B, D, E seçeneklerini eleyebiliriz. O halde, A seçeneğin -deki a.b ile C seçeneğin-deki a + b sayıları incelenmelidir. (a + 3b) nin çift olması için a ve b nin ikisinin de çift veya ikisinin de tek olması gerekir. C seçeneğindeki a + b her durumda çift olur.
Cevap: C Örnek
Örnek
a, b, c birer tam sayı ve a . b = 2c – 1
olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi doğrudur? A) a ve b tek sayılardır.
B) a ve b çift sayılardır. C) a çift, b tek sayıdır. D) a – b tek sayıdır. E) a + b tek sayıdır. (2002 - ÖSS) Çözüm Çözüm a . b = 2c – 1 ise . . a b 1 2c dir çift + =
a . b + 1 bir çift sayı ise a . b bir tek sayıdır. İki sayının çar -pımı tek ise sayıların ikisi de tektir. Yani, a ve b sayıları tektir.
Cevap: A Ardışık Tam Sayılar
Art arda gelen doğal sayılara ardışık doğal sayılar, art arda gelen tam sayılara ardışık tam sayılar denir.
1. n bir tam sayı olmak üzere;
n ve n + 1 tam sayıları ardışık iki tam sayıdır. n, n + 1, n + 2 tam sayıları ardışık üç tam sayıdır. n – 1, n, n + 1 sayıları da ardışık üç tam sayıdır. 2. n bir tam sayı olmak üzere;
2n, 2n + 2 sayıları ardışık iki çift tam sayıdır. 2n – 1, 2n + 1 sayıları ardışık iki tek tam sayıdır.
3. Ardışık iki tam sayı arasındaki fark +1 veya –1 dir. 4. Ardışık iki çift tam sayı n, n + 2 ile de gösterilebilir. An
-cak, burada n çift olmalıdır. Aynı biçimde ardışık iki tek tam sayı n, n + 2 ile gösterilebilir. Burada da n tektir. Buna göre, ardışık üç tek tam sayı, ya da ardışık üç çift tam sayı n – 2, n, n + 2 ile gösterilebilir.
Örnek Örnek
2n – 1 ve n + 50 sayıları ardışık iki tam sayı olduğuna göre, n tam sayısının alabileceği değerlerin toplamı kaç-tır?
A) 50 B) 52 C) 75 D) 100 E) 102
Çözüm Çözüm
Ardışık iki tam sayı arasındaki fark +1 ya da –1 dir: (2n – 1) – (n + 50) = 1 ⇒ 2n – 1 – n – 50 = 1 ⇒ n – 51 = 1 ⇒n = 52 (2n – 1) – (n + 50) = –1 ⇒ 2n – 1 – n – 50 = –1 ⇒ n – 51 = –1 ⇒ n = 50
bulunur. O hâlde, n nin alabileceği değerlerin toplamı 50 + 52 = 102 dir.
Cevap: E Örnek
Örnek
a bir tam sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?
A) a – 1 B) a2 + 1 C) a2 + a
D) a2 – 2a + 1 E) a3
(2001 - ÖSS)
Çözüm Çözüm
a ∈ Z olduğuna göre, a2 + a = a(a + 1) kesinlikle bir çift sayıdır. Çünkü
a tek ise a + 1 çift olur ve a.(a + 1) = (Tek) . (Çift) = Çift a çift ise a + 1 tek sayı olur. a . (a + 1) = (Çift) . (Tek) = Çift olur.
POZİTİF - NEGATİF TAM SAYILAR
x > 0 ise x pozitif x < 0 ise x negatif
0 sayısı pozitif ya da negatif değildir. (+) . (+) = (+) (+) + (+) = (+) (+) . (–) = (–) (–) + (–) = (–)
(–) . (–) = (+) (+) + (–) = Büyüğün işareti
Örnek Örnek a, b, c reel sayıları için;
a.b2 < 0 c3.b < 0 ac>0
olduğuna göre a, b, c sayılarının işaretleri sırasıyla aşağı-dakilerden hangisidir?
A) +, +, – B) –, –, + C) +, –, –
D) –, –, – E) –, +, –
Çözüm Çözüm
Bir sayının çift kuvvetleri daima pozitif olduğu için b2 > 0 ve b2.a < 0 ⇒ a < 0 a < 0 ve ac > 0 ⇒ c < 0 c < 0 ve c3 b < 0 ⇒ b > 0 Cevap: E Örnek Örnek
x ve y gerçel sayıları için yx =2 olduğuna göre, I. x sıfır olamaz.
II. x ve y nin işareti aynıdır. III. x tam sayıysa y de tam sayıdır.
ifadelerinden hangileri her zaman doğrudur?
A) Yalnız I B) I ve II C) I ve III D) II ve III E) I, II ve III (2009 ÖSS) Çözüm Çözüm y
x=2 veriliyor. x sıfır olamaz, yoksa eşitlik sağlanmaz. x ve y aynı işaretli olmalılar. Eşitliğin sağında pozitif bir sayı var. x = 1
y=21 olduğunda yani, x tam sayı olduğunda y de tam sayı olacak diye bir durum söz konusu değil. Bu durumda I ve II doğrudur.
Cevap: B
RİTMİK SAYILARIN TOPLAMI (Aritmetik dizi)
Örnek Örnek
1 + 4 + 7 + 10 + … + 97 ifadesinin değeri kaçtır?
Çözüm Çözüm Terim sayısı = 97 1 1 333– + = Toplam = 97 1 33 16172+ · = bulunur. 1 + 2 + 3 + 4 + … + n = n n^2+1h 2 + 4 + 6 + 8 + … + 2n = n(n + 1) 1 + 3 + 5 + 7 + … + (2n – 1) = n2
!
Örnek Örneka) 5, 10, 15, 20, ... bir aritmetik sayı dizisi olabilir. Çünkü terimler beşer beşer artmaktadır.
b) 12, 9, 6, 3, ... bir aritmetik sayı dizisi olabilir. Çünkü terim -ler üçer üçer azalmaktadır.
c) 4, 6, 9, 13, ... bir aritmetik sayı dizisi değildir. Çünkü ardı -şık terimler arasındaki fark aynı değildir.
6 – 4 = 2; 9 – 6 = 3; 13 – 9 = 4, ... gibi.
YGS Matematik Doğal Sayılar - Tam Sayılar
Doğal Sayılar - Tam Sayılar YGS Matematik Örnek Örnek 22 + 25 + 28 + ... + 61 toplamı kaçtır? A) 521 B) 541 C) 559 D) 581 E) 601 Çözüm Çözüm
Bu toplamda terimler üçer üçer arttığından bir aritmetik dizi toplamıdır. Terim sayısı = 61 22 1 14–3 + = Toplamı = . 2 22 61 14 581+ = Cevap: D Örnek Örnek
Ardışık dokuz tam sayının toplamı 351 olduğuna göre, bu sayıların en büyüğü kaçtır?
A) 35 B) 36 C) 41 D) 42 E) 43 Çözüm Çözüm Bu sayılar n, (n + 1), (n + 2), ..., (n + 8) olsun. n + (n+1) + (n+2) + ... + (n+8) = 351 ⇒ 9n + (1 + 2 + ... + 8) = 351 ⇒ 9n + 8 92. = 351 ⇒ 9n + 36 = 351 ⇒ 9n = 315 ⇒ n = 35 Bu sayıların en küçüğü n = 35 tir. En büyüğü n + 8 = 35 + 8 = 43 tür. Cevap: E Örnek Örnek
(28, 86) aralığındaki çift tam sayıların toplamı kaçtır?
Çözüm Çözüm 30 + 32 + … + 84 işleminin sonucu – 28. 2 84 30 1+ 84 302+ = 57=1596 c mc m bulunur. Örnek Örnek A = 6.7 + 7.8 + … + 32.33 toplamı veriliyor.
A sayısındaki her terimin 1. çarpanı 1 azaltılırsa A sayı-sı kaç azalır? Çözüm Çözüm (6 – 1).7 + (7 – 1).8 + … + (32 – 1).33 = 6.7 – 7 + 7.8 – 8 + … + 32.33 – 33 . . É . 6 7 7 8+ + +32 33– (7 8+ +…+33) 14444442444444 13 4444244443 =A–c33 7 11– + mc33 72+ m = A – 540 A sayısı 540 azalır. Örnek Örnek 2011 – 2010 + 2009 – 2008 + … + 3 – 2 + 1 işleminin sonucu kaçtır?
A) 1004 B) 1008 C) 1000 D) 1006 E) 1002
YGS Matematik Doğal Sayılar - Tam Sayılar
Çözüm Çözüm – – … – 2011 2010 2009 2008 3 2 1 1 1 + + + + + + 144424443 144424443 Z +1
İki terimde bir +1 olmakta ve 1005.(+1) = 1005 elde edilir. 1005 + 1 = 1006
Cevap: D
Örnek Örnek
n bir doğal sayı olmak üzere, 63 sayısı, 63 = n + (n + 1) + … +(n + k)
biçiminde ardışık doğal sayıların toplamı olarak yazıldı-ğında n aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 3 B) 6 C) 8 D) 23 E) 31 (2005 – ÖSS) Çözüm Çözüm 63 = n + (n + 1) + (n + 2) + … + (n + k) … .( 1) .( ) ( ). (1 2 3 É ) n n n n k k k k n k k 2 1 1 22 tan k 1 e + + + = + + + = + + = + + + + + + c m 144424443
ifadesinde n yerine seçeneklerdeki sayıları yazıp deneyince n = 23 olamayacağı görülür.
(k ).(k ) 63= +1 2 +46
2 . 7 . 9 = (k + 1) . (k + 46) eşitliğini sağlayan k sayısı bulu -namaz.
Cevap: D
Örnek Örnek
Bir sokakta, yolun üst tarafındaki evler ardışık tek sayılarla, alt tarafındakiler ise ardışık çift sayılarla numaralandırılmıştır. Numaralar soldan sağa doğru artmaktadır.
A ve B evlerinin numaraları için A – B = 15 olduğuna göre, C ve D evlerinin numaraları için C – D farkı kaçtır?
A) 9 B) 11 C) 13 D) 15 E) 17 (2010 – YGS) Çözüm Çözüm C = A + 2 ve D = B + 6 dır. C – D = A + 2 – (B + 6) – – A B 4 15 =[ = 15 – 4 = 11 bulunur. Cevap: B Örnek Örnek
102 ile 353 arasında bulunan ve 5 ile kalansız bölünebilen sayıların toplamı kaçtır?
A) 9875 B) 10100 C) 10350
D) 11250 E) 11375
(1996 – ÖYS) Çözüm
Çözüm
102 ile 353 arasındaki 5 ile bölünebilen sayılar. 105, 110, 115, … 350 dir. Bu sayıların toplamı; 105 + 110 + … + 350 = 5.(21 + 22 + … + 70) = ⋅ ⋅ − ⋅ 5 70 71 2 20 212 = 11375 tir. Cevap: E
Çözümlü Test 1. I. a + 2 II. a2 + 1 III. a2 + a
IV. a2 – 2a + 1 V. a3 + a
a bir tam sayı olduğuna göre, yukarıdakilerden kaç tanesinin sonucu kesinlikle çift sayıdır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. x, y, z sıfırdan farklı birer tam sayı ve x + y = z
olduğuna göre, x + y + z toplamı aşağıdakilerden hangisi olamaz?
A) 16 B) 22 C) 24 D) 33 E) 36
3. I. a b c+ +2 II. a b c+ –2 III. a b c. .2 IV. a b c+ 4. V. a b2. Ðc
a, b, c çift tam sayılar olduğuna göre, yukarıdakiler-den kaç tanesi daima çift sayıdır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. a ve c birer tam sayı olmak üzere 2c=a ve a ≠ 0 ol -duğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğru-dur?
A) c bir çift sayıdır. B) c pozitiftir. C) a pozitiftir. D) a bir çift sayıdır.
E) a bir tek sayıdır.
5. a pozitif bir sayı olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi negatiftir?
A) a–2 B) –(–a)3 C) –a–3
D) a–1 E) (–a)2
6. Üç basamaklı bir sayının iki basamaklı bir sayıyla çarpımı en az kaç basamaklı bir sayı olur?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
7. İki basamaklı pozitif bir tek sayı ile iki basamaklı pozitif bir çift sayının farkının mutlak değeri en çok kaçtır?
A) 90 B) 89 C) 88 D) 87 E) 86
8. Ardışık iki pozitif tam sayıdan küçük olanın 3 katı ile bü -yük olanın 2 katının toplamı 107 dir.
Buna göre, küçük sayı kaçtır?
A) 17 B) 18 C) 19 D) 20 E) 21
9. Ardışık 2 pozitif tek sayının kareleri farkı 120 dir. Bu sayılardan küçük olanı kaçtır?
A) 19 B) 21 C) 27 D) 29 E) 31
10. n bir doğal sayı olmak üzere, 1 den n ye kadar olan sa -yıların toplamı x, 4 ten n ye kadar olan sa-yıların toplamı y ile gösteriliyor.
x + y = 456 ise x in değeri kaçtır?
A) 206 B) 218 C) 227 D) 231 E) 242 Doğal Sayılar - Tam Sayılar YGS Matematik
1. III. a2 + a = a . (a + 1) dir. a ile a + 1 sayıları ardışık iki sayıdır. Bu nedenle mutlaka biri tek, biri çiftir. Bu du -rumda çarpımları kesinlikle çift sayı olur.
IV. a3 ile a nın ikisi de tek sayıdır ya da ikisi de çift sayı -dır. Bu nedenle, a3 + a daima çift sayıdır.
I, II ve V teki ifadeler hem tek sayı hem de çift sayı olabilirler.
Cevap: B
2. x + y + z = (x + y) + z = z + z = 2 . z
olduğundan, x + y + z çift sayıdır. O hâlde, 33 olamaz.
Cevap: D
3. a = 2.x , b = 2.y , c = 2.z diyelim.
I. a b c+ + = + + = + +2 2x 22y 2z x y z dir. Bu sayı tek olabilir.
II. a+b2–c=2x+2y2–2z=2x y z dir+ – . Bu sayı tek olabilir.
III. a b c. .2 =2 2 2x y z. .2 =4. . .x y z olduğundan, a b c. .2 daima çift sayıdır.
IV. a b c+ 4. =2x+2 2y z4. =2x yz+ dir. Bu sayı tek olabilir.
V. a b c x y z xy z2⋅ − =2 22⋅ −2 =2 −2 Bu daima çifttir.
Cevap: B
4. c2=a & c=2.a dır. O hâlde, c daima çift sayıdır. Cevap: A 5. –a – .a – . – a a 1 1 1 1 –3 –3 3 3 = = = tür.
a pozitif olduğundan, a3 pozitiftir. O hâlde, –
a 1
3 negatiftir.
Cevap: C
6. Üç basamaklı bir sayı ile iki basamaklı bir sayının çarpı -mı en az 3 + 2 – 1 = 4 basamaklı olabilir.
Bu soru şöyle de çözülebilir:
Üç basamaklı en küçük sayı 100, iki basamaklı en küçük sayı 10 dur.
Bunların çarpımı 100 . 10 = 1000 olur. Bu sayı 4 basamaklıdır.
Cevap: B
7. 99 – 10 = 89
Cevap: B
8. Ardışık iki pozitif tam sayı n ve n + 1 olsun. 3n + 2 (n + 1) = 107 ⇒ 3n + 2n + 2 = 107
⇒ 5n + 2 = 107 ⇒5n = 105 ⇒ n = 21 bulunur.
Cevap: E
9. Ardışık iki pozitif tek sayı n ve n + 2 olsun. (n + 2)2 – n2 = 120 ⇒ n2 + 4n + 4 – n2 = 120 ⇒ 4n + 4 = 120 ⇒ 4n = 116 ⇒n = 29 bulunur. Cevap: D 10. 1 + 2 + 3 + 4 + ... + n = x ⇒ 1 + 2 + 3 + (4 + ... + n) = x ⇒1 + 2 + 3 + y = x ⇒6 + y = x ⇒ y = x – 6
olur. Bu değer x + y = 456 da yerine yazılırsa, x + (x – 6) = 456 ⇒ 2x – 6 = 456
⇒ 2x = 462 ⇒ x = 231 bulunur.
Cevap: D
YGS Matematik
YGS
MATEMATİK
Doğal Sayılarda Çözümleme - Taban
Aritmetiği
TEMEL KAVRAMLAR – II
DOĞAL SAYILARDA ÇÖZÜMLEME
Kullandığımız sayı sistemi 10 tabanındadır. Kullandığımız ra -kamlar {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} kümesinin elemanlarıdır. On tabanında iki basamaklı doğal sayı (ab) = 10a + b dir. Buna göre on tabanındaki n = (ak ... a2a1a0) 1 a a a 10 a a a a 102 a a a 10k a a a a n = (ak ... a2 a1 a0) sayısının = ak.10k + ... + a 2.10 2 + a 1.10 1 + a 0 çözümlenmiş biçimidir.
(ab) iki basamaklı bir sayı ise a ≠ 0 dır.
!
Örnek Örnek
Üç basamaklı bir doğal sayının sağına 3 yazılarak dört basa -maklı A sayısı, aynı sayının soluna 2 yazılarak dört basamak -lı B sayısı elde edilmiştir.
A + B = 9967 olduğuna göre, üç basamaklı sayının rakam-larının toplamı kaçtır?
A) 12 B) 9 C) 15 D) 13 E) 11
(2011 – YGS)
Çözüm Çözüm
Üç basamaklı sayı abc olsun A = (abc3) + B = (2abc) A + B = (abc3) + (2abc) 9967 = 10.abc + 3 + 2000 + abc 9967 = 11.abc + 2003 7964 = 11.abc 724 = abc a = 7, b = 2 ve c = 4
olduğuna göre, a + b + c = 7 + 2 + 4 = 13 bulunur.
Cevap: D
2. (abc) üç basamaklı bir sayı ise a ≠ 0 dır. a = b = c olabilir. a, b, c birbirine eşit veya farklı olabilir.
(ab) + (ba) = 11 . (a + b) dir. (ab) – (ba) = 9.(a – b) dir.
n basamaklı bir sayı ile m basamaklı bir sayı -nın çarpımı en az n + m – 1 basamaklı bir sayı, en çok n + m basamaklı bir sayı olabilir. n ba -samaklı en küçük sayı; 10n – 1 dir. n basamaklı en büyük sayı; 10n – 1 dir.
… 000 0 10 – 1 tan n n e 1 0 = 1 2 344 4 – … dur. 10 1 999 9 tan n n e 9 =\
!
Örnek Örnek(ab) ve (ba) iki basamaklı sayılar ve a > b dir. Buna göre, (ab) – (ba) kaç farklı değer alabilir?
A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 10
Çözüm Çözüm
(ab) – (ba) = 9(a – b) dir. a ≠ 0, b ≠ 0 ve a > b olduğuna göre, a – b farkı; 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 değerlerini alabilir. Buna göre, (ab) – (ba) farkı 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72 olmak üzere, 8 farklı değer alabilir.
Cevap: C Örnek
Örnek
(abc) üç basamaklı bir sayıdır.
(abc) – (acb) = 27 olduğuna göre, b – c farkı kaçtır?
A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 7 Çözüm Çözüm (abc) – (acb) = 27 (100a + 10b + c) – (100a + 10c + b) = 27 100a + 10b + c – 100a – 10c – b = 27 9b – 9c = 27 9(b – c) = 27 b – c = 3 bulunur. Cevap: B
2.
BÖLÜM
YGS Matematik
Örnek Örnek
Üç basamaklı (abc), (cba), (5mn) sayıları için (abc) – (cba) = (5mn)
olduğuna göre, a – c + m + n kaçtır?
A) 13 B) 15 C) 19 D) 21 E) 23 Çözüm Çözüm (abc) – (cba) = (5mn) ⇒ (100a + 10b + c) – (100c + 10b + a) = (5mn) ⇒100a + 10b + c – 100c – 10b – a = (5mn) ⇒ 99a – 99c = (5mn) ⇒99(a – c) = (5mn)
olur. 500 ≤ (5mn) < 600 olduğundan, a – c = 6 olmalıdır. Çün -kü; 99 . 5 = 495 ve 99 . 7 = 693 tür. Buna göre; 99 . 6 = (5mn) ⇒ 594 = (5mn) ⇒ m = 9 ve n = 4 tür. a – c + m + n = 6 + 9 + 4 = 19 bulunur. Cevap: C Örnek Örnek
Üç basamaklı ABC ve iki basamaklı AB sayılarının toplamı 392’dir.
Buna göre, A + B + C toplamı kaçtır?
A) 7 B) 9 C) 11 D) 15 E) 19 (2010 – YGS / MAT) Çözüm Çözüm ABC + AB = 392 ⇒ 10.AB + C + AB = 392 ⇒ 11.AB + C = 392
⇒ 11.AB + C = 11.35 + 7 olduğu için AB = 35 ve C = 7 dir.
A + B + C = 3 + 5 + 7 = 15 bulunur.
Cevap: D
Örnek Örnek
İki basamaklı bir AB sayısı asal olduğunda BA sayısı da asal -sa AB ye simetrik a-sal denir.
Bir AB simetrik asal sayısı için A.B çarpımı aşağıdakiler-den hangisi olamaz?
A) 7 B) 9 C) 15 D) 21 E) 63
(2010 – YGS)
Çözüm Çözüm
A) 17 ve 71 ise 1.7 = 7 olur. B) 19 asal ancak 91 asal olamaz. C) 53 asal ancak 35 asal olamaz. D) 73 asal ve 37 asal olur. E) 79 asal ve 97 asal olur.
Cevap: C Örnek
Örnek
Birbirlerinden farklı, iki basamaklı üç doğal sayının toplamı A dır.
Buna göre, A kaç farklı değer alabilir?
A) 262 B) 264 C) 266 D) 268 E) 270
(2005 – ÖSS)
Çözüm Çözüm
Birbirinden farklı 2 basamaklı en küçük 3 sayı 10, 11, 12 ve toplamları 33 tür. Birbirinden farklı 2 basamaklı en büyük üç doğal sayı 99, 98, 97 ve toplamları 294 tür.
Diğer 2 basamaklı sayıların 3 er 3 er toplamları 33 ile 294 ara -sında olacağı için
33 ≤ A ≤ 294 olur ve 294 – 33 + 1 = 262 farklı toplam vardır.
Cevap: A Örnek
Örnek
A, B, C birer rakam olmak üzere, C < B < A
koşulunu sağlayan kaç tane üç basamaklı ABC sayısı vardır?
A) 72 B) 81 C) 90 D) 108 E) 120
(2005 – ÖSS) Çözüm
Çözüm
0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 ve 9 rakamlarından herhangi 3 tanesi -ni seçtiğimiz zaman
C < B < A olacak şekilde bir üç basamaklı ABC doğal sayısı oluşturabiliriz. Bu yüzden, elde edilebilecek tüm üç basamak -lı sayıların sayısı . .. . 10 3 =10 9 83 2 1 =120 c m tanedir. Cevap: E
Doğal Sayılarda Çözümleme
Doğal Sayılar - Tam Sayılar YGS Matematik
TABAN ARİTMETİĞİ
Günümüzde sayılar onluk sistemde yazılmaktadır. Bu sistem -de kullanılan rakamlar kümesinin
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
olduğunu biliyoruz. Her doğal sayı, n ≥ 2 olmak üzere n ta -banında bir ve yalnız bir türlü yazılabilir. sayılar n ta-banında yazıldığında yazılan sayıların (rakamların) her biri “n” den kü -çüktür. İkilik sayı sisteminde 0, 1 rakamları kullanılır. Beşlik sayı sisteminde 0, 1, 2, 3, 4 rakamları kullanılır.
Örnek Örnek
(201)4 sayısı dört tabanında “iki sıfır bir” diye okunur.
Örnek Örnek
Üçlük sayı sisteminde üç basamaklı en büyük sayı (222)3, en küçük sayı (100)3 tür.
Örnek Örnek
Altılık sayı sisteminde üç basamaklı en büyük sayı, (555)6 ; en küçük sayı (100)6 dır.
Herhangi Bir Tabanda Verilmiş Sayıyı On Tabanına Göre Yazmak
n ≥ 2 olmak üzere, n tabanında verilen herhangi bir sayıyı 10 tabanına çevirmek için sayının basamak çözümü yapılır, iş -lemler 10 tabanında sonuçlandırılır.
(ba)n = b . n + a (cba)n = c . n2 + b . n + a (dcba)n = d . n3 + c . n2 + b . n + a
dır. Bu ifadelerde a, b, c, d harfleri n tabanında bir rakamı ifa -de etmektedir. Her birinin -değeri n -den küçüktür.
Eşitliklerin sağ tarafındaki işlemler 10 tabanında yapılarak, verilen sayının 10 tabanındaki eşiti bulunur.
Örnek Örnek
(23)5 sayısının on tabanındaki eşitini bulunuz.
Çözüm Çözüm
(23)5 = 2 . 5 + 3 = 13 tür.
Örnek Örnek
(301)4 sayısının on tabanındaki eşitini bulunuz.
Çözüm Çözüm (301)4 = 3 . 42 + 0 . 4 + 1 = 48 + 0 + 1 = 49 dur. Örnek Örnek
a bir rakam olmak üzere, (1a4)6 sayısının on tabanında alabileceği en büyük değer kaçtır?
A) 56 B) 63 C) 65 D) 70 E) 72
Çözüm Çözüm
Sayının on tabanında en büyük olması için a rakamı en büyük değerini almalıdır. Altı sayı tabanında en büyük rakam 5 tir. Buna göre, a = 5 tir.
(154)6 = 1 . 62 + 5 . 6 + 4 = 36 + 30 + 4 = 70
Cevap: D Örnek
Örnek
(11010)2 sayısını on tabanına çeviriniz.
Çözüm Çözüm
(11010)2 = 1.24 + 1.23 + 0.22 + 1.21 + 0.1 = 16 + 8 + 2 = 26 dır.
Doğal Sayılarda Çözümleme - Taban Aritmetiği YGS Matematik
YGS Matematik
On Tabanında Verilmiş Bir Doğal Sayıyı n Tabanına Göre Yazmak
Bir A doğal sayısını n tabanında yazmak için bölme metodu uygulanır.
Bunun için A doğal sayısı n ye bölünür; bölüm n1, kalan k1 ol -sun. n1 > n ise aynı biçimde n1 sayısı n ye bölünür; bölüm n2, kalan k2 olsun. Bölüm, 0 olana kadar bu işleme devam edilir. Elde edilen kalanlar birler basamağından itibaren yazılarak A sayısı (... k2k1)n biçiminde n tabanına çevrilmiş olur.
Örnek Örnek
11 sayısının üç tabanındaki eşitini bulunuz.
Çözüm Çözüm
Yukarıda açıklandığı gibi bölme işlemlerini yapalım: 11 9 2 – – 3 3 3 3 3 1 – 1 1 3
Kalanları sırasıyla birler basamağından itibaren yazarak 11 = (102)3 bulunur.
Örnek Örnek
283 sayısını beşlik sayı sisteminde yazınız.
Çözüm Çözüm
Yukarıda açıklanan metodu kullanalım:
Bu bölme işleminde elde edilen kalanlar sondan itibaren ya -zılarak; 283 = (2113)5 elde edilir.
Herhangi bir tabandaki sayıyı başka bir tabana çe -virmek için sayı önce on tabanına çevrilir, sonra is -tenen tabana geçilir.
!
Örnek Örnek
(2031)4 sayısının 7 tabanındaki eşitini bulunuz.
Çözüm Çözüm
(2031)4 sayısını önce on tabanında yazalım: (2031)4 = 2 . 43 + 0.42 + 3.4 + 1 = 141 dir.
Bu sayıyı 7 tabanına çevirmek için bölme yapalım:
Buna göre; (2031)4 = (261)7 olur.
Farklı tabandaki sayılar arasında işlem yapılacak -sa, sayılar on tabanına çevrilir. İstenen işlem yapı -lır; sonuç, istenen tabanda yazılır.
!
Örnek Örnek
(231)4 + (102)3 toplamının beş tabanında değeri kaçtır?
Çözüm Çözüm
(231)4 = 2.42 + 3.4 + 1 = 32 + 12 + 1 = 45 (102)3 = 1.32 + 0.3 + 2.1 = 9 + 0 + 2 = 11 (231)4 + (102)3 = 45 + 11 = 56 dır.
Sonuç beş tabanında istendiğinden 56 yı 5 tabanına çevi -relim: 56 5 –55 11 1 11 5 – 1 1 5 – Kalanlar yazılırsa; 56 = (211)5 olur.
Buna göre, (231)4 + (102)3 = (211)5 tir.
YGS Matematik Doğal Sayılarda Çözümleme
Doğal Sayılar - Tam Sayılar YGS Matematik
Örnek Örnek
(2a1)4 > (10a)6 olduğuna göre, a nın alabileceği değerlerin toplamı kaçtır? A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 Çözüm Çözüm (2a1)4 = 2.42 + a.4 + 1 = 33 + 4a (10a)6 = 1.62 + 0.6 + a = 36 + a olduğundan, 33 + 4a > 36 + a ⇒ a > 1 dir. Sayı tabanı 4 olduğundan, 0 ≤ a < 4 olmalıdır. Buna göre, a’nın alabileceği değerler toplamı 5’dir.
Cevap: D
Aynı tabandaki sayılar arasında dört işlem doğrudan yapılabi -lir. Bunun için on tabanında uygulanan kurallar o tabana göre uygulanır.
Örnek Örnek
Aşağıdaki işlemleri inceleyiniz. a) (2)5 + (3)5 = (10)5 b) (4)7 + (3)7 = (10)7 (5)7 + (3)7 = (11)7 (5)7 + (4)7 = (12)7 c) (3)8 + (5)8 = (10)8 (4)8 + (5)8 = (11)8 d) (2)6 . (3)6 = (10)6 (4)8 . (2)8 = (10)8 e) (2)5 . (3)5 = (11)5 (3)5 . (10)5 = (30)5 Örnek Örnek 18 59
sayısını altı tabanında ondalık olarak yazınız.
Çözüm Çözüm
Kesri 2 ile genişleterek paydasını 6 nın kuvveti biçimine ge -tirelim: . . 18 59 18 2 59 2 36 118 = =
Elde edilen kesrin payını ve paydasını altı tabanına çevirelim ve bölme işlemini yapalım:
( ) ( ) ( , ) 36 118 100 314 3 14 6 6 6 = = bulunur.
Herhangi Bir Tabandaki Sayının Tek ya da Çift Olması A = (akak–1 ... a1a0)n sayısının tek ya da çift olduğu şöyle be -lirlenir:
1. n çift olsun.
a) a0 çift ise A çift sayıdır. b) a0 tek ise A tek sayıdır. 2. n tek olsun.
a) ak + ... + a1 + a0 toplamı çift ise A çift sayıdır. b) ak + ... + a1 + a0 toplamı tek ise A tek sayıdır.
Örnek Örnek
a) (4023)6 sayısında taban çift ve birler basamağı tek oldu -ğundan sayı tektir.
b) (542)8 sayısında taban çift ve birler basamağı çift oldu -ğundan sayı çifttir.
c) (10456)7 sayısında taban tek ve sayısının rakamları top -lamı 16 olduğundan sayı çifttir.
d) (40201)5 sayısında taban tek ve sayının rakamları topla -mı 7 olduğundan sayı tektir.
Örnek Örnek
A = (2131a)5sayısı tek olduğuna göre, a nın alabileceği kaç farklı değer vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
YGS Matematik Doğal Sayılarda Çözümleme
YGS Matematik
Çözüm Çözüm
Taban tek olduğundan, rakamların toplamı tek olmalıdır: 2 + 1 + 3 + 1 + a = 7 + a
toplamı tek olmalıdır.
a < 5 olduğuna göre, a nın alabileceği değerler; 0, 2, 4 tür.
Cevap: C
Örnek Örnek
84 doğal sayısı 4 tabanına göre yazıldığında, kaç basa-maklı bir sayı elde edilir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
(2001 – ÖSS)
Çözüm Çözüm
84 = (4.2)4 = 44 . 24 = 44 . 42 = 46
am sayısı a tabanına göre yazıldığında (m + 1) basamaklı bir sayı elde edilir.
46 sayısı, 4 tabanına göre yazıldığında 6 + 1 = 7 basamak -lı bir sayı elde edilir.
Cevap: D
Örnek Örnek
10 ve m sayı tabanını göstermek üzere, (97)10 = (241)m
olduğuna göre, m kaçtır?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5 (1997 – ÖSS) Çözüm Çözüm 97 = (241)m ⇒ 97 = 2.m2 + 4 . m1 + 1 . m0 ⇒ 97 = 2m2 + 4m + 1 ⇒ 0 = 2m2 + 4m – 96 ⇒ 0 = m2 + 2m – 48 –6 8 0 = (m – 6) . (m + 8) m = 6 veya m = –8 olur. (Taban –8 olamaz.) Cevap: D Örnek Örnek
4, sayı tabanını göstermek üzere, (213)4 x (23)4 çarpma işleminin sonucu 4 tabanına göre aşağıdakilerden han-gisidir? A) 13231 B) 13221 C) 13213 D) 12321 E) 12231 (1996 – ÖSS) Çözüm Çözüm (213)4 (12231)4 x (23)4 1311 1032 Cevap: E YGS Matematik Doğal Sayılarda Çözümleme
Çözümlü Test Çözümlü Test – I 1. n tabanına göre, 101 sayısı 10 tabanına göre 50 ye
eşit olduğuna göre n aşağıdakilerden hangisidir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
2. 10 ve m sayı tabanını göstermek üzere, (49)10 = (121)m
olduğuna göre m kaçtır?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
3. 7 tabanındaki (356)7 sayısının bir fazlası aynı taban-da nasıl yazılır?
A) 357 B) 360 C) 363 D) 365 E) 366
4. 274 doğal sayısı 9 tabanına göre yazıldığında, kaç basamaklı bir sayı elde edilir?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
5. 2 ve 5 sayı tabanını göstermek üzere, (2a)5 = (1011)2
olduğuna göre, a kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
6. Beşlik sayma düzeninde üç basamaklı en büyük sa-yının sekizlik sayma düzeninde eşiti kaçtır?
A) (222)8 B) (202)8 C) (174)8
D) (147)8 E) (177)8
7. 5, sayı tabanını göstermek üzere, (123)5 . (32)5
çarpımı, 5 tabanına göre kaçtır?
A) 100321 B) 100111 C) 10041
D) 141 E) 104
8. m ve n sayı tabanlarıdır. (25)m = (31)n
olduğuna göre, m + n nin en küçük değeri kaçtır?
A) 10 B) 11 C) 12 D) 13 E) 14
9. 5 sayı tabanıdır. (101)5 < x < (1001)5
eşitsizliğini sağlayan kaç tane x doğal sayısı vardır?
A) 90 B) 99 C) 100 D) 199 E) 999
10. 30 • 210 sayısı sekiz sayı tabanında kaçtır? A) (36000)8 B) (36300)8 C) (30320)8
D) (74000)8 E) (77000)8
Çözümler – I 1. (101)n = 50 ⇒ 1 . n2 + 0 . n + 1 = 50 ⇒ n2 + 1 = 50 ⇒ n2 = 49 ⇒ n = 7 dir. Cevap: D 2. 49 = (121)m ⇒ 49 = m2 + 2m + 1 ⇒ m2 + 2m – 48 = 0 ⇒ (m + 8)(m – 6 ) = 0 ⇒ m = –8 ve m = 6 bulunur. ⇒ m = – 8 olamaz m = 6 dır Cevap: D 3. (356)7 (360)7 + (1)7 Cevap: B 4. 274 = (33)4 = 312 = (32)6 = 96 = (1 000 000)9
olduğundan, 7 basamaklı bir sayı elde edilir.
Cevap: D
5. (2a)5 = (1011)2⇒ 2 . 5 + a = 1 . 23 + 0 . 22 + 1 . 2 + 1 ⇒ 10 + a = 11
⇒ a = 1 bulunur.
Cevap: B
6. Beşlik sayma düzeninde üç basamaklı en büyük sayı (444)5 tir. (444)5 = 4 . 52 + 4 . 5 + 4 = 4 . 25 + 20 + 4 = 124 124 – 158 – – 4 1 1 15 8 1 8
Buna göre, (444)5 = (174)8 dir.
Cevap: C 7. (123)5 (301)5 (424)5 (10041)5 (32)5 x x Cevap: C
8. m + n nin en küçük olması için m nin ve n nin en küçük olması gerekir.
(25)m = (31)n ⇒ 2 . m + 5 = 3 . n + 1 ⇒ 2 . m + 4 = 3 . n dir. Bu eşitlikte, m ≥ 6 ve n ≥ 4 tür. m = 6 için bir n değeri bulunamaz. m = 7 için n = 6 olur.
O hâlde, m + n = 13 tür.
Cevap: D
9. (101)5 < x < (1001)5 ⇒ 1 . 52 + 1 < x < 1 . 53 + 1 ⇒ 26 < x < 126
dır. 26 ile 126 arasındaki doğal sayıların sayısı; 125 – 27 + 1 = 99 dur. Cevap: B 10. 30 . 210 = 30 . 2 . 29 = 60 . 83 (60 = (74) 8 dir.) = (74)8 . 83 = (74000)8 dir. Cevap: D YGS Matematik Doğal Sayılarda Çözümleme
Çözümlü Test Çözümlü Test – II 1. Üç basamaklı 6AB sayısı iki basamaklı AB sayının 26
katıdır.
Buna göre, A + B toplamı kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 9
2. Üç basamaklı 4AB sayısı, iki basamaklı BA sayısının 13 katından 7 fazladır.
Buna göre, A + B kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
3. İki basamaklı bir sayının, rakamlarının yerleri değiştirilir -se, sayı 27 büyüyor.
Bu sayının rakamları arasındaki fark aşağıdakiler-den hangisidir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. a, b rakamlarından oluşan iki basamaklı ab sayısı, ra -kamları toplamının x katı, ba sayısı ra-kamları toplamı -nın y katıdır.
Buna göre, x + y toplamı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 10 D) 11 E) 12
5. ABCD ve ACBD dört basamaklı birer sayıdır.
Bu iki sayının farkı 540 olduğuna göre, |B – C| farkı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 8
6. Üç basamaklı abc sayısının birler basamağı 4 tür. Birler basamağı ile yüzler basamağı yer değiştirdiğinde olu -şan yeni sayı, abc sayısından 297 küçüktür.
Buna göre abc sayısının yüzler basamağı kaçtır?
A) 2 B) 3 C) 5 D) 7 E) 9
7. 1, 3, 6, 7, 9 rakamlarını kullanarak yazılan, rakamları birbirinden farklı, beş basamaklı ABCDE sayısında A + B = D + E dir.
Bu koşulları sağlayan kaç tane beş basamaklı ABCDE sayısı vardır?
A) 8 B) 7 C) 6 D) 5 E) 4
8. 1, 2, 3, 4, 5, 6 rakamları kullanılarak yazılan, rakamları birbirinden farklı, altı basamaklı ABCDEF sayısında A + B = C + D = E + F dir.
Bu koşulları sağlayan en büyük ABCDEF sayısının birler basamağındaki rakam kaçtır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9. Rakamları sıfırdan farklı, beş basamaklı bir sayının yüzler ve binler basamağındaki rakamlar yer değiş-tirdiğinde elde edilen yeni sayı ile eski sayı arasın-daki fark en çok kaç olabilir?
A) 8000 B) 7800 C) 7500
D) 7200 E) 7000
10. Her biri en az iki basamaklı olan 10 tane sayı vardır. Bunlardan her birinin birler basamağındaki rakam, sayısal değeri bakımından 1 küçültülür, onlar basa-mağındaki rakam 1 büyütülürse bu 10 sayının topla-mı ne kadar artar?
A) 80 B) 89 C) 90 D) 99 E) 101
Çözümler – I 1. 6AB = 26 . AB ⇒ 600 + AB = 26 . AB ⇒ 600 = 25 . AB ⇒ AB = 24 olur. A + B = 2 + 4 = 6 dır. Cevap: D 2. 4AB = 13 . BA + 7 ⇒ 400 + 10 . A + B = 13 . (10B + A) + 7 ⇒ 393 + 10A + B = 130B + 13A ⇒ 393 = 129B + 3A ⇒ 393 = 3 (43 . B + A) ⇒ 131 = 43 . B + A olur. Bu eşitlikte B = 3 alınmalıdır: 131 = 43 . 3 + A ⇒ 131 = 129 + A
⇒ A = 2 olur. A + B = 2 + 3 = 5 tir.
Cevap: C
3. İki basamaklı sayı (ab) olsun.
(ab) + 27 = (ba) ⇒ 10a + b + 27 = 10b + a ⇒ 27 = 9b – 9a ⇒ 27 = 9(b – a) ⇒ 3 = b – a bulunur. Cevap: C 4. (ab) = x . (a + b) (ba) = y . (a + b)
denklemleri taraf tarafa toplanırsa; (ab) + (ba) = x . (a + b) + y . (a + b) ⇒ 10a + b + 10b + a = (a + b) . (x + y) ⇒11a + 11b = (a + b) . (x + y) ⇒11 . (a + b) = (a + b) . (x + y) ⇒ x + y = 11 bulunur. Cevap: D 5. ABCD – ACBD = 540 ⇒ (1000A + 100B + 10C + D) – (1000A + 100C + 10B + D) = 540 ⇒ 1000A + 100B + 10C + D – 1000A – 100C – 10B – D = 540 ⇒ 90B – 90C = 540 ⇒ 90 (B – C) = 540 ⇒ B – C = 6 bulunur. Cevap: D 6. c = 4 olduğundan, (4ba) = (ab4) – 297 ⇒ 400 + 10b + a = 100a + 10b + 4 – 297 ⇒ 400 = 99a – 293 ⇒ 99a = 693 ⇒ a = 7 bulunur. Cevap: D 7. Sadece 1 + 9 = 3 + 7 olduğundan, 19637 19673 91637 91673 37619 37691 73619 73691
olmak üzere, istenen şartlarda 8 tane sayı yazılabilir.
Cevap: A
8. 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 olduğundan, A + B = 7
C + D = 7 E + F = 7
dir. En büyük ABCDEF sayısı istendiğinden; A = 6 alınmalıdır; B = 1 olur.
C = 5 alınmalıdır; D = 2 olur. E = 4 alınmalıdır; F = 3 olur. O hâlde; sayı, 615243 tür.
Cevap: C
9. Sayı, abcde olsun. Sayının yüzler basamağında c, binler basamağında b vardır.
acbde – abcde = (a00de) + 1000c + 100b – [(a00de) + 1000b + 100c] = 900c – 900b = 900(c – b)
dir. Bu farkın en büyük olması için c = 9, b = 1 alınmalıdır. Bu durumda,
900 . (c – b) = 900 . (9 – 1) = 900 . 8 = 7200 olur.
Cevap: D
10. Bir sayının birler basamağındaki rakam, sayısal değer bakımından 1 küçültülürse sayı da 1 küçülür; onlar ba -samağındaki rakam sayısal değer bakımından 1 büyü -tülürse sayı 10 büyür. O hâlde, her bir sayı 9 büyür. 10 sayı ise, toplam 90 büyür.
Cevap: C
YGS Matematik Doğal Sayılarda Çözümleme
YGS
MATEMATİK
Harfli İşlemler - Bölme İşlemi
TEMEL KAVRAMLAR– III
TAM SAYILARDA BÖLME ve HARFLİ İŞLEMLER
A, B, C, K ∈ N+ ve B ≠ 0 olmak üzere, A B
C K – bölme işleminde A ⇒ bölünen
B ⇒ bölen C ⇒ bölüm K ⇒ kalan dır. A = B.C + K ve 0 ≤ K < B dir.
K = 0 ise A sayısı B sayısına tam bölünür. K < C ise B ile C yer değiştirebilir.
Örnek Örnek
Bir bölme işleminde, bölünen ile bölenin toplamı 144 tür. Bu bölme işleminde bölüm 4 ve kalan 4 ise bölen kaçtır?
Çözüm Çözüm Bölünen → a bölen → b olsun a b a + b = 144 a = 4b + 4 olur. 4 4 – a + b = 144 eşitliğinde a = 4b + 4 yazılırsa 4b + 4 + b = 144 5b = 140 b = 28 bulunur. Örnek Örnek
Beş basamaklı (abab5) doğal sayısının iki basamaklı (ab) doğal sayısına bölümündeki bölüm ile kalanın toplamı kaçtır? Çözüm Çözüm abab5 0ab ab 05 ab ab 1010 – – 1010 + 5 = 1015 bulunur.
!
Bölme işleminde bölen bölümden küçük ise yer -leri değişebilir. işleminde B < C ise A K – B C A K – C B
!
Sıfırın, sıfırdan farklı tüm sayılara bölümü sıfırdır. 5 0=0 0 3430 = 0 7 → tanımsız 0 0 → belirsiz. Örnek Örnek
A, B, C birer rakam ve (BC) iki basamaklı bir sayı olmak üzere, A A B C + + BC 7 ve ise A kaçtır? Çözüm Çözüm A + A = BC ⇒ BC = 2.A olur.
A bir rakam olduğundan B ancak 1 olabilir. B + C = 7 ⇒ 1 + C = 7
C = 6 olur. 2.A = 16 ⇒ A = 8 bulunur.
YGS Matematik Harfli İşlemler - Bölme İşlemi
Örnek Örnek
(ab) ve (cb) iki basamaklı ve (a2cb) dört basamaklı sayı-lar olmak üzere,
a b c b x + 4
.
b c2cb abişlemine göre, a + b + c toplamı kaçtır?
Çözüm Çözüm
a = 7 ise b = 6 olmak zorundadır. İşlemi yaparsak, a b c b c 2 c b 1 1 4 . b 5 veya 6 olmalı a, 7 olmalı x x b a O halde, a = 7, b = 6, c = 1 dir. a + b + c = 7 + 6 + 1 = 14 bulunur. Örnek Örnek
x ve y doğal sayıları için
olduğuna göre, x.y çarpımının 5’e bölümünden elde edi-len kalan kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4
(2010 – YGS)
Çözüm Çözüm
x in 10 bölümünden kalan 2 ise 5 e bölümünden de kalan 2 olur.
y nin 15 e bölümünden kalan 3 ise 5 e bölümünden de ka -lan 3 olur.
x . y nin 5 e bölümünden kalan ise ayrı ayrı kalanların çarpı -mıdır. Yani 2 . 3 = 6 ve 6 ≡ 1 (mod 5) tir. Cevap: B Örnek Örnek AB 9 – BA1
Yukarıdaki bölme işlemine göre, iki basamaklı AB sayısının iki basamaklı BA sayısına bölümünden elde edilen bölüm 1 ve kalan 9 dur.
Buna göre, A – B farkı kaçtır?
A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 (2008 – ÖSS) Çözüm Çözüm AB 9 – BA1 ⇒ AB = BA.1 + 9 ⇒ 10A + B = 10B + A + 9 ⇒ 10A – A + B – 10B = 9 ⇒ 9A – 9B = 9 ⇒ 9(A – B) = 9 ⇒ A – B = 1 olur. Cevap: B
Çözümlü Test 1. Beş basamaklı bir sayı, iki basamaklı bir sayıya
bö-lündüğünde, kalan sayı en fazla kaç basamaklı ola-bilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
2. ab5 gibi üç basamaklı bir sayı, ab gibi iki basamaklı bir sayıya bölünüyor.
Bölüm ile kalanın toplamı kaçtır?
A) 16 B) 15 C) 10 D) 6 E) 5
3. Dört basamaklı ABCD sayısı, üç basamaklı ABC sa-yısına bölündüğünde bölüm ile kalanın toplamı 18 olduğuna göre, D rakamı kaçtır?
A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8
4. Toplamları 621 olan iki pozitif tam sayıdan büyüğü küçü -ğüne bölündüğünde bölüm 16, kalan ise 9 dur. Buna göre, büyük sayı kaçtır?
A) 570 B) 575 C) 580 D) 585 E) 590
5. Bir bölme işleminde bölünen ve bölenin toplamı 83, bölüm 9, kalan 3 olduğuna göre, bölen kaçtır?
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9
6. İki doğal sayıdan biri diğerine bölündüğünde, bölüm 12, kalan 8 dir.
Bölünen, bölen ve bölüm toplamı 189 olduğuna göre, bölen sayı kaçtır?
A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15
7.
Yukarıdaki bölme işlemine göre, L nin K ve M türün-den değeri aşağıdakilertürün-den hangisidir?
A) MK–+13 B) MK+1–3 C) K– (M3+1) D) K – M + 2 E) K + M – 2
8.
Yukarıdaki bölme işlemlerine göre, C nin A türünden ifadesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) 5A4+6 B) 5A4–6 C) 5A3–1 D) 4A4+6 E) 5A
9. x, y, z sıfırdan farklı pozitif birer tam sayı ve
olduğuna göre, x in z türünden değeri aşağıdakiler-den hangisidir?
A) 12z + 7 B) 11z + 3 C) 6z + 3
D) 4z + 1 E) 3z + 2
10.
Yukarıdaki bölme işlemlerinde K, L, M harfleri birer pozi -tif tam sayıyı göstermektedir.
Buna göre, K L M+ +5M –20 işleminin sonucu kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
YGS Matematik
1. Kalan sayı da iki basamaklı olabilir.
Cevap: B
2. Yandaki bölme işlemine göre, bölüm 10, kalan 5 tir.
Cevap: B
3. Yandaki bölme işlemine göre, bölüm
10 kalan D dir. O halde D = 8 dir.
Cevap: E
4. Büyük sayıya x dersek küçük sayı 621 – x olur.
Yukarıdaki bölme işleminin sağlamasından, x = 16 . (621 – x) + 9 ⇒ x = 16 . 621 – 16x + 9 ⇒ 17x = 9936 + 9 ⇒ 17x = 9945 ⇒ x = 585 bulunur. Cevap: D
5. Bölene x dersek, bölünen 83 – x olur. 83 – x = 9x + 3 ⇒ 83 – 3 = 10x
⇒10x = 80 ⇒x = 8 bulunur.
Cevap: D
6. Bölüm 12 olduğundan, bölünenle bölenin toplamı: 189 – 12 = 177 dir.
Bölen sayıya x dersek, bölünen 177 – x olur. 177 – x = 12 . x + 8 ⇒ 177 – 8 = 13x ⇒ x = 13 bulunur. Cevap: C 7. K = (M + 1) . L + 3 ⇒ K – 3 = (M + 1) . L ⇒ L=MK–+13 Cevap: A 8. A = 4B + 2 C = 5B + 1
denklemleri yazılabilir. Birinci denklemden B yi çekip ikinci denklemde yerine yazalım:
A = 4B + 2 ⇒ A – 2 = 4 . B ⇒ B=A4–2 C = 5B + 1 ⇒ C = 5.A4Ð2 1+ ⇒ C = 5A4–10+44 ⇒ C = 5A4–6 Cevap: B 9. x = 4y + 3 y = 3z + 1
denklemleri yazılabilir. y = 3z + 1 değeri birinci denklem -de yerine yazılırsa; x = 4y + 3 ⇒ x = 4 . (3z + 1) + 3 ⇒ x = 12z + 4 + 3 ⇒ x = 12z + 7 bulunur. Cevap: A 10. K = 5L + 2 L = 4M + 3 olduğundan – ( ) ( ) – – ( ) – – M K L M M L M M M L M M M M M M M MM 5 20 5 5 2 4 3 20 5 5 5 15 5 5 4 3 5 15 5 20 15 5 15 5 25 5 + + = + + + + = + = + + = + + = = bulunur. Cevap: C
YGS
MATEMATİK
4.
BÖLÜM
BÖLÜNEBİLME KURALLARI
2, 4, 8 … ile bölünebilme:
2 = 21 son basamağı 2 ile bölünen sayılar 2 ye bölünür. 4 = 22 son iki basamağı 4 ile bölünen sayılar 4 e bölünür. 8 = 23 son üç basamağı 8 ile bölünen sayılar 8 e bölünür.
Örnek Örnek
Rakamları birbirinden farklı 3 basamaklı (28x) sayısının 2 ile bölünebilmesi için x in alabileceği değerler topla-mı kaçtır? Çözüm Çözüm 28x = 2k, k ∈ Z+ ↓ x = 0 x ≠ 2 x = 4 x = 6 x ≠ 8
Sayının rakamları birbirinden farklı olduğundan 2 ve 8 ola -maz. 0 + 4 + 6 = 10 bulunur.
Örnek Örnek
Dört basamaklı (47a2) sayısının 4 ile bölünebilmesi için a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm Çözüm
47a2 sayısının 4 ile bölünebilmesi için (a2) iki basamaklı sa -yısının 4 ile bölünmesi gerekir.
a; 1, 3, 5, 7, 9 değerlerini alabilir. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 bulunur. Örnek Örnek 405576 sayısı 8 576=72 olduğundan 8 ile bölünür.
301032 sayısı 0328 =4 olduğundan 8 ile bölünür.
3 ve 9 ile bölünebilme:
Rakamları toplamı 3 ün katları olan sayılar 3 ile bölünür. Ra -kamları toplamı 9 un katları olan sayılar 9 ile bölünür.
Örnek Örnek
Dört basamaklı (7a2b) doğal sayısı 3 ile bölünebildiğine göre, a + b toplamı kaç farklı değer alır?
Çözüm Çözüm
7 + a + 2 + b = 3k, k ∈ Z+ 9 + a + b = 3k
a + b toplamı 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18 olur. 7 farklı değer alır.
Örnek Örnek
Beş basamaklı (730x4) doğal sayısının 9 ile bölünebilme-si için x kaç olmalıdır?
Çözüm Çözüm 7 + 3 + 0 + x + 4 = 9k, k ∈ Z+ 14 + x = 9k x = 4 olmalıdır.
Bölünebilme Kuralları
TEMEL KAVRAMLAR – IV
YGS Matematik 5 ile bölünebilme:
Birler basamağı 0 veya 5 olan sayılar 5 ile bölünür. 6 ile bölünebilme:
Bir tam sayının 6 ile bölünebilmesi için sayının 2 ve 3 ile bö -lünebilmesi gerekir.
Bölünebilme sorularında ilk önce birler basamağını ilgilendiren bölme işlemlerinden başlamak gerekir.
!
Örnek Örnek
7257 sayısının birler basamağı tek sayı olduğundan 6 ile bölünmez.
Örnek Örnek
Dört basamaklı (537a) sayının 6 ile bölünebilmesi için a nın alabileceği değerleri bulunuz.
Çözüm Çözüm
537a sayısının 6 ile bölünebilmesi için sayı, 2 ve 3 ile bölün -melidir.
Bu durumda a; 0, 2, 4, 6, 8 değerlerinden birini almalı, aynı zamanda sayının rakamları toplamı 3 ün katı olmalıdır. 5 + 3 + 7 + a = 15 + a
↓ 0,6
a nın alacağı değerler 0 ve 6 bulunur.
7 ile bölünebilme:
Üç basamaklı bir tam sayının 7 ile bölünebilmesi için rakam -ları arasında
abc = 7k
2a + 3b + c = 7k (k ∈ Z)
bağıntısı olmalıdır. Sayı 3 basamaklıdan daha büyük bir sayı ise
şeklinde ayrılır.
(g + 3f + 2e + a) – (d + 3c + 2b) = 7k olmalıdır. 10 ile bölünebilme:
Bir tam sayının 10 ile bölünebilmesi için birler basamağındaki rakamın 0 olması gerekir.
11 ile bölünebilme:
Bir tam sayı 11 ile bölünüyorsa rakamları arasında a b c d e f g = 11k (k ∈ Z) + – + – + – + (g + e + c + a) – (b + d + f) = 11k bağıntısı bulunmalıdır. Örnek Örnek 3 5 7 9 1 3 5 sayısı + – + – + – + (5 + 1 + 7 + 3) – (5 + 9 + 3) = 16 – 17 = –1 ≠ 11k olduğundan sayı 11 ile bölünmez.
Bir doğal sayının
12 ile bölünebilmesi için sayı 3 ve 4 15 ile bölünebilmesi için sayı 3 ve 5 18 ile bölünebilmesi için sayı 2 ve 9 24 ile bölünebilmesi için sayı 3 ve 8 36 ile bölünebilmesi için sayı 4 ve 9 …
ile bölünmelidir.
!
Burada 12, 15, 18, 24 … gibi sayıların aralarında asal çarpan -larına ayrıldığına dikkat ediniz.
Örnek Örnek
Beş basamaklı (54a6b) sayısı 45 ile tam bölünebildiğine göre, a nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm Çözüm
Sayının 45 ile tam bölünebilmesi için 5 ve 9 ile tam bölünebil -mesi gerekir. 5 ile tam bölünebil-mesi için
b = 0 veya b = 5 olmalıdır. 54a60 54a65 5 + 4 + a + 6 = 9.k 5 + 4 + a + 6 + 5 = 9k1 15 + a = 9.k 20 + a = 9k1 ↓ ↓ 3 7
a nın alabileceği değerler toplamı 3 + 7 = 10 bulunur.
Örnek Örnek
Dört basamaklı (5a7b) sayısı 36 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı en çok kaçtır?
Çözüm Çözüm
Sayının 36 ile tam bölünebilmesi için 4 ve 9 ile tam bölüne -bilmesi gerekir.
4 ile bölünebilme kuralına göre, b = 2 veya b = 6 dır. 5a72 5a76 14 + a = 9.k 18 + a = 9k1 ↓ ↓ 4 0 9 a = 9 b = 6 alınırsa a + b = 9 + 6 = 15 bulunur. Örnek Örnek
Beş basamaklı (276xy) sayısının 5 ve 9 ile bölümündeki ka -lanlar 3 ise x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm Çözüm
5 ile bölündüğünde 3 kalanını vermesi için y = 3 veya y = 8 olmalıdır. 276x3 276x8 18 + x = 9k + 3 23 + x = 9k1 + 3 15 + x = 9k 20 + x = 9k1 ↓ ↓ 3 7
x in alabileceği değerler toplamı 3 + 7 = 10 bulunur.
Örnek Örnek
Beş basamaklı (730x4) doğal sayısının 9 ile bölünebilmesi için x kaç olmalıdır?
Çözüm Çözüm 7 + 3 + 0 + x + 4 = 9k, k ∈ Z+ 14 + x = 9k x = 4 olmalıdır. Örnek Örnek
Dört basamaklı (7x6y) sayısı 55 ile tam bölündüğüne göre x in alabileceği değerler toplamı kaçtır?
Çözüm Çözüm
(7x6y) sayısının 55 ile tam bölünebilmesi için 5 ve 11 ile tam bölünmesi gerekir.
5 ile bölünebilmesi için y = 0 veya y = 5 olur. 7 x 6 0 7 x 6 5 –, +, –, + –, +, –, + –7 + x – 6 = 11.k –7 + x – 6 + 5 = 11.k1 x – 13 = 11k x – 8 = 11.k1 ↓ ↓ 2 8
x in alabileceği değerler toplamı 2 + 8 = 10 bulunur.
Örnek Örnek
Dört basamaklı (8x6y) sayısının 30 ile bölümünden kalan 28 ise x + y toplamı en çok kaçtır?
Çözüm Çözüm
8x6y = 30.k + 28 ↓ ↓ 10 ile bölümünden kalan 0 + 8 = 8
3 ile bölümünden kalan 0 + 1 = 1 olmalıdır. 10 ile bölümündeki kalan 8 ise y = 8 dir. 8x68 8 + x + 6 + 8 = 3k1 + 1 21 + x = 3k1 ↓ 0 3 6 9 y = 8 x = 9 alınırsa
x + y toplamı en çok 8 + 9 = 17 bulunur.
Örnek Örnek
n bir pozitif tam sayı olmak üzere, n’yi kalansız bölen pozitif tam sayıların kümesi s(n) ile gösteriliyor.
Buna göre, s(60)∩ s(72) kesişim kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 8 B) 9 C) 6 D) 5 E) 4
(2011 – YGS)
Çözüm Çözüm
s(60) ∩ s(72) kümesinin elemanları 60 ve 72 nin en büyük ortak böleninin asal çarpanlara ayrılması ile elde edilir. 60 = 22 . 31 . 51
72 = 23 . 32
Obeb (60, 72) = 22.31 = 12 ve 12 nin pozitif bölenleri de 1, 2, 3, 4, 6, 12 olmak üzere 6 tanedir.
Cevap: C
Örnek Örnek
7k + 4 biçimindeki bir sayı 3 ile kalansız bölünebildiği-ne göre, 21 den küçük k pozitif tam sayıları kaç tabölünebildiği-nedir?
A) 8 B) 9 C) 7 D) 6 E) 5 (2011 – YGS) Çözüm Çözüm 7k + 4 = 3.n, n ∈ N+ k = 2 için 7.2 + 4 = 18 = 3.n k = 5 için 7.5 + 4 = 39 = 3.n k = 8 için 7.8 + 4 = 60 = 3.n k = 11 için 7.11 + 4 = 81 = 3.n k = 14 için 7.14 + 4 = 102 = 3n k = 17 için 7.17 + 4 = 123 = 3n k = 20 için 7.20 + 4 = 144 = 3n k < 21 için yedi tanedir.
Cevap: C
Örnek Örnek
Dört basamaklı 6A2B sayısı 45 sayısının tam katıdır. Buna göre, A nın alabileceği değerler toplamı kaçtır?
A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
(2008 – ÖSS)
Çözüm Çözüm
6A2B sayısı 45 in katı ise 45 ile kalansız bölünür. Başka bir deyişle 45 in çarpanları olan 5 ve 9 ile kalansız bölünmesi ge -rekir. Sayının 5 e bölünebilmesi için B nin 5 veya 0 olması, 9 ile bölünebilmesi için de rakamları toplamının 9 un katı olma -sı gerekir. 6A2B B = 0 için 6A20 ⇒ 6 + A + 2 + 0 = 9k, k ∈ Z B = 5 için 6A25 ⇒ 6 + A + 2 + 5 = 9m, m ∈ Z 8 + A = 9k 13 + A = 9m A = 5 olmalıdır. A = 1 olmalı
A nın alabileceği değerler toplamı 1 + 5 = 6 bulunur.
Cevap: D
Örnek Örnek
Rakamları birbirinden farklı, 4 e kalansız bölünebilen, altı basamaklı en küçük sayının rakamları toplamı kaçtır?
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22 (2004 – ÖSS) Çözüm Çözüm ABCDEF 102348 alınırsa 48 : 4 tam bölünür. 1 + 0 + 2 + 3 + 4 + 8 = 18 Cevap: A Örnek Örnek
Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı 28A9B sayısının 9 ile bölümünden kalan 7, aynı sayının 5 ile bölümünden ka -lan ise 1 dir.
A ≠ 0 olduğuna göre, A – B farkı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
(2001 – ÖSS)
Çözüm Çözüm
28A9B sayısı 5 ile bölümünden kalan 1 ise B = 1 veya B = 6 olur.
B = 1 ; 28A91 sayısının 9 ile bölümünden kalan 7 ise 2 + 8 + A + 9 + 1 = 9.k + 7 A + 20 = 9k + 7 A + 13 = 9k (k ∈ Z) k = 2 ise A = 5 A – B = 5 – 1 A – B = 4 B = 6 ; 28A96 2 + 8 + A + 9 + 6 = 9k + 7 (k ∈ Z) A + 18 = 9k k = 2 ise A = 0 k = 3 ise A = 9 olur.
Rakamlar birbirinden farklı ve A ≠ 0 olacağından dolayı A = 9 ve A = 0 olmaz.
A – B = 4 olur.
Cevap: C
Bölünebilme Kuralları YGS Matematik
Çözümlü Test 1. a < b olmak üzere üç basamaklı 2ab sayısı 6 ile tam
bölünebildiğine göre, a yerine yazılabilecek sayıla-rın toplamı kaçtır?
A) 10 B) 12 C) 15 D) 18 E) 20
2. a ≠ b olmak üzere, dört basamaklı a23b sayısı 6 ile tam bölünebildiğine göre, a + b toplamı en çok kaç-tır?
A) 10 B) 12 C) 13 D) 14 E) 16
3. abc biçiminde yazılmış üç basamaklı bir sayı 9 ile bölü -nebilmekte ve 10 ile bölümünde 4 kalanını vermektedir. a + b toplamının, bu koşulları sağlayan kaç farklı de-ğeri vardır?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
4. Birler basamağı 3 olan ve 9 ile bölünebilen üç basamak -lı sayılar abc biçiminde yazılacaktır.
a > b > c koşulunu sağlayan kaç farklı sayı yazıla-bilir?
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
5. 25 basamaklı 2222222222222222222222222 sayısı-nının 9 ile bölümünden kalan kaçtır?
A) 7 B) 5 C) 4 D) 2 E) 0
6. Rakamları birbirinden farklı beş basamaklı A829B sayı -sının 9 ile bölümünden kalan 7, aynı sayının 5 ile bölü -münden kalan 1 dir.
Buna göre, A – B farkı kaçtır?
A) 6 B) 5 C) 4 D) 3 E) 2
7. İki basamaklı ve 12 ile tam bölünebilen en büyük sayı ile en küçük sayı arasındaki fark kaçtır?
A) 84 B) 80 C) 76 D) 72 E) 60
8. Beş basamaklı 561ab sayısı 30 ile bölünebildiğine göre, a yerine gelebilecek en büyük rakam kaçtır?
A) 9 B) 8 C) 7 D) 6 E) 5
9. 4A6B sayısı 15 ile kalansız bölünebilen dört basamaklı bir sayıdır.
Buna göre, A nın alabileceği değerler toplamı kaç-tır?
A) 20 B) 22 C) 26 D) 33 E) 34
10. Beş basamaklı A911B sayısı 12 ile tam bölünebildi-ğine göre, A + B toplamının en büyük değeri kaçtır?
A) 13 B) 14 C) 15 D) 16 E) 17
Çözümler 1. 2ab sayısı hem 2 ye hem de 3 e bölünebilmelidir. 2 ye
bölünebilmesi için b = 0, 2, 4, 6, 8 olmalıdır.
3 ile bölünebilmesi için 2 + a + b toplamı 3 ün katı ve ayrıca a < b olmalıdır.
Buna göre; b = 0 olamaz.
b = 2 ise; a herhangi bir değer alamaz. b = 4 ise; a = 0, a = 3 olabilir.
b = 6 ise; a = 1, a = 4 olabilir. b = 8 ise; a = 2, a = 5 olabilir.
O hâlde, a yerine yazılabilecek rakamların toplamı; 0 + 3 + 1 + 4 + 2 + 5 = 15 tir.
Cevap: C
2. b = 8 için a = 5 olur. b = 6 için a = 7 olur. b = 4 için a = 9 olur.
Buna göre, a + b toplamı en çok 13 tür.
Cevap: C
3. c = 4 tür. a + b + 4 toplamı 9 un katı olmalıdır. Buna göre; a + b = 5 veya a + b = 14 olabilir.
Cevap: B
4. c = 3 olduğundan, a > b > 3 ve a + b + 3 toplamı 9 un katı olmalıdır.
Buna göre; a + b = 6 veya a + b = 15 olabilir. a > b > 3 olduğundan, a + b = 6 olamaz.
a + b = 15 ve a > b > 3 olacak biçimde a ve b bulunabilir: b = 6 için a = 9 ve b = 7 için a = 8 olabilir.
Cevap: B
5. Sayının rakamlarının toplamı: 25 . 2 = 50 dir.
50 nın 9 ile bölümünden kalan 5 olduğundan, verilen sayının da 9 ile bölümünden kalan 5 tir.
Cevap: B
6. B = 1 veya B = 6 dır.
B = 1 olsun: A8291 sayısının 7 eksiği 9 a bölünebilmeli -dir. A8291 – 7 = A8284 tür.
Bu sayının rakamları toplamı; 9 un katı olmalıdır. Buna göre, A = 5 tir. A – B = 4 tür.
B = 6 için A = 9 olmaktadır. Halbuki sayının rakamları farklıdır.
Cevap: C
7. 96 – 12 = 84 tür.
Cevap: A
Bölünebilme Kuralları YGS Matematik
Çözümler
Doğal Sayılar - Tam Sayılar YGS Matematik
8. b = 0 dır. 561a0 sayısında rakamların toplamı 3 ün katı olmalıdır. 5 + 6 + 1 + a + 0 = a + 12 dir.
a yerine en büyük 9 yazılabilir.
Cevap: A
9. B = 0 veya B = 5 tir.
B = 0 olsun. 4A60 sayısının rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.
A = 2, A = 5, A = 8 olabilir.
B = 5 olsun. 4A65 sayısının rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.
A = 0, A = 3, A = 6 veya A = 9 olmalıdır. Buna göre, A nın alabileceği değerlerin toplamı;
2 + 5 + 8 + 0 + 3 + 6 + 9 = 33 tür.
Cevap: D
10. 1B iki basamaklı sayısı 4 ün katı olmalıdır. B = 2 veya B = 6 olmalıdır.
B = 2 olsun. A9112 sayısının rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.
Buna göre, A = 2, A = 5 veya A = 8 olmalıdır. Burada A + B toplamının en büyük değeri
8 + 2 = 10 dur.
B = 6 olsun. A9116 sayısının rakamlarının toplamı 3 ün katı olmalıdır.
Buna göre, A = 1, A = 4 veya A = 7 olmalıdır. Burada A + B toplamının en büyük değeri 7 + 6 = 13 tür.
