ANALISA KESTABILAN MODEL SIRS0I0V0 PADA PENYEBARAN VIRUS FLU BURUNG (AVIAN INFLUENZA) DARI UNGGAS KE
MANUSIA DENGAN PENGARUH VAKSINASI PADA UNGGAS
SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta
untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh
Moza Gandhi Prakoso NIM. 13305141023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA
v
MOTTO
“Barangsiapa menempuh jalan untuk menuntut ilmu, niscaya Allah memudahkan baginya jalan menuju surga”. (HR. Muslim).
“Sampaikanlah dariku meski hanya satu ayat, dan boleh saja kalian menceritakan dari kaum Bani Israil. Dan barangsiapa mendustakan aku dengan
sengaja, sebaiknya ia siapkan tempat duduknya di neraka”. (HR. Bukhari).
“Kalau kalian benar-benar bertawakal kepada Allah niscaya Dia akan memberi kalian rezeki sebagaimana Ia memberi rezeki kepada seekor burung yang ketika pergi pada pagi hari dengan perut kosong dan pulang pada sore hari dengan
perut kenyang”.(HR. Tirmidzi).
“Wahai orang-orang beriman, jika kamu menolong (Agama) Allah, niscaya Dia akan menolongmu dan meneguhkan kedudukanmu”. (QS. Muhammad:07).
“Hendaklah kamu berpegang kepada kebenaran, karena sesungguhnya kebenaran itu memimpin kepada kebaktian, dan kebaktian itu membawa ke surga
(kebahagiaan); dan hendaklah tetap seseorang itu bersifat benar dan memilih kebenaran hingga dia tertulis di sisi Allah sebagai orang yang sangat benar; dan
hendaklah kamu jauhi kedustaan, karena sesungguhnya kedustaan itu memimpin pada kedurhakaan, dan kedurhakaan membawa ke neraka (kehancuran); dan janganlah seseorang tetap berdusta dan memilih kedustaan hingga tertulis di sisi
vi
HALAMAN PERSEMBAHAN
...Alhamdulillahirabbil’alamin Tulisan skripsi ini saya persembahkan untuk Kedua orang tua saya, Bapak Hasto Nuryatno dan Ibu Mulyani, Yang senantiasa memotivasi dan memberikan ridlo nya serta kasih sayang yang tak terkira dan naungan doa yang mengalir kepada anaknya, Untuk adikku tercinta, Sukma Ayu Firanty Khasanah yang selalu manja, “nyebelin”, dan “ngangenin”, yang selalu setia berusaha menggapai mimpi bersama untuk bahagiakan kedua orang tua, Teruntuk sahabat ku yang istimewa, Susi Septiana yang selalu memotivasi dan memberikan dukungan hingga terselesaikannya skripsi ini, Keluarga ku di MATEMATIKA B 2013 yang selalu memberikan semangatnya dan pembelajarannya dari semester 1 sampai semester 8, Keluarga KESRAVO HIMATIKA 2014 yang baik hati, selalu memberikan dukungan kepada saya dalam hal apapun, Serta kepada teladan saya di kampus biru, Ibu Dwi Lestari, Ibu Husna ‘Arifah, Bapak Agus Maman Abadi, dan seluruh civitas akademika FMIPA UNY yang telah membimbing untuk menjadi orang yang lebih baik.
vii
ANALISA KESTABILAN MODEL SIRS0I0V0 PADA PENYEBARAN VIRUS FLU BURUNG (AVIAN INFLUENZA) DARI UNGGAS KE
MANUSIA DENGAN PENGARUH VAKSINASI PADA UNGGAS
Oleh
Moza Gandhi Prakoso NIM. 13305141023
ABSTRAK
Flu burung (Avian Influenza) merupakan penyakit yang disebabkan oleh virus influenza tipe A. Proses penularan virus flu burung dapat terjadi melalui kontak langsung maupun kontak tidak langsung antara unggas dengan manusia. Penelitian ini bertujuan (1) untuk membentuk model SIRS0I0V0(Susceptible pada manusia – Infected pada manusia – Recovered pada manusia – Susceptible pada unggas – Infected pada unggas – Vaccination pada unggas), (2) menganalisa kestabilan titik ekuilibrium, dan (3) menjelaskan simulasi model penyebaran virus flu burung (Avian Influenza) dari unggas ke manusia dengan pengaruh vaksinasi pada unggas.
Tahapan untuk menganalisis model SIRS0I0V0 pada penyebaran virus flu
burung (Avian Influenza) adalah membentuk model SIRS0I0V0,
mentransformasikan model, menentukan titik ekuilibrium, menentukan bilangan reproduksi dasar, menganalisis kestabilan tititk ekuilibrium dan melakukan simulasi dengan menggunakan software Maple 17.
Hasil yang diperoleh yaitu dapat dibentuk model SIRS0I0V0 dengan 6 kelas populasi yaitu kelas Susceptible pada manusia, kelas Infected pada manusia, kelas Recovered pada manusia, kelas Susceptiblen pada unggas, kelas Infected pada unggas, dan kelas Vaccination pada unggas. Model yang diperoleh berupa sistem persamaan differensial non linear. Model penyebaran virus flu burung disederhanakan menjadi siri0v0dengan pemberian vaksin hanya untuk unggas. Kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit akan stabil asimtotik lokal saat bilangan reproduksi kurang dari satu dan tidak stabil saat bilangan reproduksi lebih dari satu. Selain itu untuk kestabilan titik ekuilibrium endemik stabil asimtotik lokal saat bilangan reproduksi lebih dari satu. Laju kontak antara unggas sehat dan unggas sakit sangat berpengaruh dalam menentukan kestabilan titik ekuilibrium bebas penyakit maupun endemik, semakin tinggi laju kontak maka penyakit akan menyebar. Berdasarkan simulasi model, semakin tinggi tingkat pemberian vaksinasi maka kelas Infected pada manusia dan kelas Infected pada unggas akan menurun menuju nol. Jadi program vaksinasi dapat digunakan untuk mengendalikan penyebaran virus flu burung.
viii
STABILITY ANALYSIS OF SIRS0I0V0 MODEL ON DISTRIBUTION OF BIRD FLU VIRUS FROM POLICY TO HUMAN WITH EFFECT OF
VACCINATION IN PASS By
Moza Gandhi Prakoso NIM. 13305141023
ABSTRACT
Avian influenza is a disease caused by influenza type A virus. The process
of avian influenza virus transmission occur through direct or indirect contact between birds with humans. The purpose of this study are (1) to establish a model of SIRS0I0V0(Susceptible in humans - Infected in humans - Recovered in humans -
Susceptible in poultry - Infected in poultry - Vaccination in poultry), (2) analyzes
stability of equilibrium point, (3) and explains the simulation model of avian influenza from birds to humans with the effect of vaccination on poultry.
The stages for analyzing the SIRS0I0V0 model on avian influenza virus are forming the SIRS0I0V0 model, transforming the model, determining equilibrium point, determining the basic reproduction number, analyzing stability of equilibrium tititk and performing simulation using Maple 17 software.
The results of this study obtained are SIRS0I0V0 model with 6 classes of population which are, class Susceptible in humans, Infected class in humans,
Recovered class in humans, Susceptible class in poultry, Infected class in poultry,
and Vaccination class on poultry. The model obtained is a system of non linear differential equations. The model of the transmission of the Avian influenza virus is simplified into siri0v0 by administering the vaccine only to poultry. The stability of the disease-free equilibrium point will stable asymptotically local when the reproduction number is less than one and unstable when the reproduction number is more than one. In addition to the stability of the local asymptotic stable endemic equilibrium point when the reproduction number is more than one. The contact rate between healthy birds and sick poultry is very influential in determining the stability of the disease-free or endemic equilibrium point, the higher the contact rate the disease will spread. Based on the model simulation, the higher the level of vaccination then the Infected class on humans and Infected class in poultry will decrease to zero. So the vaccination program can be used to control the transmission of Avian influenza virus.
Keywords: Avian Influenza, stability, equilibrium point, vaccination. .
xi
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ... i
PERSETUJUAN ... ii
SURAT PERNYATAAN ... iii
PENGESAHAN ... iv MOTTO ... v HALAMAN PERSEMBAHAN ... vi ABSTRAK ... vii KATA PENGANTAR ... ix DAFTAR ISI ... xi
DAFTAR TABEL ... xiii
DAFTAR GAMBAR ... xiv
DAFTAR LAMPIRAN ... xv
DAFTAR SIMBOL ... xvi
BAB I PENDAHULUAN ... 1 A. Latar Belakang ... 1 B. Identifikasi Masalah ... 5 C. Rumusan Masalah ... 5 D. Tujuan Penulisan ... 6 E. Manfaat Penulisan ... 6
BAB II LANDASAN TEORI ... 8
A. Pemodelan Matematika ... 8
B. Persamaan Diferensial ... 11
1. Persamaan Diferensial Biasa (PDB) ... 12
2. Persamaan Diferensial Parsial (PDP) ... 12
C. Solusi Persamaan Diferensial ... 13
D. Sistem persamaan Diferensial ... 14
xii
2. Sistem Persamaan Diferensial Non-Linear ... 17
E. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ... 19
F. Titik ekuilibrium ... 21
G. Linearisasi ... 22
H. Analisis Kestabilan ... 30
I. Bilangan Reproduksi Dasar (Basic Reproduction Number) ... 37
J. Kriteria Routh Hurwitz ... 41
BAB III PEMBAHASAN ... 44
A. Permasalahan Nyata Flu Burung (Avian Influenza) ... 44
B. Asumsi-asumsi Model Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas ... 45
C. Formulasi Model Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas ... 47
D. Transformasi Model ... 56
E. Titik Ekuilibrium Matematika SIRS0I0V0 pada Penyebaran Flu Burung (Avian Influenza) dari Unggas ke Manusia dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas ... 62
F. Bilangan Reproduksi Dasar ... 72
G. Analisis Kestabilan Titik Ekuilibrium ... 74
1. Kestabilan Titik Ekuilibrium Bebas Penyakit ... 74
2. Kestabilan Titik Ekuilibrium Endemik ... 78
H. Simulasi Model ... 93
BAB IV PENUTUP ... 103
A. KESIMPULAN ... 103
B. SARAN ... 105
xiii
DAFTAR TABEL
Tabel 2.1 Routh-Hurwitz ... 42 Tabel 3.1 Variabel dan Parameter dalam Model ... 47 Tabel 3.2 Tabel Routh-Hurwitz untuk menentukan nilai eigen ... 85 Tabel 3.3 Simulasi dengan beberapa Parameter ... 95
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 2. 1 Proses Pemodelan Matematika... 9
Gambar 2. 2 Ilustrasi Kestabilan ... 31
Gambar 3.3 Diagram Transfer Penyebaran Penyakit Flu Burung (Avian Influenza) dengan Pengaruh Vaksinasi pada Unggas ... 49
Gambar 3.2 Simulasi model dengan 𝜌𝜌 = 0 dan β0 = 0.035 ... 96
Gambar 3.3 Simulasi model dengan 𝜌𝜌 = 0 dan β0 = 0.050T ... 97
Gambar 3.4 Simulasi model dengan 𝜌𝜌 = 0.1 dan β0 = 0.050T ... 98
Gambar 3.5 Simulasi model dengan 𝜌𝜌 = 0.1 dan β0 = 0.160T ... 100
xv
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Program Maple untuk ρ = 0 saat 𝑅𝑅0 < 1 dengan β0 = 0.035...109
Lampiran 2. Program Maple untuk ρ = 0 saat 𝑅𝑅0 > 1 dengan β0 = 0.05...111
Lampiran 3. Program Maple untuk ρ = 0.1 saat 𝑅𝑅0 < 1 dengan β0 = 0.05...113
Lampiran 4. Program Maple untuk ρ = 0.1 saat 𝑅𝑅0 > 1 dengan β0 = 0.16...115
xvi
DAFTAR SIMBOL
Simbol Makna
𝑁𝑁(𝑡𝑡) Banyaknya populasi manusia pada waktu t
𝑆𝑆(𝑡𝑡) Banyaknya populasi manusia yang retan terinfeksi penyakit pada waktu t
𝐼𝐼(𝑡𝑡) Banyaknya populasi manusia yang terinfeksi penyakit pada
waktu t
𝑅𝑅(𝑡𝑡) Banyaknya populasi manusia yang sembuh dari penyakit pada
waktu t
𝑁𝑁0(𝑡𝑡) Banyaknya populasi unggas pada waktu t
𝑆𝑆0(𝑡𝑡) Banyaknya populasi unggas yang retan terinfeksi penyakit pada
waktu t
𝐼𝐼0(𝑡𝑡) Banyaknya populasi unggas yang terinfeksi penyakit pada waktu t
𝑉𝑉0(𝑡𝑡) Banyaknya populasi unggas yang tervaksinasi pada waktu t
𝛾𝛾 Laju konstan kelahiran dan imigrasi
𝛽𝛽 Laju kontak antara unggas sakit dengan manusia sehat 𝛽𝛽0 Laju kontak antara unggas sehat dengan unggas sakit
𝜇𝜇0 Laju kematian dan kelahiran alami dalam populasi unggas tanpa
pengaruh flu burung
𝜇𝜇 Laju kematian individu dalam populasi manusia tanpa pengaruh
flu burung
xvii
𝜀𝜀 Laju kesembuhan populasi manusia yang terinfeksi
𝜔𝜔 Laju konstan hilangnya kekebalan pada manusia
𝜌𝜌 Rasio populasi unggas yang memperoleh vaksinasi
𝑥𝑥0 Nilai awal atau kondisi awal
𝑥𝑥̇ Turunan 𝑥𝑥 terhadap 𝑡𝑡
𝐸𝐸 Himpunan terbuka
𝐶𝐶′𝐸𝐸 Himpunan semua fungsi yang mempunyai turunan pertama yang
kontinu di 𝐸𝐸
ℝ𝑛𝑛 Himpunan bilangan real dimensi 𝑛𝑛
𝑥𝑥̅ Titik ekuilibrium
𝐷𝐷𝐷𝐷(𝑥𝑥0) Turunan 𝐷𝐷 di 𝑥𝑥0
𝐽𝐽𝐷𝐷(𝑥𝑥̅) Matriks Jacobian di 𝑥𝑥̅
𝜆𝜆 Nilai eigen
𝐴𝐴 Matriks berukuran berukuran 𝑛𝑛 𝑥𝑥 𝑛𝑛
𝐼𝐼 Matriks Identitas
ℜ𝑒𝑒(𝜆𝜆𝑖𝑖) Bilangan real pada nilai eigen ke 𝑖𝑖
𝑅𝑅0 Bilangan reproduksi dasar
𝐸𝐸0 Titik ekuilibrium bebas penyakit
𝐸𝐸1 Titik ekuilibrium endemik
𝜓𝜓𝑖𝑖 Matriks laju perkembangan penyakit, kematian dan kesembuhan
yang mengurangi kelas terinfeksi
