ABSTRAK
Pergerakan lapisan fluida merupakan salah satu masalah yang biasanya
muncul pada bidang perminyakan. Pergerakan lapisan fluida dapat diselesaikan dan
disimulasikan dengan menggunakan banyak metode dan aplikasi komputer.
Dalam skripsi ini, dibahas mengenai penyelesaian masalah pergerakan
lapisan fluida yang melibatkan minyak dan air. Masalah pergerakan lapisan fluida
diselesaikan dengan menggunakan dua metode yaitu metode volume hingga
Lax-Friedrichs dan metode beda hingga. Metode volume hingga bekerja dengan cara
membagi domain ruang menjadi beberapa bagian kemudian dihitung rata-rata
kuantitas untuk masing-masing bagian. Metode beda hingga bekerja dengan
menghampiri solusi masalah secara titik demi titik. Pengujian dilakukan
menggunakan simulasi numeris. Analisis hasil simulasi dilakukan dengan
membandingkan hasil solusi numeris dengan solusi eksak, untuk kasus yang
mempunyai solusi eksak.
The motion of fluid layers is one of problems that usually happened in petroleum
engineering. The motion of fluid layer can be solved and simulated using many methods and
computer application.
In this undergraduate thesis, the solution to the problem of motion of fluid layers involving
oil and water will be discussed. The problem of motion of fluid layers can be solved using two
methods: Lax-Friedrichs finite volume method and finite difference method. The finite volume
method works by dividing the spatial domain into a finite number of cells, then calculating the
average quantity of each cell. The finite difference method works by approaching the solution to
the problem point by point. Test cases were done using numerical simulations. Simulation result
analysis was conducted by comparing numerical solutions with the analytical ones, for cases
having analytical solutions.
METODE NUMERIS UNTUK MENYELESAIKAN MODEL
PERGERAKAN LAPISAN FLUIDA YANG MELIBATKAN
MINYAK DAN AIR
Skripsi
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
Friska Dwi Mesra Mangadil
NIM: 133114007
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
NUMERICAL METHOD FOR SOLVING A MOTION MODEL
OF FLUID LAYERS INVOLVING OIL AND WATER
Thesis
Presented as a Partial Fulfillment of the Requirements
to Obtain the Degree ofSarjana Sains
in Mathematics
By :
Friska Dwi Mesra Mangadil
Student Number: 133114007
MATHEMATICS STUDY PROGRAM, DEPARTMENT OF MATHEMATICS
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
MOTTO
“Segala perkara dapat kutanggung didalam Dia yang memberi kekuatan
kepadaku” (Filipi 4:13)
“Karena masa depan sungguh ada, dan harapanmu tidak akan hilang” (Amsal
23:18)
HALAMAN PERSEMBAHAN
Karya ini kupersembahkan untuk:
Tuhan Yesus Kristus yang senantiasa menyertai, mendengarkan, dan selalu
memberi perlindungan.
Bapak Mesak Luas, Ibu A. Irawati Pongkapadang, Laurance Feien Eka Prakasa
Mangadil, S.E., Falerio Ishak Renfeika Mangadil, dan Akhmalia Fiabel Hawari
Mangadil yang selalu mendukung, dan memberi keceriaan ketika rindu
ABSTRAK
Pergerakan lapisan fluida merupakan salah satu masalah yang biasanya
muncul pada bidang perminyakan. Pergerakan lapisan fluida dapat diselesaikan
dan disimulasikan dengan menggunakan banyak metode dan aplikasi komputer.
Dalam skripsi ini, dibahas mengenai penyelesaian masalah pergerakan
lapisan fluida yang melibatkan minyak dan air. Masalah pergerakan lapisan fluida
diselesaikan dengan menggunakan dua metode yaitu metode volume hingga
Lax-Friedrichs dan metode beda hingga. Metode volume hingga bekerja dengan cara
membagi domain ruang menjadi beberapa bagian kemudian dihitung rata-rata
kuantitas untuk masing-masing bagian. Metode beda hingga bekerja dengan
menghampiri solusi masalah secara titik demi titik. Pengujian dilakukan
menggunakan simulasi numeris. Analisis hasil simulasi dilakukan dengan
membandingkan hasil solusi numeris dengan solusi eksak, untuk kasus yang
mempunyai solusi eksak.
ABSTRACT
The motion of fluid layers is one of problems that usually happened in
petroleum engineering. The motion of fluid layer can be solved and simulated
using many methods and computer application.
In this undergraduate thesis, the solution to the problem of motion of fluid
layersinvolving oil and water will be discussed. The problem of motion of fluid
layers can be solved using two methods: Lax-Friedrichs finite volume method and
finite difference method. The finite volume method works by dividing the spatial
domain into a finite number of cells, then calculating the average quantity of each
cell. The finite difference method works by approaching the solution to the
problem point by point. Test cases were done using numerical simulations.
Simulation result analysis was conducted by comparing numerical solutions with
the analytical ones, for cases having analytical solutions.
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus yang telah
mencurahkan rahmat dan Roh KudusNya sehingga penulis dapat mengerjakan dan
menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi ini dibuat dengan tujuan memenuhi
salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program Studi
Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, Universitas Sanata Dharma.
Penulis menyadari bahwa penulis melibatkan banyak pihak untuk
membantu dalam menghadapi berbagai macam tantangan, kesulitan, dan
hambatan. Oleh karena itu, pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima
kasih kepada:
1. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D., selakuDekan Fakultas
Sains dan Teknologi sekaligus sebagaiDosen Pembimbing Skripsi.
2. Bapak Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D., selaku Kaprodi Matematika.
3. Ibu M. V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku Dosen Pembimbing
Akademik.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc.,
Bapak Dr. rer. nat. Herry P. Suryawan, S.Si., M.Si., dan Ibu Lusia
Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku dosen-dosen Prodi Matematika
yang telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
5. Bapak/Ibu dosen/tenaga kependidikan Fakultas Sains dan Teknologi yang
6. Kedua orang tua, kakak, dan dua adik yang telah membantu dan
mendukung penulis selama proses pengerjaan skripsi.
7. Teman-teman Matematika 2013: Inge, Yui, Sorta, Melisa, Agung, Laras,
Ambar, Yuni, Rey, Dion, Wahyu, Indra, Bintang, Tia, Lya, Andre, Sisca,
Natali, Yola, Sari, Dita, dan Kristo yang selalu memotivasi, memberi
masukan, dan masih banyak yang tidak bisa disebutkan satu persatu.
Terima kasih atas kebersamaan dan kekompakan ini.
8. Kakak, teman-teman dan adik-adik: Mbak Tiwi, Ignatia, Gege, Nando dan
Edo, terimakasih untuk semangat dan dukungannya selama penulis
berkuliah dan menulis skripsi ini.
9. Kak Mike yang memberi dukungan dengan membantu memperbaiki
penulisan bahasa Inggris penulis yang tidak beraturan dan memberi
tantangan kepada penulis untuk segera mungkin menyelesaikan skripsi ini.
10.Kak Sri dan Cleo yang memberi dukungan dengan hampir setiap bulan
mengingatkan penulis agar mengerjakan skripsi dengan semangat dari kota
dan negeri seberang.
11.Mas Susilo yang memberi dukungan dengan mempersilakan penulis
mengerjakan skripsi di laboratorium berhari-hari.
12.Pralana Anggi yang selalu siap membantu apabila laptop penulis
mengalami gangguan.
13.Pemuda-pemudi GKN Gloria yang memberi dukungan semangat dan doa
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL ...i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ...iii
HALAMAN PENGESAHAN ...iv
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...v
HALAMAN PERSEMBAHAN ...vii
ABSTRAK ...viii
ABSTRACT ...ix
KATA PENGANTAR ...x
PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI ...xiii
DAFTAR ISI ...xiv
DAFTAR GAMBAR ...xvi
BAB I PENDAHULUAN ...1
A. Latar Belakang ...1
B. Rumusan Masalah ...4
C. Batasan Masalah ...5
D. Tujuan Penulisan ...5
E. Manfaat Penelitian ...6
F. Metode Penelitian ...6
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL ...9
A. Integral ...9
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial ...12
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ...15
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua ...16
E. Penurunan Numeris ...18
F. Matriks Tridiagonal ...25
BAB III MODEL PERGERAKAN LAPISAN FLUIDA ...27
A. Penurunan Persamaan Gerak Lapisan Fluida Satu Dimensi ...27
B. Masalah Pergerakan Fluida ...31
C. Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida ...33
D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs...35
E. Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida...42
BAB IV ANALISIS HASIL SIMULASI ...50
A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs...50
B. Metode Beda Hingga ...52
BAB V PENUTUP ...55
A. Kesimpulan ...55
B. Saran ...55
DAFTAR PUSTAKA ...57
DAFTAR GAMBAR
Gambar 1.1 Dua plat rata dengan jarak 10 cm berisi lapisan fluida. Plat atas
ditarik ke kanan dengan kecepatan konstan ... 2
Gambar 2.1 Ilustrasi fungsi satu variabel ... 10
Gambar 2.2 Ilustrasi geometri vektor eigen ... 16
Gambar 2.3 a. Hampiran beda majub. Hampiran beda mundurc. Hampiran beda
pusat ... 22
Gambar 3.1 Kawat satu dimensi dengan energi panas yang mengalir masuk dan
keluar ... 28
Gambar 3.2 Ilustrasi diskretisasi domain ruang ... 36
Gambar 3.3 Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida dengan metode
volume hingga saat = ... 42
Gambar 3.4Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ =
dengan metode beda hingga ... 46
Gambar 3.5Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = dengan metode beda hingga ... 47
Gambar 3.6Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = . dengan metode beda hingga ... 47
Gambar 3.7Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = . dengan metode beda hingga ... 48
Gambar 3.8Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
Gambar 3.9Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk
∆ = . dengan metode beda hingga ... 49
Gambar 4.1 Ilustrasi geometri galat metode volume hingga Lax-Friedrichs ... 52
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
Persamaan diferensial adalah persamaan yang menyatakan hubungan
suatu fungsi dengan turunan-turunannya. Persamaan diferensial biasanya
diklasifikasikan menjadi dua, yaitu pesamaan diferensial biasa dan persamaan
diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa merupakan persamaan
diferensial yang memuat satu variabel bebas. Persamaan diferensial parsial
sebenarnya hampir sama dengan persamaan diferensial biasa, perbedaannya
terletak pada banyaknya variabel bebas. Pada persamaan diferensial parsial
terdapat lebih dari satu variabel bebas, sehingga terdapat turunan parsial.
Fluida adalah zat yang dapat mengalir atau biasa disebut zat alir. Pada
prinsipnya, fluida adalah semua jenis zat cair dan zat gas. Fluida biasanya
banyak digunakan dalam kehidupan sehari-hari, contohnya adalah minyak dan
air.
Minyak adalah zat cair yang mengandung lemak dan memiliki suatu
kekentalan. Jika dilihat dari asalnya, minyak dapat dikelompokkan menjadi
minyak nabati dan hewani. Minyak yang telah diolah banyak digunakan oleh
Minyak dan air memiliki massa jenis yang berbeda.Jika keduanya
dimasukkan ke dalam suatu wadah, keduanya tidak akan tercampur menjadi
satu cairan, melainkan akan terpisah dengan air berada di bawah minyak. Hal
itu disebabkan karena massa jenis air lebih besar daripada massa jenis minyak.
Gambar 1.1. Dua plat rata dengan jarak 10 cm berisi lapisan fluida. Plat
atas ditarik ke kanan dengan kecepatan konstan.
Dalam skripsi ini akan dibahas tentang pengaruh pergerakan minyak
terhadap pergerakan air. Minyak dan air dalam kasus ini diletakkan di antara
dua plat rata sehingga air akan berada di bawah minyak seperti terlihat pada
Gambar 1.1. Pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan air dilihat
dengan menggunakan kajian. Kajian dilakukan terhadap minyak dan air yang
berada di antara dua plat horizontal. Ketika plat yang berada di atas minyak
ditarik dengan kecepatan konstan, maka akan terbentuk gelombang di
permukaan minyak. Gelombang di permukaan minyak inilah yang akan
mempengaruhi pergerakan air. Pertanyaan yang timbul adalah seberapa
Pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan air akan
diprediksikan dengan mempertimbangkan jarak kedua plat dan waktu yang
berbeda. Maksudnya ketika plat atas ditarik dengan kecepatan konstan, akan
dilihat seberapa besar pengaruh yang muncul terhadap kedua cairan ini pada
waktu tertentu. Misalnya plat atas ditarik dengan kecepatan konstan dan dalam
waktu 1 detik, akan dilihat berapa besar pengaruh pergerakan minyak terhadap
air dalam waktu tersebut. Pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan
air di sini akan dicari dengan menggunakan metode volume hingga dan metode
beda hingga.
Metode volume hingga adalah salah satu metode penyelesaian
persamaan diferensial parsial. Metode volume hingga bekerja dengan
mendiskretkan domain ruang ke dalam interval, kemudian dihitung rata-rata
kuantitas untuk masing-masing interval. Perhitungan rata-rata ini menghasilkan
fluks, maka dalam metode volume hingga selain mendiskretkan ruang ke
dalam interval dan menghitung rata-rata tiap interval, harus dihitung pula fluks
agar hasil yang didapat stabil.
Metode beda hingga merupakan suatu metode yang menghampiri
penyelesaian model matematika titik demi titik. Metode ini menggunakan
pendekatan ekspansi Taylor di suatu titik acuan. Metode beda hingga unggul
dalam kemudahan komputasi. Pada skripsi ini akan dibahas mengenai seberapa
besar pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan air dengan metode
Pergerakan minyak dan air yang akan diselesaikan di sini menggunakan
persamaan gerak fluida, yaitu:
� i yak
� = i yak
� i yak
� (1)
dan
� ai
� = ai
� ai �
(2)
dengan i yak , adalah kecepatan minyak, ai , adalah
kecepatan air, i yak , adalah kekentalan minyak, dan ai , adalah
kekentalan air. Di sini, variabel bebas x mewakili domain ruang dan variabel t
melambangkan nilai waktu.Hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air
diberikan oleh:
i yak = ai
(3)
dan
i yak� �i yak = ai �� ,ai
B. Rumusan Masalah
Berdasarkan latar belakang yang telah dipaparkan, penulis mengadakan
penelitian terhadap masalah-masalah berikut:
1. Bagaimana memperoleh persamaan pergerakan lapisan fluida yang
dipengaruhi plat yang ditarik dengan kecepatan konstan?
2. Bagaimana menyelesaikan persamaan pergerakan lapisan fluida dengan
metode volume hingga dan beda hingga?
C. Pembatasan Masalah
Penulis akan membatasi penulisan agar menjadi lebih terarah dan tidak
menyimpang dari masalah yang akan dibahas, yaitu:
1. Persamaan gelombang yang akan dibahas adalah gelombang lapisan
minyak dan air.
2. Persamaan diselesaikan dengan metode analitis,metode volume hingga
dan metode beda hingga.
3. Masalah pergerakan lapisan fluida yang diselesaikan merupakan masalah
pergerakan lapisan fluida satu dimensi.
D. Tujuan Penulisan
Tujuan yang ingin dicapai penulis, selain untuk memenuhi syarat tugas
akhir dalam Program Studi Matematika Universitas Sanata Dharma, juga
1. Mencari seberapa besar pengaruh pergerakan minyak terhadap
pergerakan air dengan menggunakan metode volume hingga dan beda
hingga.
2. Memperluas wawasan pembaca tentang aplikasi matematika dalam
pengaruh pergerakan suatu cairan terhadap cairan lain yang memiliki
massa jenis yang berbeda.
E. Manfaat Penulisan
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai berikut:
1. Penulis memperoleh pengetahuan baru selama mengerjakan tulisan ini.
2. Pembaca mendapat gambaran tentang aplikasi matematika dalam pengaruh
pergerakan suatu cairan terhadap cairan lain yang memiliki massa jenis
berbeda.
3. Skripsi ini dapat dijadikan referensi bagi peneliti lain.
F. Metode Penelitian
Metode penelitian yang digunakan oleh penulis dalam menulis skripsi
adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku maupun jurnal yang
berkaitan dengan metode volume hingga dan beda hingga khususnya dalam
mencari seberapa besar pengaruh pergerakan minyak terhadap pergerakan air;
khususnya untuk metode volume hingga dan metode beda hingga; selain itu
juga akan dilakukan simulasi dengan komputer.
G. Sistematika Penulisan
Skripsi ini ditulis menggunakan sistematika berikut:
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II PERSAMAAN DIFERENSIAL
A. Integral
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua
E. Penurunan Numeris
F. Matriks Tridiagonal
A. Penurunan Persamaan Gerak Lapisan Fluida Satu Dimensi
B. Masalah Pergerakan Lapisan Fluida
C. Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida
D. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
E. Metode Beda Hingga
BAB IV ANALISIS HASIL SIMULASI
A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
B. Metode Beda Hingga
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
BAB II
PERSAMAAN DIFERENSIAL
Dalam bab ini akan dibahas mengenai dasar teori dari skripsi ini. Dasar
teori dari skripsi ini meliputi integral, klasifikasi persamaan diferensial, nilai eigen
dan vektor eigen, matriks tridiagonal, klasifikasi persamaan diferensial parsial
orde dua, dan penurunan numeris.
A. Integral
Pada bagian ini akan dibahas mengenai integral yang meliputi definisi dan
contoh dari integral tentu dan teorema fundamental kalkulus.
Definisi 2.1
Suatu fungsi disebut anti turunan dari pada interval �, jika ′ =
untuk setiap dalam interval �.
Contoh 2.1
Carilah suatu anti turunan dari = .
Penyelesaian:
Fungsi = bukanlah anti turunannya, karena turunan dari adalah .
Akan tetapi hal ini menyarankan = , yang memenuhi ′ = =
Anti turunan dinotasikan dengan ∫ … . Notasi tersebut menunjukkan
anti turunan terhadap . Anti turunan biasanya disebut integral tak tentu.
1. Integral Tentu
Perhatikan Gambar 2.1 berikut ini:
Gambar 2.1. Ilustrasi fungsi satu variabel.
Untuk menghitung luas di bawah kurva = , dapat dilakukan dengan
disebut jumlahan Riemann fungsi pada interval [ , ], sebagai pendekatan luas
daerah di bawah kurva = dan diatas sumbu .
Semakin banyak subinterval seragam yang digunakan artinya ∆ → ,
maka semakin baik pula aproksimasi luasan tersebut dan semakin dekat dengan
luasan yang sebenarnya. Dengan demikian, luas daerah = lim ∆ �→ ∑
∗ ∆
= .
Definisi 2.2
Misalkan suatu fungsi yang didefinisikan pada selang tertutup [ , ]. Jika
2. Teorema Fundamental Kalkulus
Pada bagian ini hanya akan diberikan teorema fundamental kalkulus, tidak
dibahas mengenai pembuktiannya.
Teorema 2.1 (Teorema Nilai Rata-Rata)
Jika fungsi kontinu pada [ , ], maka terdapat ∈ [ , ], sehingga
berlaku
= − ∫ .
Teorema 2.2 (Teorema Fundamental Kalkulus I)
Jika fungsi kontinu pada [ , ], maka = ∫ kontinu pada
[ , ] dan terdiferensial pada , dan berlaku
′ = ∫ = .
Teorema 2.3 (Teorema Fundamental Kalkulus II)
Jika fungsi kontinu pada setiap titik dalam [ , ] dan adalah
antiturunan dari pada [ , ], maka
Bukti dari ketiga teorema yang disebut di atas dapat dilihat pada buku karangan
Thomas (2010).
B. Klasifikasi Persamaan Diferensial
Berikut ini akan dibahas mengenai klasifikasi persamaan diferensial.
Klasifikasi tersebut meliputi definisi dan contoh persamaan diferensial, persamaan
diferensial biasa, persamaan diferensial parsial, dan orde persamaan diferensial.
Definisi 2.3
Persamaan diferensial adalah persamaan yang melibatkan
variabel tak bebas dari fungsi yang tidak diketahui dan turunan terhadap
variabel-variabel bebas dari fungsi tersebut.
Contoh 2.3
Persamaan-persamaan di bawah ini merupakan contoh persamaan
Definisi 2.4
Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial yang melibatkan
turunan biasa atas satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas.
Contoh 2.4
Persamaan (2.1) dan (2.2) adalah contoh persamaan diferensial biasa. Pada
persamaan (2.1) variabel adalah variabel terikat atau tak bebas dan variabel
adalah variabel bebas. Pada persamaan (2.2) variabel adalah varabel tak bebas
dan variabel adalah variabel bebas.
Definisi 2.5
Persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang
melibatkan turunan parsial atas satu atau lebih variabel tak bebas terhadapvariabel
bebas, dengan catatan bahwa banyaknya variabel bebas dalam persamaan tersebut
adalah lebih dari satu.
Contoh 2.5
Persamaan (2.3) dan (2.4) merupakan contoh persamaan diferensial
parsial. Pada persamaan (2.3) variabel , , dan merupakan variabel bebas dan
Definisi 2.6
Orde persamaan diferensial adalah tingkat tertinggi dari turunan yang
muncul dalam persamaan diferensial tersebut.
Contoh 2.6
Persamaan (2.1) adalah persamaan diferensial biasa orde pertama karena
tingkat tertinggi yang muncul adalah tingkat satu. Persamaan (2.2) adalah contoh
persamaan diferensial biasa orde dua karena tingkat turunan yang muncul adalah
tingkat dua. Persamaan (2.3) dan (2.4) adalah persamaan diferensial parsial orde
dua karena tingkat tertinggi dari turunanparsial yang muncul adalah tingkat dua.
C. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Berikut akan dibahas mengenai nilai eigen dan vektor eigen beserta
dengan contohnya.
Definisi 2.8
Misalkan adalah suatu matriks × . Skalar disebut sebagai suatu
nilai eigen atau nilai karakteristik dari jika terdapat suatu vektor taknol ̅,
sehingga ̅ = ̅. Vektor ̅ disebut vektor eigen atau vektor karakteristik yang
bersesuaian dengan nilai eigen λ dari .
Contoh 2.8
̅ = − = = = ̅
maka dari persamaan ini dapat dilihat bahwa = adalah nilai eigen dari dan
̅ = merupakan vektor eigen yang bersesuaian dengan = tersebut, seperti
yang dijelaskan oleh Leon (2001).
Secara geometris, perkalian matriks dengan vektor ̅ memiliki kelipatan 3
terhadap vektor ̅. Ilustrasi secara geometris ditunjukkan dalam Gambar 2.2.
Gambar 2.2. Ilustrasi geometri vektor eigen.
D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial Orde Dua
Pada bagian ini akan dibahas tentang menentukan jenis suatu persamaan
2 1
6 3
̅
Persamaan diferensial parsial orde dua, yang linear homogen, dan
memiliki koefisien konstan berbentuk
+ + + + + =
dengan = , dan , , , , , adalah konstanta. Tiga suku pertama bentuk
persamaan diferensial parsial linear homogen orde dua di atas disebut bagian
utama persamaan diferensial parsial dan digunakan untuk menentukan jenis
persamaan diferensial parsial.
Dipandang bagian utama persamaan diferensial parsial:
+ + = �� + � � +� �� = (�� � )�
Matriks koefisien merupakan matriks simetri yang mempunyai nilai eigen
↔ − + + =
dari (2.9) dan (2.10) didapat:
a. + = + = trace
b. = − = det
Persamaan diferensial parsial disebut parabolik jika − = ,yang
artinya = ; dengan kata lain, salah satu nilai eigennya bernilai 0. Persamaan
diferensial parsial disebut eliptik apabila − > ,yang artinya > ;
dengan kata lain, kedua nilai eigennya positif atau kedua nilai eigennya negatif.
Persamaan diferensial parsial disebut hiperbolik jika − < ,yang
artinya < ; dengan kata lain, salah satu nilai eigennya positif dan salah satu
nilai eigennya negatif.
E. Penurunan Numeris
Pada bagian ini akan dibahas mengenai penurunan numeris dan contohnya,
serta penjelasan tentang tiga pendekatan dalam menghitung turunan numeris yaitu
pendekatan beda maju, beda pusat dan beda mundur.
Definisi 2.9
Bila fungsi diberikan secara eksplisit, maka kita dapat menentukan fungsi
turunannya, ′ , ′′ , …, + , lalu menggunakannya untuk menghitung
nilai turunan fungsi di = .
Namun demikian, seringkali fungsi tidak diketahui secara eksplisit, tetapi
hanya memiliki beberapa titik data saja. Pada kasus seperti ini, nilai turunan
fungsi secara analitis susah untuk dicari. Seringkali diketahui secara
eksplisit, namun karena bentuk yang sulit maka untuk mencari hasil turunan
fungsinya juga sulit, misalnya pada fungsi-fungsi berikut:
(a). = √c + a i + �− / c
(b). = + ln
Perhitungan nilai turunan pada fungsi (a) dan (b) dapat dikerjakan secara numeris.
Nilai turunan yang diperoleh merupakan nilai hampiran dan diharapkan
menghasilkan nilai galat yang kecil.
1. Tiga Pendekatan dalam Menghitung Turunan Numeris
Turunan adalah limit dari hasil bagi selisih: yaitu pengurangan dua buah
nilai yang besar + ℎ − dan membaginya dengan bilangan yang kecil ℎ . Misal diberikan nilai-nilai di − ℎ, , dan + ℎ, serta nilai fungsi
untuk nilai-nilai tersebut. Titik-titik yang diperoleh adalah − , − , , ,
dan , , yang dalam hal ini − = − ℎ dan = + ℎ. Terdapat tiga
a. Hampiran Beda Maju
Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran
beda maju
′ = lim
ℎ→
+ ℎ − ℎ
≈ + ℎ −ℎ
= −ℎ
b. Hampiran Beda Mundur
Diketahui fungsi = . Akan ditunjukkan ′ dengan hampiran
beda mundur
′ = lim
ℎ→
− − ℎ
ℎ
≈ −ℎ − ℎ
= −ℎ −
c. Hampiran Beda Pusat
′ = lim
Tafsiran geometris dari ketiga pendekatan di atas diperlihatkan pada Gambar 2.3.
(a) (b)
(c)
Gambar 2.3. (a) Hampiran beda maju. (b) Hampiran beda mundur. (c) Hampiran
2. Penurunan Rumus Turunan dengan Deret Taylor
Misal diberikan titik-titik , dengan = , , , … , , yang dalam hal
ini
= + ℎ
dan
= .
Selanjutnya akan dihitung ′ , yang dalam hal ini = + ℎ, ∈ ℝ dengan
ketiga pendekatan sebelumnya (beda maju, beda mundur, beda pusat).
a. Hampiran Beda Maju
Uraikan + di sekitar :
+ = + + −
! ′ + +
−
! ′′ + ⋯
+ = + ℎ ′+ ℎ ⁄ ′′ + ⋯ (2.11)
ℎ ′ = + − − ℎ ⁄ ′′ − ⋯
′ = + ℎ− − ℎ⁄ ′′ − ⋯
′ = + ℎ− + � ℎ
yang dalam hal ini, � ℎ = − ℎ⁄ ′′ , untuk suatu dengan < < + .
Untuk nilai-nilai di dan rumusnya menjadi:
′= −
ℎ + � ℎ (2.12)
yang dalam hal ini � ℎ = − ℎ⁄ ′′ , untuk suatu dengan < < .
b. Hampiran Beda Mundur
Uraikan − di sekitar :
− = + − −
! ′ + −
−
! ′′ + ⋯
− = − ℎ ′+ ℎ ⁄ ′′ + ⋯ (2.13)
ℎ ′ = − − + ℎ ⁄ ′′ + ⋯
= −ℎ − + ℎ⁄ ′′ + ⋯
′ = −ℎ − + ℎ⁄ ′′
′ = −ℎ − + � ℎ
Untuk nilai-nilai di dan persamaan rumusnya menjadi:
′= −
ℎ + � ℎ (2.14)
yang dalam hal ini � ℎ = ℎ⁄ ′′ , untuk suatu dengan < < .
c. Hampiran Beda Pusat
Kurangkan persamaan (2.13) dari persamaan (2.11):
+ − − = ℎ ′+ ℎ ⁄ ′′′+ ⋯
ℎ ′ =
+ − − − ℎ ⁄ ′′′− ⋯
′ = + −ℎ − − ℎ ⁄ ′′′− ⋯
′ = + −ℎ − + � ℎ
yang dalam hal ini, � ℎ = −ℎ ⁄ ′′′ , untuk suatu dengan − < <
+ .
Untuk nilai-nilai di − dan persamaan rumusnya menjadi:
′ = −
ℎ + � ℎ (2.12)
F. Matriks Tridiagonal
Pada bagian ini akan dibahas mengenai definisi matriks tridiagonal dan
contohnya.
Definisi 2.10
Misalkan . Matriks � = ∈ ℝ × disebut matriks tridiagonal
jika elemen-elemen yang berada pada selain diagonal utama dan dua diagonal
berdekatan bernilai nol, yaitu
= jika | − | > , , ∈ { , , … , }
matriks tersebut juga sering disebut tiga diagonal. Untuk penjelasan lebih jelasnya
dapat dilihat pada buku karangan Süli dan Mayers (2007).
Contoh 2.9
Berikut ditunjukan beberapa matriks
= ( ), = ( ), = ( ).
Dari ketiga matriks di atas, matriks tridiagonal ditunjukan oleh matriks dan .
Matriks bukan matriks tridiagonal karena ≠ dan ≠ . Matriks adalah
BAB III
MODEL PERGERAKAN LAPISAN FLUIDA
Pada bab ini akan dibahas tentang pemodelan pergerakan lapisan fluida,
penurunan gerak fluida satu dimensi, serta metode volume hingga dan metode
beda hingga untuk model pergerakan lapisan fluida.
A. Penurunan Persamaan Gerak Lapisan Fluida
Persamaan gerak fluida pada kasus ini dideskripsikan dengan persamaan
panas seperti yang dijelaskan oleh Caldwell dan Ng Douglas (2004). Hal ini
dikarenakan gerakan fluida seperti menjalar dari sumber gerakan. Plat atas yang
ditarik secara konstan adalah sumber gerakan awal, kecepatan fluida yang
bersentuhan langsung dengan plat sama dengan kecepatan plat yang ditarik secara
konstan tersebut, sedangkan kecepatan fluida yang berada jauh dari plat atas
tersebut memiliki kecepatan yang lebih kecil dari pada kecepatan fluida yang
bersentuhan langsung dengan plat yang ditarik.
Persamaan panas dapat juga disebut sebagai persamaan difusi. Persamaan
panas dapat diformulasikan dengan merumuskan persamaan aliran panas
(Haberman, 2004). Misalkan kawat penampang berorientasi terhadap arah
seperti yang diilustrasikan pada Gambar 3.1. Jumlah energi panas per satuan
Gambar 3.1 Kawat satu dimensi dengan energi panas yang mengalir masuk
dan keluar.
Di sini, adalah luas penampang kawat, dan ∅ , adalah energi panas yang
lewat di penampang kawat pada posisi dan waktu .
Asumsikan pada setiap waktu , suhu di dalam kawat pada posisi seragam
yaitu , , tetapi berbeda bila dibandingkan suhu penampang kawat posisi yang
lain. Akan dicari distribusi suhu penampang kawat pada setiap posisi dan pada
setiap waktu , yaitu , , ∀ , .
kawat. Sehingga untuk menaikan suhu segmen kawat sebesar 1 derajat dibutuhkan
energi sebanyak � ∗ ∗ ∗ ∆ . Apabila suhunya naik dari 0 ke , maka
energi yang dibutuhkan sebesar � ∗ ∗ ∗ ∆ ∗ , . Jadi, total energi panas
pada segmen tersebut untuk > adalah
= ∫ � ∗ ∗ ∗ , +∆
.
Fluks Panas
Fluks panas adalah laju perubahan energi panas yang melewati suatu
penampang. Fluks dapat dihitung dengan cara:
Fluks =�� =� ∫ � ∗ ∗ ∗� , +∆
= ∫ � ∗ ∗ ∗� � ,
+∆ (3.1)
atau dengan cara:
Fluks = ∅ , − ∅ + ∆ , = − [∅ + ∆ , − ∅ , ]. (3.2)
Karena panas menjalar dari benda bersuhu tinggi ke rendah dan banyak
energi berbanding dengan perbedaan suhu di antara 2 titik (Hukum Newton
Pendinginan) maka:
∅ , = − � � , . (3.3)
Substitusi persamaan (3.3) ke persamaan (3.2) didapat
Fluks = − − � �+ ∆ , + � � ,
= � �+ ∆ , −� � ,
�
Dari persamaan (3.1) dan (3.4) didapat
berarti kekentalan fluida. Pada kasus pergerakan lapisan fluida, persamaan (3.5)
diberikan subskrip minyak dan air guna membedakan antara persamaan gerak
untuk minyak dan persamaan gerak untuk air, seperti pada persamaan (1) dan
persamaan (2).
Persamaan (3.5) merupakan persamaan diferensial parsial parabolik. Hal
ini dikarenakan bagian utama persamaan diferensialnya berbentuk:
�
� = ,
sehingga det = atau dengan kata lain salah satu nilai eigen dari persamaan
= =
seperti yang dijelaskan pada subbab “D. Klasifikasi Persamaan Diferensial Parsial
Orde Dua”.
B.Masalah Pergerakan Fluida
Diketahui persamaan gerak dari lapisan fluida untuk air, yaitu:
� ai
� = ai
� ai
� (3.6)
dan untuk minyak yaitu:
� i yak
� = i yak
� i yak
� (3.7)
dengan x adalah variabel ruang, t adalah variabel waktu, ai adalah kecepatan air,
i yak adalah kecepatan minyak, ai adalah kekentalan air dan i yak adalah
kekentalan minyak. Hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air
ditunjukkan dengan:
i yak= ai (3.8)
dan
Persamaan (3.9) merupakan definisi dari tegangan gesek yaitu:
� = �
dengan merupakan viskositas, � merupakan kecepatan fluida,
merepresentasikan jarak dua plat rata yang disusun secara horisontal, dan �
merepresentasikan gradien dari kecepatan fluida. Pada kasus dalam skripsi ini,
jarak dua plat rata horisontal direpresentasikan dengan , dan viskositas diberikan
subscrip minyak dan air sebagai pembeda koefisien viskositas untuk minyak dan
air. Dalam skripsi ini tidak akan dibahas lebih lanjut tentang bagaimana
mendapatkan definisi tegangan gesek. Materi tentang vikositas dan tegangan
gesek dapat dilihat pada buku-buku atau jurnal tentang mekanika fluida seperti
yang ditulis oleh Crowe. C. T., Elger D. F., Williams B. C., dan Roberson. J. A.
pada buku berjudul Engineering Fluid Mechanics (2010).
Akan disimulasikan pergerakan lapisan fluida dalam kasus ini adalah
antara minyak dan air yang berada diantara dua plat rata dengan jarak 10 cm
menggunakan metode volume hingga Lax-Friedrichs, dan metode beda hingga
dengan menggunakan MATLAB. Pada kasus ini plat atas ditarik sehingga
mempunyai kecepatan konstan sebesar 7cm/s seperti pada Gambar 1.1. Pada
kasus ini, terdapat dua masalah nilai awal yang melibatkan kecepatan dua fluida,
{
ai sebagai kekentalan air, and i yak kekentalan minyak.
Untuk model pergerakan lapisan fluida, dibuat beberapa asumsi sebagai
berikut:
1. Pada plat atas tidak terdapat kekentalan.
2. Plat atas bergerak secara konstan yaitu 7 cm/s.
3. Kekentalan fluida minyak dan air diberikan oleh Caldwel dan Ng Douglas,
K. S. (2004).
4. Kekentalan fluida minyak dan air diasumsikan tetap, tidak berubah
terhadap suhu.
5. Aliran fluida hanya dalamsatu arah, yaitu arah yang tegak lurus sumbu x.
C. Solusi Analitis Masalah Pergerakan Lapisan Fluida
Masalah pergerakan lapisan fluida sangat sulit diselesaikan secara analitis
untuk kasus aliran tak tunak. Akan tetapi, penyelesaian numeris dapat
dibandingkan dengan solusi analitis untuk kasus aliran tunak. Aliran tak tunak
adalah kondisi dimana komponen aliran berubah terhadap waktu, dan aliran tunak
adalah kondisi dimana komponen aliran tidak berubah terhadap waktu. Untuk
kasus aliran tunak, solusi analitis tidak bergantung terhadap waktu. Dengan
demikian, untuk kasus aliran tunak, solusi analitis ai , = ai dan
i yak , = i yak .
Dalam kasus aliran tunak persamaan (3.10) menjadi
� ai
� = , < < , (3.12)
ai = . (3.13)
Persamaan (3.12) memiliki penyelesaian ai = + .Karena ai =
maka = , sehingga penyelesaian untuk persamaan (3.12) adalah
ai = , . (3.14)
� ai � =
Persamaan (3.11) untuk kasus aliran tunak dapat ditulis menjadi
� i yak
� = , , (3.15)
i yak = , (3.16)
i yak� �i yak|
dan pada titik batas yakni persamaan (3.16) dan (3.17) ditulis menjadi
+ = (3.20)
Eliminasi persamaan (3.20) dan (3.21) sehingga mendapat
= − . (3.23)
Substitusi persamaan (3.23) ke persamaan (3.22) akan menghasilkan
= ai
i yak+ ai , (3.24)
substitusikan pula persamaan (3.24) ke persamaan (3.22) sehingga didapat
= i yak
i yak+ ai , (3.25)
substitusikan persamaan (3.24) dan (3.25) ke persamaan (3.21) didapat
Berikut adalah solusi aliran tunak yang dihasilkan dengan mensubstitusikan
persamaan (3.24), (3.25), dan (3.26) ke persamaan (3.14) dan (3.19):
ai = i yak
menyatakan kekentalan air dan i yak menyatakan kekentalan minyak.
Solusi di atas akan digunakan dalam perhitungan simulasi numeris dengan
MATLAB.
D.Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode volume hingga, perhitungan
flux secara numeris dalam metode volume hingga dan solusi numeris metode
volume hingga Lax-Friedrichs.
1. Skema Metode Volume Hingga
Persamaan diferensial parsial hukum kekekalan berbentuk
Skema metode volume hingga berdasar pada pendiskretan domain pada ruang ke
dalam interval, seperti ditunjukkan dalam Gambar 3.2.
Gambar 3.2.Ilustrasi diskretisasi domain ruang.
Di sini ∆ = − − atau ∆ = + − − . Domain waktu didiskretkan
menjadi
= ∙ ∆
dengan = , , , , …. Misalkan � adalah nilai pendekatan rata-rata volume
kuantitas , dalam interval ke-i pada waktu , yaitu:
� ≈∆ ∫ �+ ,
�−
.
Misalkan pula
− adalah pendekatan dari rata-rata fluks(debit material)
( , ) di titik − , yaitu
− ≈ ∆ ∫ ( − , )
��+
�� .
Bentuk integral dari hukum kekekalan diberikan oleh:
�
��∫ ,
�+
�− = − [ ( + , ) − ( − , ) ]
,
dengan nilai-nilai pendekatan diperoleh untuk �+ = , yaitu
−1 +1
−32 −1 +12 +32
� + − �
∆ = −
+ − − ∆
atau dapat ditulis menjadi
� + = � −∆�
∆ ( + − − ).
Persamaan di atas merupakan skema volume hingga bagi �+ = . Skema
metode volume hingga tersebut konsisten dengan skema metode beda hingga
karena
2. Perhitungan FluksSecara Numeris dalam Metode Volume Hingga
Diberikan persamaan diferensial parsial dengan bentuk hukum kekekalan
�+ = .
Misal � ≈ , dan
− ≈ ( − , ) , seperti telah dijelaskan pada
bagian Skema Metode Volume Hingga di muka.Skema metode volume hingga
untuk persamaan di atas adalah
� + = � −∆
∆ ( + − − ).
≈ ( , )
≈ � .
Metode Stabil dan Tidak Stabil
Metode numeris dikatakan stabil apabila galat atau error yang muncul
disetiap iterasi tidak membesar terlalu cepat pada iterasi-iterasi berikutnya. Jika
galat yang muncul pada suatu iterasi membesar menuju tak hingga maka metode
tersebut dikatakan tidak stabil. Teori tentang kestabilan tidak akan dibahas pada
skripsi ini. Teori kestabilan dapat dilihat dalam buku-buku referensi misalnya
LeVeque (1992,2002).
1. Flukstak stabil
Akan didefinisikan rata-rata fluks pada titik − berdasarkan pada �−
dan � , sebagai berikut:
− = �− , � = [ �− + � ].
Dengan demikian, skema metode volume hingga menjadi
� + = � −∆ (∆ + − − )
menjadi
Akan tetapi, skema metode volume hingga ini tidak stabil.
2. Fluks Lax-Friedrichs
Skema Lax-Friedrichs adalah skema yang memodifikasi skema metode
volume hingga di atas, dengan
� = �+ + �−
sehingga skema Lax-Friedrichsmenjadi
� + = �
+ + �− − ∆�∆ [ �+ − �− ] .
Skema Lax-Friedrichs ini stabil untuk ∆ yang cukup kecil.
3. Solusi Numeris Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Masalah pergerakan lapisan fluida dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode volume hingga Lax-Friedrichs. Diberikan persamaan lapisan fluida (3.10)
dan (3.11) yaitu
� + = � −∆∆�( + − − ).
Persamaan (3.30) juga mempunyai skema metode volume hingga
= [ − i yak i yak� + + − i yak i yak� ]
− ∆∆ ( i yak)+ − ( i yak)
= (− i yak) [( i yak�)+ + ( i yak�) ]
− ∆∆ ( i yak)+ − ( i yak) ,
− = [ � + �− ] − ∆
∆ �+ − �
= [ − i yak i yak� + − i yak i yak� − ]
− ∆
∆ ( i yak) − ( i yak)−
= (− i yak) [( i yak�) + ( i yak�)− ]
− ∆∆ ( i yak) − ( i yak)− .
Hasil simulasi penyelesaian masalah pergerakan lapisan fluida dengan
metode volume hingga Lax-Friedrichs dengan menggunakan perangkat lunak
MATLAB ditunjukkan oleh Gambar 3.3. Pada hasil simulasi pergerakan lapisan
fluida diberikan nilai ai = dan i yak = , program dijalankan dengan ∆ =
Gambar 3.3. Hasil simulasi penyelesaian masalah pergerakan lapisan fluida
dengan metode volume hingga saat = .
Terlihat pada gambar bahwa terjadi patahan pada saat = . Hal ini terjadi
karena diketahui hubungan di titik perbatasan antara minyak dan air yang sudah
dijelaskan sebelumnya.
E. Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida
Pada bagian ini dibahas mengenai skema metode beda hingga untuk model
pergerakan lapisan fluida, dan solusi numeris metode beda hingga untuk model
1. Skema Metode Beda Hingga untuk Model Pergerakan Lapisan Fluida
Persamaan (3.10) dan (3.11) tidak dapat diselesaikan secara terpisah, karena
terdapat beberapa kondisi yang saling berkaitan satu dengan yang lainnya.
Dengan menggunakan skema implisit, persamaan gerak fluida untuk air pada
persamaan (3.10) dan persamaan gerak fluida untuk minyak pada persamaan
(3.11) dapat ditulis menjadi:
ai + − ai
Persamaan (3.31) dan (3.32) dapat ditulis ulang menjadi:
Untuk posisi di = dan syarat awal ai , = ai + = , persamaan
(3.33) dapat ditulis menjadi:
− ( ∆ai + ∆ ) ai + + ( ∆ai ) ai + = − ∆ ai (3.35)
Pada posisi batas antara minyak dan air ( = dan = ), persamaan
(3.33) dan (3.34) menjadi
( ∆ai ) ai +− − ( ∆ai + ∆ ) ai + + ( ∆ai ) ai ++
Kondisi pada posisi batas dapat dijabarkan menjadi:
i yak� �i yak|
Persamaan (3.38) dapat ditulis sebagai:
ai ++ = i yak
ai i yak +
+ −
i yak −+ + ai +− . (3.40)
Substitusi persamaan (3.40) ke persamaan (3.36), didapat:
( ∆ai ) ai +− − ( ∆ai + ∆ ) ai +
Persamaan (3.33), (3.34), (3.35), (3.43), (3.44) dan (3.46) adalah
persamaan yang mewakili semua titik diantara 0 sampai 10. Keenam persamaan
merupakan sistem tridiagonal yang dapat diselesaikan dengan menggunakan
perintah \ pada MATLAB. Misalkan:
b = ( ∆ai ) , c = ( ∆ai + ∆ ), d = ( ∆i yak) ,
e = ( ∆i yak+ ∆ ), dan f = ( ai +∆ i yak+ ∆ )
contoh membentuk sistem tridiagonal dengan ∆ = adalah sebagai berikut:
=
Sistem tridiagonal di atas merupakan penyelesaian pada metode beda hingga.
Sistem tridiagonal akan diselesaikan dengan menggunakan perintah \ pada
MATLAB.
2. Solusi Numeris Metode Beda Hingga untuk Masalah Pergerakan Lapisan Fluida.
Hasil simulasi pergerakan lapisan fluida dengan metode beda hingga dengan
menggunakan program MATLAB ditunjukkan dalam Gambar 3.4 sampai dengan
Gambar 3.9. Simulasi ini dilakukan untuk beberapa nilai∆ =
, , . , . , . , . dan ∆ = . ∗ ∆ . Untuk jarak kedua plat adalah 10 cm
dan waktu 50 detik.
Gambar 3.4. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ =
Gambar 3.5. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ =
dengan metode beda hingga.
Gambar 3.7. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan metode beda hingga.
Gambar 3.9. Hasil simulasi masalah pergerakan lapisan fluida untuk ∆ = . dengan metode beda hingga.
Terlihat pada gambar-gambar hasil simulasi untuk metode beda hingga
bahwa terjadi patahan pada saat = . Hal ini terjadi karena diketahui hubungan
BAB IV
ANALISIS HASIL SIMULASI
Pada bab ini akan dibahas mengenai hasil simulasi numeris untuk metode
beda hingga dan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Simulasi numeris
dilakukan dengan menggunakan MATLAB dengan jarak antara plat bawah dan
plat atas adalah 10 cm, dan plat atas ditarik dengan kecepatan konstan 7 cm/s.
Galat atau error dihitung dengan menggunakan rumus
Galat = ∑| ek ak − e i |
=
dengan ek ak adalah nilai eksak di titik , e i adalah nilai numeris di titik
, dan adalah banyaknya data yang ada di domain ruang.
Menghitung galat saja masih belum cukup, seberapa cepat suatu metode
konvergen juga harus diperhatikan. Untuk mengetahui seberapa cepat konvergen
dari simulasi ini, dihitung dengan menggunakan rumus:
Perbandingan Galat = +
Dengan + merupakan galat pada titik + dan merupakan galat pada titik
A. Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
Pada Bab sebelumnya telah dibahas tentang solusi numeris untuk masalah
pergerakan lapisan fluida dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs. Solusi
yang didapat adalah hasil siulasi dengan program MATLAB.
Simulasi ini menggunakan ∆ = . , ∆ = . ∗ ∆ dan =
dengan nilai ai = dan i yak = . Grafik simulasi ditunjukkan pada Gambar
3.3. Terlihat pada gambar bahwa solusi numeris mendekati solusi eksak. Namun
masih terdapat ruang antara solusi numeris dan solusi eksak yang didapat, dengan
kata lain masih terdapat galat. Berikut merupakan galat solusi numeris untuk
masalah pergerakan lapisan fluida menggunakan metode volume hingga
Lax-Friedrichs, seperti dirangkum pada Tabel 4.1, untuk beberapa variansi nilai ∆ .
Tabel 4.1. Galat hasil simulasi metode volume hingga Lax-Friedrichs
∆� Galat atau error Perbandingan Galat
1 0.7463
0.5 0.7197 0.96435
0.25 0.6604 0.91760
Dari Tabel 4.1 terlihat bahwa semakin kecil ∆ semakin kecil juga galat
yang dihasilkan. Ketika diambil∆ yang sangat kecil maka galat yang dihasilkan
akan semakin kecil. Hal ini dikarenakan banyaknya langkah pada ruang di sumbu
. Simulasi pada metode volume hingga Lax-Friedrichs dalam skripsi ini berhenti
pada saat ∆ = . karena perhitungan yang sangat lama. Walaupun berhenti
pada saat ∆ = . , galat pada metode ini sudah mendekati 0 dan perbandingan
galatnya adalah 0.56814 yang berarti kecepatan konvergensi metode ini adalah 0.5
dan sudah cukup baik. Ilustrasi galat secara grafik ditunjukkan pada Gambar 4.1.
Terlihat pada Gambar 4.1 bahwa semakin besar ∆ maka semakin besar
juga galat yang akan muncul. Kelebihan dari metode ini adalah komputasi yang
cukup mudah. Kekurangan dari metode ini adalah untuk ∆ yang semakin
kecil,diperlukan ∆ yang juga semakin kecil agar perhitungan stabil (metodenya
stabil), sehingga waktu perhitungan menjadi sangat lama.
B. Metode Beda Hingga
Pada Bab III telah dibahas tentang solusi numeris untuk masalah
pergerakan lapisan fluida dengan metode beda hingga. Solusi yang diperoleh
merupakan hasil simulasi dengan menggunakan MATLAB.
Grafik simulasi ditunjukkan pada Gambar 3.4 sampai dengan Gambar
3.9.Semakin kecil ∆ gambar yang ditunjukkan semakin mulus dan mendekati
solusi eksak. Simulasi ini menggunakan nilai ai = dan i yak = , program
dijalankan menggunakan∆ bervariasi dengan∆ = . ∗ ∆ , dan = .
Terlihat pada gambar, semakin kecil∆ dan semakin besar , selisih antara
solusi numeris dan solusi eksaknya semakin kecil. Dengan kata lain, solusi
numerisnya mendekati solusi eksak. Berikut merupakan hasil galat simulasi
numeris untuk masalah pergerakan lapisan fluida menggunakan metode beda
Tabel 4.2. Galat hasil simulasi metode beda hingga
∆� Galat atau error Perbandingan Galat
2 0.0898
1 0.0964 1.07350
0.5 0.07888 0.81743
0.25 0.0547 0.69416
0.125 0.0334 0.61060
0.0625 0.0187 0.55988
Tabel 4.2 menunjukkan semakin kecil ∆ semakin kecil juga galat yang
dihasilkan.Hal ini dikarenakan banyaknya langkah pada ruang di sumbu .
Simulasi pada metode beda hingga dalam skripsi ini berhenti pada saat ∆ = . karena galat yang didapat dari metode ini sudah sangat kecil dan
perbandingan galatnya adalah 0.55988 yang berarti kecepatan konvergensi
metode ini adalah 0.5 dan sudah cukup baik. Ilustrasi galat secara grafik
Gambar 4.2. Ilustrasi geometris galat metode beda hingga.
Gambar 4.2 menunjukkan bahwa semakin besar ∆ maka semakin besar
juga galat yang akan muncul.Komputasi yang mudah dan tidak memerlukan
waktu lama merupakan kelebihan metode ini.Kekurangan metode ini adalah
semakin kecil∆ mengakibatkan semakin besar matriks tridiagonal yang
BAB V
KESIMPULAN DAN SARAN
A. Kesimpulan
Persamaan diferensial mampu memodelkan pergerakan lapisan fluida yang
melibatkan minyak dan air. Dalam kasus ini, model pergerakan lapisan fluida
antara minyak dan air diselesaikan dengan menggunakan metode volume hingga
Lax-Friedrichs dan metode beda hingga. Hasil numeris yang diperoleh
menunjukkan kecepatan dua fluida yang berada dalam dua plat rata horisontal
dengan plat atas ditarik secara konstan 7 cm/s mendekati hasil analitisnya.
Lebih lanjut lagi, dari hasil simulasi dengan menggunakan program
MATLAB, solusi metode beda hingga lebih baik daripadametode volume hingga
Lax-Friedrichs, hal ini dilihat dari hasil galat yang diperoleh. Metode beda hingga
memiliki galat yang mendekati 0 lebih cepat daripada metode volume hingga
Lax-Friedrichs seiring dengan ∆ yang semakin kecil, dan pehitungan menggunakan
metode beda hingga lebih cepat bila dibandingkan dengan metode volume hingga
Lax-Friedrichs.
B. Saran
Penulis sadar bahwa dalam penulisan skripsi ini masih banyak
kekurangan. Oleh sebab itu, penulis mengharapkan kelak ada yang melanjutkan
lapisan fluida dengan metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode beda
hingga. Penulis berharap di waktu yang akan datang, ada yang melanjutkan
DAFTAR PUSTAKA
Blanchard. P., Devaney, R.L. & Hall, G.R. (2012). Differential Equations,Fourth edition. Boston: Brooks/Cole.
Bleecker, D. & Csordas, G. (1992). Basic Partial Differential Equations. New York: Van Nostrand Reinhold.
Caldwell, J. & Ng Douglas, K. S. (2004). Mathematical Modelling. New York: Kluwer Academic Publisher.
Crowe, C. T., Elger, D. F., Williams, B. C. & Roberson, J. A. (2010). Engineering
Fluid Mechanics, Ninth Edition. New Jersey: John Wiley & Sons (Asia)
Pte Ltd.
Haberman, R.(2004). Applied Partial Differential Equations, Fourth edition. New Jersey: Pearson Prentice Hall.
LeVeque R.J. (2002). Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems.
Cambridge: Cambridge University Press.
LeVeque R J 1992 Numerical Methods for Conservation Laws (Basel: Springer)
Leon, S. J. (2001). Aljabar Linear dan Aplikasinya. Jakarta: Erlangga.
Munir, R. (2008). Metode Numerik. Bandung: Informatika Bandung.
Purcell, E J. (1981). Kalkulus dan Geometri Analitis edisi ketiga. Jakarta: Erlangga.
Süli, E. & Mayers, D F. (2007). An Introduction to Numerical Analysis.
Cambridge: Cambridge University Press.
LAMPIRAN
Berikut ini merupakan code pada program MATLAB untuk solusi analitik,
solusi numeris metode volume hingga Lax-Friedrichs dan metode beda hingga
beserta code untuk menggambar galatnya.
A. Metode Volume Hngga Lax-Friedrichs
tic
va=zeros(1,nx); %matriks untuk v air
vm=zeros(1,nx); %matriks untuk v minyak
Fip1m=(-mum*vm(i+2)+mua*va(i))/(2*dx); %Untuk mencari nilai Va dan Vm
vaNew(i)=va(i) - dt/dx*(FUa-FLa); %Untuk mencari nilai Va dan Vm
vaNew(i)=va(i) - dt/dx*(FUa-FLa); %Untuk mencari nilai Va dan Vm
Fim1m=-mum*(vm(i) - vm(i-2))/(2*dx); %Untuk mencari nilai Va dan Vm
vaNew(i)=va(i) - dt/dx*(FUa-FLa);
legend('Numerical solution','Exact solution')
pause(0.00000000001)
end
Error = sum(abs(V-v'))/nx toc
B. Gambar Galat Metode Volume Hingga Lax-Friedrichs
clc
clear all
x=[0.125,0.25,0.5,1];
Galat=[0.3754,0.6604,0.7197,0.7463];
plot(x,Galat,'r*-')
legend('Galat Kecepatan Fluida','Location','southeast')
xlabel('Steps in space domain')
ylabel('Error')
title('Galat Perhitungan Kecepatan Lapisan Fluida')
k=6;
n=length(x);%input('masukkan besar matriks: ');
%perhitungan Analitik
dimin=ones(nxA-1,1); %diagonal utama u/ 0:6
diminb=ones(nxA-2,1); %diagonal atas u/ 0:6
di=ones(1,1); %untuk 6
diplus=ones(nxM-1,1); %diagonal utama dan atas u/7:10
diplusb=ones(nxM-2,1); %diagonal bwh u/7:10
k4=-g*V0(n,1)-7*d;
legend('Numerical velocity at t=1', 'Numerical velocity at
t=5', 'Numerical velocity at t=50', 'Exact steady velocity',
'Location', 'southeast')
title('Kecepatan Fluida saat delta x = 2')
xlabel('v (velocity)')
dt=0.5*dx; %input('delta t: ')
k=6;
n=length(x);%input('masukkan besar matriks: ');
dimin=ones(nxA-1,1); %diagonal utama u/ 0:6
diminb=ones(nxA-2,1); %diagonal atas u/ 0:6
di=ones(1,1); %untuk 6
diplus=ones(nxM-1,1); %diagonal utama dan atas u/7:10
diplusb=ones(nxM-2,1); %diagonal bwh u/7:10
elseif t(i)==50
V50=V;
end end
plot(V05,x,'r+-', V5,x,'g.-',V50,x,'b--', v,x,'k-')
legend('Numerical velocity at t=1', 'Numerical velocity at
t=5', 'Numerical velocity at t=50', 'Exact steady velocity',
'Location', 'southeast')
title('Kecepatan Fluida saat delta x = 1')
xlabel('v (velocity)')
dt=0.5*dx; %input('delta t: ')
k=6;
n=length(x);%input('masukkan besar matriks: ');
d=mum/(dx^2);
e=(2*mum/(dx^2))+g;
f=((2*mua+2*mum)/(dx^2))+(2*g);
dimin=ones(nxA-1,1); %diagonal utama u/ 0:6
diminb=ones(nxA-2,1); %diagonal atas u/ 0:6
di=ones(1,1); %untuk 6
diplus=ones(nxM-1,1); %diagonal utama dan atas u/7:10
diplusb=ones(nxM-2,1); %diagonal bwh u/7:10
for j=0:dx:6
legend('Numerical velocity at t=1', 'Numerical velocity at
t=5', 'Numerical velocity at t=50', 'Exact steady velocity',
'Location', 'southeast')
title('Kecepatan Fluida saat delta x = 0.5')
xlabel('v (velocity)')
ylabel('x (position)')
F. Metode Beda Hingga ∆ = .
dt=0.5*dx; %input('delta t: ')
k=6;
n=length(x);%input('masukkan besar matriks: ');
%perhitungan Analitik
dimin=ones(nxA-1,1); %diagonal utama u/ 0:6
diminb=ones(nxA-2,1); %diagonal atas u/ 0:6
di=ones(1,1); %untuk 6
diplus=ones(nxM-1,1); %diagonal utama dan atas u/7:10
diplusb=ones(nxM-2,1); %diagonal bwh u/7:10
for j=0:dx:6
q2=2*b*di;
legend('Numerical velocity at t=1', 'Numerical velocity at
t=5', 'Numerical velocity at t=50', 'Exact steady velocity',
'Location', 'southeast')
title('Kecepatan Fluida saat delta x = 0.25')
xlabel('v (velocity)')
dt=0.5*dx; %input('delta t: ')
nxM=length(xM);
n=length(x);%input('masukkan besar matriks: ');
%perhitungan Analitik
dimin=ones(nxA-1,1); %diagonal utama u/ 0:6
diminb=ones(nxA-2,1); %diagonal atas u/ 0:6
di=ones(1,1); %untuk 6
diplus=ones(nxM-1,1); %diagonal utama dan atas u/7:10
diplusb=ones(nxM-2,1); %diagonal bwh u/7:10
A=diag(q,-1)+diag(w)+diag(r,1);
legend('Numerical velocity at t=1', 'Numerical velocity at
t=5', 'Numerical velocity at t=50', 'Exact steady velocity',
'Location', 'southeast')
title('Kecepatan Fluida saat delta x = 0.125')
xlabel('v (velocity)')
dt=0.5*dx; %input('delta t: ')
k=6;
n=length(x);%input('masukkan besar matriks: ');
g=1/dt;
dimin=ones(nxA-1,1); %diagonal utama u/ 0:6
diminb=ones(nxA-2,1); %diagonal atas u/ 0:6
di=ones(1,1); %untuk 6
diplus=ones(nxM-1,1); %diagonal utama dan atas u/7:10
diplusb=ones(nxM-2,1); %diagonal bwh u/7:10
title('Kecepatan Fluida saat delta x = 0.0625')
xlabel('v (velocity)')
ylabel('x (position)')
error=sum(abs(V-v))/n
I. Gambar Galat Metode Beda Hingga
clc
clear all
x=[0.0625,0.125,0.25,0.5,1,2];
Galat=[0.0187,0.0334,0.0547,0.0788,0.0964,0.0898];
plot(x,Galat,'r*-')
legend('Galat Kecepatan Fluida','Location','southeast')
xlabel('Steps in space domain')
ylabel('Error')