EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF DENGAN n-TITIK GANJIL
SKRIPSI
MARDHA TILLAH 090803044
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2013
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas akhir dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MARDHA TILLAH 090803044
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2013
i
PERSETUJUAN
Judul : EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK GANJIL
Kategori : SKRIPSI
Nama : MARDHA TILLAH Nomor Induk Mahasiswa : 090803044
Program Studi : SARJANA (S1) MATEMATIKA Departemen : MATEMATIKA
Fakultas : MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM (FMIPA) UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
Medan, Oktober 2013
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2 Pembimbing 1
Dra. Mardiningsih, M.Si Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP.19630405 198811 2 001 NIP.19640109 198803 1 004
Diketahui oleh :
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002
PERNYATAAN
EKSPONEN TITIK KELUAR DARI SEBUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK GANJIL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil kerja saya sendiri, kecuali beberapa ku-tipan dan ringkasan penting yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Oktober 2013
MARDHA TILLAH 090803044
iii
PENGHARGAAN
Besar rasa syukur kepada Sang Khaliq dengan limpahan rahmat dan kasih sayang-Nya memberikan keluasan waktu serta kesempatan bagi saya untuk menyele-saikan penelitian ini dengan judul ”EKSPONEN TITIK KELUAR DARI
SE-BUAH KELAS DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF ATAS n-TITIK
GAN-JIL”. Serta salawat dan salam kepada baginda Rasul Muhammad SAW yang sampai
detik ini merupakan panutan terbaik bagi setiap manusia.
Serangkai ucapan terima kasih saya hanturkan kepada Ibunda Sabariah, Ibunda Waliyah dan Ayahanda Alm.H.Amiruddin Tholib yang tanpa pernah lelah menyayangi, menjaga, merawat serta mendoakan dalam setiap langkah. Semoga Ibunda dan Aya-handa tercinta selalu berada dalam cinta dan lindungan-Nya. Kepada Bapak Prof.Saib Suwilo,M.Sc selaku dosen pembimbing I dan Ibu Dra.Mardiningsih,M.Si selaku dosen pembimbing II terima kasih atas segala bentuk bimbingan dan motivasi dalam menye-lesaikan penelitian ini sebagai tugas akhir akademik, dan kepada Bapak Prof.Tulus,M.Si dan Bapak Drs.Ariswoyo,M.Si selaku dosen penguji, terima kasih atas segenap saran-nya. Kepada Bapak Prof.Dr.Sutarman,M.Sc, selaku Dekan FMIPA USU, Bapak Prof.Dr.Tulus,M.Si dan Ibu Dra.Mardiningsih,M.Si, selaku Ketua Departemen dan Sekretaris Departemen FMIPA USU serta seluruh Staf Pengajar yang telah mem-berikan pengetahuan-pengetahuan akademik dan seluruh Staf Departemen Matematika yang turut mempermudah jalannya proses penyelesaian tugas akhir ini. Semoga selalu dalam Rahmat dan Karunia-Nya.
Terima kasih kepada seluruh abanganda tercinta Ahmad Aulia,S.Pd, Afzar Aulia, Alfi Syahrin,S.E, dr.Ibnu Hasyim, Ir.Anshor Khawari, dan abanganda Rafiq Kahfi serta adikku tercinta Samanthi Hibbah yang selalu memberikan motivasi, dukungan moral dan materi, serta doa yang tak pernah henti, semoga selalu dalam lindungan dan Rahmat Allah SWT, dan kepada sahabatku Anggita Fathimah Sire-gar yang tak pernah bosan mendenSire-gar segala keluh kesah perjalanan tugas akhir ini serta selalu mengingatkan bahwa pelajaran yang takkan habis dalam hidup ini adalah bab ikhlas, bab adil, dan bab sabar, terima kasih atas segala dukungannya. Semoga segala impianmu dapat terwujud. Kepada sahabat-sahabat Ilham Firdaus Siregar, Dewi Uli Sinulingga, dan teman-teman seperjuangan 1708 di pesantren Ar-Raudhatul yang ikut memberikan dukungan, terima kasih atas segala bantuan, motivasi serta doanya. Semoga visi dan misi hidup kita berjalan dalam Ridho-Nya.
Tak lupa pula penulis berterima kasih kepada Wiwit, Nisa, Desi, Sari, Defi, Best, Isah, Dika, Ida,dan Wirda yang selalu ada dalam suka duka di awal perkuliahan hingga penyelesaian tugas akhir ini,kepada Putri dan Sarah terima kasih krna tak pernah bosan menjadi tempat bertanya persoalan akademik. Kepada teman-teman kelas murni Panca , Bakti , Lukas , Jundi , Vela , Fitri , dan Zati terima kasih atas kesolidaritasannya. Kepada Yudha, Fendi, Gilang , Dhani , Iman , Adinda Lita , Organisasi IM3, teman-teman sejawad dan seperjuangan selama perkuliahan yang tak
bisa disebutkan namanya satu persatu oleh penulis, terima kasih atas ikatan perte-manan dan silaturrahmi yang dijalani bersama. Semoga tali silaturrahmi ini dapat terjalin tanpa batas waktu.
Sebagai manusia, sudah tentu banyak kekurangan penulis dalam bentuk apapun, baik dalam silaturrahmi ataupun dalam penulisan tugas akhir ini penulis hanturkan segenap permintaan maaf dan harapan dalam menyelesaikan tulisan ini semoga berguna bagi pembaca. Akhir kata, ribuan terima kasih penulis hanturkan atas segala doa dan dukungan pembaca. Wassalam.
Medan, Oktober 2013 Penulis
v ABSTRAK
Sebuah digraf dwiwarna D(2) adalah primitif jika terdapat bilangan bulat tak negatif g dan h sehingga untuk setiap pasang titik u dan v di D(2) terdapat (g, h)-walk dari u ke v. Bilangan bulat positif g +h terkecil dari semua bilangan bulat tak negatif g dan h disebut eksponen dari digraf dwiwarna D(2), dinotasikan dengan expD(2)(v).
Andaikan v adalah sebuah titik di D(2). Eksponen titik keluar v pada D(2) adalah bilangan bulat positif terkecilg+hsehingga terdapat (g, h)-walk dari titikv ke setiap titik di D(2), dinotasikan dengan expoutD(2)(v). Penelitian ini mempelajari eksponen
titik keluar dari sebuah kelas digraf dwiwarna primitifD(2) atasn≥5 titik ganjil yang terdiri dari n-cycle v1 →vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 dan tepat satu arc v1 →vn+1
2 .
Andaikan vk, k = 1,2, ..., n adalah sebuah titik di D(2). Diperlihatkan bahwa jika arc biru berturut-turut terletak pada arc v2 → v1 dan arc v1 → vn di D(2) , maka
eksponen titik keluar dari digraf dwiwarnaD(2) adalahexpoutD(2)(vk) =n2−n−2 +k
untuk semuak = 1,2, ..., n.Jika arc biru berturut-turut terletak pada arcvn+3 2 →v n+1 2 dan arc vn+1 2 →v n −1
2 , maka eksponen titik keluar dari digraf dwiwarna primitifD
(2)
adalah expoutD(2)(vk) = 2
n2−3n−2+2k
2 untuk semua k= 1,2, ..., n.
THE OUTER VERTEX EXPONENTS OF A CLASS OF PRIMITIVE TWO -COLORED DIGRAPHS ON n-ODD VERTEX
ABSTRACT
A two-colored digraph D(2) is primitive provided there are nonnegative integerg and h such that for each pair of vertices u and v there is a (g, h)-walk from vertex u to vertexv. The smallest positive integerg+htaken over all such nonnegative integers g and h is the exponent of a two-colored digraph D(2), denoted by exp(D(2)). Let v
be a vertex of D(2). The outer vertex exponentv is the smallest positive integerg+h there is a (g, h)-walk from v to every vertex in D(2), denoted by expoutD(2)(v). This
study explains about the outer vertex exponent of primitive two colored-digraph D(2) on n ≥ 5 odd vertices consisting the n-cycle v1 → vn → vn−1 → · · · → v2 → v1 and
blue arc v1 →vn+1
2 . Let vk be a vertex ofD
(2). We show that if two consecutive blue
arcs lies on arc v2 → v1 and arc v1 → vn in D(2), then the outer vertex exponents is expoutD(2)(vk) = n2 −n −2 +k for all k = 1,2, ..., n. If two consecutive blue arcs lies on arc vn+3 2 → v n+1 2 and arc v n+1 2 → v n −1
2 , then the outer vertex exponents is
expoutD(2)(vk) = 2
n2−3n−2+2k
2 for all k = 1,2, ..., n.
Key words : Two-colored digraph, primitive, vertex exponent and outer vertex ex-ponent.
vii DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii PENGHARGAAN iii ABSTRAK v ABSTRACT vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR GAMBAR viii
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Penelitian 1
1.2 Masalah Penelitian 2
1.3 Tinjauan Pustaka 3
1.4 Tujuan Penelitian 5
1.5 Manfaat Penelitian 6
BAB 2 DIGRAPH DWIWARNA PRIMITIF
2.1 Definisi 7
2.2 Matriks Adjacency 10
2.3 Primitifitas Dari Digraph Dwiwarna Terhubung Kuat 12 2.4 Matriks Tak Negatif dan Eksponen Digraph Dwiwarna 16 2.5 Eksponen Titik Digraph dan Digraph Dwiwarna 24 2.6 Sistem Persamaan Diophantine 26 2.7 Formula Eksponen Titik Digraph Dwiwarna dengan Dua Cycle 28 BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Menentukan Eksponen Titik Keluar 31 3.2 Pembuktian Bentuk Umum Eksponen Titik Keluar 31
BAB 4 EKSPONEN TITIK KELUAR 33
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN
5.1 Kesimpulan 42
5.2 Saran 42
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1.1 Karakter PertamaD(2) 5
1.2 Karakter Kedua D(2) 5
2.1 Digraf dengan 4 titik dan 6 arc 8 2.2 Digraf dwiwarna dengan 6 titik dan 8 arc 9 2.3 Digraf terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 12 2.4 Digraf terhubung kuat dan primitif 13 2.5 Digraf dwiwarna terhubung kuat dan tidak terhubung kuat 14 2.6 Digraf dwiwarna terhubung kuat dan primitif 15 2.7 Digraf dengan 3 titik dan 4 arc 20 4.1 Digraf dwiwarna D(2) Tipe A 34 4.2 Digraf dwiwarna D(2) Tipe B 34
