Soal Tentang Persamaan Trigonometri UN 2014

Soal tentang

Soal tentang Persamaan T

Persamaan Trigonometri UN 20

rigonometri UN 2014

14

 Nilai

 Nilai x x yang memenuhi persamaan 2 cosyang memenuhi persamaan 2 cos(2(2 x x − 60) = √3 untuk 0° ≤ − 60) = √3 untuk 0° ≤ x x ≤ 10° a!alah "# ≤ 10° a!alah "#

$# 20° $# 20° %# 30° %# 30° &# '° &# '° # 60° # 60° *# +0° *# +0°

Pembahasan

Pembahasan

,angkah pertama- kita pin!ah konstanta 2 ke ruas kanan# ,angkah pertama- kita pin!ah konstanta 2 ke ruas kanan# 2 cos

2 cos(2(2 x x − 60) = √3 − 60) = √3

cos

cos(2(2 x x − 60) = .√3 − 60) = .√3

/a!a interal 0° ≤

/a!a interal 0° ≤ x x ≤ 10° atau kua!ran  !an - kita cukup memanaatkan su!utsusut ≤ 10° atau kua!ran  !an - kita cukup memanaatkan su!utsusut

istime4a# istime4a# cos

cos(2(2 x x − 60°) = cos 30° − 60°) = cos 30°

22 x x − 60° = 30° − 60° = 30°

22 x x = +0° = +0°  x

 x = '° = '°

5a!i- nilai

5a!i- nilai x x !ari persamaan trigonometri terseut a!alah '° (&)# !ari persamaan trigonometri terseut a!alah '° (&)#

Soal tentang

Soal tentang Persamaan T

Persamaan Trigonometri UN

rigonometri UN 201

2011

1

7impunan penyelesaian persamaan 7impunan penyelesaian persamaan cos 2

cos 2 x x 8 cos 8 cos x x = 0- 0° ≤ = 0- 0° ≤ x x ≤ 10° a!alah "# ≤ 10° a!alah "#

$# $# 9'°- 9'°- 120°:120°: %# %# 9'°- 9'°- 13°:13°: &# &# 960°- 960°- 13°:13°: # # 960°- 960°- 120°:120°: *# *# 960°- 960°- 10°:10°:

Pembahasan

Pembahasan

;ntuk menyelesaikan soal !i atas kita harus mengingat kemali rumus cos 2 ;ntuk menyelesaikan soal !i atas kita harus mengingat kemali rumus cos 2 x x##

#

# cos 2 x = 1 − 2 sin2 x

<arena suku ke!ua pa!a soal !i atas erentuk kosinus maka cos 2 x harus !iuah seperti rumus

#

cos 2 x 8 cos x = 0

2 cos2_{ − 1 8 cos  = 0}

2 cos2 _{x 8 cos x − 1 = 0}

(2 cos x − 1)(cos x 8 1) = 0

cos x= . atau cos x = −1  x = 60°  x = 10°

5a!i- himpunan penyelesaian persamaan trigonometri terseut a!alah 960°- 10°: (*)#

Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2015

7impunan penyelesaian !ari persamaan cos 2 x − 3 cos x 8 2 = 0 pa!a interal 0° ≤ x ≤ 360°

a!alah "# $# 90°- 60°- 120°: %# 960°- 120°- 10°: &# 960°- 10°- 360°: # 90°- 60°- 120°- 10°: *# 90°- 60°- 300°- 360°:

Pembahasan

>oal ini mirip !engan soal seelumnya# ?ang perlu !iperhatikan a!alah interal 0° ≤ x ≤ 360°#

nteral ini meliputi semua kua!ran# cos 2 x − 3 cos x 8 2 = 0

2 cos2_{ − 1 − 3 cos}

 x 8 2 = 0

2 cos2 _{x − 3 cos x 8 1 = 0}

(2 cos x − 1)(cos x − 1) = 0

  cos x = . atau cos x = 1

/a!a interal 0° ≤ x ≤ 360°- kosinus ernilai positi ter@a!i pa!a kua!ran  !an A#

  cos x = .

cos x = cos 60°

<# A B  x = 360° − 60° = 300°   cos x = 1   cos x = cos 0° <# B  x = 0° <#A B  x = 360° − 0° = 360°

5a!i- himpunan penyelesaian persamaan trigonometri !i atas a!alah 90°- 60°- 300°- 360°: (*)#

Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2013

 Nilai x yang memenuhi persamaan cos 2 x − sin x = 0 untuk 0° C x C 360° a!alah ####

$# 930°- 10°: %# 930°- 2D0°: &# 930°- 10°- 10°: # 960°- 120°- 300°: *# 930°- 10°- 2D0°:

Pembahasan

>oal ini agak se!ikit ere!a !engan soal seelumnya# >uku ke!uanya erentuk sinus# >ehingga cos 2 x harus !iuah seperti rumus #

cos 2 x − sin x = 0 1 − 2 sin2  x − sin x = 0 −2 sin2 _{x sin x 8 1 = 0} 2 sin2  x 8 sin x − 1 = 0 (2 sin x − 1)(sin x 8 1) = 0

sin x = . atau sin x = −1

 Nilai sinus positi ter@a!i !i kua!ran  !an #   sin x = .

sin x = sin 30°

<#  B  x = 30°

<#  B  x = 10° − 30°

= 10°

>e!angkan nilai sinus negati !i kua!ran  !an A#   sin x = −1

  sin x = −sin +0°

<# B  x = 10° 8 +0°

= 2D0°

<#A B  x = 360° − +0°

= 2D0°

5a!i- nilai x yang memenuhi persamaan trigonometri !i atas a!alah 930°- 10°- 2D0°: (*)#

Soal tentang Persamaan Trigonometri UN 2012

7impunan penyelesaian !ari persamaan cos ' x 8 3 sin 2 x = −1 untuk 0° ≤ x ≤ 10° a!alah "#

$# 9120°- 10°: %# 910°- 16°: &# 930°- 10°: # 930°- 16°: *# 91°- 10°:

Pembahasan

;ntuk menyelesaikan soal !i atas- perhatikan analogi rumus erikut iniE cos 2 x = 1 − 2 sin21 x

cos ' x = 1 − 2 sin22 x

%er!asarkan analogi rumus terseut !iperolehB cos ' x 8 3 sin 2 x = −1 1 − 2 sin2 ₂  x 8 3 sin 2 x = −1 −2 sin2 _{2 x 8 3 sin 2 x 8 2 = 0} 2 sin2 ₂  x − 3 sin 2 x − 2 = 0 (2 sin 2 x 8 1)(sin 2 x − 2) = 0

sin 2 x = −. atau sin x = 2 (FG)

FG artinya ti!ak memenuhi karena nilai maksimum !ari sinus a!alah 1#

Geskipun interal pa!a soal !i atas a!alah 0° ≤ x ≤10°- namun kita harus @eli# >u!ut pa!a

 persamaan trigonometri !i atas a!alah 2 x# >ehingga interalnya sama !engan 0° ≤ 2 x ≤360°#

sin 2 x = −. sin 2 x = −sin 30° <# B 2 x = 10° 8 30° = 210°  x = 10° <#A B 2 x = 360° − 30° = 330°  x = 16°

5a!i- himpunan penyelesaian persamaan trigonometri terseut a!alah 910- 16°: (%)#

Soal No. 1

;ntuk 0° ≤  ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian !ari sin  = 1_H 2

Pembahasan

ariB sin  = 1_H

2

;ntuk harga a4al- su!ut yang nilai sin nya 1_H

2 a!alah 30°#

>ehingga sin  = 1_H

2

sin  = sin 30°

engan pola rumus yang pertama !i atasB

(i)  = 30 8 k _⋅ 360

k = 0 I  = 30 8 0 = 30 ° k = 1 I  = 30 8 360 = 3+0 ° (ii)  = (10 − 30) 8 k _⋅360

 = 10 8 k _⋅360

k = 0 I  = 10 8 0 = 10 ° k = 1 I  = 10 8 360 = 10 °

ari penggaungan hasil (i) !an hasil (ii)- !engan atas permintaan 0° ≤  ≤ 360°- yang !iamil seagai himpunan penyelesaiannya a!alahB

7/ = 930°- 10°:

Soal No. 2

;ntuk 0° ≤  ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian !ari cos  = 1_H 2

Pembahasan

1_H

2 a!alah nilai cosinus !ari 60°#

>ehingga cos  = cos 60° (i)  = 60° 8 k _⋅ 360° k = 0 I  = 60 8 0 = 60 ° k = 1 I  = 60 8 360 = '20° (ii)  = −60° 8 k _⋅360  = −60 8 k _⋅360 k = 0 I  = −60 8 0 = −60° k = 1 I  = −60 8 360° = 300°

7impunan penyelesaian yang !iamil a!alahB 7/ = 960°- 300°:

Soal No. 3

;ntuk 0° ≤  ≤ D20° tentukan himpunan penyelesaian !ari sin ( − 30) = 1_H 2 √3

Pembahasan

1_H

2 √3 miliknya sin 60°

sin (x − 30) = sin 0!

!an

;ntuk 0° ≤  ≤ D20°- 7/ = 9+0°- 10°- '0°- 10°:

Soal No. 4

;ntuk 0° ≤  ≤ 360° tentukan himpunan penyelesaian !ari cos ( − 30°) = 1_H

2 √2

Pembahasan

7arga a4al untuk1_H

2 √2 a!alah '°

7/ = 9D°- 3'°:

Soal No. 5

7impunan penyelesaian persamaanB

untuk 0 C  ≤ 2J a!alah##### $# 9JH2- 'JH3- JH3: %# 9JH2- DJH6- 'JH3: &# 9JH2- DJH6- JH3: # 9JH2- DJH6- 11JH6: *# 9JH2- JH3- 11JH6: Pembahasan

ari rumus su!ut rangkap !ari pela@aran seelumnyaB

"os 2x = "os2 x − sin2x "os 2x = 2 "os2 _{x − 1} "os 2x = 1 − 2 sin2 _x cos 2 8 sin  = 0 1 − 2 sin2 _{ 8 sin  = 0} − 2 sin2 _{ 8 sin  8 1 = 0} 2 sin2 _{ − sin  − 1 = 0} KaktorkanB (2sin  8 1)(sin  − 1) = 0 2sin  8 1 = 0 2sin  = −1 sin  = −1_H 2  = 210° !an  = 330° atau sin  − 1 = 0 sin  = 1  = +0° >ehinggaB

7/ = 9+0°- 210°- 330°: !alam satuan !era@at# 7/ = 9JH2- DJH6- 11JH6: !alam satuan ra!ian#

 Jawaban : D.

Soal No. 

7impunan penyelesaian persamaan"os 2x # 5 sin x # 2 = 0 untuk 0 ≤  ≤ 2J a!alah"

$# 92JH3-'JH3: %# 9'JH3- JH3: &# 9JH6- DJH6: # 9JH6- 11JH6: *# 9DJH6- 11JH6:

Pembahasan

/ersamaan trigonometriB

Gisalkan sin  seagai / !an @uga cos 2 = 1 − 2sin2 _

Soal No. $

7impunan penyelesaian persamaan2"os 2x − 3 "os x # 1 = 0 untuk 0 C  C 2J a!alah"

$# 9JH6- JH6: %# 9JH6- 11JH6: &# 9JH3- 2JH3: # 9JH3- JH3: *# 92JH3- 'JH3: Pembahasan 2"os 2x − 3 "os x # 1 = 0 KaktorkanB (2cos  − 1)(cos  − 1) = 0 (2cos  − 1) = 0 2cos  = 1 cos  = 1H2  = 60° = JH3 !an  = 300° = JH3 atau (cos  − 1) = 0 cos  = 1

 = 0° !an  = 360° = 2J (Fi!ak !iamil- karena !iminta 0 C  C 2J) 5a!i 7/ = 9JH3- JH3:

5a4aanB 

Soal No. %

7impunan penyelesaian !ari persamaan cos ' 8 3 sin 2 = −1 untuk 0° ≤  ≤ 10° a!alah" $# 910°-16°:

%# 9120°-10°: &# 910°-16°:

# 930°-16°: *# (1°-10°)

Pembahasan

;ah ke entuk sin semua- !engan rumus su!ut rangkap- kemu!ian aktorkanB cos ' 8 3 sin 2 = −1

;ntuk aktor

Fi!ak Gemenuhi- lan@ut ke aktor

iperoleh