Tujuan Pembelajaran. Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

Dapat mendeskripsikan konsep limit fungsi aljabar dengan menggunakan konteks nyata.

Dapat menjelaskan arti limit fungsi di suatu titik melalui perhitungan nilai-nilai di sekitar titik tersebut.

Dapat menggunakan teorema-teorema dalam perhitungan limit fungsi aljabar.

Dapat menentukan nilai limit tak hingga fungsi aljabar.

Dapat menentukan nilai limit tak hingga fungsi trigonometri.

Dapat menerapkan konsep limit fungsi aljabar dalam kehidupan sehari-hari.

Dapat menerapkan konsep limit tak hingga fungsi trigonometri dalam kehidupan se- hari-hari.

Setelah mempelajari materi ini, kamu diharapkan memiliki kemampuan berikut.

Tujuan Pembelajaran

Kurikulum 2013 Revisi

A. Pengertian Limit Fungsi di Suatu Titik

Ibu rutin berbelanja bahan pokok setiap minggu di supermarket. Bahan pokok yang dibeli selalu sama, baik macam maupun banyaknya. Sulit ditentukan dengan pasti dana yang dibutuhkan karena harga bahan pokok yang tidak stabil. Untuk itu, ibu menyiapkan uang Rp500.000,00 untuk pembelian bahan pokok dan uang cadangan untuk berjagajaga.

Kenyataannya, jumlah uang yang dihabiskan ibu tidak pernah persis Rp500.000,00.

Jumlahnya bisa lebih atau juga kurang. Jika lebih dari target, ibu terpaksa menambahkan pembayarannya dengan uang cadangan. Uang yang dihabiskan ibu untuk berbelanja bahan pokok dalam 6 minggu adalah Rp499.900,00, Rp500.500,00, Rp500.050,00, Rp499.500,00, Rp500.100,00, dan Rp499.950,00. Jika diurutkan dari yang terkecil ke yang terbesar, akan diperoleh tabel seperti berikut.

Kelas XII

MATEMATIKA PEMINATAN

Limit Tak Hingga

Dalam rupiah 499.500 499.900 499.950 500.000 500.050 500.100 500.500

Jika dimisalkan x sebagai uang belanja ibu per minggu, nilai x < 500.000 merupakan bilangan yang mendekati 500.000 dari kiri (ditulis: x → 500.000^–) dan x > 500.000 merupakan bilangan yang mendekati 500.000 dari kanan (ditulis: x → 500.000⁺). Secara umum, bilangan-bilangan itu disebut mendekati 500.000 atau x → 500.000 atau nilai hampiran x terhadap 500.000. Nilai hampiran suatu variabel terhadap suatu bilangan real tertentu disebut dengan limit yang dinotasikan sebagai berikut.

Nilai f (x) dapat dibuat sedekat mungkin dengan L jika nilai x yang diambil dekat dengan c, untuk x ≠ c.

Suatu limit fungsi dikatakan ada (terdefinisi) jika nilai limit kiri dan kanan untuk x mendekati c sama. Secara Matematis, dapat dituliskan sebagai berikut.

Keterangan:

disebut limit kiri; dan disebut limit kanan.

(dibaca: limit fungsi f (x) untuk x mendekati c sama dengan L).

Target

lim ,

x cf x L f x L x c L c



 

^atau

 

^{untuk R dengan }

lim lim lim

x cf x L x c f x x c f x L



 

 jika dan hanya jika _

 

 _

 



x clim f x



 

x clim f x



 

Misalkan . Contoh Soal 1

Buktikan bahwa lim

x

x x







2 2 4

2 ada.

Pembahasan:

Ini berarti, f (x) tidak terdefinisi untuk x = 2. Meskipun demikian, pembuktiannya masih dapat diselesaikan. Hal ini dikarenakan pada limit fungsi, nilai x yang digunakan adalah yang mendekati 2, bukan nilai 2 itu sendiri.

Dengan mensubstitusikan nilai x < 2 (limit kiri) dan x > 2 (limit kanan) ke f (x), diperoleh:

Dari tabel tersebut, diketahui bahwa jika x bergerak semakin dekat dengan 2, baik dari kiri maupun dari kanan, f (x) akan bergerak semakin dekat dengan 4.

Ini berarti:

Dengan demikian, diperoleh:

Jadi, terbukti bahwa lim

x

x x







2 2 4

2 ada.

limit kirinya adalah lim

x

x x





 

2 2 4

2 4 limit kanannya adalah ^lim

x

x x





 

2 2 4

2 4

Contoh Soal 2

Diketahui:

Berdasarkan fungsi tersebut, apakah lim lim

x f x x f x

₀

 

^dan ₄

 

ada?

Mula-mula, tentukan limit kiri dan kanannya.

Untuk lim :

x f x

₀

 

Pembahasan:

x < 2 (limit kiri) x > 2 (limit kanan) x

f (x)

1,5 3,5

1,99 3,99

1,999 3,999

...

...

...

...

1,9 3,9

2

?

2,001 4,001

2,01 4,01

2,1 4,1

2,5 4,5

lim lim

x x

x x

x x





  

 

2 2

2

4 2

2

4 2 4

limf x

 

⁼lim



x¹



^{ 1}

f x

x x

x x

x x

( )

^{− ≤ <<}

− ≥







1 0

3 0 4

4 4

2

, ,

,

Oleh karena limit kiri dan kanannya tidak sama, maka lim

x f x

₀

 

tidak ada.

Jika lim lim

x cf x x cg x



 

dan 

 

ada, k sembarang konstanta real, serta n ∈ bilangan bulat positif, berlaku:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

Oleh karena limit kiri dan kanannya sama, maka lim

x f x

₄

 

ada.

Untuk lim :

x f x

₄

 

lim lim lim lim

x x

x x

f x x

f x x

 

 

 

 

 

^

  





^

4 4

4 4

2

3 12 4 12 =

=

B. Teorema Limit

limx c k k limx c x c

lim lim

x c x c

k f x k f x

 



 

^

 

lim lim lim

x c_f x

 

g x

 

_{ }x c f x

 

x c g x

 

lim lim lim

x c f x g x x cf x x cg x

 _

 



 

_{ } 

 

 

 

lim lim

lim , lim

x c

x c

x c

x c

f x g x

f x

g x g x









   



 

 

dengan

 

^0 limx c

n n

x c

 

lim lim

x c

n x c

f x f x n



   







  

lim ,

x c

nx nc c n

  dengan 0 untuk genap

lim lim , lim

x c n

x c n

x c

f x f x f x n



   

 

   

^dengan 

 

^0untuk genap

Contoh Soal 3

Tentukan nilai dari lim

x x x

  

1

2 2 3 10.

Contoh Soal 4

Jika lim lim

x cf x x cg x



 

^4dan 

 

^2, tentukan nilai dari lim

.

x c

f x g x f x g x



 



   

   













8 3 ³

. Dengan menggunakan teorema limit, diperoleh:

Dengan menggunakan teorema limit, diperoleh:

Jadi, ^lim_x1 ^{2x23x10 3 .}

Jadi, lim .

x c

f x g x f x g x



 



   

 

^

 











 

8 3

1

3

Pembahasan:

Pembahasan:

lim lim

lim lim

x x

x

x x x x

x

 



  



 



 

1 2

1 2

1 2

2 3 10 2 3 10

2

Teorema 10

xx x

x x

x

x x

 

 



  

1 1

1 2

1

3 10

2 3 10

lim lim lim

Teorema 4 Teorema 3 ddan 1 Teorema 7 dan 2



 



 







2 1 3 1 10 9

3

2

lim lim

x c

f x g x x c

f x g x

f x g x



 



   



 

^

 













 



   

8 3 ³ 8 3 ³

 

 

^

 



 



 



 



 

lim

lim lim

x c

x c x c

f x g x

f x g x

Teorema 6

8 3

 

 

^

 



 



 



3

8

lim lim lim

x c x c

x c

f x g x f x

Teorema 4 Teorema 5 33

8

lim 3

lim lim lim

x c

x c x c

x c

g x f x g x f x



 



   

 

^

 



 

Teorema 3



   

 

^

 

 

3 lim ³ lim lim

x c

x c x c

g x f x g x

Teorema 8

C. Limit Fungsi Aljabar f (x) untuk x → c, c є R

1. Substitusi Langsung

2. Cara Alternatif

Bentuk umum substitusi langsung pada limit aljabar adalah sebagai berikut.

Cara alternatif digunakan jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu seperti Bentuk tak tentu yang sering muncul pada limit fungsi f (x) untuk x → c, c ∈ R adalah ⁰

0. Ada 3 cara alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi f (x) untuk x → c, yaitu sebagai berikut.

Cara ini wajib dicoba terlebih dahulu dalam perhitungan limit fungsi. Nilai suatu limit hasil substitusi langsung dapat berupa bentuk tertentu (nilai yang diperbolehkan, yaitu suatu bilangan real, ∞, dan –∞) atau bentuk tak tentu.

Bentuk umum: lim lim

x c x c

f x g x

x c u x x c v x

u c v c

 

   









^

 







^

 



 

 

Cara ini digunakan untuk menyelesaikan lim

x c

f x g x



   

dengan pembilang, penyebut, atau keduanya memuat bentuk akar.

Cara ini baru dapat digunakan saat kamu telah mempelajari materi turunan fungsi aljabar.

Bentuk umum: ^{lim lim ’}

’

x c x c

f x g x

f x g x

 

   



 

 

a. Memfaktorkan

b. Mengalikan dengan Akar Sekawan

c. Dalil L’Hopital Keterangan:

u (c), v (c) ≠ 0;

(x − c) • u (x) merupakan faktor dari f (x); dan (x − c) • v (x) merupakan faktor dari g (x).

a.

b.

limx cf x f c



 



 

limx c

f x g x

f c g c



   



 

 

0

0, ∞, .

∞ ∞ − ∞

Contoh Soal 5

Contoh Soal 6

Contoh Soal 7

Tentukan nilai dari lim .

x x x

₂



^{25 2}



Tentukan nilai dari

Tentukan nilai dari .

Dengan cara substitusi langsung, diperoleh:

Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung.

Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu ⁰

0, maka gunakan cara alternatif, yaitu memfaktorkan.

Dengan memfaktorkan, diperoleh:

Jadi, nilai dari . Pembahasan:

Pembahasan:

lim x x x

→₂

(

²−⁵ +²

)

⁼

^{( )}

^{2 2−5 2}

^{( )}

^{+ = −2 4}

Jadi, lim .

x x x

→₂

(

²−⁵ +²

)

^{= −4}

lim .

x

x

x x

→

−

− −

3 2 2

2 18 2 3

lim x

x

x x

→

−

− − = −

− − =

3 2

2

2 18 2 3

18 18 9 6 3

0 0

lim lim

lim

x x

x

x

x x

x x

x x

→ →

→

−

− − =

(

−

) (

⁺

) (

−

) (

⁺

)

=

3 2

2 3

3

2 18 2 3

2 3 3

3 1

2 xx x

(

+

) (

+

)

=

=

3 1 12

4 3 lim x

x

x x

→

−

− − =

3 2 2

2 18 2 3 3

lim x^→0 x² 2

Berdasarkan definisi limit, diperoleh:

Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung.

Mula-mula, gunakan cara substitusi langsung.

Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu ⁰

0, maka gunakan cara alternatif. Cara alternatif yang dapat digunakan adalah mengalikan dengan akar sekawan.

Oleh karena substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu ⁰

0, maka gunakan cara alternatif, yaitu memfaktorkan.

Jadi, lim

x^→₀ x2₂ =∞ Pembahasan:

Pembahasan:

Pembahasan:

Contoh Soal 8

Contoh Soal 9

Tentukan nilai dari .

Tentukan nilai dari lim x^→₀ x2₂ =∞

limx

x x

→2 3

2

8 4

−

−

lim x

x x

→

−

− = −

− =

2 3

2

8 4

8 8 4 4

0 0

lim lim

x x

x x

x x x

x x

→ →

−

− =

(

−

) (

^{+ +}

)

(

−

) (

⁺

)

^{= =}

2 3

2 2

8 2

4

2 2 4

2 2

12 4 3

Jadi, lim 3.

x

x x

→

−

− =

2 3 2

8 4

lim x

x x

x

→−

− − −

+

2

5 2 4 10 3 2

lim x

x x

x

→−

− − −

+ = − − +

− + =

2

5 2 4 10 3 2

20 4 10 6 2 2

0 0

Jadi, nilai dari

D. Limit Fungsi Aljabar f (x) Mendekati Tak Hingga

Notasi ∞ (dibaca: tak hingga) melambangkan nilai bilangan yang semakin besar. Lambang ini bukan merupakan suatu bilangan, sehingga tidak dapat dilakukan operasi aljabar terhadapnya. Ini berarti, ∞ − ∞ ≠ 0 dan . Limit fungsi f (x) dengan x mendekati tak hingga dinotasikan dengan lim

x f x

→∞

( )

^.

Untuk memahami pengertian limit fungsi mendekati tak hingga, perhatikan grafik fungsi berikut ini.

Berdasarkan grafik tersebut, terlihat bahwa semakin besar nilai x, kurva

semakin dekat dengan sumbu X ( y = f (x) = 0). Hal ini diperkuat dengan tabel hubungan antara x dan berikut.

lim lim

x x

x x

x

x x

x

x x

→− →−

− − −

+ = − − −

+ × − + −

2 2

2

2 2

5 4 10 3 2

5 4 10 3 2

5 4 10 3

5xx x

x x

x x x

x

2

2

2

2

4 10 3 5 4 10 3

2 5 4 10 3

− + −



 



= − −

(

−

)

+

(

− + −

)

= lim →−

llim

lim

x

x

x x

x x x

x x

x

→−

→−

+ −

+

(

− + −

)

=

(

+

) (

⁻

)

(

+

2

2

2

2

5 3 14 2 5 4 10 3

2 5 7

2

)) (

^{− + −}

)

= −

(

+

)

= −

5 4 10 3 17

16 16 17

8

x2 x

lim .

x

x x

x

→−

− − −

+ = −

2

5 2 4 10 3 2

17 8

∞

∞≠1

1 1

5 0,2

10 0,1

1.000 0,001

1.000.000 0,000001 2

0,5

...

...

→ ∞

→ 0 x

Dari grafik dan tabel tersebut, diperoleh kesimpulan bahwa untuk x → ∞, nilai semakin kecil mendekati nol. Secara matematis, dapat dituliskan sebagai berikut.

Bentuk ini merupakan dasar perhitungan limit fungsi f (x) dengan x mendekati tak hingga.

Agar lebih mudah menyelesaikan persoalan limit fungsi mendekati tak hingga, gunakan sifat-sifat berikut.

Sama halnya dengan limit fungsi f (x) untuk x → c, ada 2 cara dalam menyelesaikan limit fungsi mendekati tak hingga, yaitu dengan substitusi langsung dan cara alternatif.

Sifat-Sifat Limit Fungsi f (x) Mendekati Tak Hingga Jika n bilangan bulat positif dan k ∈ R, berlaku:

1.

2.

1. Substitusi Langsung

Limit fungsi untuk x→ ∞ biasanya memiliki bentuk berikut.

Substitusi nilai ^x _x ^{f x}_{g x}

 

 

ke lim dan lim

x f x g x



  

^

  

berturut-turut akan menghasilkan bentuk tak tentu ^∞

∞ dan ∞ − ∞. Untuk mengubah hasilnya menjadi ≠1 bentuk tertentu, dapat digunakan cara alternatif.

a. lim lim ....

....

x x

m m

n n

f x g x

a x a x b x b x

 





   

^{ 0  1 }

1

0 1 1 dengan m dan n bilangan bulat positif b. lim

x f x g x



  

^

  

limx^→∞x1=0

limx n

k x

→∞ = 0

limx

kxn

→∞ = ∞

2. Cara Alternatif

Ada 2 cara alternatif yang dapat digunakan untuk menentukan nilai limit fungsi f (x) untuk x → ∞, yaitu membagi dengan pangkat tertinggi dan mengalikan dengan akar sekawan.

Diketahui fungsi aljabar ^{0 1} ₁¹

0 1

( ) ....

( ) ....

m m

n n

a x a x f x

g x b x b x

−

−

+ +

= + + dengan dengan m dan n bilangan bulat positif. Untuk menentukan nilai

( )

lim

( )

x

f x g x

→∞ , perhatikan langkah-langkah berikut.

Menentukan Nilai Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar dengan Membagi Pangkat Tertinggi

Menentukan variabel dengan pangkat tertinggi pada f (x) dan g (x).

Membandingkan variabel dengan pangkat tertinggi dari f (x) dan g (x) untuk menentukan pangkat tertinggi secara keseluruhan.

Membagi setiap suku dengan variabel yang mempunyai pangkat tertinggi tersebut.

a.

1.) 2.)

3.)

SUPER "Solusi Quipper"

0 0 1

0 1

0 1

0 1

0

, dengan 0, hasil , dengan 0, hasil lim ....

, hasil ....

, hasil 0

m m

n n

x

m n a

m n a

a xb x a xb x m n ab

m n

−

→∞ −

 > > = ∞

 > < = −∞



+ + 

 = =

+ + 



 < =



Variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang: x³.

Variabel dengan pangkat tertinggi pada penyebut: x⁴.

Secara keseluruhan, variabel dengan pangkat tertinggi: x⁴.

Pembahasan:

Contoh Soal 10

Tentukan nilai dari lim

x

x x

x x



 

 

4 15 6

3 2

2 3

4 3 .

Dengan demikian, diperoleh:

Dengan demikian, diperoleh:

Jadi, lim .

x

x x

x x

→∞

− −

+ − =

4 15 6 3² 2³ 0

4 3

Variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang: x⁵.

Variabel dengan pangkat tertinggi pada penyebut: x⁴.

Secara keseluruhan, variabel dengan pangkat tertinggi: x⁵.

Pembahasan:

Contoh Soal 11

Tentukan nilai dari .

lim lim

x x

x x

x x x

x x

x x x

x x x

→∞ →∞

− −

+ − = − −

+ 4 15 6

3 2

4 15 6 3

2 3

4 3

4 2 4

3 4 4

4 3

44 4

4 2

4

2 4 15 6 1 3 2 4 15 6

1 3 2 0 0 0 1

−

= − −

+ −

= ∞−

∞ −

∞ +∞−

∞

= − − +

→∞

x

x x x

x x lim x

00 0 0

−

=

lim x

x x x

x x x

→∞

+ − −

+ + +

4 7 20 1

2 14 12 2016

5 3 2

4 3

lim lim

x x

x x x

x x x

x x

x x

→∞ →∞

+ − −

+ + + = + −

4 7 20 1

2 14 12 2016

4 7

5 3 2

4 3

5 5

3 5

220 1 2 14 12 2016

4 7 20 1

2

5 5

4 5

3

5 5 5

2 3 5

x

x x

x x

x x

x

x x

x x x

x

−

+ + +

= + − −

lim →∞

22 14 12 2016

4 7 20 1 2 14 12 2016 4 0 0 0 0

2 4 5

x x+ +x + x

= +

∞−

∞ −

∞

∞+

∞ +

∞ +

∞

= + − − + 00 0 0 4

0

+ +

=

lim lim

x x

x x x

x x x

x x

x x

→∞ →∞

+ − −

+ + + = + −

4 7 20 1

2 14 12 2016

4 7

5 3 2

4 3

5 5

3 5

220 1 2 14 12 2016

4 7 20 1

2

5 5

4 5

3

5 5 5

2 3 5

x

x x

x x

x x

x

x x

x x x

x

−

+ + +

= + − −

lim →∞ 22 14 12 2016

4 7 20 1 2 14 12 2016 4 0 0 0 0

2 4 5

x x+ +x + x

= +

∞−

∞ −

∞

∞+

∞ +

∞ +

∞

= + − − + 00 0 0 4

0

+ +

=

Mula-mula, sederhanakan bentuk pangkatnya.

Ini berarti, variabel dengan pangkat tertinggi pada pembilang sama dengan penyebut, yaitu x²⁰¹⁶.

Selanjutnya, bagi setiap suku pada pembilang dan penyebut dengan x²⁰¹⁶ sehingga diperoleh:

Jadi, lim .

x

x x x

x x

→∞

+ −

( )

−

( )

^{− = −}

24 15 3

3 5 2 9

2014 2015 672 3

2016 403 5

Pembahasan:

Contoh Soal 12

Tentukan nilai dari

SUPER "Solusi Quipper"

0 0 1

0 1

0 1

0 1

0

, dengan 0, hasil , dengan 0, hasil lim ....

, hasil ....

, hasil 0

m m

n n

x

m n a

m n a

a x a x

m n a

b x b x b

m n

−

→∞ −

 > > = ∞

 > < = −∞



+ + 

 = =

+ + 



 < =

 lim x

x x x

x x

→∞

+ −

( )

−

( )

⁻

24 15 3

3 5 2

2014 2015 672 3

2016 403 5

lim lim

x x

x x x

x x

→∞ →∞

+ −

( )

−

( )

^{− =}

24 15 3

3 5 2

2014 2015 672 3 24

2016 403 5

xx x x

x x

2014 2015 2016

2016 2015

15 27

3 5 2

+ −

− −

lim lim

x x

x x x

x x

x

→∞ →∞

+ −

− − =

24 15 27

3 5 2

2014 2015 2016 24

2016 2015

20114 2016

2015 2016

2016 2016 2016

2016

2015 2016

15 27

3 5

x

x x

x x x

x

x x

+ −

− − 22 24 15 27

3 5 2 24 15 27

3 5 2 0

2016

2

2016

x

x x

x x

=x + −

− −

= ∞ +

∞−

−∞−

∞

= + lim →∞

00 27 3 0 0

9

−

= − − −

Dari lim

x

x x

x x

→∞

− −

+ −

4 15 6

3 2

2 3

4 3 , diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m = 3 dan pangkat tertinggi penyebut, n = 4.

Dari lim

x

x x x

x x x

→∞

+ − −

+ + +

4 7 20 1

2 14 12 2016

5 3 2

4 3 , diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m = 5 dan pangkat tertinggi penyebut, n = 4.

Dari ^lim_x ^{x x x lim}_x

x x

→∞ →∞

+ −

( )

−

( )

^{− =}

24 15 3

3 5 2

2014 2015 672 3 24

2016 403 5

xx x x

x x

2014 2015 2016

2016 2015

15 27

3 5 2

+ −

− − , diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m = 2016 dan pangkat tertinggi penyebut, n = 2016.

Oleh karena m > n dengan koefisien pangkat tertinggi pada pembilang bernilai positif, maka lim

x

x x x

x x x

→∞

+ − −

+ + + = ∞

4 7 20 1

2 14 12 2016

5 3 2

4 3 .

Oleh karena m = n, maka .

Oleh karena m < n, maka lim

x

x x

x x

→∞

− −

+ − =

4 15 6 3² 2³ 0

4 3 .

Penyelesaian contoh soal 10 dengan SUPER "Solusi Quipper".

Penyelesaian contoh soal 11 dengan SUPER "Solusi Quipper".

Penyelesaian contoh soal 12 dengan SUPER "Solusi Quipper".

Soal ini dapat diselesaikan dengan SUPER "Solusi Quipper".

Oleh karena m = n, maka:

Dari lim

x

x x

x x x

→∞

+ +

− − +

5 6

2 6 4

2

2 , diperoleh pangkat tertinggi pembilang, m = 1 (karena ) dan pangkat tertinggi penyebut, n = 1.

Pembahasan:

Contoh Soal 13

Tentukan nilai dari .

lim x

x x x

x x

→∞

+ −

( )

−

( )

⁻

24 15 3

3 5 2

2014 2015 672 3

2016 403 5

lim x

x x x

x x

→∞

+ −

( )

−

( )

^{− = − = −}

24 15 3

3 5 2

27

3 9

2014 2015 672 3

2016 403 5

lim x

x x

x x x

→∞

+ +

− − +

5 6

2 6 4

2

2

lim 5x+ x²+6 =lim 5x+ x² =lim 5x x+ ==lim 6x=6

Penyelesaian contoh soal 14 dengan SUPER "Solusi Quipper".

Misalkan ^{f x}

( )

^{=4x6/5+3x3/5 dan g x}

( )

^{= −2x53+6x87}.

6 3

5 5

6 3 5 5 5

5 5 3 3 3

5 8 5 8

3 7 3 7

5

5 5

3

3 3

1 4 3  

4 3  

lim lim

2 6 1 2 6

 

x x

x x

x x x x x

x x x x

x x x

→∞ →∞

+

+ × =

− + − +

7   16

15 15

11 21

4 3

lim 2 6

4 3 2 6 0 0 02 0

x

x x

x

→∞

+

=

− +

∞ ∞+

=

− +∞

= +

− +

=

Perhatikan bahwa variabel dengan pangkat tertinggi pada f (x) adalah

x

^6/5. Sementara pada g (x) adalah

x

^5/3. Ini berarti, variabel dengan pangkat tertinggi secara keseluruhan adalah ^5/3. Dengan demikian, kita akan membagi setiap suku dengan

x

^5/3.

Dari lim 4 ^6/5_5/3 3 ^3/5_8/7

2 6

x

x x

x x

→∞

+

− + , diperoleh pangkat tertinggi pembilang = m = ⁶₅ dan pangkat tertinggi penyebut = n = ⁵₃ . Oleh karena m < n, maka lim 04 ^6/5_5/3 3 ^3/5_8/7

2 6

x

x x

x x

→∞

+ =

− + ^.

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 0.

Pembahasan:

Contoh Soal 14

Contoh Soal 15

Tentukan nilai dari lim 4 ^6/5_5/3 3 ^3/5_8/7

2 6

x

x x

x x

→∞

+

− + ^.

Untuk t ≠ 1, nilai limit berikut adalah ....

( ) ( )

162 81

81 9

lim 1 1

tx t x

t x tx

− −

− −

Misalkan ^{f x}

( )

^{= tx162− −}

( )

^{1 t x81} dan ^{g x}

( ) ( )

^{= −1 t x81−tx9}.

Perhatikan bahwa variabel dengan pangkat tertinggi pada f (x) dan g (x) adalah sama, yaitu x⁸¹. Ini berarti, variabel dengan pangkat tertinggi secara keseluruhan adalah x⁸¹.

Dengan demikian, kita akan membagi setiap suku dengan x⁸¹.

( ) ( )

( ) ( )

162 81

162 81

162 162

81

81 9

81 9

81 81 81

1 1 1

lim^x 1 1 lim^x 1

tx t x

tx t x x x

x t x tx t x tx

x x x

→∞ →∞

− −

⋅ − −

=  − 

 

⋅ − −   − 

 

 

( ) ( )

( ) ( ) ( )

81

72

1 lim

1 1

1 0

1 0

1

x

t t x t

t x

t t t t

t t t

t

→∞

− −

=  − − 

 

− −

= ∞

 − − 

 ∞

 

= −

− −

= −

Pembahasan:

Penyelesaian contoh soal 15 dengan SUPER "Solusi Quipper".

Dari lim ¹⁶² ₈₁^{(1 )}₉⁸¹ (1 )

x

tx t x

t x tx

→∞

− −

− − , diperoleh pangkat tertinggi pembilang = m = 81 dan pangkat tertinggi penyebut = n = 81. Oleh karena m = n, maka:

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 1

t t

− .

162 81 162 81

81 9 81 81

lim (1 ) lim lim

(1 ) (1 ) (1 ) (1 )

x x x

tx t x tx t x t

t x tx t x t x t

→∞ →∞ →∞

− − = = =

− − − − −

Langkah-langkah menyelesaikan limit fungsi berbentuk adalah sebagai berikut.

Menentukan Nilai Limit Tak Hingga Fungsi Aljabar dengan Mengalikan Akar Sekawan

Mengalikan fungsi dengan bilangan 1 dalam bentuk akar

sekawannya, yaitu . Dengan demikian, diperoleh:

b.

1.)

limx f x g x

→∞

( ( )

⁻

( ) )

f x

( )

⁺ g x

( )

f x g x

 

( )

⁻

( )

Sederhanakan fungsi yang terbentuk dari langkah 1.

Bagi setiap suku dari fungsi pada langkah 2 dengan variabel berpangkat tertinggi.

2.) 3.)

Contoh Soal 16

Tentukan nilai dari .

Jadi, nilai dari lim

x x x x x

→∞

(

²+² +¹²− ²+⁸

)

^{= −3.}

Dengan menggunakan akar sekawannya, diperoleh:

Pembahasan:

SUPER "Solusi Quipper"

lim x x x x x

→∞

(

²+² +¹²− ²+⁸

)

lim lim

x x x x x x x x x x x x x

→∞

(

²+² +¹²− ²+⁸

)

⁼ →∞

(

^{2+2 +12− 2+8}

)

^{× 22+2 +12+ 222}

2 2

2 2

8

2 12 8

2 12 8

2 12 8

+

+ + + +

= + + −

(

+

)

+ + + +

=

→∞

x

x x x x

x x x x

x x x x

lim x

llim

Bagi pembilang dan penyebut de

x

x

x x x x

→∞

− +

+ + + +

6 12

2 12 8

2 2

nngan atau x x x

x x

x x

x

x x

x x

x x

x

2

2

2 2 2

2

2 2

6 12

2 12 8

( )

=

− +

+ + + +

= lim→∞

llim

x

x

x x x

→∞

− + + + + +

= − +

+ + + +

= −

6 12 1 2 12 1 8

6 0 1 0 0 1 0 3

2

Mula-mula, ubah bentuk (2x − 5) ke dalam bentuk akar.

Jawaban: E

Jadi, nilai dari lim

x x x x

→∞

(

^{4 2}+⁴ − −³

(

² −⁵

) )

^=6.

Misalkanlim

x x x x p

→∞

(

^{4 2}+⁴ − −³

(

² −⁵

) )

⁼

Tentukan nilai limit fungsinya menggunakan perkalian akar sekawan seperti berikut.

Pembahasan:

SUPER "Solusi Quipper"

Contoh Soal 17

Nilai dari = .... (UN 2016)

A. −6 B. −4 C. −1 D. 4 E. 6

p x x x x

x x x x

x

x

=

(

+ − − − +

)

=

(

+ − − − +

→∞

→∞

lim

lim

4 4 3 4 20 25

4 4 3 4 20 25

2 2

2 2

))

^{× +}₊ ^{− +}_{− +} ⁻₋ ⁺₊

= + − −

→∞

4 4 3 4 20 25

4 4 3 4 20 25

4 4 3

2 2

2 2

2

x x x x

x x x x

x x

lim x 44 20 25

4 4 3 4 20 25

24 28

4 4 3 4

2

2 2

2 2

x x

x x x x

x

x x x

x

− +

( )

+ − + − +

= −

+ − + lim →∞

−− +

( )

=

20 25

2

x

x x

Bagi pembilang dan penyebut dengan atau

lim

x

x

x

x x

x x

x

x x

x x

x

x x

x

→∞

→∞

−

+ − + − +

= −

24 28

4 4 3 4 20 25

24 28

2

2 2 2

2

2 2 2

lim

44 4 3 4 20 25 24 0

4 0 0 4 0 0 24

4 6

2 2

+ − + − +

= −

+ − + − + = =

x x x x

lim x x x x

→∞

(

^{4 2}+⁴ − −³

(

² −⁵

) )

Oleh karena populasi kijang (x) meningkat tanpa batas, maka x → ∞.

Dengan cara membagi dengan pangkat tertinggi untuk limit fungsi mendekati tak hingga, Pembahasan:

Darilim

x x x x x

→∞ ²+2 +12− ²+8 , diperoleh a = 1, b = 2, d = 1, dan e = 8.

Dari ^lim_x→∞

(

^4x2+^4x− −³

(

^2x−⁵

) )

^=lim_x→∞

(

^{4x2+4x− −3 4x2−20x+25}

)

, diperoleh a = 4, b = 4, d = 4, dan e = −20.

Oleh karena a = d, maka:

Oleh karena a = d, maka:

Penyelesaian contoh soal 16 dengan SUPER "Solusi Quipper".

Penyelesaian contoh soal 17 dengan SUPER "Solusi Quipper".

E. Aplikasi Limit Fungsi Aljabar dalam Kehidupan Sehari-Hari

Pada umumnya, aplikasi limit fungsi disajikan dalam bentuk soal cerita terkait disiplin ilmu lain seperti Fisika, Biologi, Ekonomi, Kimia, dan sebagainya. Langkah-langkah menyelesaikan soal cerita tekait dengan limit fungsi adalah sebagai berikut.

Tentukan nilai yang didekati oleh x untuk melengkapi notasi limit fungsinya.

Selesaikan limit fungsi yang diperoleh dengan cara substitusi langsung terlebih dahulu.

Jika substitusi langsung menghasilkan bentuk tak tentu, gunakan cara alternatif yang sesuai dengan bentuk fungsinya.

1.

2.

3.

Contoh Soal 18

Populasi kijang di suatu hutan lindung sangat memengaruhi populasi predatornya, seperti harimau dan ular. Hubungan antara populasi kijang dan predatornya dinyatakan dengan fungsi , y = populasi predator dan x = populasi kijang. Jika populasi kijang meningkat tanpa batas, tentukan jumlah populasi predatornya.

lim x x x x x b e a

→∞ ²+2 +12− ²+8 = − = − = − 2

2 8 2 1 3

lim x x x x x

→∞

(

+ − − − +

)

^{= − −}

^{( )}

=

=

4 4 3 4 20 25 4 20

2 4 24

4 6

2 2

F. Menentukan Nilai Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Selain soal-soal tentang nilai limit tak hingga fungsi aljabar, sering kali kamu juga dihadapkan dengan soal-soal tentang nilai limit tak hingga fungsi trigonometri. Sebelum mempelajari cara menentukan nilai limit tak hingga fungsi trigonometri, kamu harus memahami dahulu sifat-sifat limit fungsi trigonometri yang sering digunakan, yaitu sebagai berikut.

Sementara itu, beberapa identitas dan rumus trigonometri yang sering digunakan adalah sebagai berikut.

1. Identitas trigonometri

2. Rumus penjumlahan sudut

Jadi, populasi predatornya adalah 2.000 ekor.

y x

x

x x x

x x

=x

+ =

+ = =

lim→∞ . .

. .

4 000 8 2

4 000 8 2

4 000

2 2 000

+ =

= +

= +

2 2

2 2

2 2

sin cos 1

sec tan 1

csc cot 1 

x x

x x

x x

(

^±

)

^{= ±}

sin A B sin A cos B cos A sin B

→

→

→ →

→

→

→

→

→

→

= =

= =

= =

= =

= =

0     0

0          0

0     0

         0 0

0          0

    

1.  limsin lim 1 sin 2.  lim tan lim 1

tan

sin tan

3. lim lim 1

tan sin

4.  limsin lim sin 5.  lim tan lim

tan 6.  lim

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

x x

ax ax a

bx bx b

ax ax a

bx bx b

→ →

→

→

= =

= =

0      0

0         0

sin lim tan

tan sin

sin tan

7.  lim lim

sin tan

x x

x x

ax ax a

bx bx b

ax ax a

bx bx b

Mula-mula, ubah bentuk sin² 2x menjadi sin 2x · sin 2x. Ini berarti:

Dengan menggunakan teorema limit dan penyederhanaan bentuk fungsi, diperoleh:

Dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri, diperoleh:

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 8.

Jadi, nilai limit fungsi tersebut adalah 2. 4 2 2

= ⋅ ⋅1 2

= 8 Pembahasan:

Pembahasan:

Contoh Soal 19

Contoh Soal 20

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut.

Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut.

(Sumber: UN 2013)

(Sumber: SNMPTN 2010)

→ →

= ⋅

2

0 0

4sin 2 4sin 2 sin 2

lim lim

tan 2 tan 2

x x

x   x x

x x x x

→ →

= ⋅

0 0

sin 2 sin 2 4lim lim

tan 2

x x

x x 

x x

→0

lim 4 sin 2

x

x x

→

2 0

4 sin 2 lim^x tan 2 x

x x

→ →

 ⋅ 

=  

 

1 2

0 0

2 2

lim 4   lim  

sin 2 sin 2

x x

x x

x x

→

 

= ⋅ 

 

 

= ⋅ 

 

=

1 2 0

1 2

2 lim 2 sin 2 2 2

2 2

x

x x

Selanjutnya, kita akan membahas tentang limit tak hingga fungsi trigonometri. Berikut adalah sifat-sifat yang sering digunakan dalam menyelesaikan soal-soal terkait limit tak hingga fungsi trigonometri.

Mula-mula, uraikan bentuk fungsinya menjadi seperti berikut.

Oleh karena lim^cos 0

x

x x

→∞ = , maka diperoleh:

Jadi, nilai limit tak hingga fungsi trigonometri tersebut adalah ². 2 1 0

5 5 2 5

= − ⋅

= Pembahasan:

Contoh Soal 21

Tentukan nilai limit tak hingga fungsi trigonometri berikut.

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

→∞

=

=

=

=

 =  = =

   ∞

   

 =   = =

   ∞

   

 =  

   ∞

   

1.  limsin 0

2.  lim cos 0

3.  lim sin tak terdefinisi 4.  lim cos tak terdefinisi

1 1

5.  lim sin sin sin 0 0

1 1

6.  lim cos cos cos 0 1

7.  lim sin sin

x

x

x x

x

x

x

x x

x x

x x

x

x

a a

x

( )

( )

→∞

= = ∈ ≠

 =  = = ∈ ≠

   ∞

   

 

  sin 0 0   , 0

8.  lim cos cos cos 0 1   , 0

x

a a

a a a a

x

2 cos lim^x 5

x x

x

→∞

 − 

 

 

2 cos 2 cos

lim lim

5 5 5 5

x x

x x x

x x x

→∞ →∞

 

 

− =  − 

 

   

2 1 lim cos 5 5 ^x

x x

→∞

 

= − ⋅  

 

Mula-mula, ingat bahwa dalam konsep limit tak hingga, kamu dapat membagi setiap suku dengan pangkat tertinggi. Pada fungsi tersebut, pangkat tertingginya adalah 2. Ini berarti:

Diketahui:

Pembahasan:

Pembahasan:

Contoh Soal 22

Contoh Soal 23

Tentukan nilai limit tak hingga fungsi trigonometri berikut.

Misalkan g (x) = ax + b memotong fungsi linear f (x) = px + q. Titik pertemuan antara fungsi f (x) dan g (x) dapat diselesaikan dengan persamaan berikut.

Tentukan titik potong kedua fungsi tersebut dalam bentuk (x , f (x)).

Oleh karena  lim_→∞ sin =0

x

x

x , maka diperoleh:

Jadi, nilai limit tak hingga fungsi trigonometri tersebut adalah 0.

→∞

+

2+ 2 3 lim^x 6 sin

x

x x x

→∞ →∞

+ ⋅ = +

+ +

2 2

2

2

1 2 3

2 3

lim^x 6 sin 1 lim^x 6 sin

x x x x

x x x x

x x

→∞

∞ ∞+

= +

2 3 6 lim sin

x

x x

= + +

=

= 0 0 6 0 0 6 0

( )

¹

lim sin 60 3

t ax b

t

→∞

  

− ⋅ + ° =

  

 

 

( )

¹

lim sin 60 3

t ax b

t

→∞

 − ⋅  + ° =

  

 

 