of Portfolio Transactions (Almgren & Chriss 2000).
1.4 Sistematika Penulisan
Karya ilmiah ini terdiri atas enam bagian. Bagian pertama berupa pendahuluan, terdiri atas latar belakang, tujuan penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan. Bagian kedua adalah landasan teori yang menyajikan aspek teoritis penulisan karya ilmiah. Bagian ketiga merupakan pemodelan, yang menampilkan model perdagangan dan efisien
frontier strategi optimal yang akan dilakukan analisis eksekusi optimal transaksi portofolio, bagian keempat adalah pembahasan yang membahas analisis fundamental eksekusi optimal suatu transaksi portofolio. Bagian kelima adalah ilustrasi, yang menampilkan hasil simulasi transaksi portofolio optimal untuk parameter yang dipilih, dan yang keenam adalah simpulan, merupakan hasil yang diperoleh dari pembahasan karya ilmiah.
II LANDASAN TEORI
Landasan teori menyajikan aspek teoritisyang menjadi landasan penulisan karya ilmiah ini. Landasan teori menjelaskan mengenai definisi-definisi dasar, lema, dan beberapa teori penting.
2.1 Sekuritas, dan Portofolio
Definisi 2.1.1 (Sekuritas)
Sekuritas dalam pasar modal Indonesia dikenal dengan sebutan efek adalah instrumen yang menjanjikan pembayaran di masa depan.
Sekuritas atau efek diterbitkan oleh institusi yang dijual pertama kali ke publik dengan bantuan perantara keuangan seperti perbankan investasi (penjamin emisi) yang menjualkan sekuritas ke publik.
Sekuritas terdiri atas berbagai macam bentuk, yaitu surat utang (obligasi), kepemilikan perusahaan (saham), dan bentuk-bentuk turunan lain seperti kontrak berjangka, dan kontrak opsi.
(Bodie et al 2006) Definisi 2.1.2 (Portofolio)
Portofolio didefinisikan sebagai koleksi atau kumpulan dari berbagai macam sekuritas.
(Bodie et al 2006)
2.2 Percobaan Acak
Definisi 2.2.1 (Percobaan Acak)
Percobaan acak adalah suatu percobaan yang dapat diulang dalam kondisi yang sama, yang hasil percobaannya tidak dapat ditebak dengan tepat, tetapi dapat diketahui semua kemungkinan hasil yang muncul.
(Craig, Hogg, & McKean 2005) 2.3 Ruang Contoh
Definisi 2.3.1 (Ruang Contoh)
Ruang contoh adalah himpunan semua kemungkinan yang dapat terjadi dari suatu percobaan acak, dinotasikan dengan .
(Ghahramani 2005) 2.4 Peubah Acak
Definisi 2.4.1 (Peubah Acak)
Misalkan adalah ruang contoh dari suatu percobaan acak. Fungsi X yang terdefinisi pada
yang memetakan setiap unsur ke satu dan hanya satu bilangan real X
x disebut peubah acak. Ruang dari X adalah himpunan bagi bilangan real A
x x: X
,
.Dalam melakukan analisis portofolio, para
investor berhadapan dengan ketidakpastian saat mereka berinvestasi. Karena banyak sekali kemungkinan yang akan terjadi, maka para investor tidak melihat setiap kemungkinan yang mempunyai peluang untuk terjadi secara rinci, tetapi cukup dengan melihat parameter, yaitu nilai-nilai yang menjadi ciri dari analisa yang mereka lakukan.
Peubah acak mempunyai parameter-parameter, di antaranya nilai tengah, ragam, peragam, dan koefisien korelasi. Dalam lingkup portofolio, jika analisis yang dimaksud adalah proses meminimumkan kombinasi risiko volatilitas dan peningkatan biaya transaksi dari dampak pasar permanen dan temporer, maka peubah acak berkaitan dengan biaya transaksi, adapun parameter-parameternya yaitu nilai harapan biaya transaksi, dan ragam biaya transaksi.
Definisi 2.4.2 (Peubah Acak Diskret)
Peubah acak X dikatakan peubah acak diskret jika nilai peubah acak
x x1, ,...2
merupakan himpunan tercacah.
(Grimmett & Stirzaker 1992) 2.5 Fungsi Sebaran
Definisi 2.5.1 (Fungsi Sebaran)
Jika X suatu peubah acak, fungsi sebaran didefinisikan sebagai F xX( )P X( x) untuk setiap x
,
.(Ghahramani 2005) 2.6 Fungsi Massa Peluang
Definisi 2.6.1 (Fungsi Massa Peluang)
Fungsi massa peluang p suatu peubah acak X yang memiliki himpunan semua nilai kemungkinan
x x1, ,...2
didefinisikan sebagai suatu fungsi dari ke yang memenuhi sifat berikut : a. p x( ) 0 ; jika x
x x1, ,...2
b. p x( )i P X( xi) dan p x( ) 0i , (i1, 2,3,...) c. 1 ( ) 1i i p x
(Ghahramani 2005) 2.7 Nilai Harapan, Ragam, Peragam, danKoefisien Korelasi Peubah Acak Diskret
Definisi 2.7.1 (Nilai Harapan)
Jika X adalah peubah acak yang memiliki fungsi massa peluang p x , maka X( ) didefinisikan nilai harapan peubah acak
, ( ) X E X adalah: ( ) X( ) x E X
xp x (1) (Bain 1992) Definisi 2.7.2 (Ragam)Jika X adalah peubah acak yang memiliki nilai harapan E X , maka didefinisikan ragam ( ) peubah acak X, 2 X adalah:
2 2 ( ) X E X E X (2) (Bain 1992) Definisi 2.7.3 (Peragam)Jika X dan Y adalah peubah acak yang memiliki nilai harapan berturut-turut E X dan ( )
( )
E Y , maka didefinisikan peragam antara peubah acak X dan peubah acak Y adalah:
cov( , )X Y E X E X Y E Y[ ( )][ ( )] (3) atau
cov( , )X Y E XY( )E X E Y( ) ( ) (4) (Bain 1992) Definisi 2.7.4 (Koefisien Korelasi)
Jika X dan Y adalah peubah acak yang memiliki standar deviasi berturut-turut X dan
Y
, serta peragam antara peubah acak X dan peubah acak Y adalah cov( , )X Y maka didefinisikan koefisien korelasi antara peubah acak X dan peubah acak Y adalah:
cov( , ) XY X Y X Y (5) (Bain 1992)
Teorema 2.7.5
Untuk peubah acak X X1, 2,...,Xn didefinisikan pada ruang contoh yang sama
1 1 ( n i i) n i ( )i i i E X E X
. (14) (Ghahramani 2005) CorollaryMisalkan X X1, 2,...Xn suatu peubah acak
pada ruang contoh yang sama, maka:
1 2 ( ... n) E X X X 1 2 ( ) ( ) ... ( n) E X E X E X . (15) (Ghahramani 2005) Teorema 2.7.6
Jika Xdan Y peubah acak yang saling bebas, maka:
a. E XY( )E X E Y( ) ( ) (7) b. Cov X Y( , ) 0 . (8) JikaXdan Y peubah acak dengan a dan b konstanta maka :
c. E X Y( )E X( )E Y( ) (9) d. E aX b( )aE X( ) . b (10) (Bain, 1992) Teorema 2.7.7
Jika Xadalah suatu peubah acak yang bernilai konstan, maka jika P X( c) 1 untuk suatu konstanta c maka
( )
E X .c (11) (Ghahramani 2005) Teorema 2.7.8
Misalkan X adalah peubah acak diskret dengan himpunan nilai peluang A dan fungsi massa peluang p x , dan misalkan g adalah ( ) fungsi bernilai real maka g X adalah peubah ( ) acak dengan: [ ( )] ( ) ( ) x A E g X g x p x
. (12) (Ghahramani 2005) CorollaryMisalkan X adalah peubah acak diskret,
1, ,...,2 n
g g g adalah fungsi bernilai real dan
misalkan 1, 2,...,n adalah bilangan real, maka 1 1 2 2 [ ( ) ( ) ... n n( )] E g X g X g X 1E g X[ ( )]1 2E g X[ ( )] ...2 nE g X[ ( )].n (13) (Ghahramani 2005) 2.8 Kebebasan Definisi 2.8.1 (Kebebasan)
Peubah acak X1,...,Xn saling bebas jika
1,... n( ,..., )1 1( ) ...1 n( )
X X n X X n
f x x f x f x untuk
semua x1,...,xn . (6) (Helms 1997)
2.9 (Convex dan Strictly Convex)
Definisi 2.9.3 (Himpunan Convex)
Suatu himpunan S di n disebut
himpunan convex jika untuk setiap x dan y di S , segmen garis yang menghubungkan x dan y juga terletak di S .
(Peressini et al 1988) Definisi 2.9.4 (Convex)
Suatu fungsi f x( ) : n disebut
fungsi convex di S jika
(1 )
( ) (1 ) ( )f tx t y tf x t f y
, n
x y
, dan t
0,1 .(Sydsaeter & Hammond 1995) Definisi 2.9.5 (Strictly Convex)
Suatu fungsi ( ) : n
f x disebut fungsi strictly convex di S jika
(1 )
( ) (1 ) ( )f tx t y tf x t f y xy dan t
0,1 .Gambar 1 Ilustrasi fungsi convex
2.10 Sign Function
Definisi 2.10.1 (Sign Function)
Sign function dari bilangan real x didefinisikan sebagai: 1, jika 0 sign( ) 0, jika 0 1, jika 0 x x x x (Shirokov 1979) 2.11 Pengali Lagrange
Suatu metode untuk memperoleh nilai-nilai maksimum relatif atau minimum relatif dari fungsi f x y( , ) yang dipengaruhi oleh kondisi persyaratan g x y( , ) 0 , terdiri atas pembentukan fungsi penolong.
( , , ) ( , ) ( , ) F x y f x y g x y dengan syarat: 0 F x , 0 F y , 0 F yang merupakan syarat perlu untuk maksimum relatif maupun minimum relatif.
Parameter yang tidak bergantung pada x dan y disebut pengali lagrange.
Kasus dengan satu pengali lagrange Untuk suatu masalah yang melibatkan satu persyaratan, diperlukan hanya satu parameter
sebagai pengali lagrange.
Jika f x y( , ) adalah fungsi yang ditentukan maksimum atau minimum relatifnya dan g x y( , ) 0 adalah persyaratan yang harus dipenuhi, maka fungsi penolongnya berbentuk :
( , , ) ( , ) ( , ) F x y f x y g x y
Fungsi penolong F x y( , , ) adalah fungsi dari tiga variabel x y, , dan .
Dapat ditunjukkan bahwa suatu maksimum relatif atau minimum relatif dari F adalah juga merupakan maksimum atau minimum relatif dari f x y( , ) dengan persyaratan g x y( , ) 0 , maka harus dipenuhi persyaratan: 0 0 ( , ) 0 F f g x x x F f g y y y F g x y
Setiap penyelesaian dari sistem persamaan ini adalah suatu nilai kritis dari fungsi
( , ). f x y
(Soemartojo 1987) 2.12 Persamaan Beda (Difference
Equation)
Konsep persamaan beda digunakan dalam analisis sistem dinamik dengan variabel diskret untuk menunjukkan dinamika/perubahan suatu variabel pada periode tertentu. Untuk fungsi y t
, nilaiy berubah bila nilai t berubah dari integer yang satu ke integer berikutnya, misalnya t , 1 t , 2 t , dan seterusnya. 3 Pola perubahan y digambarkan dengan istilah ‘beda’ (difference).Misalkan y menunjukkan besarnya perubahan y pada dua periode berurutan, sehingga dapat ditulis y yt1 dengan yt
t
y adalah nilai y pada periode ke- t , dan yt1 adalah nilai y pada satu periode setelah periode ke-t. Bentuk di atas dapat ditulis
1 t t y y y 2 1 t t y y y 3 2 t t y y y dan seterusnya.
Misalkan 0 t T , maka kita dapat menyatakan y dalam T yT1hingga y . 0
Hal yang sama berlaku juga sebaliknya, dalam hal ini jika persamaan berbentuk
1
t t
y y .y
Definisi 2.12.1 (Persamaan beda orde-1) Persamaan beda orde-1 adalah persamaan beda yang melibatkan ekspresi yt yang
disebut beda ke-1, dan hanya melibatkan lag waktu satu periode.
(Chiang & Wainwright 2005) Penyelesaian persamaan beda orde-1
Misalkan diberikan persamaan beda orde-1
1
t t
y ay c
dengan a dan c adalah konstanta. Solusi umum terdiri atas penjumlahan dua komponen, yaitu solusi partikular yp yang
merupakan solusi dari persamaan tak homogen lengkap, dan fungsi komplemen yc yang merupakan solusi umum dari persamaan
1 0.
t t
y ay
Penjumlahan y dan p y merupakan solusi c
umum, dan diperlukan pemberian nilai awal untuk memperoleh solusi khusus persamaan beda.
Misalkan solusi persamaan beda berbentuk
t t y Ab (Abt 0), berarti 1 1 t t y Ab
sehingga persamaan homogennya menjadi
1 0
t t
Ab aAb , dengan menghilangkan faktor taknol Abt diperoleh
0
b a atau b a
maka fungsi komplemennya dapat dituliskan sebagai
( t) ( )t c
y Ab A a
Untuk menentukan solusi partikular, misalkan solusi paling sederhana berbentuk
t
y k dan yt1 k dengan k suatu
konstanta. Substitusikan nilai ini ke dalam persamaan yt1ayt sehinggac , ( 1) 1 k ak c c k a a
maka diperoleh solusi partikular ( ) ( 1). 1 p c y k a a
Solusi umum persamaan beda dapat dihitung dengan menjumlahkan solusi partikular yp dan fungsi komplemen yc
sehingga ( ) 1 t t c y A a a dengan a .1 (Chiang & Wainwright 2005)
Definisi 2.12.2 (Persamaan beda orde-2) Persamaan beda orde-2 adalah persamaan beda yang melibatkan ekspresi 2
t
y
yang
disebut beda ke-2 dari y , tetapi tidak t mengandung beda yang orde-nya lebih tinggi dari 2. Didefinisikan 2 1 2 1 1 2 1 ( ) ( ) = ( ) ( ) = 2 . t t t t t t t t t t t y y y y y y y y y y y
(Chiang & Wainwright 2005) Penyelesaian persamaan beda orde-2
Misalkan persamaan beda orde-2
2 1 1 2
t t t
y a y a y c
merupakan persamaan beda linear tak homogen dengan koefisien konstan ( , )a a1 2 dan konstanta c .
Solusi partikular
Misalkan yt k dan yt1 . k Substitusikan nilai konstanta y ke dalam persamaan yt2a y1 t1a y2 t , diperolehc 1 2 1 2 1 2 (1 0) 1 k a k a k c c k a a a a sehingga 1 2 ( ) . 1 p c y k a a Fungsi komplemen
Persamaan beda homogen berbentuk
2 1 1 2 0
t t t
y a y a y
Misalkan solusi berbentuk t t y Ab maka 1 1 t t y Ab , dan 2 2 t t y Ab . Substitusikan t t y Ab , 1 1 t t y Ab dan 2 2 t t y Ab pada persamaan 2 1 1 2 0 t t t y a y a y sehingga persamaan menjadi
2 1
1 2 0
t t t
Ab a Ab a Ab .
Dengan menghilangkan faktor taknol
t
Ab diperoleh persamaan karakteristik
2
1 2 0
b a b a , yang memiliki dua akar karakteristik 2 1 1 2 1 2 4 , . 2 a a a b b
Berdasarkan karakteristik akar pada akar
kuadrat dengan ekspresi
2 1 1 2 1 2 4 , 2 a a a
Kasus 1 : Akar real berbeda
Ketika 2 1 4 2
a a , persamaan beda memiliki akar real berbeda. Fungsi komplemen dapat ditulis sebagai kombinasi linear berbentuk
1 1 2 2
t t
c
y A b A b Kasus 2 : Akar real sama
Ketika 2 1 4 2
a a , persamaan beda memiliki akar real sama
1 1 2 ( ) 2 a b b b .
Fungsi komplemennya memiliki bentuk
3 4
t t
c
y A b A tb Kasus 3 : Akar kompleks
Ketika 2 1 4 2
a a , persamaan beda memiliki akar kompleks b b1, 2 h vi dengan
2 2 1 1 dan 4 2 2 a a a h v
dan fungsi komplemennya berbentuk
5 6 2 2 2 2 1 2 1 2 5 1 2 6 1 2 ( cos sin ) 4 dengan 4 ( ) t c y R A t A t a a a R h v a A A A A A A i
(Chiang & Wainwright 2005)
2.13 Trigonometri Hiperbolik
Definisi 2.13.1 (Fungsi Trigonometri Hiperbolik)
Fungsi sinus hiperbolik, kosinus hiperbolik, dan tangen hiperbolik didefinisikan sebagai:
1 sinh( ) 2 x x x e e
1 cosh( ) 2 sinh( ) tanh( ) cosh( )(Purcell & Varberg 1999)
x x x e e x x x 2 1 1 2 3 2 1 1 2 3 tanh
x coshx sinhxGambar 2. Ilustrasi fungsi trigonometri hiperbolik
III PEMODELAN
3.1 Model PerdaganganUntuk memahami lebih lanjut mengenai model perdagangan, dalam hal ini diperlukan pemahaman mengenai definisi strategi perdagangan dan gambaran dinamika harga dalam kaitannya dengan model, diawali dengan definisi formal mengenai strategi perdagangan untuk eksekusi program penjualan yang terdiri atas likuidasi sekuritas tunggal. Definisi dan hasil untuk program pembelian dapat dianalogikan secara lengkap sama dengan program penjualan.
Di bawah ini akan dijelaskan mengenai definisi strategi perdagangan dan dinamika harga yang berperan dalam model perdagangan.
3.1.1 Definisi Strategi Perdagangan Misalkan akan dilakukan eksekusi sebanyak X unit saham dari sebuah sekuritas yang secara lengkap akan dilikuidasi sebelum waktu T. T dibagi ke dalam N interval dengan panjang T
N
, dan didefinisikan waktu diskret tk k, untuk k0,...,N.
Suatu trayektori perdagangan didefinisikan sebagai x0,...,x , denganN x yaitu unit sahamk
yang direncanakan untuk dieksekusi pada waktu t . Banyaknya saham awal adalah k
0
x X, dan likuidasi pada waktu T adalah 0
N
x .
Dengan cara serupa seperti definisi pada trayektori perdagangan, secara spesifik strategi perdagangan terdiri atas n1,...,nN
