SEKILAS TENTANG GRAPH. Oleh: Baso Intang Sappaile

(1)

SEKILAS TENTANG GRAPH Oleh:

Baso Intang Sappaile

Abstrak. Suatu Graph terdiri dari suatu himpunan tak kosong yang unsur-unsurnya masing-masing disebut titik (vertex) dan suatu himpunan pasangan titik-titik yang tidak harus berurutan disebut sisi (edge). Graph G1 isomorfik dengan graph G2 (ditulis G1  G2), jika ada pemetaan  yang satu-satu dan pada (bijektif) dari V(G1) ke V(G2) yang melestarikan sifat keterhubungan langsung, yaitu u dan v di G1 dihubungkan oleh k sisi jika dan hanya jika (u) dan (v) di G2 dihubungkan oleh sisi k. G1 dan G2 dua buah graph dikatakan sama, jika G1 isomorfik dengan G2. Suatu Jalan (u,v) pada G adalah suatu lintasan vo e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vn, dengan vo = u, vn = v, vi berupa titik, ei berupa sisi, dan ei menghubungkan vi-1 dan vi. Jika semua sisi pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut trail dan jika semua titik pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut lintasan (path). Jika suatu jalan (vo,vo) = vo e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vo, dengan semua vo, v1, v2, ..., vn-1 berbeda dan semua e1, e2, ..,en berbeda, maka jalan tersebut disebut sikel.

Kata Kunci: Graph, titik, sisi.

A. PENDAHULUAN

Teori graph merupakan salah satu pokok bahasan dalam matakuliah matematika diskrit. Matematika diskrit termasuk matakuliah yang relatif baru yang ada dalam kurikulum perguruan tinggi. Di samping itu, dalam GBPP SMU 1994, teori graph juga merupakan salah satu pokok bahasan yang diajarkan di kelas II SMA. Namun, relatif banyak guru dan dosen yang belum memahami secara mendalam tentang graph walaupun telah diadakan pelatihan kepada tenaga dosen LPTK negeri dan maupun swasta.

Problem jembatan Konigsberg merupakan salah satu contoh graph. Di kota Konigsberg terdapat tujuh jembatan yang melintasi sungai Pregel. Jembatan-jembatan tersebut menghubungkan dua pulau kecil yang ada di tengah sungai serta daerah pinggir sungai di sekitar pulau tersebut. Keberada-an jembatKeberada-an-jembatKeberada-an itu menimbulkKeberada-an suatu pertKeberada-anyaKeberada-an di Keberada-antara penduduk kota itu, yaitu mungkinkah kita melewati ketujuh jembatan tersebut secara kontinu tanpa ada satu jembatanpun yang dilewati dua kali?

Gambar 1 memperlihatkan situasi ketujuh jembatan yang ada di kota tersebut dengan A, B, C, dan D menyatakan daratan yang menghubungkan



(2)

jembatan-jembatan tersebut. Situasi tersebut, model graph ditunjukkan pada Gambar 2 berikut.

Gbr 1. Jembatan Konigsberg & Sungai Pregel Gbr 2. Graph dari gbr-1 Berkaitan dengan hal tersebut, maka dalam tulisan ini secara garis besar akan dibahas tentang graph. Berikut, akan dikemukakan definisi graph, graph sederhana, keterhubungan, graph komplit, graph bipartisi, hutan, dan graph Euler.

B. PEMBAHASAN 1. Definisi Graph

Suatu Graph terdiri dari suatu himpunan tak kosong yang unsur-unsur-nya masing-masing disebut titik atau simpul (vertex) dan suatu himpunan pasangan titik-titik yang tidak harus berurutan disebut sisi (edge).

Himpunan titik di graph G dinyatakan dengan V(G) dan himpunan sisi di G dinyatakan dengan E(G). Banyaknya titik pada graph G dilambangkan

|V(G)|, sedang banyaknya sisi pada graph G dilambangkan |E(G)|. Graph dilambangkan G = (V,E).

Jika u dan v dua titik di G dan e = uv sisi di G, maka dikatakan: e menghubungkan u dan v. u dan v terhubung langsung, u terkait (incident) dengan e, e terkait (incident) dengan u, u dan v disebut titik-titik ujung dari e

2. Graph Sederhana

Dua sisi atau lebih yang menghubungkan satu pasang titik disebut sisi-rangkap. Sisi yang titik ujungnya sama disebut loop. Graph tanpa sisi rangkap dan tanpa loop disebut graph sederhana (simple graph).

Contoh 1: G1 G2 G3    Loop c  a   b  C B  D  A 

(3)

G4

G1, G2 dan G4 adalah graph tidak sederhana G3 adalah graph sederhana.

V(G3) = {a, b, c} V(G3) = 3

E(G3) = {ab, ac, bc} E(G3) = 3

Misalkan G suatu graph dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G). Suatu graph bagian (subgraph) dari G adalah suatu graph yang setiap titiknya adalah anggota V(G) dan setiap sisinya adalah anggota E(G).

Jika H suatu graph bagian dari G dan V(H) = V(G), maka H disebut graph bagian rentangan (sapanning subgrap) dari G.

Contoh 2:

v1 v2 v2 v2

   v4 v5 v4

v6 v7 v6 v7 v6 v7 G H1 H2

v1 v2 H1 adalah graph bagian dari G

v3  v4 v5 H2 bukan graph bagian dari G v6 v7 H3 graph bagian rentang dari G H3

Misalkan G suatu graph dengan e sisi di G, G-e adalah graph bagian dari G dengan V(G-e) = V(G) dan E(G-e) = E(G) - {e}. Suatu jembatan (bridge) pada suatu graph terhubung G adalah suatu sisi e di G sehingga G-e tak terhubung.

v3 v4 v5 

 

(4)

2.1 Derajat Titik

Derajat suatu titik v di G, dinyatakan dengan d(v), adalah banyaknya sisi di G yang terkait dengan v, masing-masing loop dihitung sebagai dua sisi yang terkait dengan v. Contoh 3: s t d(t) = 2 d(w) = 1 d(s) = 2 d(u) = 2. d(v) = 3   G

2.2 Barisan Derajat (degree squence)

Barisan derajat dari suatu graph G adalah suatu barisan bilangan d1, d2, d3, ..., dn, n = V(G), sehingga titik-titik di G dapat diberi nama v1, v2, v3, ..., vn dengan d(vi) = di, i = 1, 2, 3, ...,n.

Barisan derajat graph G pada contoh-3 adalah 2, 2, 3, 1, 2.

Suatu graph yang semua titiknya berderajat sama disebut graph ber-aturan (regular graph). Suatu graph diakatakan beraturan-r jika setiap titiknya berderajat r.

Contoh 4:

G1 G2

G1 beraturan-3 G2 beraturan-0

Pada suatu graph, masing-masing sisi bertitik ujung dua, sewaktu derajat titik-titiknya dijumlahkan masing-masing sisi dihitung dua kali. Diperoleh lema sebagai berikut.

2.3 Lema jabat tangan

Jumlah semua derajat titik pada suatu graph adalah dua kali banyak sisi (d(v) = 2 E(G)).

Akibat dari lema jabat tangan adalah sebagai berikut.

(1) Jumlah semua derajat titik pada suatu graph adalah genap (2) Pada suatu graph, banyak titik berderajat ganjil adalah genap

u v w         

(5)

(3) Jika G suatu graph beraturan-r, maka E(G) = 2 nr

sisi.

2.4 Isomorfisma

Graph G1 isomorfik dengan graph G2 (ditulis G1  G2) jika ada pemeta-an  yang satu-satu dan pada (bijektif) dari V(G1) ke V(G2) yang melestarikan sifat keterhubungan langsung, yaitu u dan v di G1 dihubungkan oleh k sisi jika dan hanya jika (u) dan (v) di G2 dihubungkan oleh sisi k. Untuk graph-graph yang titik-titiknya tidak bernama, dua graph-graph dikatakan sama jika keduanya isomorfik.

Contoh 5:

G1 G2

G1 dan G2 isomorfik, karena ada suatu pemetaan v yang satu-satu dan pada,

 : V(G1) V(G2)

t  (t) = c (karena d(t) = 3 dan d(c) = 3) u  (u) = d

v  (v) = a w  (w) = b

yang melestarikan keterhubungan langsung.

H1 H2 H1 dan H2 adalah dua graph yang sama.

Jelas, jika G1  G2, maka 2V(G1) = 2V(G2) dan E(G1) = E(G2).  c  u  t  d  w a  b  v         

(6)

3. Keterhubungan (Connectivity)

Matriks Keterhubungan Langsung dan Matriks Keterkaitan. Misalkan G suatu graph tanpa loop dengan V(G) = {v1,v2,...,vn} dan

E(G) = {e1, e2,..., em}. Matriks keterhubungan langsung dari G adalah suatu matriks n x n A(G) = (aij) dengan aij menyatakan banyak sisi yang menghu-bungkan vi dan vj.

Matriks keterkaitan dari G adalah suatu matriks n x m I(G) = (aij) dengan 1, jika vi terkait dengan ej

aij =

0, jika vi tidak terkait langsung dengan ej.

Contoh 6:

G

Matriks keterhubungan langsung dari G adalah A(G):

             0 1 0 1 1 0 1 3 0 1 0 1 1 2 1 0 ) G ( A

Matriks keterkaitan dari G adalah I(G):

             0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 ) G ( I

3.1 Lintasan (path) dan Sikel (cycle)

Misalkan u dan v adalah dua titik (tidak harus berbeda) di suatu garph G. Suatu Jalan (walk) (u,v) pada G adalah suatu lintasan

vo e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vn, dengan vo = u, vn = v, vi berupa titik, ei berupa sisi, dan ei menghubungkan vi-1 dan vi.

Pada jalan tersebut bilangan n menyatakan panjang jalan. Kadang-kadang, kalau tidak timbul masalah, ditulis uv = vo v1 v2 ... vn. Lebih lanjut, (u,v) dikatakan menghubungkan u dan v, u dan v disebut titik-titik ujung.

 v2 e2 v4  v3 v1 e5 e6 e1 e4 e3

(7)

Jika u = v, maka (u,v) disebut jalan tertutup (closed walk). Jalan yang tidak memuat sisi disebut jalan trivial. Jika semua sisi pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut trail. Jika semua titik pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut lintasan (path).

Suatu sikel adalah suatu jalan (vo,vo) = vo e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vo, dengan semua vo, v1, v2, ..., vn-1 berbeda dan semua e1, e2, ..,en berbeda. Suatu sikel dikatakan genap (ganjil) jika panjangnya genap (ganjil).

Contoh 7: G1 G2 G3 G1: v1v2v3v4v5v6v1 adalah trail G2: v1v2v3v4v5v6 adalah lintasan G3: v1v2v3v3v4v5v6v1 adalah jalan 4. Graph komplit

Graph komplit adalah graph sederhana dengan setiap pasang titik yang berbeda dihubungkan oleh satu sisi. Graph komplit dengan n titik dinyatakan dengan Kn. Contoh 8:                K1 K2 K3 K4 K5

Graph yang hanya terdiri dari satu titik disebut graph trivial. Graph kosong adalah graph yang tidak mempunyai sisi.

Contoh 9:

          G1 G2 G3 G4 G1: graph trivial

G1, G2, G3, dan G4: graph kosong.

v1 v1 v1 v2 v2 v2 v3 v3 v3 v4 v4 v4 v5 v5 v5 v6 v6 v6

(8)

5. Graph Bipartisi

Graph bipartisi adalah graph yang himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua himpunan tak kosong X dan Y sehingga masing-masing sisi di G menghubungkan satu titik di X dan satu titik di Y; X dan Y disebut himpunan partisi. Contoh 10: u1 u2 u3 u4 v1 v2 v3 v4 v5 G V(G) = {u1,u2,u3,u4,v1,v2,v3,v4,v5} X = {u1,u2,u3,u4} Y = {v1,v2,v3,v4,v5} v3 H V(H) = {v1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8} X = {v1,v2,v3,v4} Y = {v5,v6,v7,v8}

Graph bipartisi komplit adalah graph bipartisi dengan himpunan partisi X dan Y serta masing-masing titik di X dihubungkan dengan masing-masing titik di Y oleh tepat satu sisi; jika X = m dan Y= n; m,n banyaknya titik graph bipartisi tersebut dinyatakan dengan Km,n. Graph K1,n disebut bintang.

Contoh 11:                    K1,3 K2,2 K3,2 K3,3 v4 v6 v8 v1 v5 v2 v7

(9)

Graph sikel adalah graph yang terdiri dari satu sikel. Graph sikel dengan n titik (panjangnya n) dinyatakan dengan Cn.

Contoh 12:



C1 C2 C3 Cn

Graph path adalah graph yang terdiri dari satu path. Graph path dengan banyaknya n dinyatakan dengan Pn.

Contoh 13:

           P1 P2 P3 Pn

6. Hutan

Hutan adalah graph yang yang tidak memuat sikel. Graph yang tidak memuat sikel dan terhubung disebut pohon.

Contoh 14:                            G1 G2 G1: hutan

G2: pohon yang tentu saja juga berupa hutan.

Misalkan G graph sederhana. Komplemen dari G dinyatakan dengan G, adalah graph sederhana dengan himpunan titik V(G) = V(G) dan dua titik terhubung langsung jika dan hanya jika keduanya tidak terhubung langsung di G. Kadang-kadang komplemen dari G dinyatakan dengan Gc .

v1 v2 v3 v4 vn  v2  v3 v1   v4 vn Vn-1    _

(10)

Contoh 15:

v1 v2 v1 v2

v4 v3 v4 v3 G G

Komplemen dari Kn adalah graph kosong dengan n titik. Oleh karenanya graph kosong dengan n titik dapat dinyatakan dengan Kn.

  

    

4

K K3 K1

Graph G dikatakan komplemen diri jika G  G.

Contoh 16:

v1 v2 v1 v2

v4 v3 v4 v3 G G

7. Graph Euler

Misalkan G suatu graph. Suatu trail Euler pada G adalah suatu trail yang memuat setiap sisi di G. G disebut graph Euler (Eulerian) jika G memuat suatu trail Euler yang tertutup. G memuat trail tidak tertutup jika dan hanya jika G memuat dua dan hanya dua titik berderajat ganjil. Dengan demikian dapat dinyatakan bahwa G disebut graph Euler, jika G terhubung, dan setiap titik di G berderajat genap.

(11)

Contoh 17:

G1 G2

G1: bukan Graph Euler G2: graph Euler

C. KESIMPULAN

1. Suatu Graph terdiri dari suatu himpunan tak kosong yang unsur-unsur-nya masing-masing disebut titik (vertex) dan suatu himpunan pasangan titik-titik yang tidak harus berurutan disebut sisi (edge).

2. Suatu graph yang semua titiknya berderajat sama disebut graph ber-aturan (regular graph). Jika G suatu graph beraturan-r, maka E(G) =

2 nr

sisi.

3. Graph G1 isomorfik dengan graph G2 (ditulis G1  G2) jika ada pemeta-an  yang satu-satu dan pada (bijektif) dari V(G1) ke V(G2) yang melestarikan sifat keterhubungan langsung, yaitu u dan v di G1 dihubungkan oleh k sisi jika dan hanya jika (u) dan (v) di G2 dihubungkan oleh sisi k. G1 dan G2 dua buah graph dikatakan sama, jika G1 isomorfik dengan G2.

4. Suatu Jalan (u,v) pada G adalah suatu lintasan vo e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vn, dengan vo = u, vn = v, vi berupa titik, ei berupa sisi, dan ei menghubungkan vi-1 dan vi. Jika semua sisi pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut trail dan jika semua titik pada suatu jalan berbeda, maka jalan tersebut disebut lintasan (path). Jika suatu jalan (vo,vo) = vo e1 v1 e2 v2 ... vn-1 en vo, dengan semua vo, v1, v2, ..., vn-1 berbeda dan semua e1, e2, ..,en berbeda, maka jalan tersebut disebut sikel.

5. Graph bipartisi adalah graph yang himpunan titiknya dapat dipisahkan menjadi dua himpunan tak kosong X dan Y sehingga masing-masing sisi di G menghubungkan satu titik di X dan satu titik di Y; X dan Y disebut himpunan partisi.

                

(12)

DAFTAR PUSTAKA

Michael Townsend, 1987. Discrete Mathematics: Applied Combinatorics and

Graph Theory, Columbia.