Matematika peminatan rayyan (1)

(1)

A. Definisi Logaritma

Logaritma adalah operasi matematika yang merupakan invers (kebalikan) dari eksponen atau pemangkatan.

Atau dengan pengertian lain, bentuk eksponen bila dinyatakan dengan notasi logaritma adalah .

dengan :

a = basis atau bilangan pokok b = hasil atau range logaritma

c = numerus atau domain logaritma.

Sebagai catatan, bahwa penulisan sama artinya dengan .

B. Sifat – sifat Logaritma

(2)

CONTOH SOAL

1. Tentukanlah nilai logaritma ! Penyelesaian:

= x

jadi, = 6

2. Nyataan bentuk eksponen berikut ini ke notasi logaritma, 34 _{= 81 !}

Penyelesaian:

34 _{= 81 <--->}3_{log 81 = 4}

3. Nyatakan bentuk logaritma berikut ini ke bentuk berpangkatan, 7_log

49 = 2 !

Penyelesaian;

7_{log 49 = 2 <---> 7}2 _{= 49.}

C. OPERASI AL ALJABAR PADA BENTUK LOGARITMA

Berikut ini merupakan sifat-sifat logaritma yang dipakai dalam operasi aljabar bentuk logaritma & juga untuk menyederhanakannya.

a. n_{log ab =}n_{log a +}n_{log b}

b. n_{log =}n_{log a -}n_{log b}

c. n_{log a}p_{= p}n_{log a}

d. n_{log a =} e. nn_{log a = a}

(3)

Contoh Soal.

1. Sederhanakanlah, 3 log 4 + log 18 - log 72 ! Penyelesaian:

3 log 4 + log 18 - log 72 = log 43 _{+ log 18 - log 72} = log 64 + log 18 - log 72

= log = log 16 = log 24 = 4 log 2

2. Hitunglah nilai logaritma berikut,3_{log 36 .}6_{log 81 !} Penyelesaian:

3_{log 36 .}6_{log 81}

=

= 6_{log 36 .}3_{log 81} =6_{log 6}2 _.3_{log 3}4 = 2 . 4 = 8

D. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN LOGARITMA

Persamaan Logaritma

(4)

a_{log b = log b/log a} a_{log a = 1}

a_{log b +}b_{log c =}a_{log bc} a_{log b -}b_{log c =}a_{log b/c} a_{log b .}b_{log c =}a_{log c} a_{log b}n_{= n}a_{log b}

Beberapa bentuk persamaan logaritma dan penyelesaiannya sebagai berikut.

1. Bentuk a_{log f(x) =}a_{log g(x)}

a_{log f(x) =}a_{log g(x), dengan syarat a > 0,}

Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0 dan g(x) > 0

g(x) boleh berupa konstanta

2. Bentuk a_{log f(x) =}b_{log f(x)}

a_{log f(x) =}b_{log f(x), dengan syarat a, b > 0,} Maka penyelesaiannya adalah f(x)= 1

3. Bentuk h(x)_{log f(x) =}h(x)_{log g(x)}

h(x)_{log f(x) =}h(X)_{log g(x), dengan syarat h(x) > 0,}

Maka penyelesaiannya adalah f(x) = g(x), f(x) > 0, g(x) > 0, h(x) tidak sama dengan 1.

Lebih jelasnya perhatikan beberapa contoh berikut.

Tentukan penyelesaian dari persamaan logaritma berikut : 1. 5_{log 2x =}5_{log 20}

2. 3_{log (3x + 1) =}3_{log 25} 3. x_{log (2x + 3) =}x_{log (x + 9)} 4. 4_{log (5x + 4) = 3}

(5)

Jawaban:

1. 5_{log 2x =}5_{log 20} 2x = 20 x = 10

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 10. 2. 3_{log (3x + 1) =}3_{log 25}

3x + 1 = 25 3x = 24 x = 8

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 8.

3. x_{log (2x + 3) =}x_{log (x + 9), syaratnya x>0.} 2x + 3 = x + 9

2x – x = 9 – 3 x = 6

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 6. 4. 4_{log (5x + 4) = 3}

Jadi, penyelesaiannya adalah x = 12. 5. 2_{log (2x}2_{+ 15) =}2_{log (x}2_{+ 8x)}

Dalam menyelesaikan pertidaksamaan logaritma, langkah-langkah

(6)

Tentukan penyelesaian dari pertidaksamaan logaritma berikut

Syarat nilai bilangan pada logaritma 3x + 5 > 0 atau x > -5/3 ... (1) 3x + 5 < 35

3x < 30

x < 10 ....(2)

Jadi dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian -5/3 < x < 10. 2. 3_{log (2x + 3) >}3_{log 15}

Syarat nilai bilangan pada logaritma 2x + 3 > 0 atau x > -3/2 ... (1) Perbandingan nilai pada logaritma

2x + 3 > 15 2x > 12 x > 6 ....(2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian x > 6. 3. 2_{log (6x + 2) <}2_{log (x + 27)}

Jadi, dari (1), (2),dan (3) diperoleh penyelesaian -1/3 < x < 5

4. 2_{log (5x – 16) < 6}

(7)

2_{log (5x – 16) <}2_{log 26} 2_{log (5x – 16) <}2_{log 64} 5x – 16 < 64 5x < 80

x < 16 . . . . (2)

Jadi, dari (1) dan (2) diperoleh penyelesaian 16/5 < x < 16. 5. 4_{log (2x}2_{+ 24) >}4_{log (x}2_{+ 10x)}

Jadi, dari (1), (2), dan (3) diperoleh penyelesaian x < -10 atau x > 6. 6. x+1_{log (2x – 3) <}x+1_{log (x + 5)}

Syarat nilai pada bilangan x+1>0

Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<x+1<1 dan x+1>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dam (4), tidak ada irisan penyelesaian. Untuk x+1>1 atau x > 0 . . . (1)

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 3/2 <x < 8.

(8)

7. 2x-5_{log (x}2_{+ 5x) >}2x-5_{log (4x + 12)} Syarat nilai pada bilangan 2x-5 > 0

Batas ini dibagi menjadi 2,yaitu 0<2x-5<1 dan 2x-5>1, sehingga diperoleh batas-batas berikut.

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu 5/2 < x < 3.

Dari pertidaksamaan (1), (2), (3) dan (4), ada irisan penyelesaian yaitu x > 3.

Jika, kedua penyelesaian digabungkan maka diperoleh penyelesaian x > 5/2 dan x =/ 3.

(9)

Setiap fungsi eksponensial f(x) = ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan

fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan

menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1).

Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers

tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan

dengan loga.

Fungsi invers f–1 didefinisikan sebagai

Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut ini.

Definisi Fungsi Logaritma

Misalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma

dengan basis a, yang dinotasikan dengan loga, didefinisikan dengan

(10)

Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk

logaritma logax = ymenjadi bentuk eksponensial ay = x, atau sebaliknya,

perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.

Contoh 1: Bentuk Logaritma dan Eksponensial

(11)

Grafik Fungsi Logaritma

Perhatikan bahwa jika fungsi satu-satu f memiliki domain A dan range B,

maka fungsi inversnya, f–1 memiliki domain B dan range A. Karena fungsi

eksponensial f(x) = axdengan a ≠ 1 memiliki domain himpunan semua

bilangan real dan range (0, ∞), maka kita dapat menyimpulkan bahwa

fungsi inversnya, f–1(x) = log

a x, memiliki domain (0, ∞) dan range

himpunan semua bilangan real.

Grafik f–1(x) = log

ax diperoleh dengan mencerminkan grafik f(x)

= ax terhadap garis y = x. Gambar 2 menunjukkan grafik ini untuk

kasus a > 1. Fakta bahwa y = ax (untuk a > 1) merupakan fungsi yang

naik secara cepat untuk x > 0, maka menyebabkan y = loga xmerupakan

fungsi yang naik secara lambat untuk x > 1.

Karena loga 1 = 0, maka titik potong fungsi y = loga x terhadap

sumbu-x adalah titik (1, 0). Sumbu-y merupakan garis asimtot dari y =

logax karena logax mendekati –∞ ketika xmendekati 0+.

Contoh 5: Menggambar Grafik Fungsi Logaritma

Sketsalah grafik f(x) = log2x.

Pembahasan Untuk membuat tabel nilai-nilai fungsi, kita pilih

nilai x yang merupakan pangkat dari 2 sehingga kita mudah dalam

(12)

Gambar 4 menunjukkan grafik fungsi yang masuk dalam keluarga fungsi logaritma, yaitu dengan basis 2, 3, 5, dan 10. Grafik-grafik ini digambar

dengan mencerminkan grafik-grafik y = 2x, y = 3x, y = 5x, dan y =

10x terhadap garis y = x. Kita juga dapat melakukan plot titik-titik untuk

(13)