BAB I BAB I
PENDAHULUAN PENDAHULUAN
1.
1. Latar BelakangLatar Belakang
Dalam memepelajari bidang matematika memang dibutuhkan Dalam memepelajari bidang matematika memang dibutuhkan kemampuan memahami dan menganalisis sebuah masalah dalam soal. kemampuan memahami dan menganalisis sebuah masalah dalam soal. Keterkaitan antara materi satu dengan yang lain identik dengan karakteristik Keterkaitan antara materi satu dengan yang lain identik dengan karakteristik matematika. Tidak bisa berdiri sendiri dalam sebuah materi, tapi memerlukan matematika. Tidak bisa berdiri sendiri dalam sebuah materi, tapi memerlukan pengetahuan
pengetahuan materi materi sebelumnya sebelumnya yang yang sudah sudah dipelajari. dipelajari. Kreativitas Kreativitas guru guru jugajuga akan mempengaruhi dalam menyampaikan atau menjelaskan materi maupun akan mempengaruhi dalam menyampaikan atau menjelaskan materi maupun dalam mengembangan sebuah teorema. Apabila guru mampu mengembangkan dalam mengembangan sebuah teorema. Apabila guru mampu mengembangkan dan menjelaskan dengan benar maka siswa akan termotivasi dan mudah untuk dan menjelaskan dengan benar maka siswa akan termotivasi dan mudah untuk mengajak siswa untuk berfikir kritis dalam menganalisis.
mengajak siswa untuk berfikir kritis dalam menganalisis.
Salah satunya teorema vieta (sifat simetri akar) untuk dipelajari dalam Salah satunya teorema vieta (sifat simetri akar) untuk dipelajari dalam matematika di bab polinomial (suku banyak), teorema ini sering sekali dilewati matematika di bab polinomial (suku banyak), teorema ini sering sekali dilewati atau tidak dibaha
atau tidak dibahas s dalam mempelajari materi polinomial. dalam mempelajari materi polinomial. Mungkin sebab Mungkin sebab tidaktidak diajarkannya materi ini ke siswa karena teorema vieta biasanya hanya diajarkan diajarkannya materi ini ke siswa karena teorema vieta biasanya hanya diajarkan ke siswa yang akan mengikuti olimpiade matematika. Untuk itu penulis akan ke siswa yang akan mengikuti olimpiade matematika. Untuk itu penulis akan membahas tentang teorema vieta baik itu pembuktian rumus dan aplikasi untuk membahas tentang teorema vieta baik itu pembuktian rumus dan aplikasi untuk mecari akar
mecari akar --akar persamaan polinomial, khususnya polinomial mulai pangkatakar persamaan polinomial, khususnya polinomial mulai pangkat tiga dan seterusnya dalam seminar matematika.
tiga dan seterusnya dalam seminar matematika.
Teorema vieta biasanya digunakan pada persamaan polinomial pangkat Teorema vieta biasanya digunakan pada persamaan polinomial pangkat tiga dan seterusnya, sebab untuk pangkat dua dalam mencari akarnya bisa tiga dan seterusnya, sebab untuk pangkat dua dalam mencari akarnya bisa dengan cara faktor. Dengan menggunakan teorema vieta untuk mencari akar dengan cara faktor. Dengan menggunakan teorema vieta untuk mencari akar --akar persamaan polinomial tentu akan lebih mudah. Dari uraian di atas tersebut akar persamaan polinomial tentu akan lebih mudah. Dari uraian di atas tersebut maka penulis menyusun makalah yang berjudul
maka penulis menyusun makalah yang berjudul “Aplikasi Teorema Vieta untuk“Aplikasi Teorema Vieta untuk mencari akar
mencari akar
-
-
akar persamaan polinomial”.akar persamaan polinomial”.2.
2. Rumusan MasalahRumusan Masalah
Berdasarkan dari latar belakang di atas maka dirumuskan suatu masalah Berdasarkan dari latar belakang di atas maka dirumuskan suatu masalah sebagai berikut:
sebagai berikut: 1)
1) Bagaimana Bagaimana bentuk ubentuk umum teorema mum teorema vieta ?vieta ? 2)
3)
3) Bagaimanakah cara mengaplikasikan teorema vieta dalam menyelesaikanBagaimanakah cara mengaplikasikan teorema vieta dalam menyelesaikan soal ?
soal ?
3.
3. TujuanTujuan
Tujuan dari penulisan makalah seminar matematika ini ialah: Tujuan dari penulisan makalah seminar matematika ini ialah: 1)
1) Menjelaskan bentuk umum dari teorema vieta.Menjelaskan bentuk umum dari teorema vieta. 2)
2) Menunjukan pembuktian teorema vieta.Menunjukan pembuktian teorema vieta. 3)
3) Menjelaskan langkahMenjelaskan langkah--langkah menyelesaikan soal dengan menggunakanlangkah menyelesaikan soal dengan menggunakan teorema vieta.
teorema vieta.
4.
4. ManfaatManfaat
Manfaat dari pembuatan makalah seminar matematika mengenai aplikasi Manfaat dari pembuatan makalah seminar matematika mengenai aplikasi teorema vieta untuk mencari akar
teorema vieta untuk mencari akar --akar persamaan polinomial ialah membantuakar persamaan polinomial ialah membantu pembaca
pembaca dalam dalam mendalami mendalami teorema teorema vieta vieta tentang tentang bentuk bentuk umum,umum, pembuktiannya, dan
pembuktiannya, dan penggunaan tpenggunaan teorema eorema vieta vieta untuk untuk menyelesaikan menyelesaikan soal soal yangyang berkaitan dengan persamaan suku banyak d
BAB II BAB II PEMBAHASAN PEMBAHASAN
1.
1. Landasan teoriLandasan teori a.
a. Hubungan AkarHubungan Akar--Akar Akar Suku Suku Banyak dengan Banyak dengan KoefisienKoefisien--Koefisien SukuKoefisien Suku
Hubungan akar
Hubungan akar --akar akar suku suku banyak banyak dengan dengan koefisienkoefisien--koefisien sukukoefisien suku--sukunya adalah bentuk simetri akar
sukunya adalah bentuk simetri akar --akar suku banyak seperti yang telahakar suku banyak seperti yang telah dipelajari pada persamaan kuadrat
dipelajari pada persamaan kuadrat
+ +
+ + =
= 00
. Jika akar --akarnya. Jika akar akarnya
dandan
maka maka
+ +
+ +
= = 00
i)i) Jumlah akar --akarnya:Jumlah akar akarnya:
+
+
= =
ii)ii) Hasil kali akar --akarnya:Hasil kali akar akarnya:
= =
Dari hal tersebut bagaimanakah jika persamaan suku banyak Dari hal tersebut bagaimanakah jika persamaan suku banyak berderajat tiga, empat
berderajat tiga, empat dan seterusnya. Misalnya adan seterusnya. Misalnya ada persamaan suku banyakda persamaan suku banyak
+ +99
+ 26 + 24 = 0
+ 26 + 24 = 0
, akar , akar --akarnyaakarnya
= = 22
,,
= = 33
, dan, dan
= = 44
.. Untuk mencari jumlah dan hasil kali akarUntuk mencari jumlah dan hasil kali akar --akarnya tentu kita bisa karenaakarnya tentu kita bisa karena sudah tau akar
sudah tau akar --akarnya. Namun apabila ada soal persamaan suku banyakakarnya. Namun apabila ada soal persamaan suku banyak dan belum diketahui akar
dan belum diketahui akar --akarnya, dan kita ingin mencari jumlah dan hasilakarnya, dan kita ingin mencari jumlah dan hasil kali akar
kali akar --akarnya maka langkah pertama kita harus mencari akar akarnya maka langkah pertama kita harus mencari akar --akarnyaakarnya terlebih dahulu.
terlebih dahulu.
Dari permasalahan tersebut, muncullah teorema vieta dimana kita bisa Dari permasalahan tersebut, muncullah teorema vieta dimana kita bisa menentukan jumlah dan hasil kali akar
menentukan jumlah dan hasil kali akar --akarnya tanpa harus mencari terlebihakarnya tanpa harus mencari terlebih dahulu nilai dari akar
dahulu nilai dari akar --akarnya itu.akarnya itu.
b.
b. Teorema VietaTeorema Vieta
Jika
Jika
**
,,
,,
,…,
,…,
−
−
,,
adalah akar adalah akar --akar dari persamaan polinomialakar dari persamaan polinomial = =
+
+
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+ + ...++
+
+
maka maka berlaku : berlaku :
+
+
+
+
+ + ...+
.+
−
−
+
+
= =
−
−
+
+
+ + ...++
+
+
+ + ...++
−
−
= = ++
−
−
+
+
+ + ...++
+
+
+ + ...+
.+
−
−
−
−
= =
−
−
…
…
.….
.….
−
−
= = 11
..
c.
c. Manfaat ruManfaat rumus Tmus Teorema Vietaeorema Vieta
T
Teorema vieta digunakan padeorema vieta digunakan pada persamaan a persamaan suku banyak dan suku banyak dan manfaat darimanfaat dari teorema ini adalah sebagai berikut:
teorema ini adalah sebagai berikut: 1)
1) Mencari jumlah dan hasil kali akar Mencari jumlah dan hasil kali akar --akar persamaan atau akar akar persamaan atau akar --akarnya.
akarnya. 2)
2) Menentukan konstanta atau koefisien suatu persamaan.Menentukan konstanta atau koefisien suatu persamaan. 3)
3) Membentuk suatu Membentuk suatu persamaan suku persamaan suku banyak banyak dari akar dari akar --akarnya.akarnya.
2.
2. Analisis Pemecahan MasalahAnalisis Pemecahan Masalah a.
a. Bentuk Bentuk umum Tumum Teorema Vietaeorema Vieta
Jika
Jika
**
,,
,,
,…,
,…,
−
−
,,
adalah akar adalah akar --akar dari persamaan sukuakar dari persamaan suku banyak (polinomial)banyak (polinomial)
= =
+
+
−
−
−
−
+
+
−
−
−
−
+ +
−
−
−
−
+ ...+
+ ...+
+
+
maka berlaku : maka berlaku :
+
+
+
+
+ + ...+
.+
−
−
+
+
= =
−
−
+
+
+ + ...++
+
+
+ + ...++
−
−
= = ++
−
−
+
+
+ + ...++
+
+
+ + ...+
.+
−
−
−
−
= =
−
−
…
…
.….
.….
−
−
= = 11
..
Apabila persamaan suku banyak derajatApabila persamaan suku banyak derajat nn di atas dengandi atas dengan
= = 11
dan dan akarakar --akarnyaakarnya
,,
,,
,…,
,…,
−
−
,,
maka berlaku hubungan sebagai berikut: maka berlaku hubungan sebagai berikut: 1)1) Jumlah akar Jumlah akar --akarnya =akarnya =
−
−
2)2) Jumlah hasil kali setiap dua akar =Jumlah hasil kali setiap dua akar =
−
−
3)3) Jumlah hasil kali setiap tiga akar =Jumlah hasil kali setiap tiga akar =
−
−
4)5)
5) Hasil kali semua akar Hasil kali semua akar --akarnya =akarnya =
11
..
Jadi bisa disimpulkan untuk mempermudah menentukan jumlah dan Jadi bisa disimpulkan untuk mempermudah menentukan jumlah dan hasilhasil kali akar
kali akar --akarnya persamaan suku banyak sebagai berikut:akarnya persamaan suku banyak sebagai berikut: a.
a. Suku banyak berderajat dua:Suku banyak berderajat dua:
+ +
+ + =
= 00
1) 1)
+
+
= =
2) 2)
= =
b.b. Suku banyak berderajat tiga:Suku banyak berderajat tiga:
+
+
+ + = 0
+ + = 0
1) 1)
+
+
+
+
= =
2) 2)
+
+
+
+
= =
3) 3)
= =
c.c. Suku banyak berderajat empat:Suku banyak berderajat empat:
+
+
+
+
+ + = 0
+ + = 0
1) 1)
+
+
+
+
+
+
= =
2) 2)
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
= =
3) 3)
+ +
+
+
+
+
= =
4) 4)
= =
b.b. Pembuktian Rumus Teorema VietaPembuktian Rumus Teorema Vieta
Bukti teorema vieta: Bukti teorema vieta: Misalkan
Misalkan
, ,
, ,
adalah akar --akar dari persamaan kubik adalah akar akar dari persamaan kubik
+
+
+ +
+ = 0
+ = 0
maka maka
+
+
+ + =
+ + =
=
=
+ +
+ +
+
+
--=
=
+
+
+
+
+ +
+
+
+
+
--= --=
+
+
+
+
+
+
+
+
+
+
Maka: Maka: (i) (i)
+
+
+
+
= =
↔ ↔
+
+
+
+
= =
(ii) (ii)
+
+
+
+
= ↔
= ↔
+
+
+
+
= =
(iii) (iii)
= ↔
= ↔
= =
Untuk cara pembuktian persamaan suku banyak derajat empat dan Untuk cara pembuktian persamaan suku banyak derajat empat dan seterusnya sama dengan cara seperti di atas.
seterusnya sama dengan cara seperti di atas.
c.
c. Aplikasi Teorema Vieta pada SoalAplikasi Teorema Vieta pada Soal
T
Teorema vieta biasanya deorema vieta biasanya digunakan untuk mencari akar igunakan untuk mencari akar --akar atau jumlahakar atau jumlah dan hasil kali akar
dan hasil kali akar --akarnya dan konstanta dari persamaan suku banyakakarnya dan konstanta dari persamaan suku banyak (polinomial) mulai berderajat dua dan seterusnya.
(polinomial) mulai berderajat dua dan seterusnya. Berikut adalah soal dan pembahasan :
Berikut adalah soal dan pembahasan :
Soal 1: Soal 1:
Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat
+ 5 7 = 0
+ 5 7 = 0
memiliki akar memiliki akar --akarakar
dan dan
.. TTentukanlah nilai entukanlah nilai daridari
+
+
.. Penyelesaian: Penyelesaian: = = 22, ,
= =
= = 11, ,
−
−
= =
= = 55, ,
= = 77
i) i)
+
+
= =
= =
= = 55
ii) ii)
= =
= =
−−
= = 77
Sehingga diperoleh Sehingga diperoleh
+
+
= =
+
+
3
3
3
3
==
+
+
3
3
+
+
== 55
3
37755
= 125 105
= 125 105
= 230
= 230
Soal 2: Soal 2: DiketahuiDiketahui
,,
dan dan
adalah akar adalah akar --akar persamaanakar persamaan22
18 +
18 +
36 = 0
36 = 0
. Tentukan:. Tentukan: a. a.
+
+
+
+
b. b.
+
+
+
+
c. c.
d.e.
e. Nilai masing Nilai masing--masingmasing
,,
dan dan
untuk untuk bb tersebut. tersebut. Penyelesaian: Penyelesaian: a. a.22
18 + 36 = 0
18 + 36 = 0
= = 22 =
= = 18
= 18 = 36
= 36
+
+
+
+
= =
= =
………1
………1
b. b.
+
+
+
+
= =
= =
−
−
= 9 ………2
= 9 ………2
c. c.
= =
= =
−
−
= 18………3
= 18………3
d. d. Dari (1):Dari (1):
+
+
+
+
= = 22
+
+
+ +
= = 22
= = 22
Dari (2): Dari (2):
+ +
+
+
= = 99
+
+
= = 99
= = 99
= = 99
= 9 →
= 9 →
= = 33
atau atau
= = 33
Dari (3): Dari (3):
= 18
= 18
UntukUntuk
= = 3,3,
maka maka
= 3 →
= 3 →
= 18
= 18
3.3.33..
= 18
= 18
9
9
= 18
= 18
= = 22
+
+
+
+
= = 22
3 +
3 +33 + 2
+ 2 == 22
2 2 == 22
= 4
= 4
Untuk
Untuk
= 3,
= 3,
maka maka
= 3 →
= 3 →
= 18
= 18
33.3.
.3.
= 18
= 18
9
9
= 18
= 18
= = 2,2,
Maka: Maka:
+
+
+
+
= = 22
33+ + 33+ + 2 =
2 = 22
2 2 == 22
= 4
= 4
e.e. JadiJadi
= = 33
,,
= = 33
, dan, dan
= = 22
untuk untuk = = 44
, atau, atau
= = 33
,,
= = 33
, dan, dan
= = 22
untuk untuk = = 44
Soal 3:Soal 3:
Diketahui persamaan suku banyak
Diketahui persamaan suku banyak
9 + = 0
9 + = 0
. T. Tentukan m jika entukan m jika dua akar dua akar --akarnya kakarnya kembarembar.. Penyelesaian: Penyelesaian:
Misalkan
Misalkan
9 + = 0
9 + = 0
, mempunyai akar , mempunyai akar --akarakar
,,
, dan, dan
↔ ↔
+ 0
+ 0
9 + = 0
9 + = 0
= 1,
= 1,
= 0,
= 0,
= 9,
= 9,
dandan = =
KarenaKarena
= =
, maka:, maka:
+
+
+
+
= =
↔ ↔ 22
+
+
= = 00
... (1) ... (1)
+
+
+
+
= =
↔ ↔
+ 2
+ 2
= = 99
...(2) ...(2)Dari (1) dan (2): Dari (1) dan (2):
22
+
+
= 0 ↔
= 0 ↔
= 2
= 2
disubstitusikan ke pers (2): disubstitusikan ke pers (2):
+ 2
+ 2
= 9 ↔
= 9 ↔
+ 2
+ 2
2
2
= 9
= 9
4
4
= = 99
3
3
= = 99
= = 33
= = ±±√ √ 33
UntukUntuk
= = ±±√ √ 33
, maka:, maka:22
+ +
= 0 ↔
= 0 ↔
= 2
= 2
= = ±2±2√ √ 33
Dari (3): Dari (3):
=
= ↔ =
↔ = (±
(±√ √ 3)3)
.±2√ √ 33
.±2
= ±6
= ±6√ √ 33
Jadi nilai Jadi nilai = ±6
= ±6√ √ 33
.. Soal 4: Soal 4: Diketahui Diketahui{{
+
+
+
+
+
+
+
+
= = 33
= 10
= 10
= 24
= 24
TTentukanlah persamaan suku banyak dari jentukanlah persamaan suku banyak dari jumlah dan hasil kali umlah dan hasil kali akar akar --akarakar tersebut !
tersebut ! Penyelesaian: Penyelesaian:
Jika akar
Jika akar --akar dari persamaan suku banyakakar dari persamaan suku banyak
,,
dan dan
maka maka
+ +
+ +
1) 1)
+
+
+
+
= =
3 =
3 =
↔↔
= = 33
2) 2)
+
+
+
+
= =
10 =
10 =
3) 3)
= =
24 =
24 =
↔↔
= = 2424
Jadi persamaan suku banyak:Jadi persamaan suku banyak:
+ +
+ +
+ +
= = 00
BAB III BAB III PENUTUP PENUTUP 1. 1. SimpulanSimpulan
Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan teorema vieta dapat digunakan Dari penjelasan di atas dapat disimpulkan teorema vieta dapat digunakan untuk mencari jumlah dan hasil kali akar
untuk mencari jumlah dan hasil kali akar --akar persamaan atau akar akar persamaan atau akar --akarnya,akarnya, menentukan koefisien atau konstanta suatu persamaan, membentuk suatu menentukan koefisien atau konstanta suatu persamaan, membentuk suatu persamaan
persamaan suku suku banyak banyak dari dari akar akar --akarnya. Namun dari teorema ini adaakarnya. Namun dari teorema ini ada kekurangannya, yaitu kita tidak bisa mencari akar
kekurangannya, yaitu kita tidak bisa mencari akar --akarnya apabila dalam soalakarnya apabila dalam soal tersebut tidak diketahui salah satu akarn
tersebut tidak diketahui salah satu akarnya atau pentunjuk tertentu.ya atau pentunjuk tertentu.
2.
2. SaranSaran
Bagi pembaca makalah ini penulis berharap untuk cermat dalam Bagi pembaca makalah ini penulis berharap untuk cermat dalam memahami materi maupun soal
memahami materi maupun soal--soalnya. Disamping itu diperlukan buku refensisoalnya. Disamping itu diperlukan buku refensi lain atau internet
lain atau internet untuk membanuntuk membantu tu pembaca dalam memahami pembaca dalam memahami atau mendalamiatau mendalami teorema vieta, maupun variasi soal
DAFTAR PUSTAKA DAFTAR PUSTAKA Noormandiri, B.K. 2006
Noormandiri, B.K. 2006.. Matematika untuk SMA Matematika untuk SMA Kelas XI ProgKelas XI Program Ilmu Alamram Ilmu Alam.. Jakarta: Erlangga.
Jakarta: Erlangga.
Nugroho Soedyarto d
Nugroho Soedyarto dan Maryanto. 2008.an Maryanto. 2008. Matematika untuk SMA d Matematika untuk SMA dan MA Kelasan MA Kelas XI Program
XI Program IPIPAA. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.. Jakarta: Pusat perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.
Wirodikromo, S. 2006.
Wirodikromo, S. 2006. Matematika untuk SMA Matematika untuk SMA Kelas X Kelas X . Jakarta: Erlangga.. Jakarta: Erlangga.
Widodo, T
Widodo, T., ., 20112011. . Polinomial. Polinomial. http://wing87.files.wordpress.com/201http://wing87.files.wordpress.com/2011/01/1/01/ polinomial.pdf. Diakses pada tanggal 6
polinomial.pdf. Diakses pada tanggal 6 April 2013.April 2013.
Sulaeman, 2012, teorema vieta. http://mate
Sulaeman, 2012, teorema vieta. http://matematikasiswa.blogspot.com /2012/10/matikasiswa.blogspot.com /2012/10/ teorema
teorema--vieta.html. Diakses pada tanggal vieta.html. Diakses pada tanggal 6 April 2013.6 April 2013.
http://books.google.co.id/books
