276
PENYELESAIAN SHORTEST PATH PROBLEM DENGAN JARINGAN
SARAF TIRUAN HOPFIELD
Nur Hasanah1) Istikhomah2) Taufiq Hidayat3) Sri Kusumadewi4)
Jurusan Teknik Informatika, Fakultas Teknologi Industri, Universitas Islam Indonesia Fakultas Teknologi Industri, Jurusan Teknik Informatika - Universitas Islam Indonesia ada_nu2nk@yahoo.com1) zizty_25@yahoo.com2) taufiqhid@fti.uii.ac.id3) cicie@fti.uii.ac.id4)
ABSTRACT
The shortest path problem (SPP) is one of many optimization problems. The purpose of SPP is to get a route from the source city to the destination city by visiting other cities. In SPP, not every city should be visited and every city is visited only once. The goal is to find path that minimize the total distance of a route. In this paper, a recurrent neural network for solving the SPP is presented. This kind of neural networks can be used to solve this optimization problem by choosing an appropriate architecture to find the optimal solution. The Hopfield-type neural network is a very efficient tool for solving such problems.
Keywords: Shortest Path Problem (SPP), Neural Network, Hopfield Neural Network, Optimization.
1. Latar Belakang
Shortest Path Problem (SPP) adalah masalah optimasi kombinasional untuk mencari rute minimum yang diperlukan untuk mencapai kota tujuan dari kota asal berdasarkan beberapa jalur alternatif yang tersedia. Setiap tempat tidak selalu mempunyai jalur yang terhubung dengan kota-kota lainnya. Berbagai macam algoritma telah diuji untuk menyelesaikan masalah ini. Jaringan saraf tiruan merupakan salah satu alternatif untuk menyelesaikan masalah optimasi. JST Hopfield pertama kali digunakan oleh Hopfield dan Tank untuk memecahkan Travelling Salesman Problem (TSP). Sejak itu banyak peneliti berusaha untuk mengaplikasikan JST Hopfield untuk memecahkan masalah optimasi lainnya.
2. Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah:
1. Untuk mengaplikasikan JST Hopfield ke dalam sebuah kasus optimasi.
2. Untuk menemukan sebuah solusi baru dalam menentukan jalur terpendek menggunakan algoritma JST Hopfield.
3. Untuk menganalisa kinerja JST Hopfield dalam memecahkan SPP.
3. Rumusan Masalah
Rumusan masalah dari penelitian ini adalah bagaimana membuat desain JST Hopfield dan mengimplementasikannya ke dalam kasus SPP agar didapatkan hasil yang optimal.
4. Landasan Teori
4.1 Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield
Jaringan syaraf merupakan salah satu representasi buatan dari otak manusia yang selalu mencoba untuk mensimulasikan proses pembelajaran pada otak manusia. Seperti halnya otak manusia, jaringan syaraf juga terdiri dari beberapa neuron yang mentransformasikan informasi yang diterima melalui sambungan keluarnya menuju ke neuron-neuron yang lain dengan nama bobot. Fungsi aktivasi, merupakan penggambaran hubungan tingkat aktivasi internal.
Gambar 1. Struktur Neuron Jaringan Syaraf.
Algoritma Hopfield neural network pertama kali dikenalkan oleh John Hopfield dari California Institute of Technology pada tahun 1982. John Hopfield merancang sebuah jaringan saraf tiruan yang kemudian dikenal dengan nama jaringan Hopfield. Pada jaringan Hopfield, semua neuron saling berhubungan penuh. Neuron yang satu mengeluarkan output dan kemudian menjadi input bagi semua neuron yang lain. Proses pengiriman dan penerimaan sinyal antar neuron ini secara feedback tertutup terus menerus sampai dicapai kondisi stabil (Kristanto 2004). Penggunaan JST Hopfiled untuk memecahkan masalah optimasi pertama dilakukan oleh Hopfield dan Tank untuk memecahkan Travelling Salesman Problem.
∑
Fungsi aktivasi Output bobot bobot Input dari neuron-neuron lain Output ke neuron-neuron lain277
Sirkuit jaringan Hopfield dapat dilihat pada Gambar 2. Desain sirkuit ini diadaptasi dari komponen-komponen dasar jaringan saraf biologis. Setiap neuron dimodelkan sebagai sebuah amplifier dengan fungsi aktivasi sigmoid dengan input
i
U dan output V dari neuron ke-i. Output dari i V merupakan bilangan 0 atau 1. i
Gambar 2. Jaringan Saraf Tiruan Hopfield
Fungsi sigmoid: 1 ( ) 1 i i i i i U V g U e−λ = = + (1)
Setiap neuron menerima input/impuls dari neuron-neuron lainnya. Hubungan ini biasanya disebut dengan koneksi sinapsis dan dideskripsikan melalui matrik T =[ ]Tij . Dalam jaringan, matrik T disebut juga dengan matrik hubungan. Setiap neuron juga menerima bias yang disebut Ii. Rumus perubahan Ui dari jaringan Hopfield adalah sebagai berikut:
1 N i i ij j i j dU U T V I dt = τ =
∑
− + (2)Dimana τ adalah konstanta dari waktu sirkuit.
Dari kedua persamaan di atas didapatkan pula fungsi energi:
1 1 1 1 2 N N N ij i j i i i j i E T VV I V = = = = −
∑∑
−∑
(3)Berdasarkan rumus energi (3), rumus perubahan neuron ke ith dirumuskan sebagai berikut:
i i i dU U E dt τ V ∂ = − − ∂ (4)
4.2 Shortest Path Problem dengan Jaringan Syaraf Tiruan Hopfield
Pada kasus Shortest Path Problem, tujuannya adalah menemukan rute yang terpendek antara node source s, ke node destination d, di jaringan yang ada. Jaringan didefinisikan sebagai sebuah graf berarah G = (N, A), dengan N adalah banyaknya node dan A adalah banyaknya sisi (arc) atau dalam kasus ini adalah jalan (path). Adapun C , adalah nilai ij
yang menunjukkan besarnya jarak, panjang, atau waktu transit dari node i ke node j. Rute terpendek dapat dirumuskan dengan graf Psd, yang berisi urutan node-node yang menghubungkan s ke d:
278 Panjang dari jalur terpendeknya adalah Lsd =
si
C + C + ij C + ... + jk Crd. Inti permasalahannya adalah mencari rute L
sd
dengan panjang minimum.
Pada kasus shortest path, node-node disediakan dalam bentuk matrik n x n. Dengan semua elemen diagonal dihilangkan, karena tidak dibutuhkan. Setiap elemen merepresentasikan neuron dengan indikator (i, j), dimana i menyatakan kolom dan j menyatakan nomor dari node. Jadi, sebuah jaringan memerlukan n (n - 1) neuron, dan neuron dengan letak (i, j) menggambarkan output V , dengan ketentuan sebagai berikut: ij
Bila jalur dari node i ke node j ada dalam rute terpendek Sebaliknya 1 0
ij V =
(6)Dan juga ditentukan ρ sebagai berikut: ij
Bila tidak ada jalur dari node i ke node j Sebaliknya 1 0
ij ρ =
(7)Selain Vij dan ρ , diperlukan juga ij Cij, yaitu besarnya jarak dari node i ke node j dan harus bernilai positif. Untuk jalur yang tidak ada, maka besarnya jarak akan dianggap sebagai nol, dan jalur ini akan tereliminasi dari solusi.
Untuk menentukan apakah sebuah rute merupakan rute terpendek pada jaringan Hopfield ini digunakan sebuah fungsi energi (3) yang telah dimodifikasi, dimana hasil akan diperoleh bila energi yang dihasilkan minimum. Berikut adalah rumus fungsi energinya:
(
)
(
)
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 3 2 2 2 4 5 1 (1 ) 2 2 n n n n n n ij ij ij ij ij ij i i j i j i j j j i j i j i j i n n n n ij ij ds i j i j j i j i E C V V V V V V V µ µ µ ρ γ µ µ = = = = = = = ≠ ≠ ≠ ≠ = = = = ≠ ≠ = ⋅ + ⋅ + − − + ⋅ − ¬ + −
∑∑
∑∑
∑ ∑ ∑
∑∑
∑∑
(8)Koefisien Cij merupakan besar jarak dari kota i ke kota j dan Vij menggambarkan koneksi antara kota i dan kota j, dimana Vij akan bernilai 0 jika kedua kota tersebut tidak terkoneksi atau berhubungan dan akan bernilai 1 jika terkoneksi.
Konstanta 1µ digunakan untuk meminimalkan total jarak; konstanta 2µ digunakan untuk mencegah jalur yang tidak ada agar tidak ikut dalam rute; konstanta µ bernilai 0 untuk setiap node (jumlah jalur yang masuk sama dengan jumlah 3 jalur yang keluar); konstanta 4µ digunakan agar jaringan dapat meraih kondisi konvergen; konstanta 5µ bernilai nol di saat output. V adalah sama dengan 1, untuk memastikan shortest path yang ada menpunyai sumber dan tujuan yang ij sesuai.
Berdasarkan persamaan (1), (2), dan (4) maka didapatkan rumus perubahan Uij:
, 1 1 . n n ij ij ij kl kl ij k l l k dU U T V I dt τ = = ≠ = − +
∑∑
+ (9a) ij ij ij dU U E dt τ V ∂ = − − ∂ (9b) 1 ( ) 1 ij ij ij ij ij U V g U e−λ = = + (10a)279 ( , )i j NxN i/ j.
∀ ∈ ≠ (10b)
Dengan mensubstitusikan (9) di (10b), persamaan untuk perubahan jaringan saraf menjadi:
1 1 1 2 (1 . ) (1 . ) 3 ( ) 2 2 4 5 3 ( ) (1 2 ) 2 2 (i,j) N / . n ij ij ij id js ij id js ik ki k k i jk kj ij id js k k j dU U C V V dt V V V xN i j µ µ δ δ ρ δ δ µ τ µ µ µ δ δ = ≠ = ≠ = − − − − − − − + − − − + ∀ ∈ ≠
∑
∑
(11)Dimana δ merupakan delta Kronecker dimana:
Bila a = b Sebaliknya 1 0
ab δ =
(12)Dengan membandingkan persamaan (10a) dan (12), maka kekuatan koneksi dan bias ditetapkan sebagai berikut:
, 4 3 3 3 3 ij kl ik jl ik jl li jk T =µ δ δ −µ δ −µ δ +µ δ +µ δ (13) 1 2 4 5 (1 . ) (1 . ) . 2 2 2 2 5 4 jika ( , ) ( , ) 2 2 1 4 2 sebaliknya 2 2
(
), (
).
ij ij id js ij id js id js ij ij I C i j d s Ci
j
k
j
µ µ µ µ δ δ ρ δ δ δ δ µ µ µ µ µ ρ = − − − − − + − = = − − −
∀ ≠
∀ ≠
5. Metode Penelitian
5.1 Perancangan Jaringan Hopfield
Misalkan akan dibuat sebuah jaringan Hopfield yang mempresentasikan jaringan kota di pulau Jawa. Node-node dalam jaringan mempresentasikan kota-kota. Sedangkan arc mempresentasikan jalur dari satu kota ke kota lainnya.
Gambar 3. Jaringan Kota di Pulau Jawa
Pada Gambar 3 dapat dilihat bahwa jaringan tersebut mempunyai 11 node dengan 16 jalur. Tiap-tiap jalur mempunyai nilai jarak sendiri. Keterangan nodenya adalah sebagai berikut:
280
Tabel 1. Daftar Kota yang Saling Terhubung
NODE NAMA KOTA
A Jakarta B Bogor C Bandung D Cirebon E Semarang F Magelang G Purworejo H Sleman I Yogyakarta J Malang K Surabaya 5.2 Studi Kasus
Misalkan akan dicari rute terpendek dari kota Jakarta (A) ke kota Yogyakarta (I) dari jaringan Hopfield pada gambar 3. Didapatkan matrik C, yang elemen-elemennya mempresentasikan besarnya jarak dari satu kota ke kota lainnya. Diasumsikan bahwa matrik jalur ini bersifat simetris dengan Cij =Cji, dimana terdapat jalur dengan dua arah antara satu kota ke kota lainnya.
C = 0 50 200 100 300 0 0 0 0 0 0 50 0 100 0 0 0 0 0 0 0 0 200 100 0 100 0 0 450 0 0 0 0 100 0 100 0 300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 300 0 250 0 0 0 0 400 0 0 0 0 250 0 55 25 0 0 0 0 0 450 0 0 55 0 11 23 0 0 0 0 0 0 0 25 11 0 14 0 0 0 0 0 0 0 0 23 14 0 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 200 0 78 0 0 0 0 400 0 0 0 0 78 0
Didapat juga matrik ρ , yang elemen-elemennya mempresentasikan ada tidaknya sebuah jalur dari satu kota ke kota lainnya. ρ = 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1
281
Gambar 4. Energi Jaringan Kota di Pulau Jawa
Pada Grafik 1, dapat dilihat bahwa nilai dari energi pada jaringan kota akan mencapai kondisi konvergen, dimana di saat itulah rute terpendek didapatkan.
Gambar 5. Rute Terpendek pada Jaringan Kota di Pulau Jawa
Rute terpendek dari kota Jakarta ke kota Yogyakarta yang didapatkan adalah: Jakarta – Bandung – Purworejo – Yogyakarta.
6. Kesimpulan
1. Pemanfaatan teknologi informasi pada pencarian rute terpendek diyakini menghasilkan suatu keluaran yang akurat dan tepat, untuk pilihan transportasi seseorang.
2. Jaringan saraf tiruan Hopfield dapat digunakan untuk memecahkan masalah rute terpendek dengan memberikan solusi optimum yang tepat. Setelah dicoba beberapa kali percobaan kombinasi jalur pada jaringan, terbukti JST Hopfield dapat memberikan jalur terpendek bahkan dengan jumlah node yang banyak.
Daftar Pustaka
[1] Ahn, C.W., Ramakrishna, R.S., Kang, C.G., and Choi, I.C. (2001). Shortest Path Routing Algorithm Using Hopfield Neural Networks. IEEE Electronics Letter on 13th September 2006 vol. 37, no. 19. pp. 1176-1178. [2] Ali, M.K.M., and Kamoun, F. (1993). Neural Networks for Shortest Path Computation and routing in Computer
Networks. IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 4, no. 6 November 1993, pp. 941-947.
[3] Kojic, N., Reljin, I., and Reljin, B. (2006). Neural Networks for Optimization of Routing in Communication Networks. Elec.Energ. vol. 19, no. 2 August 2006, pp. 317-329.
[4] Kristanto, A. (2004). Jaringan Syaraf Tiruan.Yogyakarta : GavaMedia.
