KONSEP DASAR TEORI PELUANG

KONSEP DASAR

TEORI PELUANG

KONSEP DASAR TEORI PELUANG

Jitu Halomoan Lumban Toruan

KONSEP DASAR TEORI PELUANG

© Penerbit Perkumpulan Rumah Cemerlang Indonesia (PRCI)

Penulis:

Jitu Halomoan Lumban Toruan Editor:

Natalius Simamora Cetakan Pertama: Januari 2022 Cover: Rusli Tata Letak: Tim Kreatif PRCI

Hak Cipta 2022, pada Penulis. Diterbitkan pertama kali oleh:

Perkumpulan Rumah Cemerlang Indonesia ANGGOTA IKAPI JAWA BARAT Pondok Karisma Residence Jalan Raflesia VI D.151 Panglayungan, Cipedes Tasikmalaya – 085223186009 Website: www.rcipress.rcipublisher.org E-mail: rumahcemerlangindonesia@gmail.com

Copyright © 2022 by Perkumpulan Rumah Cemerlang Indonesia All Right Reserved

- Cet. I –: Perkumpulan Rumah Cemerlang Indonesia, 2022

; 14,8 x 21 cm ISBN: 978-623-448-032-0 Hak cipta dilindungi undang-undang Dilarang memperbanyak buku ini dalam bentuk dan dengan cara apapun tanpa izin tertulis dari penulis dan penerbit Undang-undang No.19 Tahun 2002 Tentang Hak Cipta Pasal 72

Undang-undang No.19 Tahun 2002 Tentang Hak Cipta Pasal 72

Barang siapa dengan sengaja melanggar dan tanpa hak melakukan perbuatan sebagaimana dimaksud dalam pasal ayat (1) atau pasal 49 ayat (1) dan ayat (2) dipidana dengan pidana

penjara masing-masing paling sedikit 1 (satu) bulan dan/atau denda paling sedikit Rp.1.000.000,00 (satu juta rupiah), atau pidana penjara paling lama 7 (tujuh) tahun dan/atau

denda paling banyak Rp.5.000.000.000,00 (lima miliar rupiah).

Barang siapa dengan sengaja menyiarkan, memamerkan, mengedarkan, atau menjual kepada umum suatu ciptaan atau barang hasil pelanggaran hak cipta terkait sebagai dimaksud pada ayat (1) dipidana dengan pidana penjara paling lama 5 (lima) tahun dan/atau denda paling

banyak Rp.500.000.000,00 (lima ratus juta rupiah).

KATA PENGANTAR

Puji syukur senantiasa saya panjatkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya, sehingga saya dapat menyelesaikan buku teori peluang, yang memiliki tujuan memenuhi kebutuhan para pembaca terkusus para pelajar yang senang dengan ilmu matematika terkusus teori peuang. Buku ini berjudul: “Teori Peluang”. Saya juga tidak lupa mengucapkan terimakasih kepada para pemberi saran terhadap buku ini, masukan dan kritikan terhadap buku ini adalah bagian dari penyerpurnaan. Dalam buku ini berisi tentang fakta dalam kehidupan sehari-hari yang dikemas dengan konsep. Teori peluang menjelaskan mulai dari sejarah, pengertian atau fakta, konsep, prinsip dan skill dalam menyelesaikan persoalan kehidupan sehari-hari dengan metode peluang. Saya menyadari, tidak ada gading yang tidak retak. Sebangai penulis, saya menyadari bahwa buku ini masih jauh dari kata sempurna. Saya dengan rendah hati dan tangan terbuka menerima berbagai masukan, kritikan ataupun bersifat saran yang bertujuan membangun. Akhir kata saya ucapkan terimakasih.

Jakarta 07 Februari 2022

Jitu Halomoan Lumban Toruan

DAFTAR ISI

Kata Pengantar ... i

Daftar Isi ... ii

Daftar Tabel ... iv

Daftar Gambar ... v

Latar Belakang ... 1

BAB 1. PELUANG SUATU KEJADIAN SUATU KOMPLEMEN . 2 1.1. Defenisi Suatu Peluang ... 2

1.2. Ruang Sampel Dan Percobaan... 3

1.3. Frekuensi Harapan Suatu Kejadian ... 7

1.4. Kejadian Majemuk ... 9

1.5. Peluang Saling Lepas... 10

1.6. Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas ... 11

1.7. Peluang Kejadian Saling Bebas ... 13

1.8. Peluang Bersyarat ... 16

1.9. Pengertian Komplemen Peluang ... 18

Rangkuman ... 21

Soal Latihan Isian ... 24

Soal Latihan ... 33

BAB 2. PROBABILITAS ... 38

2.1. Pengerttian Probabilitas ... 38

2.2. Rumus Bayes ... 46

Rangkuman ... 50

Soal Latihan ... 63

BAB 3. KAIDAH PENCACAHAN ... 68

3.1. Pengertian Kaidah Pencacahan ... 68

3.2. Aturan Pencacahan ... 71

3.3. Metode kaidah pencacahan ... 78

Rangkuman ... 86

Soal Isian... 89

Soal Latihan ... 100

BAB 4. PELUANG BERSYARAT ... 103

4.1. Peluang Bersyarat ... 103

4.2. Peubah Acak ... 107

4.3. .Distribusi Peluang Kontinu ... 118

4.4. Distribusi Empiris ... 120

Rangkuman ... 131

Soal Latihan Isian ... 133

Soal Latihan ... 141

GLOSARIUM ... 143

DAFTAR ISI ... 147

RIWAYAT HIDUP ... 150

DAFTAR TABEL

Tabel 2.1 Jumlah Kariawan Suatu Pabrik ... 59 Tabel 2.2. Jumlah Kariawan Suatu Pabrik ... 59

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1. 1 Kartu Remi, Hati, dan Bergambar ... 12

Gambar 2.1. Keadaan Saling Mediadakan ... 39

Gambar 2.2. Himpunan Saling Beririsan ... 40

Gambar 2.3. Dua Kejadian Saling Beririsan ... 42

Gambar 2.4. Tiga Himpunan Saling Beririsan... 43

Gambar 2.5. Sistem roulette di Casino ... 64

Gambar 2.6. Lingkaran Dibagi Menjadi Tiga Bagian ... 64

Gambar 2.7. Sistem roulette di Casino ... 65

Gambar 3.1. Banyak Cara Berpakaian ... 69

Gambar 3.2. Banyak cara Satu Kedua Dan Sekertaris... 70

Gambar 3.3. Cara memilih Laporan ... 72

Gambar 3.4. Banyak Jalan Yang Bisa Dilalui ... 73

Gambar 3.5. Sepedah Yang Dipilih ... 74

Gambar 3.6. Ilustrasi Guru Dengan Murid ... 78

Latar Belakang

Teori peluang adalah salah satu pelajaran dan bagian dari ilmu matematika yaitu statistika yang memiliki banyak aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Dalam kenyataan, banyak kejadian yang tidak pasti dan probabilitas digunakan untuk melihat seberapa besar kemungkinan kejadian itu akan terjadi. Secara khusus, buku ini digunakan untuk mempedalami pemahaman mengenai sejarah, teori, mengetahui kapan probabilitas digunakan serta aturan-aturan dasar yang diperlukan dalam mengukur dan meningkatkan pemahaman pembaca dengan mengerjakan soal yang berkaitan dengan kehidupan sehari-hari. Dengan membaca dan memahami buku ini, para pembaca dapat belajar mengenai kaidah pencacahan secara signifikan dan sesuai dengan konteks kehidupan yang menjadi bagian dari keseharian kehidupan mereka. Menanamkan konsep dari yang ada di sekitar kita diharapkan dapat membuat pembaca terkhusus pelajar memiliki bekal sehingga kedepannya dapat memecahkan masalah, merancang dan menghasilkan karya dan inovasi baru. Dengan buku ini Peluang dan Kombinatorika, pembaca memahami berbagai peristiwa pencacahan seperti sejarah pencacahan, pengertrian kaidah pencacahan, prinsip yang ada di dalam kaidah pencacahan, aturan yang ada dalam kaidah pencacahan serta metode yang digunakan dalam kaidah pencacahan individu maupun kelompok.

BAB 1

PELUANG SUATU KEJADIAN DAN KOMPLEMEN

1.1. Definisi Teori Peluang

Teori Peluang ditemukan oleh Chevalier de Mere. Dia adalah seorang bangsawan berasal dari Perancis tahun 1601-1665 yang mempunyai hobby bermain judi menggunakan Dadu.

Dia melakukan analisa dan mencoba peruntungannya.

sehingga Ia berjudi mengguna permainan satu dadu dan dua dadu. Akan tetapi, dia mengalami kekalahan terus-menerus sehingga dia sempat jatuh miskin dan merasakan frustasi.

Oleh karena itu, Ia memutuskan untuk liburan dan pada tahun 1652 pada sebuah perjalanan Ia bertemu dengan kawannya yaitu pascal yang merupakan seorang fisikawan dan matematikawan sehingga Chevalier memberikan beberapa pertanyaan mengenai persoalan yang dia dapat waktu bermain judi. Pertanyaan-pertanyaan tersebut kemudian diteliti lebih dalam oleh Pascal dan Fermat yang merupakan seorang hakim dan matematikawan menjadi sebuah teori Peluang yang dipakai dari dulu hingga saat ini.

Peluang adalah angka atau besaran yang digunakan untuk mengekspresikan seberapa mungkin sesuatu terjadi. Peluang dapat diekspresikan sebagai pecahan atau desimal atau persentase. (Lumbantoruan, 2019g) Peluang mempunyai Hubungan konsep kemungkinan dengan peristiwa. Ketika kita memiliki peluang kecil, kemungkinan yang akan terjadi juga kecil, Tetapi ketika kita memiliki peluang besar,

kemungkinan terjadi juga akan besar. (Lumbantoruan &

Male, 2020) Peluang juga dapat dikatakan seperti probabilitas yaitu sebagai ilmu kebolehjadian. Peluang mempunyai ruang dan titik sampel. Ruang sampel adalah jumlah total semua kasus. Sedangkan titik sampel merupakan elemen dari ruang sampel yang akan keluar. Teori peluang adalah suatu ilmu matematika yang mengikuti prinsip kombinatorik yang dipakai untuk ilmu statistika.

1.2. Ruang Sampel dan Percobaan

Ruang sampel adalah jumlah total seluruh kebolehjadian yang sudah terjadi pada pengetesan. Kejadian adalah kelompok bagian dari ruang sampel.

1. Kejadian biasa: terdiri dari 1 anggota.

2. Kejadian bertingkat: Kombinasi dari kejadian sederhana.

3. Ketika hasil suatu percobaan termuat dalam kelompok A, kejadian itu sudah terjadi.

Contoh 1

Nadine memiliki 2 tas bercorak biru dan putih. Lalu dia mempunyai 2 celana chino dan Jeans. Berapa pasang tas dan celana dipakai secara bergiliran?

Jawaban :

Biru Chino Biru, chino Jeans Biru, Jeans

Putih Chino Putih, Chino Jeans Putih, Jeans

Jadi, sepasang Baju dan celana yang dipakai secara bergiliran adalah 2 × 2 = 4 cara.

Contoh 2

3 uang koin dikeluarkan secara bersamaan. Sisi koin itu mencakup sisi angka dan sisi gambar, tentukanlah kemungkinan munculnya minimal 1 gambar ?

Jawaban :

G adalah gambar dan A adalah Angka.

Gambar dan angka yang keluar sebanyak: (AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG) maka n(S) = 8

1 gambar yang keluar, yaitu: AAG, AGA,GAA, AGG, GAG, GGA, GGG = 7

Peluang munculnya paling sedikit 1 gambar =⁷

8 Jadi, minimal 1 gambar muncul sebesar ⁷

8 Peluang Suatu Kejadian

(Lumbantoruan, 2019a) Peluang adalah angka atau besaran yang digunakan untuk mengekspresikan seberapa mungkin sesuatu terjadi. (Manalu, 2019) Rentang peluang dari 0 sampai 1. Jika peluang = 0 maka kejadian itu mustahil terjadi dan ketika peluang = 1 maka pasti akan terjadi.

Rumus dari Peluang Suatu Kejadian :

(Lumbantoruan, 2020b) Suatu jumlah kasus memenuhi syarat dilambangkan A dengan julah total semua kasus dilambangkan S, maka jumlah kasus memenuhi syarat A, dirumuskan P (A), yaitu:

P (A) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) = 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 𝑚𝑒𝑚𝑒𝑛𝑢ℎ𝑖 𝑠𝑦𝑎𝑟𝑎𝑡 𝐽𝑢𝑚𝑙𝑎ℎ 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑘𝑎𝑠𝑢𝑠 Contoh 1

Dilempar 3 koin secara bersamaan, tentukanlah peluang yang keluar:

a) 3 sisi Angka

b) 1 angka dan 2 gambar Jawaban :

a) S = {AAA, AAG, AGA, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}

Jadi, n(S) = 8

Andaikan, peristiwa 3 sisi Angka ialah A = {A,A,A}

maka n(A) = 1 P (A) =𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) = 1 8

b) Misalnya, 1 angka dan 2 gambar ialah B = {AGG, GAG, GGA} maka n(B) = 3

P (B) =𝑛(𝐵) 𝑛(𝑆) = 3

8

Contoh 2

Abigail menghadiri acara jogging yang akan memberikan hadiah 4 buah handphone. Jika acara jogging itu memiliki peserta sebanyak 800 orang. Berapakah peluang Abigail untuk memperoleh hadiah handphone?

Jawaban :

S = seluruh peserta jogging maka n(S) = 800 orang

Misalnya, kejadian Abigail memperoleh Handphone ialah A.

A= {Handphone 1, Handphone 2, Handphone 3, Handphone 4} Jadi, n(A) = 4

P (A) = 𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆) = 4

800= 1 200

Dapat diambil kesimpulan bahwa peluang Abigail memeperoleh hadiah handphone adalah ¹

200

Contoh 3

Angelene melempar satu dadu sekali percobaan.

Tentukan berapa peluang yang akan keluar jumlah mata bilangan ganjil?

Jawaban :

Misal kejadian A = kejadian Muncul jumlah dadu bilangan ganjil. {(1,3,5)}

n(A) = 3

S = {1,2,3,4,5,6} n(s) = 6 P(A) = ^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆)

P(A) = ¹

2

Dapat disimpulkan bahwa kemungkinan keluarnya mata dadu ganjil sebesar ¹

2

1.3 Frekuensi Harapan suatu Kejadian

(Lumbantoruan, 2015) Frekuensi harapan yaitu berapa banyak kejadian atau peristiwa yang diharapkan muncul untuk jumlah percobaan tertentu atau Peristiwa yang bisa dikalikan dengan peluang peristiwa itu sendiri.

Contohnya pada pengetesan A dilangsungkan n kali, hingga bisa ditulis seperti dibawah ini:

𝑭_𝒉 = 𝒏 𝒙 𝑷(𝑨) Contoh 1:

Sebuah Pabrik mengeluarkan produk dengan peluang produk yang diproduksi cacat sebesar 0,05. Andaikan hasil produksi 2.000 barang, Tentukan banyaknya produk yang diperkirakan cacat?

Jawaban : P(A) = 0,05 n = 2.000

Maka Fh = P(A) x n = 0,05 x 2.000

= 100 barang Contoh 2

Pada percobaan pelemparan 4 koin secara bersamaan sebanyak 50 kali. Carilah berapa frekuensi harapan keluarnya 2 gambar dan 2 angka !

Jawaban : S = 16

2 gambar dan 2 angka = {(GGAA, AAGG, AGAG, GAGA,GAAG, AGGA)} = 6

n = 50

𝐹_ℎ = 50 𝑥 6

16= 18,75 Contoh 3.

1 dadu dikeluarkan sejumlah 200 kali. Berapa frekuensi harapan keluarnya mata dadu kurang dari 4?

Jawaban :

S = {1,2,3,4,5,6} maka n(S) = 6

A = mata dadu kurang dari 4 = {1,2,3} n(A) = 3

𝐹_ℎ = 𝑛 𝑥 𝑃(𝐴) = 200 𝑥𝑛(𝐴) 𝑛(𝑆)

= 200 𝑥³

6= 100 kali 1.4 Kejadian Majemuk

(Lumbantoruan & Natalia, 2021) Kejadian Majemuk ialah suatu peristiwa yang terdiri atas beberapa kejadian sehingga menghasilkan kejadian baru. Contohnya, sebuah peristiwa A dan peristiwa komplemen A^’. hal ini menunjukkan rumus, seperti dibawah ini:

P(A) + P(A^c) = 1 atau P(A^’) = 1 – P(A) Contoh 1

Adi mengambil kartu poker untuk ditarik 1 kartu secara sembarang. Carilah Kemungkinan kartu king yang tidak diambil!

Jawaban :

Jumlah kartu tanpa joker: n(S) = 52

total kartu king satu set remi = n(E)= 4, sehingga P(E) =

4 52= ¹

13

Kemungkinan tidak terambilnya king = P(E^’) = 1 – P(E) = 1 − ¹

13=¹²

13

Contoh 2

Budi ingin masuk kesebuah sekolah terbaik di Indonesia, peluang Budi diterima di SMA tersebut adalah 0,57. Berapakah peluang Budi tidak diterima di SMA tersebut?

Jawab :

P(E) = Peluang diterima yaitu 0,57 P(E’) = 1 – P(E)

= 1 – 0,57

= 0,43

1.5. Peluang Saling Lepas

(Lumbantoruan, 2017) Kejadian A dan kejadian B disebut saling lepas ketika kejadian A dan kejadian B tidak bisa terjadi pada saat bertepatan (tidak beririsan) buat 2 Peristiwa saling lepas, Kemungkinan A atau B terjadi, ditulis :

𝐏 (𝐀 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) Contoh :

Sebuah dadu bercorak biru dan hijau dikeluarkan sekaligus sejumlah 1 kali. Carilah Kemungkinan keluarnya mata dadu berjumlah 4 atau 9 !

Jawaban :

MATA DADU BIRU

1 2 3 4 5 6

MATA DADU HIJAU

1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6

2 2,1 2,2 2,3 2,4 2,5 2,6

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6

4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6

5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5 5,6

6 6,1 6,2 6,3 6,4 6,5 6,6

Kejadian mata dadu total = 4 (warna biru) A = {(1,3), (2,2), (3,10}  n(A) = 3

Kejadian mata dadu total = 10 (warna hijau) B ={(6,3), (5,4), (4,5), (3,6)}  n(B) = 4

A dan B tidak mempunyai anggota yang serupa, akhirnya:

P (A∪B) = P(A) + P(B) = ³

36+ ⁴

36

= ⁷

36

1.6. Peluang Kejadian Tidak Saling Lepas

Ketika kejadian A dan kejadian B bisa terjadi pada saat bertepatan (Beririsan). Jika A dan B tidak saling lepas maka

𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩)

Contoh :

Kartu Poker diambil secara sembarang. Berapa besar kemungkinan yang akan terambil ialah kartu hati atau kartu bergambar…

Gambar 1. 1 Kartu Remi, Hati, dan Bergambar Jawaban :

Jumlah kartu Remi tanpa joker = n(S) = 52 Jumlah kartu Hati = n(A) = 13

Jumlah kartu bergambar = n(B) = 3 x 4 = 12

Kartu hati dan kartu gambar dapat terjadi bertepatan (Beririsan) akhirnya kemungkinan A dan B tidak saling lepas  n (A∩ B) = 3

Kemungkinan yang akan terambil kartu hati atau bergambar ialah:

P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

= ¹³

52 + ¹²

52 - ³

52

= ²²

52 = ¹¹

26

1.7 Peluang Kejadian Saling Bebas

(Lumbantoruan, 2018) Peristiwa A dan Kejadian B disebut saling bebas ketika kejadian A tidak

berpengaruh pada kejadian B begitupula kebalikannya.

P(A ∩ B) = P(A) x P(B) Contoh 1:

Jason bermain ludo dan ingin mengeluarkan dua buah dadu, Berapa besar kemungkinan keluarnya di dadu 1angka genap dan di dadu 2 angka prima…

Jawab :

Misalnya: A= Kejadian keluarnya dadu angka genap Dadu 1= {2,4,6}, maka P(A) = ³

6

B = Kejadian keluarnya dadu kedua angka ganjil prima

= {3,5}, jadi P(B) = ²

6

Bisa kita lihat kejadian A tidak mengubah kejadian B, oleh karena itu, bisa disebut sebagai kejadian saling bebas. peluang keluarnya kejadian A dan B adalah:

P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = ³

6 x ²

6

= ¹

6

Contoh 2:

Jessica melempar 1 dadu dan 1 koin sekaligus, Berapa besar kemungkinan keluarnya mata dadu genap dan keluar bagian angka pada koin.

Jawaban:

A = Kejadian keluarnya mata dadu bilangan genap n(A) = {(2,4,6)} = 3

n(s) = 6 Jadi = ^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) = ³

6

B = Kejadian keluarnya bagian angka pada koin P(B) = ¹

2

Bisa kita lihat kejadian A tidak mengubah kejadian B, oleh karena itu, bisa disebut sebagai kejadian saling bebas. peluang keluarnya kejadian A dan B adalah:

(A ∩ B) = P(A) x P(B) = ³

6 x ¹

6

= ¹

2

Contoh 3:

Jeriko mempunyai 1 buah dadu dan 2 koin. Berapa besar kemungkinan keluarnya mata dadu ganjil dan keluar bagian angka pada koin.

Jawab:

A = Kejadian keluarnya mata dadu bilangan ganjil n(A) = {(1,3,5)} = 3

n(s) = 6 Jadi = ^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) = ³

6

B = Kejadian keluarnya Angka pada 2 koin n(B) = {(AA,AG,GA)} = 3

n(s) = 4 Jadi = ^𝑛(𝐴)

𝑛(𝑆) = ³

4

Bisa kita lihat kejadian A tidak mengubah kejadian B, oleh karena itu, bisa disebut sebagai kejadian saling

(A ∩ B) = P(A) x P(B) = ³

6 x ³

4

= ⁹

24

1.8 Peluang Kejadian Bersyarat

Ketika keluarnya kejadian A dan berpengaruh kepada kemungkinan keluarnya kejadian B atau keluarnya B mempengaruhi keluarnya kejadian A, A dan B merupakan kejadian Bersyarat, sehingga: Kemungkinan Kejadian A dengan syarat kejadian B terlebih dahulu:

P(A ∩ B) = P(B) x P(A/B)

Kemungkinan Kejadian B dengan syarat kejadian A terlebih dahulu

P(A ∩ B) = P(A) x P(A/B) Contoh 1

Dua buah dadu dilempar secara bersamaan. Carilah kemungkinan keluarnya jumlah mata dadu lebih besar dari 9 dengan syarat dadu pertama muncul 5!

Jawab:

n(𝑠) = 36

P(A ∩ B): Kemungkinan Jumlah mata dadu lebih dari 9 dadu pertama 5: {(5,5), (5,6)}= ²

36

P(B) = Peluang dadu pertama 5: {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,6)} = ⁶

36

P(A|B) = ^{P(A ∩ B)}

P(B) =

2 366 36

= ¹

3

Contoh 2:

Seorang Peserta didik mempunyai peluang lulus pelajaran Biologi 0,7. Jika setelah Ujian Biologi ia mengikuti ujian bahasa Inggris dan peluang lulusnya 0,8. Kemungkinan seorang peserta didik lulus ujian Biologi dan Bahasa Inggris adalah…

Jawab :

P(A) : Peluang lulus Biologi = 0,7

P(B|A) : Peluang lulus Bahasa Inggris setelah ikut ujian biologi = 0,8

P(A ∩ B) = P(A) x P(B|A) = 0,7 x 0,8 = 0,56 Contoh 3:

Ada kantong berisikan 7 bola bercorak biru dan 3 bola bercorak hijau. Bola tersebut ditarik keluar dua kali dan tidak dikembalikan. Berapa besar kemungkinan yang terambilnya kedua-keduanya bola berwarna biru!

Jawaban:

P(A) : Peluang terambilnya bola berwarna biru pada pengambilan pertama = ⁷

10

P (B|A) : Peluang pada pengambilan kedua warna biru dengan syarat pengambilan pertamanya biru = ⁶

9

Jadi: P(A ∩ B) = P(A) x P (B/A) P(A ∩ B) = ⁷

10 x ⁶

9 P(A ∩ B) = ⁴²

90 = 0,46

1.9 Pengertian Komplemen Peluang

Rumus Peluang diisyaratkan sebagai "P" tanda itu berasal dari huruf depan dari kata "Peluang". (Lumbantoruan, 2019b) Untuk tanda "A" dipakai untuk menunjukkan sebuah peristiwa, pada tanda "c" lambang dari sebuah peristiwa yang dikomplemenkan, lambang "c" berasal dari kata "complemen". Jadi, lambang "A^c" disebut komplemen peristiwa A, dan "P(A^c)" disebut peluang komplemen kejadian A, tapi kalau hanya "P(A)" disebut peluang kejadian A saja.

Rumus Komplemen Peluang : P(A^C ) = 1 – P(A)

Catatan:

P: Peluang

A: Kejadian A (Lambang suatu kejadian) c: complemen atau Komplemen.

Contoh 1

Abigail ingin masuk kesebuah universitas terbaik di Indonesia, peluang Abigail diterima di PTN tersebut adalah 0,64. Berapakah peluang Abigail tidak diterima di PTN tersebut?

Jawab :

P(A) = Peluang diterima yaitu 0,64 P(A’) = 1 – P(A)

= 1 – 0,64

= 0,36 Contoh 2:

Kemungkinan mendapat penyakit jantung adalah 0,4.

Dari seribu orang perokok, tentukan berapa orang kira- kira yang tidak mendapatkan serangan jantung?

Jawaban:

P(Jantung) = 0,4 P(Jantung^C) = 0,6

Peluang harapan turun hujan : F(A^C) = 0,6 𝑥 1000

= 600 Orang.

Jadi dapat dilihat bahwa peluang harapan orang yang tidak terkena serangan jantung sebanyak 600 orang.

Contoh 3:

Kemungkinan mendapat nilai kelulusan adalah 0,57 dari 2000 orang yang mengikuti ujian, tentukan berapa orang kira-kira yang tidak mendapatkan nilai kelulusan?

Jawaban:

P(Nilai kelulusan) = 0,57 P(Nilai kelulusan^C) = 0,43

Peluang harapan tidak mendapatkan nilai kelulusan:

F(A^C) = 0,43 𝑥 200

= 860 Orang.

Jadi dapat dilihat bahwa peluang harapan orang yang tidak mendapatkan nilai kelulusan sebanyak 860 orang.

Rangkuman

1. Teori Peluang ditemukan oleh Chevalier de Mere.

Dia adalah seorang bangsawan berasal dari Perancis tahun 1601-1665 yang mempunyai hobby bermain judi menggunakan Dadu. Dia melakukan analisa dan mencoba peruntungannya.

Tetapi analisanya mengalami kekeliruan dan pada Tahun 1652 dia bertemu dengan Temannya pascal dan fermat. Lalu mereka menyempurnakan teori ini dan dipakai dari dulu sampai saat ini.

2. Peluang adalah angka atau besaran yang digunakan untuk mengekspresikan seberapa mungkin sesuatu terjadi. Rentang peluang dari 0 sampai 1. Jika peluang = 0 maka kejadian itu mustahil terjadi dan ketika peluang = 1 maka pasti akan terjadi. Rumus P(A)= ^𝑛(𝐴)

𝑁 (𝑆)

3. Teori peluang adalah suatu ilmu matematika yang mengikuti prinsip kombinatorik yang dipakai untuk ilmu statistika.

4. Peluang juga dapat dikatakan seperti probabilitas yaitu sebagai ilmu kebolehjadian. Peluang mempunyai ruang dan titik sampel.

5. Ruang sampel adalah jumlah total seluruh kebolehjadian yang sudah terjadi pada pengetesan. Kejadian biasa: terdiri dari 1 anggota, Kejadian bertingkat: Kombinasi dari kejadian

6. Ketika hasil suatu percobaan termuat dalam kelompok A, kejadian itu sudah terjadi

7. (Sholihah, 2015) Frekuensi harapan yaitu berapa banyak peristiwa yang diharapkan muncul untuk jumlah percobaan tertentu atau Peristiwa yang bisa dikalikan dengan peluang peristiwa itu sendiri. Rumus : Fh = n x P(A)

8. (Lumbantoruan, 2019d) Kejadian Majemuk ialah suatu peristiwa yang terdiri atas beberapa kejadian sehingga menghasilkan kejadian baru Contohnya, sebuah peristiwa A dan peristiwa komplemen A^’. hal ini menunjukkan rumus, sebagai berikut :

P(A) + P(A^c) = 1 atau P(A^’) = 1 – P(A)

9. (Lumbantoruan, 2019h) Kejadian A dan kejadian B disebut saling lepas ketika kejadian A dan kejadian B tidak dapat terjadi pada saat bertepatan (tidak beririsan) buat dua kejadian saling lepas, peluang salah satu A atau B terjadi, ditulis : 𝐏 (𝐀 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩)

10. Ketika kejadian A dan kejadian B bisa terjadi bertepatan (Beririsan). Ketika A dan B tidak saling lepas maka 𝑷(𝑨 ∪ 𝑩) = 𝑷(𝑨) + 𝑷(𝑩) − 𝑷(𝑨 ∩ 𝑩) 11. (Lumbantoruan, 2020a) Ketika keluarnya kejadian A mempengaruhi kemungkinan keluarnya kejadian B atau keluarnya kejadian

mempengaruhi kemungkinan keluarnya kejadian A, A dan B adalah kejadian Bersyarat, sehingga:

12. Peluang Kejadian A dengan syarat kejadian B terlebih dahulu:P(A ∩ B) = P(B) x P(A/B)

13. Rumus Peluang diisyaratkan sebagai "P" berasal diambil dari kata "Peluang". Untuk tanda "A" dipakai untuk menunjukkan sebuah kejadian, pada tanda "c" lambang dari sebuah peristiwa yang dikomplemenkan, lambang "c" berasal dari kata "complemen".

Rumusnya: P(A^C ) = 1 – P(A)

Soal Latihan Isian

1. Satu buah uang koin dan satu buah dadu dilempar sebanyak 3 kali, cari berapa ruang sampel yang didapat?

.𝑛(𝑆)𝑘𝑜𝑖𝑛 = .𝑛(𝑠)𝑑𝑎𝑑𝑢 =

2. Jefry melempar 5 buah dadu dan 2 koin sekaligus dalam satu kali lemparan. Cari berapa ruang sampelnya?

.𝑛(𝑆)𝑘𝑜𝑖𝑛 = .𝑛(𝑠)𝑑𝑎𝑑𝑢 =

3. Agus dan empat temannya bermain kartu remi.

Lalu ditarik keluar salah satu kartu. Berapa besar kemungkinan keluarnya kartu angka 2!

.𝑛(𝑆) = 52 .𝑛(𝐴) = 4 .𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

4. Igor membeli kartu remi sebanyak 3 bungkus yang berjumlah 156 kartu, lalu ditarik 1 kartu, berapa besar kemungkinan keluarnya kartu Jack yaitu

.𝑛(𝑆) = .𝑛(𝐴) = .𝑃(𝐴) = ^{… …}

……

. =^…

…

5. Kantor A sedang membuka lowongan pekerjaan sebanyak 50 orang. Lalu yang daftar ada 50 orang juga. Kemungkinan yang diterima sebesar 0,15.

Berapa pelamar yang ditolak?

𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

6. Suatu kantong plastik berisikan 20 gundu bercorak Biru, 10 gundu bercorak Hijau, 8 gundu bercorak kuning. Berapa besar kemungkinan keluarnya 3 gundu Hijau…

𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

7. Pada suatu lemari mainan diambil satu buah gundu sembarang. lemari mainan yang berisikan dari 10 gundu Biru, 8 gundu Ungu, 6 kelereng hitam. Berapa besar kemungkinan keluarnya 2 gundu hitam…

𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

8. Suatu permainan ludo dilempar 2 buah dadu.

Berapa besar kemungkinan keluarnya mata dadu bilangan genap…

.𝑛(𝑆) = .𝑛(𝐴) = .𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

9. Pada suatu acara terdapat 2 koin, tetukan kemungkinan minimal keluarnya 2 angka?

.𝑛(𝑆) = .𝑛(𝐴) = .𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

10. David mencoba melemparkan 4 uang logam.

Tentukan kemungkinan keluarnya 2 angka dan 2 gambar…

.𝑛(𝑆) = 16

.𝑛(𝐴) = 6 .𝑃(𝐴) = ^{… …}

……

. =^…

…

11. Nimrod bermain ludo dengan 2 buah dadu.

berapakah kemungkinan keluarnya bilangan ganjil …

.𝑛(𝑆) = .𝑛(𝐴) = .𝑃(𝐴) = ^{… …}

……

. =^…

…

12. Dalam laci mainan terdapat 10 gundu, 6 bercorak jingga dan 4 bercorak abu-abu. Kemudian gundu akan dikeluarkan sebanyak 3 gundu sekaligus.

Tentukan besarnya kemungkinan jika yang terambilnya itu:

a. Ketiga-tiganya bercorak jingga

b. 2 gundu jingga dan 1 gundu abu – abu.

P(A) =

13. Yosua mempunyai 8 dadu. Kemudian dadu itu dilempar satu kali. Tentukan ruang sampelnya…

14. Alwin membeli kartu remi di toko. Kemudian dia mengambil salah satu kartunya. Kemungkinan yang akan terambil kartu bergambar sebesar…

n(𝑆) = .𝑛(𝐴) = 𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

15. Suatu game ludo, hagai melempar 2 buah dadu berapakah kemungkinan keluarnya bilangan prima…

.𝑛(𝑆) = .𝑛(𝐴) = .𝑃(𝐴) =^{… …}

……

16. Nadine bermain monopoli dan ia melempar 2 buah dadu sebanyak sekali. Berapa besar kemungkinan keluarnya mata dadu bernilai genap…

.𝑛(𝑆) = . = .𝑃(𝐴) = ⋯

17. Rian bermain ular tangga dengan 2 buah dadu.

Berapakah kemungkinan keluarnya jumlah mata dadu 9…

.𝑛(𝑆) = .𝑃(𝐴) =

18. Peluang mendapat penyakit sesak nafas adalah 0,34. Dari seribu lima ratus orang perokok, tentukan berapa orang kira-kira yang tidak mendapatkan serangan sesak nafas?

.𝑓ℎ = 𝑃(𝐴)𝑥 𝑛

19. Suatu lemari mainan berisi 10 robot bercorak abu- abu, 8 robot-robotan bercorak pink, 20 robot- robotan bercorak jingga. Berapa besar kemungkinan keluarnya 8 robot-robotan bercorak pink…

𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

20. Samuel melempar dadu sebanyak satu kali di dalam permainan ular tangga, maka berapa besar kemungkinan keluarnya mata dadu 2!

𝑛(𝑆) = .𝑛(𝐴) =

21. Satu Buah plastic berisikan 4 permen rasa coklat, 3 rasa strawberry, dan 5 permen rasa vanilla.

Kemudian permen 1 permen akan diambil. Berapa besar kemungkinan terambilnya permen rasa coklat!

𝑛(𝑆) = .𝑛(𝐴) =

22. Pada suatu permainan dua mata uang koin dilempar sekaligus. Berapa besar kemungkinan keluarnya kedua gambar!

.𝑛(𝑆) =

23. Diketahui 2 dadu dilempar 1 kali. carilah besar kemungkinan keluarnya mata dadu 10?

𝑃(𝐴) =^{… …}

……

24. Suatu kardus berisikan 6 gundu hitam dan 4 gundu hijau. Kemungkinan terambilnya 4 gundu hitam sekaligus...

6C4 = …

25. Dalam lemari mainan stella terdapat 20 koin.

Kemudian stella melempar 20 koin tersebut.

Tentukan ruang sampelnya…

n(s)=…

26. Monic bermain monopoli menggunakan 2 dadu.

Kemudian dia mengocok dadu tersebut secara bersaaman. Kemungkinan keluarnya jumlah mata dadu 9 atau 10 ialah..

.𝑛(𝑠) = 𝑃(𝐴) =^{… …}

……

. =^…

…

27. Timmy bermain monopoli memakai 2 buah dadu.

Kemudian dia mengocok dadu sekaligus.

Kemungkinan yang akan keluar bilangan genap ialah…

.𝑛(𝑆) = .𝑛(𝐴) = .𝑃(𝐴) = ^{… …}

……

28. Belinda mempunyai 2 dadu. Kemudian dia melempar dadunya sekali. Kemungkinan keluarnya jumlah mata dadu 11yaitu…

.𝑛(𝑆) = .𝑃(𝐴) = ⋯

29. Naomi memiliki 5 dadu dan 2 koin. Kemudian ia melempar sebanyak 2 kali, berpakah ruang sampelnya…

.𝑛(𝑠) 𝐷𝑎𝑑𝑢 = n(𝑠) 𝐾𝑜𝑖𝑛 =

30. Ibnu memiliki 5 buah mata uang logam dan 2 dadu.

Kemudian ia melempar sebanyak 1 kali, Berapakah ruang sampelnya masing masing uang logam dan dadu…

.𝑛(𝑆)𝑢𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑚 = .𝑛(𝑆) 𝑑𝑎𝑑𝑢 =

Soal Latihan

1. Rambe memiliki 1 dadu dan dilempar sebanyak 100 kali. Carilah frekuensi harapan keluarnya mata dadu yang kurang dari 5!

2. Toti melakukan dua kali lemparan dadu, tentukan kemungkinan keluarnya jumlah mata dadu 10!

3. Timbul memiliki 3 mata uang koin, dimana dadu dilempar 150 kali secara sekaligus. Carilah berapa besar frekuensi harapan keluarnya 2 angka dan 1 gambar!

4. Ester memiliki dua dadu. Tentukan kemungkinan ester agar memperoleh jumlah mata dadu 8!

5. Suatu lemari berisikan mainan, 5 gundu biru, 2 gundu Hijau dan 3 gundu ungu lalu diambil salah satu gundu. Tentukan kemungkinan terambil bukan gundu ungu adalah...

6. Boy memiliki 2 koin, lalu dilempar secara bersamaan. maka tentukanlah kemungkinan keluarnya maximal 1 gambar…

7. Nathan ingin masuk kesebuah sekolah terbaik di Indonesia, peluang Budi diterima di SMA tersebut adalah 0,67. Berapakah peluang Budi tidak diterima di SMA tersebut?

8. Yanto memiliki 2 dadu dan dilempar sebanyak 1 kali. Tentukan kemungkinan keluarnya mata dadu factor dari 12...

9. Mikho memiliki 3 buah dadu. Kemudian dia melempar sekali secara bersamaan. Tentukan berapa banyak ruang sampel?

10. Dalam sebuah kardus, terdapat 2 gundu bercorak hitam, 2 gundu bercorak pink, dan 1 gundu bercorak jingga. Kemudian diambil 1gundu secara acak. Tentukan berapa besar kemungkinan terambilnya1 gundu hitam, 1 gundu pink dan 1 bola jingga?

11. Evan memiliki kartu Remi, selanjutnya dia menarik satu kartu secara sembarang. Tentukan kemungkinan keluarnya kartu As?

12. Jason melempar dadu sebanyak 70 kali, Carilah besar frekuensi harapan keluarnya mata dadu berangka 6…

13. Nur mempunyai 2 koin dan dilempar sejumlah 400 kali, tentukan berapa frekuensi harapan keluarnya sisi angka…

14. Arief mengocok 2 buah dadu sekaligus ketika bermain monopoli. Tentukan kemungkinan keluarnya jumlah mata dadu 2 atau 5?

15. Anto mempunyai 5 koin dan 5 dadu. Kemudian dia yang pertama melempar 5 dadu sekaligus dan

yang kedua melempar 5 koin sekaligus. Tentukan ruang sampel dari 5 dadu dan 5 koin…

16. Sebuah plastic besar berisikan gundu-gundu sebanyak 18 gundu. 6 bercorak hitam dan lainnya pink. Kemudian 3 gundu diambil secara acak (setiap pengembalian dikembalikan lagi) berapa kemungkinan keluarnya ...

a. Ketiganya berwarna hitam b. 2 hitam dan satu pink c. Ketiga bola berwarna sama.

17. Pada suatu permainan akan dilempar 2 buah dadu kemungkinan keluarnya mata dadu berjumlah 7 adalah?

18. Sebuah dadu berwarna Biru dan hitam dilempar sekaligus sebanyak 1 kali. Tentukan kemungkinan keluarnya mata dadu berjumlah 8 atau 9 !

19. Pada sebuah percobaan, Jojo melempar 2 buah dadu dilakukan sebanyak satu kali, Berapa Besar kemungkinan keluarnya bilangan ganjil…

20. Stella mengikuti sebuah permainan yang melemparkan 2 mata uang koin bersamaan sebanyak 250 kali, Carilah berapa frekuensi harapan keluarnya 2 gambar dan 1angka?

21. Pada sebuah percobaan, satu buah dadu dilempar sebanyak 70 kali. Tentukan berapa frekuensi harapan keluarnya mata dadu yang kurang dari 5!

22. Joko bermain ludo dan melempar 1 dadu sebanyak tiga kali, Tentukan kemungkinan keluarnya bilangan genap…

23. Caty memiliki 2 mata uang koin dan dia melemparkan koin secara bersamaan sebanyak 200 kali, Berapa frekuensi harapan keluarnya 2 angka dan 1 gambar!

24. Abigail memiliki tiga buah dadu dan dilempar sekaligus. tentukan kemungkinan Abigail supaya bisa memperoleh sisi dadu yang bernilai 2?

25. Sebuah lemari berisikan mainan yaitu 14 gundu biru, 8 gundu merah dan 5 gundu kuning yang diambil secara acak. Kemungkinan keluarnya bukan kelereng kuning adalah...

26. Jery memiliki 2 mata uang koin dan dia melempar koin secara bersamaan. Carilah berapa kemungkinan keluarnya maksimal satu sisi gambar adalah...

27. Daniel memiliki 2 buah dadu dan dilempar sekaligus. Tentukan complemen dari kejadian keluarnya mata dadu 5 atau 7!

28. Dalam satu kelas terdapat siswa beranggota 32 orang. Kemudian kelas itu mengadakan pemilihan dari 4 orang peserta didik untuk menjabat sebagai ketua kelas, wakil ketua, sekertaris, dan bendahara. Adapun syaratnya yaitu peserta didik tidak boleh lebih dari satu jabatan dikelasnya.

Tentukan banyak cara untuk pemilihan pengurus kelas!

29. Kento memiliki 1 dadu dan dilempar sebanyak 1 kali. Tentukan kemungkinan keluarnya mata dadu factor dari 6...

30. Ridho mempunyai 10 dadu dan 10 koin sebanyak sekali. Tentukan ruang sampel dari dadu dan koin!

BAB 2

PROBABILITAS

2.1. Pengertian Probabilitas

Teori probabilitas berawal dari masalah Gambling di masyarakat sekitar Italia. Seorang matematikawan Bernama Girolamo Cardano, yang juga melakukan perjudian memikirkan cara untuk mengambil kemungkinan terbaik agar bisa menghasilkan banyak kemenangan dan kemudian menemukan caranya yang sejarahnya tertulis di Buku berjudul Liber de Ludo Aleae Probabilitas berasal dari kata Probability dalam Bahasa Inggris yang berarti kemungkinan atau peluang sebuah kejadian akan terjadi. Probabilitas juga dapat diartikan sebagai pengetahuan akan seberapa besar kemungkinan sesuatu akan terjadi. Probabilitas kejadian ditandai dengan interval 0 < n < 1. 0 dalam kasus ini 0 melambangkan peluang sesuatu tidak akan terjadi dan 1 melambangkan peluang sesuatu pasti akan terjadi.

Bentuk Umum dari nilai probabilitas adalah 𝑃(𝐸) = 𝑋

𝑁 P : Probabilitas

E : kejadian yang diinginkan

X : banyaknya cara kejadian akan terjadi N : Total kejadian yang mungkin terjadi

Contoh 1: seseorang mendapat Nomor Undian 2, 10, 15.

Jika total nomor yang ada adalah 100 dan kemenangan diperoleh jika 1 angka dari nomor undian disebutkan, berapa peluang kemenangan Orang Tersebut?

X = {2, 10, 15} = 3 N = {1,2,3,…,100} =100

𝑃(𝐸) =𝑋 𝑁

= 3

100

= 3%

Peluang kemenangan Orang Tersebut adalah 3%

Aturan Penjumlahan Probabilitas

Aturan penjumlahan dilihat dari sifat saling meniadakan atau tidak dari 2 buah peluang kejadian.

2 Peristiwa dikatakan saling meniadakan jika kedua kejadian tidak dapat terjadi secara bersamaan. Contoh dari hal ini adalah pada pelemparan koin. Angka dan gambar tidak mungkin bisa terjadi dalam waktu yang sama, jadi peristiwa tersebut dikatakan saling meniadakan. Maka dari itu peluang terjadinya kedua kejadian yang saling meniadakan adalah:

𝑃(𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

Contoh 2

Dadu 6 sisi dilempar sebanyak 1 kali. Berapa probabilitas sisi yang muncul adalah sisi 1 atau 6!

𝑃(1 𝑎𝑡𝑎𝑢 6) =1 6+1

6= 2 6= 1

3= 0,333 = 33,33%

Jadi, probabilitasnya adalah 33,33%

Kejadian dikatakan tidak saling meniadakan jika peristiwa yang dimaksudkan bisa terjadi dalam waktu yang bersamaan. Pada Kasus 2 kejadian dapat dirumuskan 𝑃(𝐴 𝑎𝑡𝑎𝑢 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵)

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) Pada kasus 3 kejadian perumusannya menjadi

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵 ∪ 𝐶)

= 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐶)

− 𝑃(𝐵 ∩ 𝐶) + 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶)

Gambar 2.2. Himpunan Saling Beririsan

Contoh 3

Aplikasi mendata pendapat pelanggan terhadap Aplikasi livestreaming yang baru direlease. Hasil statistic memperlihatkan.

1. 25 orang berumur 25-35 menyukai aplikasinya dan 5 orang kurang menyukai aplikasinya

2. 10 orang berumur 15-25 menyukai aplikasinya dan 3 orang kurang menyukai aplikasinya

3. 4 orang berumur dibawah 15 menyukai aplikasinya dan 3 orang kurang menyukai aplikasinya

4. Tentukan probabilitas yang terpilih merupakan orang berumur 25-35 tahun dan yang berpendapat menyukai aplikasinya!

Penyelesaian:

Jika D = dewasa (umur 25-35) dan S= suka aplikasi, maka:

P (D) = ³⁰

50

P (S) = ³⁹

50

P (𝐷 ∩ 𝑆) = ²⁵

50

𝑃(𝐷 ∪ 𝑆) = 𝑃(𝐷) + 𝑃(𝑆) − 𝑃(𝐷 ∩ 𝑆) 𝑃(𝐷 ∪ 𝑆) =30

50+39 50−25

50= 44

50= 0,88

Jadi, probabilitas yang merupakan dewasa atau berpendapat puas adalah 0,88.

Aturan Perkalian Probabilitas

Pada aturan perkalian dibedakan juga berdasarkan jenisnya, yaitu peluang kejadian bebas dan tak bebas. Dua peristiwa atau lebih dikatakan kejadian tidak bebas jika kejadian tersebut saling tergantung dengan kejadian lainnya dan dapat dibedakan menjadi: Probabilitas bersyarat. Probabilitas bersyarat kejadian tidak bebas merupakan peluang kejadian yang terjadi dengan syarat bahwa kejadian yang lain harus terjadi juga dan kedua peristiwa saling berhubungan. Jika peristiwa B bersyarat terhadap A, peluang kejadian ini dinotasikan sebagai 𝑃(𝐵/𝐴) =^{𝑃(𝐵∩𝐴)}

𝑃(𝐴) . Dimana probabilitas terjadinya B dengan syarat A juga terjadi

Gambar 2.3. Dua Kejadian Saling Beririsan Contoh 4

50% populasi Kota A bermain game di HP, 45% bermain game di Komputer, dan 20% bermain game di keduanya.

Berapakah probabilitas terpilih seorang bermain game di Komputer dengan syarat dia juga bermain game di HP?

Penyelesaian:

Misalnya

H = bermain game di HP

K = bermain game di Komputer, maka:

𝑃(𝐻/𝐾) =𝑃(𝐻 ∩ 𝐾)

𝑃(𝐻) = 20%

50%= 0,4

Jadi, probabilitas terpilih seorang yang bermain game di Komputer dengan syarat dia juga bermain game di HP adalah 0,4. Probabilitas Gabungan adalah Ketika peristiwa bersyarat saling mempengaruhi.

𝑃(𝐴 𝑑𝑎𝑛 𝐵) = 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵/𝐴) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵/𝐴) × 𝑃(𝐶/𝐴 ∩ 𝐵)

Gambar 2.4. Tiga Himpunan Saling Beririsan

Contoh 5

Dalam sebuah kotak undian, terdapat 20 bola. 7 diantaranya berwarna hitam dan sisanya berwarna pink.

2 bola diambil terturut-turut secara acak. Kita menebak bahwa bola yang terambil adalah bola hitam dan bola pink tanpa mempedulikan bola mana yang terambil terlebih dahulu. Tentukan probabilitas probabilitas tebakan kita benar!

Penyelesaian:

P = pink H = Hitam

𝑃(𝐻 ∩ 𝑃) = 𝑃(𝐻) × 𝑃(𝐻/𝑃) = ⁷

20×¹³

19= 0,239.

Probabilitas Marjinal. Probabilitas marjinal kejadian tidak saling bebas adalah probabilitas sebuah kejadian yang tidak saling berhubungan dengan kejadian lainnya dan peristiwa tersebut saling mempengaruhi.

Probabilitas terjadinya peristiwa dirumuskan sebagai:

𝑃(𝐴) = ∑𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

= ∑𝑃(𝐴₁) 𝑥 𝑃(𝐵/𝐴₁), 𝑖 = 1, 2, 3, … Contoh 6

Kantong yang isinya 11 potongan kertas terdiri dari:

5 potong kertas warna magenta dengan motif totol 1 potong kertas berwarna magenta polos

3 potong kertas berwarna violet motif totol Sisanya adalah violet polos

Tentukan kemungkinan yang diambil adalah kertas violet!

Penyelesaian:

Misalkan A = kertas violet, B∴ = bermotif totol, dan B = polos bermotif polos

𝑃(𝐵 ∴∩ 𝐴) = 3 11⁄ 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) =11

11−5 + 1 + 3

11 = 2

11 𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐵 ∴∩ 𝐴) + 𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

= 3 11⁄ + 2 11⁄

= 5 11⁄ Kejadian Bebas

Kejadian bebas adalah dua atau lebih peristiwa yang tidak saling mempengaruhi. Jika kejadian A dan B merupakan kejadian bebas, maka A dan B tidak saling berhubungan.

Contohnya adalah pelemparan 2 buah uang logam.

Peluang kejadian pada uang logam 1 tidak mempengaruhi peluang kejadian pada uang logam 2. Rumus probabilitas ini:

𝑃(𝐴/𝐵) = 𝑃(𝐴) 𝑑𝑎𝑛 𝑃(𝐵/𝐴) = 𝑃(𝐵) 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴) Contoh 7

Sebuah uang logam dilempar dua kali. Pelemparan pertama menghasilkan gambar, dan untuk yang kedua hasilnya juga gambar. berapakah peluang hal ini terjadi?

Penyelesaian:

Diketahui:

𝑃(𝐴₁) = 0,5 𝑃(𝐴₂) = 0,5

𝑃(𝐴₁∩ 𝐴₂) = 𝑃(𝐴₁) × 𝑃(𝐴₂) = 0,5 × 0,5

= 0,25

2.2. Rumus Bayes

Teorema Bayes merupakan teorema yang memiliki penafsiran berbeda, yaitu penafsiran menurut Bayes sendiri yang menyatakan derajat kepercayaan subjektif harus berubah secara rasional jika ada pengetahuan baru yang mempengaruhinya dan juga penafsiran frekuentis yang menjelaskan representasi invers peluang 2 kejadian.

Teorema Bayes merupakan dasar dari banyak cabang matematika seperti Statistika Bayes yang diterapkan pada ilmu ekonomi mikro, teori permainan, kedokteran dan hukum.

Dalam sebuah ruang sampel S yang terdapat peristiwa saling lepas A1, A2,A3… An ≠ 0dan ada peristiwa lain yang terjadi pada peristiwa tersebut, probabilitasnya adalah 𝑃(𝐴_𝑖/𝑋)

= 𝑃(𝐴_𝑖)𝑃(𝑋/𝐴_𝑖)

𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑋/𝐴₁) + 𝑃(𝐴₂)𝑃(𝑋/𝐴₂) + ⋯ + 𝑃(𝐴_𝑛)𝑃(𝑋/𝐴_𝑛) Contoh 8

Di Timezone, terdapat 2 mesin pengumpul tiket.. Mesin 1 berpeluang menghasilkan jackpot (menang) sebesar 10%

,sedangkan mesin 2 sebesar 20%. Orang yang memainkannya tidak bisa membedakan kedua mesin.

Oleh karena itu pada akhirnya secara acak memilih 1 mesin, dan memainkannya. Jika kita gagal pada

permainan pertama, berapa kemungkinan kita menggunakan mesin kedua?

𝑃(𝑀𝑒𝑠𝑖𝑛2|𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙)

= 𝑃(𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙|𝑚𝑒𝑠𝑖𝑛2). 𝑃(𝑀𝑒𝑠𝑖𝑛2)

𝑃(𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙|𝑚𝑒𝑠𝑖𝑛2). 𝑃(𝑀𝑒𝑠𝑖𝑛2) + 𝑃(𝑔𝑎𝑔𝑎𝑙|𝑚𝑒𝑠𝑖𝑛1). 𝑃(𝑀𝑒𝑠𝑖𝑛1)

=

80 100 .

1 2 80

100 . 1 2 +

90 100 .

1 2

= 8 17 probabilitas teoritis VS Empiris

1. Probabilitas Teoritis. Kemungkinan didapatkan dengan cara berbeda dan asumsi peluang terjadinya sesuatu dan tidak adalah sama. Contohnya pada kasus pelemparan dadu, kita mengasumsikan bahwa peluang munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah sama yaitu ¹

6

2. Probabilitas Empiris. Kemungkinan terjadinya sesuatu dilihat dari pengalaman atau percobaan, Probabilitas Empiris bisa disebut juga Eksperimental Probabilitas, dimana Eksperimen menentukan peluang nyata dari sebuah kejadian. Pada pelemparan dadu dimisalkan percobaan dilakukan 1000 kali. Angka 1 muncul 200 kali, berarti peluang Empiris munculnya angka 1 adalah 200/1000 yaitu 1/5. Nilai ini berbeda dengan probabilitas teoritis dan nilai ini dapat berubah pada

Contoh 9

Sebuah Pabrik memperkirakan peluang hasil produknya cacat akibat machine error adalah 0.2%. Namun pada data penjualan tahun lalu, dari 2500 produk yang dihasilkan, 20 diantaranya tidak bisa dijual akibat cacat.

Hal ini menyatakan:

Peluang empiris produk cacat = ²⁰

2500= 0,8%

Jika Tahun ini mesin memproduksi 10000 alat, kemungkinan radio yang cacat adalah 80.

Distribusi Probabilitas

Aplikasi dari Probabilitas adalah untuk menentukan pilihan dari seluruh kemungkinan berdasar data yang dimiliki, oleh karena itu distribusi dari probabilitas digunakan untuk melihat peluangnya. Distribusi Probabilitas dibagi kedalam Distribusi probabilitas Diskrit dan Kontinu. Distribusi probabilitas diskrit digunakan untuk data atribut dimana data yang diukur adalah nilai tertentu, dan penentuannya dilakukan dengan menggunakan: Distribusi probabilitas binomial.

Penggunaan distribusi binomial adalah percobaan independent dimana peristiwa 1 tidak dipengaruhi atau mempengaruhi peristiwa lainnya. Distribusi Bernoulli adalah kasus khusus dari distribusi binomial karena percobaan yang dilakukan hanya sekali. Rumus Distribusi Probabilitas binomial bernoulli adalah:

(𝑥 + 𝑦)^𝑛 = ∑ 𝐶_𝑟^𝑛

𝑛

𝑟=0

𝑥^𝑛−𝑟𝑦^𝑟

Fungsi kepadatan peluang distribusi bernoulli dapat dinyatakan dengan:

𝑓(𝑥) = 𝑝^𝑥(1 − 𝑝)^1−𝑥

Rata-rata dari distribusi bernoulli adalah E(X) = p

Bukti:

𝐸(𝑋) = ∑¹_𝑥=0𝑥. 𝑓(𝑥)

= ∑ 𝑥. 𝑝^𝑥(1 − 𝑝)^1−𝑥

1

𝑥=0

= 0. 𝑝⁰(1 − 𝑝)¹+ 1. 𝑝. (1 − 𝑝)⁰

= 𝑝

Varian dari distribusi Bernoulli adalah 𝑉𝑎𝑟 (𝑋) = 𝑝(1 − 𝑝)

Contoh 10

Tentukan suku keempat dari (𝑥 − 𝑦)⁴! Penyelesaian:

(𝑥 + (−𝑦))⁴ = ∑ 𝐶_𝑟^𝑛

4

𝑟=0

𝑥^𝑛−𝑟(−𝑦^𝑟)

= 𝐶₄⁴𝑥⁴⁻⁴(−𝑦⁴)

= 4!

4! 0!𝑥⁰(−𝑦⁴)

=1

1(−𝑦⁴)

= 𝑦⁴

Hipergeometrik. Distribusi poisson adalah distribusi diskrit acak dimana nilai bagi variable randomnya adalah banyak hasil percobaan dalam interval tertentu. Poisson mengatakan bahwa ketika jumlah data (n) lebih dari 50, atau peluang sukses (biasa dinotasikan oleh (p)), lebih kecil dari 0,1, maka peluang binomialnya sulit ditemukan.

Bentuk distribusi ini adalah rumus pendekatan peluang Poisson dengan rumus:

𝑃(𝑋 = 𝑥) =𝜆^𝑥𝑒^−𝜆 𝑥!

𝜆 = rata-rata terjadinya suatu peristiwa (𝜆 = 𝑛 × 𝑝)

𝑒 = bilangan natural =2,71828 Contoh 11

Probabilitas sebuah rumah di pegunungan terkena longsor adalah pada saat hujan deras adalah 0,05%.

Apabila di Indonesia jumlah rumah di pegunungan ada 4000, hitunglah probabilitas tepat 3 rumah terkena longsor!

𝜆 = 𝑛 × 𝑝 = 4.000 × 0,0005 = 2 𝑃(𝑋 = 𝑥) =𝜆^𝑥𝑒^−𝜆

𝑥!

𝑃(𝑋 = 3) =2³× 2,71828⁻² 3!

𝑃(𝑋 = 3) = 8 × 0,1353352832 3 × 2 × 1 𝑃(𝑋 = 𝑥) = 0,1804

Rangkuman

1. Probabilitas adalah kemungkinan suatu kejadian akan terjadi.

2. Cara menentukan probabilitas kejadian adalah:

𝑃 (𝐸) = 𝑋

3. Probabilitas memiliki 2 aturan, yaitu aturan 𝑁 penjumlahan probabilitas dan aturan perkalian probabilitas.

4. Aturan penjumlahan probabilitas dibedakan menurut apakah 2 atau lebih kejadian merupakan kejadian yang saling meniadakan dan tidak saling meniadakan.

5. Probabilitas penjumlahan 2 kejadian yang saling meniadakan dirumuskan:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)

6. Probabilitas penjumlahan 2 kejadian yang tidak saling meniadakan dirumuskan:

𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵) − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) 7. Aturan perkalian dibedakan menurut 2 kejadian

yang merupakan kejadian bebas dan tidak bebas.

8. Kejadian yang tidak bebas memiliki 3 jenis probabilitas, yaitu probabilitas bersyarat, probabilitas gabungan, dan probabilitas marjinal.

9. Rumus probabilitas perkalian untuk kejadian bersyarat 2 kejadian dirumuskan:

𝑃(𝐵/𝐴) =𝑃(𝐵 ∩ 𝐴) 𝑃(𝐴)

10. Rumus probabilitas perkalian untuk kejadian gabungan 2 kejadian dirumuskan:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵/𝐴)

11. Rumus probabilitas merjinal untuk 2 kejadian dirumuskan:

𝑃(𝐴) = ∑𝑃(𝐵 ∩ 𝐴)

= ∑𝑃(𝐴₁) 𝑥 𝑃(𝐵/𝐴₁), 𝑖 = 1, 2, 3, …

12. Probabilitas kejadian bebas adalah probabilitas untuk 2 atau lebih kejadian yang tidak saling berhubungan dan dirumuskan sebagai:

𝑃(𝐴 ∩ 𝐵) = 𝑃(𝐴) × 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵) × 𝑃(𝐴) 13. Rumus Bayes:

𝑃(𝐴_𝑖/𝑋)

= 𝑃(𝐴_𝑖)𝑃(𝑋/𝐴_𝑖)

𝑃(𝐴₁)𝑃(𝑋/𝐴₁) + 𝑃(𝐴₂)(𝑋/𝐴₂) + ⋯ + 𝑃(𝐴_𝑛)𝑃(𝑋/𝐴_𝑛) 14. Probabilitas teoritis adalah ketika kita

mengasumsikan peluang terjadinya sesuatu secara teori adalah sama.

15. Probabilitas empiris adalah kemungkinan terjadinya sesuatu yang dihitung berdasar hasil statistika dari sebuah eksperimen. Peluang terjadinya sesuatu berbeda-beda tergantung dari data yang ada.

16. Distribusi probabilitas dibedakan menjadi distribusi diskrit dan Kontinu.

17. Distribusi Binomial berfokuskan pada kejadian yang hanya memiliki 2 kemungkinan, seperti berhasil atau gagal, terjadi atau tidak terjadi, dan sebagainya dan dirumuskan sebagai:

(𝑥 + 𝑦)^𝑛 = ∑ 𝐶_𝑟^𝑛

𝑛

𝑟=0

𝑥^𝑛−𝑟𝑦^𝑟

18. Distribusi Poisson adalah jenis distribusi diskrit untuk mengetahui rata-rata terjadinya suatu kejadian dalam waktu yang saling bebas dengan kejadian terakhir dan dirumuskan:

𝑃(𝑋 = 𝑥) =𝜆^𝑥𝑒^−𝜆 𝑥!

Contoh-Contoh Soal Tambahan 1. Tentukan suku dari (𝑥 +¹

𝑥)⁴ yang tidak memiliki x!

Penyelesaian:

(𝑥 +1 𝑥)

4

= 𝐶_𝑟⁴𝑥^4−𝑟 (1 𝑥)

𝑟

= 𝐶_𝑟⁴× 𝑥^4−𝑟× 𝑥^−𝑟

= 𝐶_𝑟⁴𝑥^4−2𝑟 Tidak memuat x 𝑥^4−2𝑟 = 𝑥⁰

4 − 2𝑟 = 0 4 = 2𝑟 𝑟 = 2 𝐶₂⁴𝑥⁴⁻² (1

𝑥)

2

= ^4!

(4−2)!2! 𝑥² (¹

𝑥)²

=4 × 3 2

= 6

2. Tentukan suku ke-3 dari (2𝑥 + 3𝑦)⁴! Penyelesaian:

∑ 𝐶_𝑟⁴(2𝑥)^4−𝑟(3𝑦)^𝑟

4

𝑟=0

= 𝐶₃⁴(2𝑥)⁴⁻³(3𝑦)³

= ^4!

3!×1! × 2𝑥 × 27𝑦³

= 216𝑥𝑦³

3. BMKG mencatat peluang adanya gempa di Indonesia adalah 0,005. Di Indonesia ada sekitar 500 kabupaten/kota, hitunglah probabilitas tepat 2 kota akan terjadi gempa!

Penyelesaian:

𝜆 = 𝑛 × 𝑝 = 500 × 0,005 = 2,5 𝑃(𝑋 = 𝑥) =𝜆^𝑥𝑒^−𝜆

𝑥!

𝑃(𝑋 = 2) =2,5²× 2,71828^−2,5 2!

𝑃(𝑋 = 2) = 0,2565

4. Dadu dilempar sebanyak 12 kali. Berapa frekuensi harapan muncul mata dadu prima dan ganjil!

Penyelesaian :

Dadu memiliki 6 sisi. Sehingga banyak anggota ruang sampel n(S) =6

PG= kejadian muncul mata dadu prima dan ganjil=

{3,5}

Banyak anggota kejadian PG adalah n(PG) = 2 𝑃(𝑃𝐺) =𝑛(𝑃𝐺)

𝑛(𝑆) =2 6= 1

3

Frekuensi harapan muncul mata dadu prima dan ganjil

𝑓_𝑛(𝑃𝐺) = 𝑃(𝑃𝐺) × 𝑁 =2

6 × 12 = 4

Jadi , frekuensi harapan muncul mata dadu kurang dari 3 adalah 12 kali.

5. Tentukan suku dari (𝑥 +¹

𝑥)¹⁰ yang tidak memuat x!

(𝑥 +1 𝑥)

10

= 𝐶_𝑟¹⁰𝑥^10−𝑟 (1 𝑥)

𝑟

= 𝐶_𝑟¹⁰× 𝑥^10−𝑟× 𝑥^−𝑟

= 𝐶_𝑟¹⁰𝑥^10−2𝑟 Tidak memuat x (𝑥)^10−2𝑟 = 𝑥⁰

10 − 2𝑟 = 0 10 = 2𝑟 𝑟 = 5 𝐶₅¹⁰𝑥¹⁰⁻⁵ (1

𝑥)

5

= 10!

(10 − 5)! 5! 𝑥⁵ (1 𝑥)

5

= 10!

5! × 5!

= 252

6. Sebuah mesin roullete berisikan angka 1-merah, 2- hitam,3merah dan seterusnya sampai 18, kemudian pola merah-hitamnya ditukar untuk angka 19-36 dimana angka 19-merah, 20-hitam dan seterusnya.

Anton menang jika hasil yang keluar merah atau ganjil.

Berapa peluang kemenangannya?

Penyelesaian:

Jumlah warna merah = 18 Jumlah angka ganjil = 18

Jumlah warna merah dan ganjil = 9 𝑃(𝑀) =18

36=1 2 𝑃(𝐺𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) =18

36=1 2 𝑃(𝑀 ∩ 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) = 9

36= 1 4

𝑃 (𝑀 ∪ 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) = 𝑃(𝑀) + 𝑃(𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙) − 𝑃(𝑀 ∩ 𝑔𝑎𝑛𝑗𝑖𝑙)

=1 2+1

2−1 4

= 3 4

7. 2 anak lahir di saat yang bersamaan. Tentukan probabilitas pada masing-masing jenis kelamin bayi yang lahir jika menginginkan bayi sama jenis kelaminnya!

Penyelesaian:

1. Kelahiran pertama laki-laki, kelahiran kedua perempuan

𝑃(𝐴) = 1

2. Kelahiran pertama laki-laki, kelahiran kedua laki-4 laki

𝑃(𝐵) =1 4

3. Kelahiran pertama perempuan, kelahiran kedua perempuan

𝑃(𝐶) = 1 4

4. Kelahiran pertama perempuan, kelahiran kedua laki-laki

𝑃(𝐷) =1 4

Bayi sama jenis kelamin: = 𝑃(𝐵) + 𝑃(𝐶)

𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) =1 4+1

4 𝑃(𝐵 ∪ 𝐶) =2

4= 1

2= 0,5

Jadi, kemungkinan bayi yang lahir sama jenis kelaminnya adalah 0,5.

8. Kotak berisi 10 bola yaitu 4 merah dan 6 putih. Jika 3 buah bola diambil, tetapi sebelum pengambilan berikutnya, bola dikembalikan, berapa peluang muncul 3 bola merah berturut turut!

𝑃(𝑀₁∩ 𝑀₂ ∩ 𝑀₃) = 𝑃(𝑀₁) × 𝑃(𝑀₂) × 𝑃(𝑀₃)

= 4 10⁄ × 4 10⁄ × 4 10⁄

= 64 1000⁄