BAB 1 PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Digraf merupakan salah satu pokok bahasan dalam ilmu matematika. Digraf dinotasikan dengan D. Digraf D terdiri atas himpunan titik - titik yang di-hubungkan oleh himpunan garis - garis berarah atau busur. Dalam aplikasinya, digraf dapat ditemukan pada proses jaring jaring makanan. Himpunan titik -titik tersebut diartikan sebagai kumpulan suatu objek yang dalam hal ini adalah kumpulan binatang dan himpunan busur - busur sebagai aktifitas memakan an-tara dua binatang berbeda. Siklus makan - memakan tersebut direpresentasikan menjadi digraf dalam ilmu matematika. Himpunan busur - busur dari digraf yang diberi dua warna, namun tidak sekaligus kedua warna tersebut berada pada satu busur disebut digraf dwiwarna, dinotasikan dengan D(2).
Andaikanh(W) dan ℓ(W) masing - masing adalah banyaknya busur merah dan busur biru pada jalanW. Suatu jalan dari titikvi ke titikvj dengan panjang (h+ℓ), dinotasikan dengan vi
(h,ℓ)
−→ vj, adalah sebuah barisan berhingga busur di D(2) yang diawali dengan titik v
0 =vi dan diakhiri titik v(h+ℓ) =vj. Sebuah lintasanPvivj adalah suatu jalan dengan titik yang berbeda - beda dari titikvi ke titikvj. Jika titik vi =vj maka disebut lintasan tertutup ataucycle. Digraf D(2) disebut sebagai digraf Hamilton dwiwarna jika ditemukan cycle yang memuat semua titik pada D(2).
Penelitian yang membahas tentang D(2) mulai banyak dilakukan dan pa-rameter yang dikemukan adalah tentang eksponen. Dalam mencari nilai eksponen dari suatu D(2) terlebih dahulu digraf dwiwarna tersebut harus primitif. Sebuah
D(2) terhubung kuat dikatakan primitif jika terdapat sebuah bilangan bulat tak negatifhdanℓsedemikian sehingga untuk setiap pasangan titikvi danvj terdap-at sebuah jalanvi
(h,ℓ)
−→vj dan sebuah jalanvj (h,ℓ)
−→vi. Bilangan bulat positif (h+ℓ) yang paling kecil disebut eksponen dari D(2), dinotasikan denganexp(D(2)).
Shao dan Gao (2009) meneliti tentang batas - batas pada eksponen dan mengkarakterisasi titik ekstrim dari digraf dwiwarna primitif yang memiliki 2n−
2
n dan panjang cycle dua adalah n−3. Akibatnya, titik vc berada pada interval 2≤c≤n−3.
Gambar 1.1 : Digraf PrimitifD.
Penelitian mengenai digraf dwiwarna berkembang menggunakan parameter baru bernama scrambling index. Pada tahun 2009 Akelbek dan Kirkland mem-perkenalkan parameter tersebut. Akelbek dan Kirkland (2009a) mengemukakan definisi scrambling index dari digraf primitif, dinotasikan dengan k(D), adalah bilangan bulat positif terkecil ℓ sehingga untuk setiap pasangan titik vi dan vj di D terdapat sebuah titik vw di D sedemikian sehingga terdapat sebuah jalan yang menghubungkan vi ke vw dan vj ke vw dengan panjang ℓ. Dalam artikel ini juga dijelaskan batas atas dari digraf primitif sehingga akan dicapai batas atas modulus terbesar kedua nilai eigen dari matriks primitif. Selanjutnya, Akel-bek dan Kirkland (2009b) mengklasifikasikan semua digraf primitif sehingga nilai scrambling index sama dengan batas atas.
Tahun 2014, Mulyono dan Suwilo mendiskusikan nilai scrambling index dari digraf Wielandt dwiwarna. Digraf Wielandt tersebut dapat dilihat pada gambar 1.2. Scrambling index digraf Wielandt dwiwarna yang terdiri atascycleHamilton
v1 → v2 → · · · → vn−1 → vn → v1 dan busur vn−1 → v1 untuk n ≥ 4 berada
3
Gambar 1.2 : Digraf Wielandt Wn.
Mulyono dan Suwilo mengeneralisasikan definisi scrambling index dari di-graf primitif menjadi scrambling index dari didi-graf dwiwarna primitif. Definisi scrambling index dari digraf dwiwarna primitif, yang dinotasikan dengank(D(2)), adalah bilangan bulat positif terkecil (h+ℓ) untuk semua bilangan bulat tak negatif hbusur merah danℓ busur biru sedemikian sehingga untuk setiap pasan-gan titik vi dan vj di D(2) terdapat sebuah titik vw di D(2) dengan sifat bahwa dengan kvi,vj(D(2)), adalah didefinisikan sebagai berikut :
kvi,vj(D(2)) = min
vi,vj(D(2)) diperoleh hubungan
k(D(2))≥ max
vi,vj∈V(D(2)){kvi,vj(D
(2))}
4
1.2 Perumusan Masalah
Andaikan D(2) adalah digraf Hamilton dwiwarna primitif, terdiri atas dua cycle yaitu v1 → v2 → · · · → vn−3 → v1 dengan panjang cycle satu adalah n−3 dan
v1 → v2 → · · · → vn−1 → vn → v1 dengan panjang cycle dua adalah n, untuk
n ≡1 (mod3) titik,n≥7, dengan (n−4)/3 busur biru berurutan pada kedua cy-cle. Adapun masalah yang akan dibahas pada penelitian ini adalah menentukan bentuk umum scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna primitif seperti pada gambar 4.1.
1.3 Tujuan Penelitian
Penelitian ini bertujuan untuk menentukan matrikscycleagarD(2)primitif kemu-dian menentukan bentuk umum scrambling index dari digraf Hamilton dwiwarna
D(2), dengan n ≡ 1 (mod 3) titik, n ≥ 7, terdiri atas dua cycle dengan panjang
cycle satu adalah n−3 dan panjangcycle dua adalah n dengan (n−4)/3 busur
biru berurutan pada kedua cycle.
1.4 Manfaat Penelitian
