3 SKS
1
4. INTEGRAL FUNGSI KOMPLEKS
Seperti halnya dalam fungsi riil, dalam fungsi kompleks juga dikenal istilah
integral fungsi kompleks serta sifat-sifatnya. Sifat keanalitikan suatu fungsi dalam
suatu lintasan tertutup penting dalam perhitungan integral. Setelah membaca Bab 4, mahasiswa diharapkan dapat :
Menghitung integral lintasan kompleks.
Menggunakan teorema Cauchy Goursat dan rumus integral Cauchy dalam
perhitungan integral
Menggunakan turunan fungsi analitik untuk menghitung integral
4.1 Fungsi Kompleks dari Variabel Riil
Misalkan
F(t)adalah fungsi kompleks dari variabel riil
t
, ditulis
sebagai
F(t)u(t)i v(t)dengan
u(t)dan
v(t)adalah fungsi riil. Jika
u(t)dan
v(t)kontinu pada interval tertutup
a t b, maka
b
a
b a
b
a
v
t
dt
i
dt
t
u
dt
t
F
(
)
(
)
(
)
.
Sifat-sifat
1.F
t
dt
b
F
t
dt
ab
a
(
)
Re
(
)
Re
2.
F
t
dt
b
F
t
dt
a b
a
(
)
Im
(
)
Im
3.
k
F
t
dt
k
bF
t
dt
a b
a
(
)
(
)
4.
F
t
dt
aF
t
dt
b b
a
(
)
(
)
5.
F
t
dt
bF
t
dt
a b
a
(
)
(
)
Pembuktian sifat-sifat integral di atas menggunakan sifat-sifat integral fungsi riil.
Bukti sifat 3 :
b
a
b
a
k
u
t
i
v
t
dt
dt
t
F
k
(
)
[
(
)
(
)]
b
a
b
a
k
i
v
t
dt
dt
t
u
k
(
)
(
)
(sifat integral fungsi riil :
ba b
a
k
f
(
x
)
dx
k
f
(
x
)
dx
ba b
a
u
t
dt
k
i
v
t
dt
2
b
a
b
a
i
v
t
dt
dt
t
u
k
(
)
(
)
ba
F
t
dt
k
(
)
(terbukti).Bukti sifat 4 :
b
a
b a
b
a
v
t
dt
i
dt
t
u
dt
t
F
(
)
(
)
(
)
(sifat integral fungsi riil :
ab b
a
f
(
x
)
dx
f
(
x
)
dx
)
a
b
a
b
v
t
dt
i
dt
t
u
(
)
(
)
a
b
a
b
v
t
dt
i
dt
t
u
(
)
(
)
a
b
u
(
t
)
i
v
(
t
)
dt
ab
F
(
t
)
dt
(terbukti).
4.2 Lintasan
Jika g dan
h
fungsi bernilai riil dan kontinu dari variabelt
dalaminterval
tertutup
a t b, maka himpunan titik-titik di bidang
xy dapat dinyatakandalam bentuk parametrik xg(t), yh(t), a t b
. Oleh karena itu,
himpunan titik-titik dalam bidang kompleks juga dapat dinyatakan dalam
bentuk parametrik.
Definisi 4.1
Kurva di bidang datar merupakan kurva mulus (smooth curve) jhj kurva tersebut dapat dinyakan dengan dua fungsi bernilai riilxg(t) , y h(t),
t
sedemikian sehingga
g
'
(
t
)
dt
dx
danh
'
(
t
)
dt
dy
ada dan kontinudalam interval
t
.Contoh 1
Kurva dengan bentuk parametrik2
3
0
,
sin
2
,
cos
2
t
y
t
t
x
merupakan kurva mulus.Jika C merupakan kurva mulus dengan bentuk parametrik :
g t y h t t
x ( ) , ( ),
maka
titik pada
C
yang berpadanan dengant
disebut titik awalC
. titik padaC
yang berpadanan dengan t
disebut titik akhirC
.Selanjutnya,
C
disebut lintasan (path) bilaC
terdiri dari berhingga banyak kurva3
n
C C
C
C 1 2
dengan C1,C2,,Cn merupakan kurva mulus. Pengertian lintasan ini sangat
penting dalam integral fungsi kompleks karena berperan sebagai selang
pengintegralan dalam integral fungsi riil dari satu variabel.
Catatan :
1.
C
disebut lintasan tertutup jika titik akhirC
berhimpit dengan titik awalC
.2. C disebut lintasan terbuka jika titik akhir C tidak berhimpit dengan titik awal C.
3.
C
disebut lintasan sederhana jika lintasan tidak memotong dirinya sendiri.4. C disebut lintasan berganda jika lintasan memotong dirinya sendiri.
Contoh 2
C
1C
2C3
a. Lintasan tertutup
C
21
C
C3b. Lintasan terbuka
c. Lintasan sederhana d. Lintasan berganda
Teorema 4.1
( Kurva Jordan )
Jika C lintasan tertutup sederhana di bidang datar, maka bidang datar itu dibagi oleh
C
menjadi 3 bagian, yaitu1. kurva C.
2. bagian dalam
C
, ditulisInt
(
C
)
, yang merupakan himpunan terbuka dan terbatas.3. bagian luar C, ditulis Ext(C), yang merupakan himpunan terbuka dan tidak terbatas.
Kurva
C
merupakan batas dari himpunan Int(C) dan Ext(C).4.3 Integral Garis
Misalkan kurva mulus
C
disajikan dengan x g(t), yh(t), a t b.
) (t
g dan h(t) kontinu di a t b
.
g'(t) dan h'(t) kontinu di a t b. Kurva
C
mempunyai arah dari titik awalA
(
g
(
a
),
h
(
a
))
ke titik akhirB
(
g
(
b
),
h
(
b
))
dan ), (x y
4
kontinu pada seluruh daerah tertutup R yang dibatasi lintasan tertutup C, makaPenyelesaian :
5
4.4 Integral Lintasan Kompleks
Diberikan lintasan C dalam bentuk parametrik xg(t), y h(t) dengan
b t
a
.
g(t) dan h(t) kontinu di a t b.
g'(t) dan h'(t) kontinu dib t
a
. Jika
z xiy, maka titik-titik
z
terletak
C
. Arahpada kurva
C
)) ( ), (
(g a h a ke (g(b),h(b))atau dari z
sampai z
dengan
(g(a),h(a))dan
(g(b),h(b)).Definisi 4.2
Diberikan fungsif
(
z
)
u
(
x
,
y
)
i
v
(
x
,
y
)
dengan u dan v fungsi darit
yang kontinu sepotong-potong pada a t b.
Integral fungsi f(z) sepanjang lintasan C dengan arah dari z
sampai z
adalah
b
a
f
g
t
i
h
t
g
t
i
h
t
dt
dz
z
f
(
)
(
)
(
)
'
(
)
'
(
)
Sifat-sifat
1.
f
z
dz
dz
z
f
(
)
(
)
2.
C
C k f(z)dz k f(z)dz
3.
C C
C f(z) g(z) dz f(z)dz g(z)dz
Contoh 4
Hitung
z
e
dz
z2
jika
: garis lurus dari z0 i kez
1
2
i
.Penyelesaian :
i
z0
z
1
2
i
(0,1) (2,1)
Persamaan garis
: y1 dan mempunyai bentuk parametrik :1 ) (
) (
t h y
t t g x
, t[0,2] ( 4.1 )
Dari (4.1) diperoleh :
i t t h i t g
z ( ) ( )
dz
g
'
(
t
)
i
h
'
(
t
)
dt
1
.
dt
Karena f(z)zez2maka f
g(t)ih(t)
f(ti)(ti)e(ti)2. Sehingga,
2
0
) (
1
)
(
22
dt
e
i
t
dz
e
z
z t i
2t
i
e
tidt
0
) ( 2
)
6
3 4 1
2
1
e
ie
.4.5 Pengintegralan Cauchy
Teorema 4.4
( Teorema Cauchy)
Jika f(z) analitik dan f'(z) kontinu di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana
C
, maka
C f(z)dz 0.
C
f(z) analitik dan f'(z)kontinu
Contoh 4
Misalkan diberikan
C
sebarang lintasan tertutup dalam bidang kompleks.1. f(z)z2
C z dz 0
2
.
2. f(z)1
C dz 0
.
Teorema 4.5
( Teorema
Cauchy-Goursat)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup
sederhana C, maka
C f(z)dz 0.
C
f(z) analitik
Contoh 5
Diketahui C: z 1. Hitunglah
C f(z)dz jika
3
1
)
(
z
z
f
.Penyelesaian :
2
) 3 (
1 )
( '
z z
f , f(z) tidak analitik di z3 dan z3terletak di luar C.
Oleh karena itu, f(z) analitik di dalam dan pada lintasan C, sehingga
0
)
3
(
1
dz
z
C .
Teorema 4.6
(Bentuk lain
Teorema Cauchy
Goursat )
Jika fungsi f(z)
analitik di seluruh domain terhubung
sederhana
D, maka untuk setiap lintasan tertutup
Cdi
dalam
D, berlaku
C f(z)dz 0
.
Teorema 4.7
(Teorema Cauchy
Diberikan suatu lintasan tertutup C, sedangkan
n
C C
7
Goursat yang
diperluas)
Penyelesaian :3
4.6 Integral Tak Tentu dan Integral Tentu
Jika fungsi
f
analitik di dalam domain terhubung sederhana D, makaF , asalkan lintasan pengintegralan dari z0 ke
z
seluruhnya terletak didalam D. Jadi F(z) juga analitik di dalam D.
Teorema 4.8
Jika
dan
di dalam D, maka
8
4.7 Rumus Integral Cauchy
Teorema 4.9
(Rumus
Penyelesaian :
9
f(z0) f(3)1Menggunakan rumus integral Cauchy, diperoleh
i
Penyelesaian :
Diambil :
(
)
1
3Menggunakan turunan fungsi analitik, diperoleh
i
4.8 Teorema Morera dan Teorema Liouville
Teorema 4.10
(Teorema Morera)
Jika f(z) kontinu dalam domain terhubung D dan untuk setiap lintasan tertutup
C
dalam D berlaku
C f(z) dz 0,
maka f(z) analitik di seluruh D.
Teorema 4.11
(Teorema
Liouville)
Jika
f
(
z
)
analitik dan f(z) terbatas di seluruh bidang kompleks, makaf
(
z
)
adalah suatu fungsi konstan.4.9 Teorema Modulus Maksimum
Jika f(z) analitik dan M nilai maksimum dari f(z) untuk
z
di dalamPrinsip Modulus
Maksimum
Jika fungsi tak konstan
f
(
z
)
analitik di z0, maka di setiapkitar dari z0, terdapat titik
z
dan f(z0) f(z).10
Teorema 4.13
(Ketaksamaan
Cauchy)
Jika f(z) analitik di dalam dan pada lintasan tertutup sederhana C : zz0 r, dan f(z) terbatas pada C,
C z M z
f( ) , maka
(
0)
!
,
n
0
,
1
,
2
,
r
M
n
z
f
n n.