MODUL PRAKTIKUM
MODUL PRAKTIKUM
KOMPUT
KOMPUTASI
ASI GEOFISIKA
GEOFISIKA
DIBUAT OLEH :
DIBUAT OLEH :
TIM ASISTEN PRAKTIKUM KOMPUTASI GEOFISIKA
TIM ASISTEN PRAKTIKUM KOMPUTASI GEOFISIKA
DEPARTEMEN TEKNIK GEOFISIKA
DEPARTEMEN TEKNIK GEOFISIKA
FAKULTAS TEKNIK SIPIL, LINGKUNGAN DAN
FAKULTAS TEKNIK SIPIL, LINGKUNGAN DAN
KEBUMIAN
KEBUMIAN
INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
DAFTAR ISI
DAFTAR ISI
DAFTAR ISIDAFTAR ISI... ... ii DAFTAR GAMBAR
DAFTAR GAMBAR ... ... ... iiiiii MODUL I DASAR
MODUL I DASAR – – DASAR PEMOGRAMAN MATLAB DASAR PEMOGRAMAN MATLAB ... ... 11
1. Pendahuluan 1. Pendahuluan ... ... ... 11 1.1 Latar Belakang 1.1 Latar Belakang ... ... .. 11 1.2 Tujuan 1.2 Tujuan ... .. 11 2. Dasar Teori 2. Dasar Teori ... ... 11 2.1 Skalar dan Matriks
2.1 Skalar dan Matriks ... 1... 1 2.2 Struktur dalam MatLab
2.2 Struktur dalam MatLab ... 2 ... 2 2.3 If-While-For statement
2.3 If-While-For statement ... 3... 3 3. Tugas
3. Tugas ... 3... 3 MODUL II LINIER & NON-LINIER
MODUL II LINIER & NON-LINIER ... 4... 4 1. Pendahuluan 1. Pendahuluan ... ... ... 44 1.1 Latar Belakang 1.1 Latar Belakang ... ... .. 44 1.2 Tujuan 1.2 Tujuan ... .. 44 2. Dasar Teori 2. Dasar Teori ... ... 44 2.1 Penyelesaian Sistem Linier
2.1 Penyelesaian Sistem Linier ... ... .. 44 2.2 Penyelesaian Sistem Non-Linier
2.2 Penyelesaian Sistem Non-Linier ... 9... 9 3. Tugas
3. Tugas ... ... 1111 MODUL III INTEGRAL & TURUNAN
MODUL III INTEGRAL & TURUNAN ... 12... 12 1. Pendahuluan 1. Pendahuluan... 12... 12 1.1 Latar Belakang 1.1 Latar Belakang ... 12... 12 1.2 Tujuan 1.2 Tujuan ... 12... 12 2. Dasar Teori 2. Dasar Teori ... ... 1212 2.1 Integral 2.1 Integral... 12... 12 2.2 Turunan 2.2 Turunan ... 15... 15 3. Tugas 3. Tugas ... ... 1616 MODUL IV OPTIMASI &
MODUL IV OPTIMASI & EIGEN-VALUEIGEN-VALUESES ... 17 ... 17 1. Pendahuluan 1. Pendahuluan... 17... 17 1.1 Latar Belakang 1.1 Latar Belakang ... 17... 17 1.2 Tujuan 1.2 Tujuan ... 17... 17 2. Dasar Teori 2. Dasar Teori ... ... 1717 2.1 Finding Values (Bisection, Graphical Method)
2.2 Optimasi... 18
2.3 Eigen Values ... 19
3. Tugas ... 20
MODUL V TUGAS BESAR ... 21
1. Pendahuluan... 21
1.1 Latar Belakang ... 21
1.2 Tujuan ... 21
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1. 1 Pemanggilan variabel ‘Praktikum’ pada Command Window ... 2 Gambar 1. 2 Pemanggilan variabel ‘Seismic’ pada Command Window ... 3 Gambar 2. 1 plot kurva dari persamaan (2.16) dimana solusinya adalah
x1 2
danx2 3
(Chapra, 2008) ... 9 Gambar 2. 2 Ilustrasi pendekatan Newton Raphson (Chapra, 2008) ... 11 Gambar 3. 1 Pendekatan integral dapat dilakukan dengan (a) garis lurus (trapezoid) dan (b) parabola (Chapra, 2008)... 12Gambar 3. 2 Luas kurva dengan pendekaran linier dibagi menjadi s egmen-segmen sebanyak n (Chapra, 2008) ... 13 Gambar 3. 3 Luas kurva dengan pendekaran parabolik dibagi menjadi segmen-segmen sebanyak n (Chapra, 2008) ... 14 Gambar 3. 4 Simpson’s 1/3 dan 3/8 diaplikasikan bersama pada suatu kurva (Chapra, 2008) ... 15 Gambar 3. 5 (a) dan (b) merupakan gambaran dari diferensial, sedangkan (c) merupakan derivatif (Chapra, 2008) ... 15 Gambar 4. 1 Contoh script untuk Bisection ... 18 Gambar 4. 2 Ilustrasi dalam penentuan nilai maksimal dan minimal (Chapra, 2008)... 19 Gambar 4. 3 Penentuan parameter – parameter yang digunakan dalam metode Golden Section Search ... 19
MODUL I
DASAR
–DASAR PEMOGRAMAN MATLAB
1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Dalam memahami pemograman MatLab, diperlukan pemahaman yang berbeda dibandingkan dengan bahasa pemograman yang lain. MatLab merupakan perangkat lunak yang sangat berguna dengan kemudahannya dalam memanggil function yang sudah tersedia. Tidak seperti bahasa pemograman yang lain, yang harus membuat dari awal terlebih dahulu ataupun harus memiliki paket function tertentu. Dalam MatLab sendiri, biasanya dapat digunakan untuk perhitungan yang diperuntukan para Engineer dimana selain itu, dapat membuat suatu aplikasi dengan layout yang sudah diberikan oleh Matlab. Oleh karena itu, dengan mengetahui dasar – dasar dari pemograman dari MatLab sendiri, diharapkan praktikan dapat mengembangkan pemograman sesuai yang akan ditekuninya.
1.2 Tujuan
Memahami dasar – dasar pemograman MatLab
Dapat mengaplikasikan dasar – dasar pemograman MatLab dalam perhitungan geofisika
2. Dasar Teori
2.1 Skalar dan Matriks
2.1a Skalar
Skalar merupakan jenis data yang berupa satuan. Pada matematika sendiri, biasanya skalar hanya berdiri satu angka dan tidak berpengaruh dengan arah geraknya. Sedangkan input/output dalam bentuk skalar merupakan bentuk dalam jenis ‘interger’ . 2.1b Matriks
Apabila pada subsubab 2.1a menjelaskan skalar yang beridiri sendiri. Maka matriks merupakan kumpulan dari skalar tersebut yang dijadikan dalam 1 struktur matriks. Matriks sendiri memiliki ukuran m x n, dimana dengan mengetahui ukuran dari matriks tersebut sangat berguna untuk melakukan perhitungan selanjutnya.
Transpose Matriks
Diberi tanda petik (‘) di akhir
2.2 Struktur dalam MatLab
2.2a Cell
Merupakan struktur dalam MatLab yang berupa gabungan dari nilai nilai matriks atau skalar tertentu. Dalam pembuatan cell sendiri merupakan pembuatan suatu variabel baru dengan menggunakan tanda{} seperti berikut dimana matriks merupakan contoh
matriks dengan bentuk 1x3,
Dan pada command window apabila dipanggil cell ‘Praktikum’ akan menampilkan seperti berikut,
Gambar 1. 1 Pemanggilan variabel ‘Praktikum’ pada Command Window
2.2b Structure
Untuk mempermudah atau mengurangi banyak variabel (digunakan dalam geofisika atau data lainnya), MatLab menyediakan fitur structure yang berguna untuk membuat sebuah variabel yang bercabang. Sehingga apabila kita memiliki suatu variabel ‘Seismic’ dimana memiliki variabel cabang yaitu, ‘Traces’, ‘Header’, dan ‘Time’, maka dapat dibuat menggunakan script seperti berikut,
Dimana untuk menggabungkan variabel variabel tersebut menggunakan dot (.) untuk membuat structure dari seismic. Apabila ingin mengetahui, struktur dari Seismic sendiri, maka dapat dipanggil dengan cara menginput Seismic di command window,
Gambar 1. 2 Pemanggilan variabel ‘Seismic’ pada Command Window
2.3 If-While-For statement
2.3a If Statement
If Statement merupakan bahasa pemograman yang bertujuan untuk melaksanakan sesuatu (dapat berupa perhitungan atau lainnya) dengan syarat syarat tertentu. Untuk menggunakan if statement dapat menggunakan argumen seperti berikut,
Argumen Deskripsi
= Sama dengan
~= Tidak Sama Dengan > Lebih dari
< Kurang dari
>= Lebih dari sama dengan <= Kurang dari sama dengan
| | Atau
&& Dan
2.3b While loop
While loop merupakan jenis looping yang berguna untuk memaksimalkan atau pengulangan suatu pemograman sampai tercapainya suatu parameter. Sedikit sama dengan if statement yang dimana memanfaatkan suatu parameter untuk mengeksekusi script . Sedangkan While loop memiliki kelebihan dimana pemograman akan terus berjalan sampai dengan suatu parameter tercapai,
2.3c For loop
For loop merupakan jenis looping tertutup dimana untuk melakukan script -nya akan dibatas dari batas awal sampai akhir seperti i = 1,2,3,...,N. Oleh karena itu, penggunakan For loop biasanya digunakan untuk perhitunga yang diskrit dan memiliki batasan yang sudah diinginkan.
3. Tugas
1. Membuat 3 persamaan sederhana berorde 2.
2. Menghitung menggunakan persamaan yang telah dibuat dari langkah 1 menggunakan for loop dan/atau while loop serta if statement .
3. Hasil dari perhitungan dibuat ke dalam bentuk struktur . 4. Melakukan plot antara hasil dengan variabelnya.
MODUL II
LINIER & NON-LINIER
1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Permasalahan sehari-hari dapat disederhanakan dalam suatu persamaan. Persamaan tersebut dapat berupa persamaan linier atau persamaan non-linier. Untuk menyelesaikan permasalahan tersebut, dibutuhkan suatu penyelesaian. Dalam praktiknya, persamaan tersebut dapat berupa persamaan yang rumit, yang apabila diselesaikan secara manual dapat menghabiskan waktu yang lama. Sehingga untuk mempersingkat waktu penyelesaian, digunakan MATLAB untuk memudahkan perhitungan.
1.2 Tujuan
Praktikan dapat merepresentasikan sistem persamaan linier dan non-linier dalam bentuk matriks
Praktikan dapat melakukan penyelesaian sistem persamaan linier dan non-linier menggunakan MATLAB
Praktikan dapat mengaplikasikan perhitungan Integral dan Turunan pada perhitungan metode Geofisika menggunakan MATLAB
2. Dasar Teori
2.1 Penyelesaian Sistem Linier
Persamaan linier adalah suatu kalimat matematika terbuka yang variabel berderajat (berpangkat) satu.
merupakan contoh sistem persamaan linier, dengan
,,,
dan
adalah konstanta. a. Invers MatriksApabila jumlah persamaan (M) sama dengan jumlah variabel (N) maka dapat digunakan metode invers matriks. Misal untuk persamaan (2.2)
6
2
2
3
13
2
dapat dituliskan dalam bentuk matriks
1 1 1
2 1 3
1 2 1
6132
dimana
merupakan parameter model,
adalah matriks kernel, dan
adalah data. Untuk menghitung nilai
dapat dilakukan dengan mengalikan invers
pada kedua ruas.
−
−
−
(2.1) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5)Di MATLAB, persamaan (2.5) dituliskan sebagai >> x = inv(A)*b atau
>> x = A\b
Karena menggunakan invers, maka operasi ini hanya bisa dilakukan apabila
bukan merupakan matriks singular (determinan
tidak sama dengan nol).Apabila persamaannya overdetermined
>
, maka harus dikalkulasi dengan mengalikan transpose
sehingga menjadi matriks kotak
′
−
′
b. Eliminasi Gauss
Metode eliminasi Gauss merupakan metode untuk mendapatkan nilai suatu variabel dengan cara me-nol-kan bagian lower matriks
. Metode ini terdiei dari forward elimination dan backward substitution.Misal
:
:
:
:
3
4
2
1
3
2
3
2
3
4
Forward elimination
:
2
→
:
3
→
→
:
:
4
3
3
5
3
7
2
7
4
15
8
:
:
4
3
→
→
:
:
3
13
3
5
13
7
4
13
13
Backward substitution
:
−
−
1
:
1313
1313 0
:
75
750 2
:
43
4 3 2 1
Dituliskan dalam bentuk matriks
1 1 0
2 1 1
3 1 1
1 2 3 1
312
4134
(2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.10)Pengoperasian metode eliminasi Gauss dengan matriks dilakukan dengan membuat augmented matrix, yaitu menggabungkan matriks
dengan
4 | 1 3 2 1 3 | 2 1 1 3 1 | 1 1 1 2 4 | 3 0 1 1 Menghilangkan
dengan
8 | 2 3 3 0 15 | 7 1 4 0 7 | 5 1 1 0 4 | 3 0 1 1 Menghilangkan
dengan
13 | 13 0 0 0 13 | 13 3 0 0 7 | 5 1 1 0 4 | 3 0 1 1Kemudian dilakukan backward substitution.
1313 1
13131
3 0
71051
1
2
4120031
1
1
c. Eliminasi Gauss Jordan
Jika metode eliminasi Gauss hanya me-nol-kan matriks lower , metode Gauss-Jordan me-nol-kan lower dan upper sehingga menjadi matriks identitas.
Baris ke 1 dibagi dengan
, lalu baris lainnya dieliminasi dengan baris 1, sehingga kolom 1 (selain baris 1) menjadi 0
4 | 1 3 2 1 3 | 2 1 1 3 1 | 1 1 1 2 4 | 3 0 1 1
8 | 2 3 3 0 15 | 7 1 4 0 7 | 5 1 1 0 4 | 3 0 1 1Baris ke 2 dibagi dengan
, lalu baris lainnya dieliminasi dengan baris 2, sehingga kolom 2 (selain baris 2) menjadi 0
8 | 2 3 3 0 15 | 7 1 4 0 7 | 5 1 1 0 4 | 3 0 1 1
13 | 13 0 0 0 13 | 13 3 0 0 7 | 5 1 1 0 3 | 2 1 0 1Baris ke 3 dibagi dengan
, lalu baris lainnya dieliminasi dengan baris 3, sehingga kolom 3 (selain baris 3) menjadi 0
13 | 13 0 0 0 33 , 4 | 33 , 4 1 0 0 7 | 5 1 1 0 3 | 2 1 0 1
13 | 13 0 0 0 33 , 4 | 33 , 4 1 0 0 67 , 2 | 67 , 0 0 1 0 33 , 1 | 33 , 2 0 0 1Baris ke 4 dibagi dengan
, lalu baris lainnya dieliminasi dengan baris 4, sehingga kolom 4 (selain baris 4) menjadi 0
1 | 1 0 0 0 33 , 4 | 33 , 4 1 0 0 67 , 2 | 67 , 0 0 1 0 33 , 1 | 33 , 2 0 0 1
1 | 1 0 0 0 0 | 0 1 0 0 2 | 0 0 1 0 1 | 0 0 0 1Sehingga didapatkan nilai
1
;
2
;
0
; dan
1
d. Iterasi JacobiMisal
10
2
6
11
3
25
2
3
10
8
15
11
Dipindah ruas sehingga menjadi
110
210
610
111
111
311
2511
210
110
110
1110
38
18
158
110
210
610
111
111
311
2511
(2.11) (2.12)
210
110
110
1110
38
18
158
Dituliskan dalam bentuk matriks
8 15 10 11 11 25 10 6 0 8 1 8 3 0 10 1 0 10 1 10 2 11 3 11 1 0 11 1 0 10 2 10 1 0 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1 ) ( 4 ) ( 3 ) ( 2 ) ( 1x
x
x
x
x
x
x
x
lama lama lama lama baru baru baru baru Inisiasi awal
0;0;0;0
610
2511
1110
158
Nilai
ini menjadi
pada perhitungan selanjutnya
110
210
610
111
111
311
2511
210
110
110
1110
38
18
158
Perhitungan seperti ini dilakukan terus hingga nilai iterasi maksimum atau hingga tercapai error maksimal yang ditoleransi
Tabel 2.1. Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10
k 0 1 2 3 4 ... 9 10
0,0000 0,6000 0,9326 0,9326 1,0152 ... 0,9997 1,0001
0,0000 2,2727 2,0530 2,0530 1,0357 ... 2,0004 1,9998
0,0000 -1,1000 -1,0493 -1,0493 -0,9681 ... -1,0004 -0,9998
0,0000 1,8852 1,1309 1,1309 0,9739 ... 1,0006 0,9998 Hasil akhir iterasi ke-10 sudah mendekati solusi yang tepat yaitu : 1;2; 1;1
e. Iterasi Gauss Seidel
Metode ini hampir sama dengan metode iterasi Jacobi, hanya saja vektor
yang langsung digunakan pada persamaan berikutnya (tanpa menunggu iterasi berikutnya.
110
210
610
111
111
311
2511
210
110
110
1110
38
18
158
2.2 Penyelesaian Sistem Non-Linier
Persamaan non linier adalah suatu kalimat matematika dengan variabel berderajat bukan satu atau mengandung nilai fungsi non linier, seperti log, sin dan lain sebagainya.
11
7 12
2 6 4log
2
/
3
a. Substitusi Suksesif
Prinsipnya sama dengan iterasi Gauss-Seidel, dimana setiap persamaan nonlinier dapat menjadi penyelesaian dari persamaan lainnya. Dihitung secara iterasi sehingga (diharapkan) dapat konvergen mendekati suatu solusi.
Contoh,
10
3
57
Gambar 2. 1 plot kurva dari persamaan (2.16) dimana solusinya adalah
2
dan
3
(Chapra, 2008)Persamaan (2.16a) dapat diselesaikan dengan
10
dan persamaan (2.16b) dapat diselesaikan dengan
573
(2.15) (2.14)
(2.16a) (2.16b)
Dengan asumsi awal
1,5
dan
3,5
disubstitusikan untuk mengetahui nilai
dan
10 1,5
3,5 2,21429
5732,214293,5
24,37516
Terlihat bahwa pendekatan menunjukkan divergensi. Apabila dilakukan i terasi kedua
102,21429
24,37516 0,20910
5730,2091024,37516
429,709
Jelas bahwa pendekatan ini tidak sesuai. Maka diperlukan komputasi dengan cara lain. Persamaan (2.16) dihitung dengan solusi alternatif sebagai berikut
√ 10
57
3
Substitusi asumsi awal nilai
dan
√ 10 1,53,5 2,17945
573,5
32,17945 2,86051
√ 102,179452,86051 1,94053
57 2,86051
31,94053 3,04955
Pendekatan ini konvergen menuju nilai
2
dan
3
b. Newton RaphsonMetode Newton Raphson menggunakan derivatif/gradien untuk menentukan penyelesaian suatu sistem persamaan non-linier. Deret Taylor orde 1 :
+
+
dimana
merupakan asumsi awal dan
+
merupakan titik dimana gradien berpotongan dengan sumbu-x (gambar 2.2). Persamaan (2.17) dapat dituliskansebagai
+
′
Kemudian dengan persamaan (2.18) dilakukan iterasi hingga nilai iterasi maksimal atau hingga nilai error yang ditoleransi (dimana
|
+
| ≈ 0
)(2.17)
Gambar 2. 2 Ilustrasi pendekatan Newton Raphson (Chapra, 2008)
3. Tugas
Terapkan metode penyelesaian sistem persamaan linier dan non-linier (yang ada pada dasar teori) ke dalam MATLAB
MODUL III
INTEGRAL & TURUNAN
1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Dalam pembelajaran yang telah dilakukan dalam Kalkulus maupun Fisika Dasar, selalu terdapat perhitungan menggunakan integral dan/atau diferensial (turunan). Dalam perhitungan sistematis, suatu persamaan dapat diubah menjadi persamaan yang lebih sederhana setelah melalui proses ini. Namun, untuk perhitungan untuk mendapatkan solusi yang unique, perhitungan manual membutuhkan waktu serta energi yang cukup banyak. Selain itu, dalam pendekatan persamaan yang digunakan dalam metode geofisika pun menggunakan integral ataupun diferensial yang seperti contohnya dalam mendapatkan kecepatan dan lainnya. Oleh karena itu, dengan menggunakan MatLab dalam perhitungan integral dan turunan, diharapkan praktikan dapat mendapatkan solusi yang unique pada persamaan integral dan differensial yang kompleks.
1.2 Tujuan
Praktikan memahami perhitungan Integral dan Turunan menggunakan MatLab
Praktikan dapat mengaplikasikan perhitungan Integral dan Turunan pada perhitungan metode Geofisika menggunakan MatLab
2. Dasar Teori
2.1 Integral
Untuk menentukan luasan di bawah suatu kurva dapat digunakan integral. Prinsip dari integral adalah membagi luasan tersebut menjadi bagian-bagian kecil, lalu luasan bagian kecil tersebut didekati dengan rumus luas bangun 2 dimensi biasa, dan akhirnya dijumlahkan sehingga didapatkan luasan total kurva tersebut. Bangun 2 dimensi yang dimaksud bisa berupa trapesium, persegi, ataupun yang lainnya.
Gambar 3. 1 Pendekatan integral dapat dilakukan dengan (a) garis lurus (trapezoid) dan (b) parabola (Chapra, 2008)
Composite Trapezoidal Rule (Orde 1)
Gambar 3.1.(a) menunjukkan pendekatan dengan garis yang membentuk bangun trapesium. Integral dari f(x) adalah
∫ x
dengan menggunakan persamaan garis orde 1, persamaan (3.1) menjadi
∫ ( )
−
−
Rumus luas trapesium adalah
(+)−
Jika luasan dibawah kurva dibagi menjadi segmen-segmen sebanyak n (gambar 3.2), maka
...
ℎ2(
)ℎ2(
)...ℎ2(
−
)
[
2∑
−
=
]
Denganℎ
−
Gambar 3. 2 Luas kurva dengan pendekaran linier dibagi menjadi segmen-segmen sebanyak n (Chapra, 2008)
* Fungsi di MATLAB untuk integral trapezoid dituliskan dengan >> trap (y,a,b,n) dengan y = fungsi kurva a = batas bawah b = batas atas n = banyak segmen
I ntegral
Simpson’s RuleSelain dengan trapesoid, integral juga dapat didekati dengan polinom atau dengan orde yang lebih besar. Semakin besar orde, semakin besar pula ketelitiannya.
a. Simpson’s 1/3 Rule (Orde 2)
(3.2)
(3.3)
4
6
4
dimanaℎ /2
.Jika luasan dibawah kurva dibagi menjadi segmen-segmen sebanyak n (gambar 3.3), maka
...
2ℎ
4
6
2ℎ
4
6
⋯
2ℎ
−
4
6
−
+ ∑
,,
+ ∑ (
,,
)
+
Gambar 3. 3 Luas kurva dengan pendekaran parabolik dibagi menjadi segmen-segmen sebanyak n (Chapra, 2008)
b. Simpson’s 3/8 Rule (Orde 3)
3
3
dengan
ℎ /3
(3.5)
(3.6)
Gambar 3. 4 Simpson’s 1/3 dan 3/8 diaplikasikan bersama pada suatu kurva (Chapra, 2008)
I ntegr ation with Unequal Segments
Dapat diselesaikan dengan pendekatan trapesium pada setiap segmen
ℎ
+
ℎ
+
⋯ℎ
+
* Fungsi di MATLAB untuk unequal segments >> trapuneq (x,y)
2.2 Turunan
Diferensial dapat diartikan sebagai perbedaan.
∆∆
∆
∆
Apabila
∆
mendekati nol, maka diferensial tersebut menjadi derivatif (turunan) lim
∆→
∆
∆
Gambar 3. 5 (a) dan (b) merupakan gambaran dari diferensial, sedangkan (c) merupakan derivatif (Chapra, 2008)
* Fungsi di MATLAB untuk diferensial adalah diff
(3.8)
(3.9)
>> diff (x) menghitung
+
atau gradient>> gradient (f,h) dengan h adalah
+
Apabila jarak antar data tidak sama, dapat digunakan polinomial Lagrange (3.11) untuk pendekatan turunannya
Turunan polinomial orde 2
2
2
2
3. Tugas
1. Selesaikan∫ 1
a. analisa matematis b. single trapezoidal rulec. composite trapezoidal rule dengan n = 3 d. single Simpson’s 1/3 rule
e. composite Simpson’s 1/3 rule dengan n = 4 f. fungsi trap dengan n = 4
2. Tentukan turunan dari
2
6
12 8
pada 0
berdasarkan nilai
0,5
;
1
;
2
dengan menggunakan a. Persamaan (3.12)b. diff atau gradient dengan h = 1 Orde 1
Orde 2
(3.11a)
(3.12) (3.11b)
MODUL IV
OPTIMASI & EIGEN-VALUES
1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Dalam penerapan suatu alat beserta penggunaannya, user selalu menginginkan nilai yang optimal agar menghasilkan nilai yang paling optimal bagi user . Untuk mendapatkan nilai tersebut, maka diperlukan optimasi yang sesuai dengan alat tersebut. Sedangkan, ketika suatu benda yang saling terhubung satu sama lain, seharusnya memiliki persamaan yang mengikat keduanya. Untuk mempermudah dalam perhitungan tersebut, model perhitungan menggunakan Eigen-values merupakan cara yang mudah untuk
mempresentasikan hal tersebut.
1.2 Tujuan
Mahasiswa memahami teori Optimasi dan Eigen-values menggunakan perangkat lunak MatLab
Mahasiswa memahami aplikasi dari Optimasi dan Eigen-values dalam metode geofisika
2. Dasar Teori
2.1 Finding Values (Bisection, Graphical Method) 2.1a Graphical Method
Untuk mendapatkan suatu nilai persamaan sendiri dapat menggunakan pendekatan grafik, dimana menggunakan cara menghitung terlebih dahulu grafik awal dari suatu persamaan dengan nilai variabel dengan range tertentu. Kemudian, diinterpretasikan nilai
2.1b Bisection
Metode pencarian suatu akar persamaan menggunakan metode bisection ialah dengan cara membandingkan nilai tengah dari nilai Upper (tertinggi) dan nilai Lower (Terendah).
2
Kemudian, nilai dari xr dibandingkan dengan nilai x L, apabila nilai xr > x L , maka xrmenjadi
x L. Sedangkan apabila xr< x L, maka xr menjadi xU . Oleh karena itu, diperlukan pernyataan
pernyataan tertentu dari cara ini. Cara untuk membuat pernyataan – pernyataan tersebut dapat dibentuk menggunakan if statement . Seperti berikut,
Gambar 4. 1 Contoh script untuk Bisection
2.2 Optimasi
2.2a Golden Section Search
Optimasi yang dimaksud dalam Golden Section Search kali ini merupakan optimasi yang diperuntukan engineer dalam menganalisa suatu nilai yang maksimum atau minimum.
Gambar 4. 2 Ilustrasi dalam penentuan nilai maksimal dan minimal (Chapra, 2008)
Dalam pengaplikasiannya, Golden Section sendiri berdasarkan angka euclid (ø) yang memiliki nilai1.6180339887 (Chpra, 2012). Pencarian nilai tersebut sebenarnya memiliki metode yang sedikit sama dengan Bisection, tetapi syarat syarat yang digunakan berbeda, karena nilai yang digunakan ialah,
Dimana
ø1
Syarat yang digunakan untuk mencari segmen minimum tersebut ialah, ketika f(x1 ) <
f(x2) maka f(x1 ) merupakan nilai minimum dan domain diantara x2 dan xL akan dieleminasi
karena nilai tidak ada nilai minimum diantara domain tersebut serta x2 akan menjadi nilai
xLyang baru. Sedangkan, ketika ketika f(x2 ) < f(x1), maka f(x2 ) merupakan nilai minimum
sehingga nilai antara x1 sampai xUakan d eleminasi dan kemudian x1 akan menjadi nilai
xU terbaru. Untuk mencari segmen maksimum, maka syarat yang digunakan ialah
kebalikannya.
Gambar 4. 3 Penentuan parameter – parameter yang digunakan dalam metode Golden Section Search
2.3 Eigen Values
Eigen Values sendiri merupakan nilai yang dinotasikan dengan ʎ, dimana memiliki penyelesaian suatu persamaan yang sama dengan 0 ketika hanya x = 0. Dalam dunia
engineer persamaan tersebut dapat diselesaikan dalam bentuk seperti berikut,
I
0
Dalam proses perhitungannya, nilai dari eigen-values bergantung dari dimensi matriks A, berikut contoh perhitungan menggunakan eigen-values,
Dari persamaan tersebut diambil nilai determinannya,
Dan memiliki solusi seperti berikut,
Untuk memahami kasus yang menggunakan eigen-values dapat dilihat di Chapra (2008).
3. Tugas
1. Mahasiswa melakukan penerapan dasar teori dari Finding Values 2. Mahasiswa melakukan penerapan dasar teori dari Optimasi
3. Mahasiswa melakukan penerapan dasar teori dari Eigen Values
4. Mahasiswa membuat suatu script yang berdasarkan Eigen Values, dimana yang dapat berkaitan dengan metode geofisika ataupun engineer (Instrumentasi).
MODUL V
TUGAS BESAR
1. Pendahuluan
1.1 Latar Belakang
Setelah melalui pembelajaran dalam dasar – dasar pemograman MatLab beserta contoh aplikasinya dalam geofisika, diperlukan suatu pengujian berdasarkan pemahaman mahasiswa terkait komputasi geofisika. Dengan membuat suatu pemograman yang sesuai dengan bidangnya, maka diperlukan presentasi yang bertujuan untuk meningkatkan pemahaman dari mahasiswa terkait komputasi. Oleh karena itu, Tugas Besar ini dilakukan bertujuan untuk memberikan ruang kepada mahasiswa dalam memahami suatu perhitungan geofisika menggunakan perangkat lunak MatLab.
1.2 Tujuan
Meningkatkan pemahaman mahasiswa terkait perhitungan geofisika dalam perangkat lunak MatLab
3. Metodologi
1. Mahasiswa membentuk kelompok beranggotakan 3 orang.
2. Setiap kelompok memilih suatu topik yang berbeda setiap kelompok
3. Setiap kelompok membuat script yang dapat meggunakan materi dari modul sebelumnya dan/atau materi di luar modul terkait topik yang telah diangkat oleh kelompok tersebut.
REFERENSI
Chapra, Steven C. 2008. Applied Numerical Method With Matlab for Engineers and Scientists, Third Edition. New York: McGraw-Hill.
Yang, Won Young, dkk. 2005. Applied Numerical Method Using Matlab.Canada: John Wiley
