Tujuan Instruksional Umum: 1. Mahasiswa mampu memahami karakteristik model harga saham

(1)

Kuliah Bersama UI-UNPAR 1

MODEL HARGA SAHAM

Tujuan Instruksional Umum:

1. Mahasiswa mampu memahami karakteristik model harga saham

Tujuan Instruksional Khusus:

1. Mahasiswa mampu mendeskripsikan karakteristik (sifat Markov dan arti tiap suku) pada model harga saham

2. Mahasiswa mampu mencari solusi analitik model harga saham

3. Mahasiswa mampu memahami distribusi dari solusi analitik model harga saham

Harga saham merupakan ukuran kepercayaan diri investor yang sangat bergantung pada berita, rumor, spekulasi dan sebagainya. Pertanyaan yang selalu menjadi perdebatan selama ini mengenai harga saham adalah sampai sejauh mana harga saham yang lalu dapat digunakan untuk memprediksi harga saham di masa yang akan datang. Beberapa teori yang sering digunakan adalah teori yang berdasarkan grafik dan teori gerak acak (random walk).

Semua teori grafik didasarkan pada asumsi bahwa perilaku harga saham yang lalu memiliki sangat banyak informasi yang berkenaan dengan perilakunya di masa mendatang. Pola perilaku harga saham yang berulang cenderung muncul lagi di masa mendatang dan jika dianalisis dengan baik akan sangat berguna untuk memprediksi perilaku harga saham di masa mendatang.

Sebaliknya, teori gerak acak mengatakan bahwa perubahan harga saham adalah peubah acak yang saling bebas dan berdistribusi identik. Dengan kata lain, perubahan harga saham “memoryless” atau harga historis tidak dapat digunakan untuk memprediksi harga di masa mendatang. Meskipun sangat sederhana, adalah masuk akal jika diasumsikan bahwa pasar berkaitan langsung dengan pengaruh eksternal, sehingga dapat dikatakan harga saham saat ini mencerminkan seluruh informasi yang lampau. Dengan asumsi ini, jika kita ingin memprediksi harga saham pada masa yang akan datang, mengetahui semua harga saham di masa lalu tidak memberikan keuntungan lebih bila dibandingkan mengetahui harganya saat ini.

Topik

(2)

masa mendatang disebut Proses Markov. Harga saham selalu diasumsikan mengikuti Proses Markov. Harga di masa mendatang adalah tidak pasti, tetapi dapat dinyatakan sebagai distribusi peluang tertentu.

Misalkan suatu variabel mengikuti proses stokastik Markov. Misalkan nilainya saat ini adalah 10

dan perubahan nilainya selama satu tahun adalah 𝜙(0,1) dimana 𝜙(𝜇, 𝜎) merupakan fungsi

distribusi normal dengan mean 𝜇 dan simpangan baku 𝜎. Pertanyaan berikutnya adalah

bagaimana distribusi peluang dari perubahan nilai variabel tersebut selama dua tahun? Ternyata

distribusi perubahan nilai variabel tersebut selama dua tahun adalah 𝜙�0, √2�. Bisa Anda

buktikan menggunakan sifat dari distribusi normal.

Begitu juga dapat diperoleh bahwa distribusi perubahan nilai variabel tersebut selama enam

bulan adalah 𝜙�0, √0.5� dan distribusi dari perubahan nilai variabel tersebut selama tiga bulan

adalah 𝜙�0, √0.25�. Secara umum, distribusi perubahan nilai variabel tersebut selama periode

waktu 𝑇 adalah 𝜙�0, √𝑇�. Lebih khusus lagi, distribusi perubahan nilai variabel tersebut selama

suatu selang waktu yang kecil 𝛿𝑡 adalah 𝜙�0, √𝛿𝑡�.

Seperti kita ketahui, harga saham mengikuti proses Wiener. Proses Wiener adalah jenis khusus

proses stokstik Markov dengan mean perubahannya nol dan variansinya satu. Suatu variabel 𝑧

dikatakan mengikuti Proses Wiener jika memenuhi:

1. Perubahan nilai variabel 𝛿𝑧 selama selang waktu kecil 𝛿𝑡 adalah

𝛿𝑧 = 𝜖√𝛿𝑡

dengan 𝜖 merupakan variabel acak berdistribusi normal baku atau 𝜙(0,1).

2. Nilai dari 𝛿𝑧 untuk dua selang waktu kecil 𝛿𝑡 yang berbeda adalah saling bebas.

Perhatikan bahwa dari sifat (1), 𝛿𝑧 berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi 𝛿𝑡 (atau

simpangan bakunya √𝛿𝑡). Sedangkan sifat (2) menyatakan bahwa 𝛿𝑧 adalah Proses Markov.

Perhatikan pertambahan nilai 𝑧 selama suatu periode waktu 𝑇, yang dapat dinotasikan dengan

𝑧(𝑇) − 𝑧(0). Misalkan

𝑁 =_𝛿𝑡𝑇

(3)

𝑧(𝑇) − 𝑧(0) = � 𝜖𝑖√𝛿𝑡

𝑁 𝑖=1

dengan 𝜖_𝑖 (𝑖 = 1,2, … , 𝑁) merupakan variabel acak 𝜙(0,1). Dari persamaan tersebut diperoleh

bahwa

mean dari [𝑧(𝑇) − 𝑧(0)] = 0

variansi dari [𝑧(𝑇) − 𝑧(0)] = 𝑁 𝛿𝑡 = 𝑇

simpangan baku dari [𝑧(𝑇) − 𝑧(0)] = √𝑇

yang konsisten dengan hasil yang diperoleh sebelumnya.

Dari pembahasan tersebut di atas, adalah masuk akal jika harga saham dimodelkan mengikuti Proses Wiener yang umum, yaitu ekspektasi drift-nya konstan dan variansinya juga konstan. Meskipun demikian, model ini gagal mengakomodasi aspek penting dari harga saham yaitu ekspektasi persentase pengembalian harga saham yang diinginkan investor tidaklah bergantung dari harga saham.

Jadi, asumsi bahwa ekspektasi drift-nya konstan adalah tidak cocok dan harus diganti dengan asumsi bahwa ekspektasi pengembalian (yaitu ekspektasi drift dibagi harga saham) konstan. Jika 𝑆 menyatakan harga saham pada saat 𝑡, maka ekspektasi drift dari 𝑆 diasumsikan adalah 𝜇𝑆

untuk suatu parameter 𝜇 yang konstan. Ini berarti, pada suatu selang waktu kecil 𝛿𝑡, ekspektasi

bertambahnya 𝑆 adalah 𝜇𝑆𝛿𝑡. Bila 𝛿𝑡 → 0 maka dapat diperoleh

𝑑𝑆 = 𝜇𝑆𝑑𝑡

Pada kenyataannya, harga saham menunjukkan adanya volatilitas. Asumsi yang masuk akal

adalah simpangan baku dari perubahan selama selang waktu kecil 𝛿𝑡 adalah sebanding dengan

harga saham. Sehingga diperoleh model

𝑑𝑆 = 𝜇𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑧 atau

𝑑𝑆

𝑆 = 𝜇 𝑑𝑡 + 𝜎 𝑑𝑧

Model harga saham tersebut dikenal dengan Gerak Brown Geometrik. Bentuk diskret dari model tersebut adalah

𝛿𝑆

𝑆 = 𝜇 𝛿𝑡 + 𝜎𝜖√𝛿𝑡

(4)

𝛿𝑆

𝑆 ~𝜙�𝜇 𝛿𝑡, 𝜎√𝛿𝑡�

Berdasarkan Lemma Ito dapat diperoleh

𝑑ln𝑆 = �𝜇 −𝜎2

2 � 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑧

Karena 𝜇 dan 𝜎 konstan maka 𝐺 = ln 𝑆 mengikuti Proses Wiener yang umum dengan drift

konstan 𝜇 − 𝜎2⁄ dan variansi konstan 𝜎2 2.

Jadi perubahan dari ln 𝑆 dari waktu nol dan suatu waktu di masa mendatang 𝑇 adalah

berdistribusi normal dengan mean

�𝜇 −𝜎_{2 � 𝑇}2 dan variansi

𝜎2_𝑇

Ini berarti bahwa

ln 𝑆_𝑇− ln 𝑆₀~𝜙 ��𝜇 −𝜎 2 2 � 𝑇, 𝜎√𝑇� atau ln 𝑆_𝑇 ~ 𝜙 �ln 𝑆₀+ �𝜇 −𝜎 2 2 � 𝑇, 𝜎√𝑇�

Jadi dapat disimpulkan, jika pergerakan harga saham mengikuti Gerak Brown Geometrik maka:

1. Log return dari harga saham, yaitu log 𝑆(𝑡𝑖)

log 𝑆(𝑡_𝑖−1) akan berdistribusi normal dengan mean sama

dengan �𝜇 −1

2𝜎2� ∆𝑡 dan variansi sama dengan 𝜎2∆𝑡.

Sebagai contoh, misalkan pergerakan harga saham mengikuti Gerak Brown Geometrik

dengan parameter: harga saham pada saat sekarang 𝑆(0) = 50; interval waktu T = 4 dan

selang [0,4] dibagi menjadi 1000 subselang yang sama panjang (∆𝑡 = 1/250); volatilitas

𝜎 = 0.2; dan parameter drift 𝜇 = 0.05.

(5)

Gambar 1. Sample Path dari Harga Saham dengan Simulasi Monte Carlo

Gambar 2. Log Return dari Harga Saham

Gambar 3. Histogram dari Log Return

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 35 40 45 50 55 60 t S (t ) 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 t log r et ur n -0.040 -0.03 -0.02 -0.01 0 0.01 0.02 0.03 0.04 20 40 60 80 100 120

(6)

menunjukkan histogram dari log return harga saham yang dibandingkan dengan fungsi distribusi normal baku. Dari gambar 3 terlihat bahwa distribusi log return harga saham menghampiri distribusi normal.

Berikut perbandingan mean dan variansi dari log return harga saham yang diperoleh secara teoritis maupun empirik.

Tabel 1. Mean dan Variansi dari Log Return

Teoritis Empirik

Mean dari log return

�𝜇 −1_{2 𝜎}2_{� ∆𝑡 = 1.2000𝑒 − 004} 6.5812e-005

Variansi dari log return 𝜎2∆𝑡 = 1.6000𝑒 − 004 1.5578e-004

2. Pada saat 𝑡 = 𝑡₁, nilai log 𝑆(𝑡₁) akan berdistribusi normal dengan mean sama dengan

log 𝑆(0) + �𝜇 −1₂𝜎2_{� 𝑡}

1 dan variansi sama dengan 𝜎2𝑡1.

Sebagai contoh, misalkan pergerakan harga saham mengikuti Gerak Brown Geometrik

dengan parameter sebagai berikut: harga saham pada saat sekarang 𝑆(0) = 50; interval

waktu 𝑇 = 1; selang [0,1] dibagi menjadi 250 subselang yang sama panjang (∆𝑡 = 1/250);

volatilitas 𝜎 = 0.2; parameter drift 𝜇 = 0.05.

Gambar 4 menunjukkan lima buah sample path pergerakan harga saham. Gambar 5 dan 6

masing-masing menunjukkan histogram dari log(𝑆(1)) dan log(𝑆(0.5)).

Gambar 4. Lima buah sample path 𝑆(𝑡)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 t S (t )

(7)

Gambar 5. Histogram dari log(𝑆(1))

Gambar 6. Histogram dari log(𝑆(0.5))

Berikut perbandingan mean dan variansi dari log�𝑆(𝑡₁)� untuk 𝑡₁ = 1 dan 𝑡₁ = 0.5.

Tabel 2. Mean dan variansi dari log(𝑆(1)) dan log(𝑆(0.5))

𝑡1= 1 𝑡1= 0.5

Teoritis Empirik Teoritis Empirik Mean log(𝑆(𝑡₁)) 3.9420 3.9406 3.9270 3.9249 Variansi log(𝑆(𝑡₁)) 0.040 0 0.0402 0.0200 0.0206 3 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 3.2 3.4 3.6 3.8 4 4.2 4.4 4.6 4.8 0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

(8)

Oktober 2011 yang ditampilkan oleh gambar 7 berikut ini.

Gambar 7. Grafik Pergerakan Harga Saham Ford Motor

Kemudian dihitung return (pengembalian) selama periode tersebut dan dibuat histogramnya dan dibandingkan dengan fungsi distribusi normal baku. Perhatikan gambar 8 di bawah ini. Dapat kita simpulkan bahwa distribusi normal kurang cocok untuk menghampiri distribusi dari return harga saham Ford Motor tersebut. Meskipun demikian, distribusi normal sering digunakan untuk memodelkan return harga saham karena cukup sederhana dan tidak terlalu sulit untuk mencari solusi analitik dari derivatifnya.

Gambar 8. Histogram dari return harga saham Ford Motor

Daftar Pustaka:

1. Higham, D. J. (2004), An Introduction to Financial Option Valuation, Cambridge University.

(9)

Tugas :

1. Berikan contoh proses stokastik lain yang merupakan Proses Markov.

2. Misalkan perubahan harga saham selama satu tahun adalah 𝜙(0,1) dimana 𝜙(𝜇, 𝜎)

merupakan fungsi distribusi normal dengan mean 𝜇 dan simpangan baku 𝜎. Buktikan bahwa

distribusi perubahan harga saham tersebut selama dua tahun adalah 𝜙�0, √2� dan distribusi

perubahan nilai variabel tersebut selama tiga bulan adalah 𝜙�0, √0.25�.

3. Berikan penjelasan (jika perlu dengan contoh), apa yang dimaksud dengan ekspektasi persentase pengembalian (return) harga saham yang diinginkan investor tidaklah bergantung dari harga saham.

4. Misal model harga saham mengikuti PDS:

𝑑𝑆 = 𝜇𝑆𝑑𝑡 + 𝜎𝑆𝑑𝑧 Tunjukkan bahwa dengan Lemma Ito dapat diperoleh PDS:

𝑑ln𝑆 = �𝜇 −𝜎_{2 � 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑧}2

5. Tentukan solusi dari PDS:

𝑑ln𝑆 = �𝜇 −𝜎_{2 � 𝑑𝑡 + 𝜎𝑑𝑧}2

6. Misalkan pergerakan harga saham mengikuti Gerak Brown Geometrik yang dengan

parameter: harga saham pada saat sekarang 𝑆(0) = 100; interval waktu T = 4 dan selang

[0,4] dibagi menjadi 1000 subselang yang sama panjang (∆𝑡 = 1/250); volatilitas 𝜎 = 0.3;

dan parameter drift 𝜇 = 0.1.

a. Simulasikan sample path dari Harga Saham tersebut dengan Metode Monte Carlo (lihat gambar 1).

b. Kemudian buat histogram untuk log return harga saham tersebut dan bandingkan dengan fungsi distribusi normal baku (lihat gambar 3).

c. Simulasikan 100 sample path harga saham tersebut, kemudian buat histogram untuk log(𝑆(2)) (lihat gambar 5,6)

d. Bandingkan mean dan variansi dari log(𝑆(2)) yang diperoleh secara teoritis maupun

empirik (lihat tabel 2)

7. Cari data real harga saham (minimum 5 tahun) dan bandingkan histogram dari log return harga saham tersebut dengan fungsi distribusi normal baku. Apa yang dapat Anda simpulkan dari hasil tersebut?