SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
MERRYANTY LESTARI P 110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2015
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat mencapai gelar Sarjana Sains
MERRYANTY LESTARI P 110803067
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN 2015
PERSETUJUAN
Judul : Scrambling Index dari Kelas Digraf Hamilton Dwiwarna dengan n Titik Ganjil
Kategori : Skripsi
Nama : Merryanty Lestari P
Nomor Induk Mahasiswa : 110803067
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juli 2015
Komisi Pembimbing:
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Dr. Mardiningsih, M.Si Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc NIP. 19630405 198811 2 001 NIP. 19640109 198803 1 004
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si NIP. 19620901 198803 1 002
PERNYATAAN
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri, kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2015
MERRYANTY LESTARI P 110803067
PENGHARGAAN
Segala puji hanya bagi Allah SWT yang senantiasa memberikan pertolongan dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul ”SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWI-WARNA DENGAN N TITIK GANJIL” ini dengan baik. Shalawat beriring salam kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabat.
Dalam penulisan skiripsi ini penulis banyak mendapatkan bimbingan, moti-vasi dan bantuan dari berbagai pihak. Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada:
1. Ibunda Tetti Mahrani Lubis, AMS dan Ayahanda Anwar Pasaribu, S.Hut serta Kakanda Rahmelya Oktari, S.IA yang telah mendo’akan, memotivasi, dan memberikan dukungan selama penulisan skripsi ini.
2. Bapak Prof. Dr. Saib Suwilo, M.Sc, selaku Dosen Pembimbing I, dan Ibu Dr. Mardiningsih, M.Si, selaku Dosen Pembimbing II dan Sekretaris Departemen Matematika FMIPA USU Medan, yang telah banyak mem-bantu penulis dan memberikan dukungan baik berupa nasihat, motivasi maupun ilmu pengetahuan kepada penulis dalam menyelesaikan penelitian ini.
3. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, selaku Dosen Pembanding I dan Ketua Departemen Matematika FMIPA USU Medan, dan Bapak Dr. Suwarno Ariswoyo, M.Si, selaku Dosen Pembanding II, yang telah memberikan nasi-hat, kritik dan saran yang membangun selama penelitian ini.
4. Seluruh staf pengajar dan staf administrasi Departemen Matematika, Fakul-tas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, UniversiFakul-tas Sumatera Utara, Medan.
Penulis juga mengucapkan terima kasih kepada sahabat terbaik Intayashu, Indah, Mantari, Ratih, Tika, Tilsa, Aisyah, dan Nisa yang senantiasa menye-mangati dan memotivasi dalam menyelesaikan skripsi ini. Selain itu, penulis
mengucapkan terima kasih kepada seluruh rekan-rekan Matematika 2011 terkhu-sus kepada Matematika Murni 2011 yang telah memberikan bantuan moril kepada penulis. Semoga Allah SWT memberikan balasan atas bantuan yang diberikan kepada penulis.
Penulis menyadari skripsi ini jauh dari kesempurnaan, untuk itu penulis mengharapkan kritik dan saran dari berbagai pihak untuk penyempurnaan skripsi ini. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
SCRAMBLING INDEX DARI KELAS DIGRAF HAMILTON DWIWARNA DENGAN N TITIK GANJIL
ABSTRAK
Scrambling index dari digraf dwiwarna D(2) primitif adalah bilangan bulat positif terkecil h + ℓ dari seluruh pasangan bilangan bulat tak negatif (h, ℓ) sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat sebuah titik w di D(2)
dengan sifat bahwa terdapat sebuah (h, ℓ)-walk dari titik u ke titik w dan sebuah (h, ℓ)-walk dari titik v ke titik w. Tulisan ini membahas mengenai scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna atas n ≥ 5 titik ganjil yang terdiri dari dua cycle dengan panjang n dan (n− 1)/2. Pertama, tulisan ini membahas primitifitas dari sebuah digraf dwiwarna D(2) dan selanjutnya memperlihatkan
rumus scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif terhadap titik berderajat masuk dua.
SCRAMBLING INDEX OF A CLASS OF TWO-COLORED HAMILTONIAN DIGRAPH WITH N ODD VERTICES
ABSTRACT
The scrambling index of a primitive two-colored digraph D(2) is the least positive integer h + ℓ over all pairs of nonnegative integers (h, ℓ) such that for each pair of vertices u and v in D(2) there is a vertex w in D(2) with the property that there
is an (h, ℓ)-walk from u to w and an (h, ℓ)-walk from v to w. This paper discuss the scrambling index of a class of two-colored Hamiltonian digraph on n≥ 5 odd vertices consist of two cycles of length n and (n− 1)/2, respectively. First, this paper discuss the primitivity of a two-colored digraph D(2) and then present for-mulae for scrambling index that depend on n vertex and the position of the blue arcs relative to the vertex of indegree two.
Keywords: Primitive, two-colored digraph, Hamiltonian digraph, scrambling index.
DAFTAR ISI Halaman PERSETUJUAN i PERNYATAAN ii PENGHARGAAN iii ABSTRAK v ABSTRACT vi
DAFTAR ISI vii
DAFTAR GAMBAR viii
BAB 1 PENDAHULUAN 1
1.1 Latar Belakang 1
1.2 Perumusan Masalah 4
1.3 Tujuan Penelitian 4
1.4 Manfaat Penelitian 4
BAB 2 DIGRAF DWIWARNA PRIMITIF 5
2.1 Definisi Digraf Dwiwarna 5
2.2 Matriks Ketetanggaan Digraf Dwiwarna 7
2.3 Primitifitas Digraf Dwiwarna 8
2.4 Scrambling Index Digraf Dwiwarna 11
2.5 Batas Scrambling Index Digraf Dwiwarna 16
BAB 3 METODOLOGI PENELITIAN 19
BAB 4 SCRAMBLING INDEX DIGRAF HAMILTON DWIWARNA 21
BAB 5 KESIMPULAN DAN SARAN 41
5.1 Kesimpulan 41
5.2 Saran 41
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman
1.1 Digraf Wielandt Wn 3
1.2 (a) D(2) dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru 4
2.1 Digraf dwiwarna dengan 4 titik dan 5 arc 6
2.2 Digraf dwiwarna dengan 7 titik dan 10 arc 8
2.3 (a) D(2) terhubung kuat, (b) D(2) tidak terhubung kuat 9
2.4 Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat primitif 10
2.5 Digraf dwiwarna D(2) primitif 13
BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Matriks stochastic S adalah sebuah matriks bujursangkar berordo n yang setiap entri memenuhi 0 < sij < 1 dan jumlah entri setiap baris dan kolom sama dengan 1. Andaikan matriks stochastic S memenuhi sifat koefisien ergodicity τ1(S) < 1,
dimana τ1(S) = 1 2 { max ij n ∑ l=1 |sil− sjl|}.
Matriks stochastic S disebut matriks scrambling jika dan hanya jika untuk setiap dua baris dari matriks stochastic S memiliki paling sedikit satu entri positif pada kolom yang sama (Seneta, 1979). Matriks tak negatif A adalah sebuah matriks persegi berordo n yang setiap entri aij ≥ 0. Matriks tak negatif A dikatakan primitif jika terdapat bilangan bulat positif k sehingga Ak bernilai positif. Scrambling index dari matriks tak negatif A primitif adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga Ak merupakan matriks scrambling.
Termotivasi dari gagasan Seneta diatas, Akelbek dan Kirland memperke-nalkan scrambling index dari digraf primitif D. Suatu digraf primitif D dengan n titik dapat direpresentasikan dalam bentuk matriks ketetanggaan A(D), yaitu matriks berukuran n× n yang setiap entrinya didefinisikan dengan aij = 1 jika terdapat walk berarah dari titik vi ke titik vj dan aij = 0 jika tidak terdapat walk berarah dari titik vi ke titik vj. Berdasarkan definisi matriks ketetanggaan A(D) dapat dilihat bahwa A(D) adalah sebuah matriks tak negatif. Scrambling index dari digraf primitif D bernilai sama dengan scrambling index dari matriks tak negatif A(D).
Akelbek dan Kirland (2009a) mendefinisikan scrambling index dari digraf primitif D, dinotasikan dengan k(D), adalah bilangan bulat positif terkecil k sedemikian hingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D, terdapat sebuah titik w dengan sifat terdapat walk berarah (directed walk) dari titik u ke titik w di D dan sebuah sebuah walk berarah dari titik v ke titik w di D dengan panjang k.
2
Setelah diperkenalkannya definisi scrambling index, mulai banyak pengem-bangan penelitian mengenai scrambling index. Diawali Akelbek dan Kirland (2009a) mengemukakan batas atas scrambling index dari digraf primitif dengan n titik dan girth s. Andaikan D adalah digraf primitif dengan n titik dan girth s. Maka k(D) ≤ K(n, s) terpenuhi, jika D = Ds,n dan gcd(s, n) = 1, dimana Ds,n adalah sebuah digraf dengan sebuah cycle Hamilton v1 → vn → vn−1 → · · · →
v2 → v1 dan sebuah cycle v1 → vs → vs−1 → · · · → v2 → v1 dengan panjang s,
K(n, s) = n− s + k(n, s) dan k(n, s) =
{
((s− 1)/2)n, ketika s ganjil, ((n− 1)/2)s, ketika s genap.
Akelbek dan Kirland (2009b) menjelaskan karakteristik dari digraf-digraf primitif dengan scrambling index terbesar. Andaikan D adalah digraf primitif dengan n titik, girth s ≥ 2 dan k(D) = K(n, s), maka memenuhi sifat berikut ini.
1. Tidak terdapat cycle dengan panjang p, s < p < n, sehingga gcd(s, p) = 1.
2. D memuat Ds,n sebagai subgraf dan gcd(s, n) = 1.
Chen dan Liu (2010) menentukan hubungan antara scrambling index dan ekspo-nen dari digraf simetrik primitif D dengan n ≥ 2 titik. Andaikan titik u dan v berada di D, maka ku,v(D) ≤
⌈
expD(u, v)/2⌉ dan k(D) = ⌈exp(D)/2⌉, dimana ⌈
a⌉ adalah bilangan bulat terkecil yang tidak kurang dari a.
Liu dan Huang (2010) menentukan scrambling index dari digraf-digraf pri-mitif yang salah satunya adalah digraf pripri-mitif dengan d loop. Andaikan Ln,d adalah digraf dengan himpunan titik V = {1, 2, · · · , n} dan himpunan arc A = {(i, i + 1)|1 ≤ i ≤ n − 1} ∪ {(n, 1)} ∪ {(i, i)|n − d ≤ i ≤ n}, dimana n, d ada-lah bilangan bulat dengan n ≥ 2 dan 1 ≤ d ≤ n, maka k(Ln,d) = n−⌈d/2⌉. Selanjutnya, Gao dan Shao (2013) mengemukakan scrambling index dari digraf primitif dengan cycle ganjil Cn, dimana n≡ 1 (mod 2), maka k(Cn) = (n− 1)/2. Terlihat bahwa penelitian terdahulu pada umumnya membahas mengenai srcam-bling index dari digraf primitif. Kemudian, Mulyono dan Suwilo (2014) memper-kenalkan gagasan scrambling index dari digraf dwiwarna primitif.
Digraf dwiwarna D(2) adalah digraf yang mana setiap arcnya diberi warna
merah atau biru (Fornasini dan Valcher, 1997). Digraf dwiwarna D(2) dikatakan
3 b b b b b b b b b b vn v1 v2 v3 vn−1 vn−2 vn−3
Gambar 1.1 : Digraf Wielandt Wn
terdapat walk berarah dari titik u ke titik v dan walk berarah dari titik v ke titik u. Digraf dwiwarna D(2) terhubung kuat dikatakan primitif dengan syarat
terdapat bilangan bulat tak negatif h dan ℓ sehingga untuk setiap pasangan titik u dan v di D(2) terdapat walk berarah dari titik u ke titik v dan walk berarah
dari titik v ke titik u dengan panjang h + ℓ. Bilangan bulat positif terkecil h + ℓ merupakan eksponen dari D(2), dinotasikan dengan exp(D(2)).
Mulyono dan Suwilo (2014) membahas tentang scrambling index dari digraf Wielandt dwiwarna, yaitu sebuah digraf Hamilton dwiwarna yang terdiri dari cycle Hamilton v1 → v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 →
v3 → · · · → vn−1 → v1 dengan panjang n−1. Representasi grafis digraf Wielandt
Wn dapat dilihat pada Gambar 1.1. Andaikan W
(2)
n adalah digraf Wielandt dwi-warna dengan n titik. Scrambling index dari Wn(2) dengan n ≥ 4 ditentukan berdasarkan posisi dan jumlah arc biru pada Wn(2), diperoleh sebagai berikut:
1. Jika Wn(2) memiliki satu arc biru vx → vx+1, dimana 1≤ x ≤ n − 2, maka k(Wn(2)) = n2 − 2n + 1 − x.
2. Jika Wn(2) memiliki dua arc biru vn−1 → v1 dan vn → v1, maka k(W (2)
n ) = n2 − 2n + 1.
3. Jika Wn(2) memiliki dua arc biru vn−1 → v1 dan vn−1 → vn, maka k(W
(2)
n ) = n2 − 2n + 2.
Lebih lanjut, penulis akan membahas mengenai scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna dengan n titik ganjil yang terdiri dari cycle Hamilton v1 → v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 → v3 → · · · →
4
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D(2) adalah digraf Hamilton dwiwarna dengan n≥ 5 titik ganjil terdiri
atas cycle Hamilton dan cycle dengan panjang n dan (n− 1)/2. Penelitian ini membahas mengenai D(2)memiliki dua arc biru, yaitu vx → vx+1dimana 1≤ x ≤ (n−3)/2 dan vy → vy+1dimana (n−1)/2 ≤ y ≤ n dan D(2)memiliki tiga arc biru, yaitu v(n−1)/2 → v1, vx → vx+1, dan vy → vy+1 dimana (n− 1)/2 ≤ x < y ≤ n,
seperti pada Gambar 1.2. Masalah penelitian ini adalah menentukan formula scrambling index yang bergantung pada n titik dan posisi arc biru yang relatif terhadap titik berderajat masuk dua atau v1.
b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b b bb b bbb bb b b b b v1 v2 v3 v4 vn−7 2 vx vx+1 vn−1 2 vn+1 2 vy vy+1 vn−2 vn−1 vn v1 v2 v3 v4 vn−7 2 v n−5 2 vn−3 2 vn−1 2 vx vx+1 vy vy+1 vn (a) (b) : arc merah : arc biru
Gambar 1.2 : (a) D(2) dengan 2 arc biru dan (b) D(2) dengan 3 arc biru
1.3 Tujuan Penelitian
Tujuan penelitian ini adalah untuk menentukan scrambling index dari kelas digraf Hamilton dwiwarna dengan n ≥ 5 titik ganjil terdiri atas cycle Hamilton v1 →
v2 → v3 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan cycle v1 → v2 → v3 → · · · → v(n−3)/2 →
v(n−1)/2 → v1 dengan panjang (n− 1)/2.
1.4 Manfaat Penelitian
Manfaat penelitian ini adalah menambah literatur penelitian mengenai scram-bling index dari digraf Hamilton dwiwarna.
