1711_Kalkulus Diferensial.pdf

iTAKAAN

JIPAN

ATIMUR

]

KALKULUS

DIFERENSIAL

MuHAMMAD

Rnznu

MnUMUD

N,

SrnEenB

FnnronwAw

MnnpAUNG

$u.*[]:,il51^

Kalkulus Diferensial

Copl,right@Muhammad PtazaJJ, Mahmud N. Siregar, Faridawaty N{arpaung

Hak Cipta dilindungi oleh Undang-Undang Nomor 19 Tahun2002.

Dilarang memperbanyak/menyebarluaskan dalam bentuk apapun tanpa izin tertulis dari penerbit Ghalia Indonesia.

Penerbit Ghalia Indonesia, Agusrus 2010

Jl. Rancamaya Km. 1 No. 47,

'Warung _{Nangka, Ciawi}

- Bogor 16120

Telp.: (0251) 8240628 (runting) Fax.: (0251) 8243617

e-mail: editorialperti@gmail. com

Perpustakaan Nasional Katalog Daiam Terbitan (KDT)

Muhammad Raza)s,, Mahmud N. Siregar, Faridawaty Marpaung

I(alkulus Diferensial, Cet. 1

Bogot: Penetbit Ghalia Indonesia, 2010

x + 246 hlm; 175 mm x 250 mm ISBN: 97 B-97 9 -450-581 -6

I

Kalkulus merupakan mata

kuliah

keahlian dasar yang dipelajari oleh mahasiswa

jurusan

matematika, sains

dan teknik.

Ia

merupakan

mata kuliah utama

yang

mengantarkan mahasiswa

untuk

dapat

memahami

cabang-cabang matematika

tingkat tinggi,

mengingat perannya

sebagai

fundamen yang

menopang keahlian matematika

lanjut

dan keahlian keteknikan.

Materi kalkulus

terdiri

atas

dua

cabang utama,

yaitu

kalkulus

diferensial dan kalkulus integral. Masing-masing cabang dibangun dengan uraian teori dan aplikasi

yang cukup

banyak dan

buku

ini

membahas khusus tentang

kalkulus

diferensial. Pemaparan

buku

ini

disusun

secara

rinci,

menyertakan beragam

contoh

aplikasi

kalkulus

diferensial pada

berbagai

bidang, seperti fisika,

kimia,

bisnis,

ekonomi, demografi, sosiologi, dan

lain-lain.

Buku

ini

memuat lebih

dari

160 contoh soal dan

penyelesaiannya. Solusi-solusi soal yang melibatkan angka dan simbol semaksimal

mungkin

disertai dengan penjelasan yang

mudah

dipahami.

Di

samping

itu, buku

ini

mengupayakan

agar pembuktian

teorema

dan

rumus-rumus

tidak

terlalu

mendominasi, sehingga buku

ini

dapat menjadi acuan bagi mahasiswa selain jurusan

matematika.

Dari

sisi

struktur

sususannya, buku

ini

disusun dalam lima bab. Bab satu hingga

bab

tiga

merupakan pengantar

awal

yang sangat

diperlukan

untuk

memasuki bab

empat yang membahas tentang turunan, teorema-teorema turunan dan

teknik-teknik

menentukan turunan beragam fungsi. Bab satu merupakan pengantar yang bersifat

7

dua

dikhususkan pada

pembahasan

fungsi

mengingat mayoritas

topik

kalkulus

terkait

dengan

fungsi.

Bab

tiga

memberi penjelasan lengkap tentang konsep

limit

yang

merupakan

fundamen yang

mendasari

kalkulus. Bab empat

secara khusus

membahas

tentang

turunan,

definisinya,

teorema-teorema

turunan,

dan

teknik-teknik

untuk

mencari

turunan

sebarang fungsi. Bab

lima

membahas penafsiran dan contoh aplikasi kalkulus diferensial.

Kepada mahasiswa,

penulis

menyampaikan

bahwa

cara

baik

belajar kalkulus

adalah Anda haruS membacanya sambil menggoreskan pulpen pada kertas dan

ikut

terlibat mencoba menyelesaikan setiap contoh soal dan latihan yang diberikan. Jika

jawaban

rinci

bagi

setiap contoh soal telah tersedia,

Anda

disarankan

untuk

tetap

mencoba menyelesaikan kembali jawabarurya dengan goresan pulpen Anda sendiri,

kemudian bandingkan jawaban

Anda

dengan

jawaban

yang

tersedia. Gunakan

kalkul4tor

sebagai alat

bantu komputasi

dan bahkan

jika

memungkinkan, jangan

ragu-ragu menggunakan perangkat

lunak

(software) seperti Mathematica, Maple, atau Matlab

untuk

berkesperimen dengan soal

yang diberikan. Latihan

soal sebanyak

mungkin

adalah

kunci

sukses

yang

akan mengantarkan

Anda

pada keberhasilan

dalam mempelajari kalkulus.

Penulis berhutang

budi

kepada para pakar matematika di sepanjang abad hingga

abad

ini,

yang

pemikiran

dan ide-ide

brilian

mereka telah menjadi dasar

pemikiran

yang memenuhi buku

ini.

Penulis menyadari masih banyak

materi

yang

belum

dibahas

di sini

dan juga pada kekurangan

di

dalam

buku ini,

menjadi harapan

untuk

terus berkarya lebih baik

di

masa yang akan datang.... Semoga!

Muhammad Razali

Mahmud N.

Siregar Faridawaty

Marpaung

=

Daftar

Isi

BAB 1.

PENGANTAR

MENUJU

KALKULUS

A.

Apakah Kalkulus

itu...

1

B.

Fundamen yang Dibutuhkan

Untuk

Memulai Pelajaran

Kalkulus...

3

C.

Himpunan

Bilangan...

4

D.

Variabel

6

E. Selang

6

F. Pertaksamaan...

7

G.

Nilai Mutlak

...

'12

H.

Rumus Jarak

...

16

[.

Koordinat

Titik

Tengah Garis

Lurus

J.

Persamaan

Lingkaran

17

K.

Trigonometri...

18 BAB 2

FUNGSI

25

A. Pendahuluan...

25

B.

Definisi

Fungsi...

27 V ix 17

7

C.

Fungsi Sebagai Proses

lnput-Output...

30

D.

Penyajian

Fungsi

30

E.

Jenis-Jenis

Fungsi

34

F.

Lebih Lanjut dengan Persamaan

Linier...

54

G.

Menggambar Grafik Fungsi dengan

Mathematica...

60

BAB 3

LIMIT DAN

KONTINUITAS...

A.

Pendahuluan ...

B.

Limit

Fungsi

C.

Limit

Arah

Kiri

dan

Limit

Arah Kanan...

D.

Syarat Keberadaan

Limit

Fungsi...

E.

Menentukan

Limit

Fungsi dengan

Grafik

F.

Menentukan

Limit

Fungsi dengan Substitusi Langsung..

G.

Menentukan

Limit

Fungsi dengan Manipulasi Aljabar

H.

Sifat dan

Aturan

Dasar Penghitungan Limit....

I.

Limit

Fungsi

Trigonometri

...

I.

Definisi Formal tentang Limit...

K.

Limit

yang Melibatkan Bentuk Tak Hingga...

L.

Menghitung

Limit

dengan Mathematica ...

M.

Kontinuitas

Fungsi

...

N.

Masalah Garis Singgung dan Laju Perubahan..{...

O.

Laju Perubahan..{... 69 69 69 71. /J 75 77 79 84 87 95 97 101 102 107 111 BAB 4

TURUNAN

125

A.

Pendahuluan...

125

B.

Turunan....

126

C.

Langkah-Langkah Menetukan

Turunan...

127

D.

Beberapa Notasi

Turunan

128

E.

Eksistensi

Turunan...

129

F.

Aturan-Aturan

dalam Menentukan

Turunan

130

G.

Menyatakan Turunan dengan Notasi

Leibniz

1,40

H.

Persamaan

Implisit

dan

Turunannya

1,41,

I.

Turunan Kedua atau Lebih

Tinggi...

L46

I.

Turunan Fungsi

Trigonometri

...

1,47

L.

Fungsi Invers Trigonometri dan Turunannya

...

159

M.

Fungsi

Hiperbolik

dan

Turunannya

762

N.

Menentukan Turunan Fungsi yang Dinyatakan Secara

Numerik...

766

BAB 5 A. B. C. D. E. F. G. H. I. I.

PENAFSIRAN

DAN APLIKASI

TURUNAN

171.

Pendahuluan...

177

Aplikasi

1 : Penafsiran

Turunan

1,71,

Aplikasi

2:Laju

Perubahan Terkait

Waktu...

200

Aplikasi

3 : Hampiran

Linier

dengan Memanfaatkan Caris

Singgung...

204

Aplikasi

4 : Memahami Makna Diferensial

dy...

207

Aplikasi

5 : Metode Newton

untuk

Pencarian

Akar

Persamaan f(x) =

6..

21.0

Aplikasi 6 : Turunan untuk Menentukan

Nilai

Maksimum dan

Minimum

Fungsi

217

Aplikasi 7: Aplikasi

Turunan pada Masalah Optimisasi

...

224

Aplikasi

8 :

Aplikasi

Turunan pada

Aturan

L'Hopital...

230

Aplikasi

9 : Ekspansi Fungsi ke Deret

Maclaurin.

..

23L

DAFTAR

PUSTAKA

239

GLOSARIUM...

241,

TENTANG

PENULIS

245

BAB

PENGANTAR

MENUJU

KALKULUS

A.

APAKAH

KALKULUS

ITU?

Para ahli mengatakan, bahwa salah satu sumbangan yang paling besar bagi

ilmu

matematika, sains, dan rekayasa modern ialah penemuan

kalkulus

menjelang

akhir

abadl7. Dikatakan bahwa tanpa cabang utama

ilmu

matematika ini, banyak prestasi

teknologi, seperti pendaratan manusia di bulan, tentunya akan sulit atau tidak

mung-kin

dicapai.

Sehari-hari

kita

sering mendengar

dan

menyebut

kata "mengkalkulasi" yung

artinya

menghitung. Kata "mengkalkulasi"

adalah

kata yang dekat

dengan kata

"kalkulus".

Kalkulus berasal dari bahasa

latin

yang

berarti "batu

ketikil".

Nama

ini

barangkali asalnya ialah karena

batu

kerikil

dipergunakan

beribu-ribu

tahun yang

lalu untuk

menghitung dan mengerjakan soal hitungan.

Dua

orang

yang hidup dalam

abad ke-17 berjasa

sekali dengan

_Penemuan

kalkulus,

yaitu

Sir Isaac

Newton

dari Inggris dan Gottfied

Wilhelm

von

Leibniz

dari

Jerman. Ide pokok kalkulus dikembangkan secara sendiri-sendiri oleh mereka selama

bertahun-tahun.

Newton yang merupakan ahli

ilmu

alam yang sangat terkenal, menerapkan

kal-kulus

pada

teori

gerak dan gravitasi.

Teori

ini

yang sering disebut sebaf,ai hukum

Newton memungkinkan dia menggambarkan secara matematis semua benda dalam

jagadraya, daripelemparan bola sampai kepada perputaran

bumi

dan planet-planet

.i

1';ia:

Sebelum era

Newton

dan Leibniz,

ilmu

matematika yang dipergunakan

untuk

memecahkan soal adalah semacam

matematikayangdiajarkan di

sekolah menengah

modern.

Matematika

itu

meliputi mata

pelajaran

seperti

ilmu

hitung,

aljabar,

geometri,

dan trigonometri. Prinsip

dasar mata pelajaran

ini

dikenal

paling

tidak

1.500

tahun

sebelum

Newton dan

Leibniz.

Meskipun prinsip

matematika

yang

dipelajari dalam mata pelajaran

ini

berguna

untuk

memecahkan bermacam-macam soal tertentu,

namun prisip-prinsip

itu

tidak

semuanya cocok

untuk

memecahkan

soal-soal mengenai

jumlah yang

berubah-ubah atau bervariasi.

Adalah

dengan

maksud menghitung kuantitas yang berubah-ubah dan bervariasi dalam kehidupan

kita

sehari-hari, maka ditemukan

kalkulus.

Oleh karena

itu, kita

dapat mengatakan

bahwa

kalkulus

adalah

matematika

perubahan,l

Di

mana terdapat gerak dan

per-ubahan, maka kalkulus menjadi

alatyangpaling

tepat

untuk

memodelkannya secara

matematis.

Tujuan utama

kalkulus

adalah analisis masalah-masalah perubahan

yang

di-bangun

dari

penyelidikan garis singgung

kurva

dan perhitungan luas dan isi

bang-un geometri. Dua masalah

ini

sangat mendasar, sebab kita

hidup

di dunia yang terus berubah, bergerak dan fenomena pasang surut. Demikian juga sangat banyak tema

dalam matematika

tingkat tinggi

yang memanfaatkan ide-ide

kalkulus.

Oleh sebab

itu,

dikatakan kalkulus

merupakan

pintu

gerbang

menuju

hampir

semua cabang

matematika

tingkat tinggi. Hingga

saat

ini

kalkulus

tetap menjadi

topik

hangat,

karena

teknik

penghitungan dalam

kalkulus

masih tetap berfungsi sebagai bahasa

kuantitatif

utama

dari

ilmu

pengetahuan dan teknologi. Tak hanya

itu,

penerapan

kalkulus penerapan

kalkulus

merambah semakin luas

hinggapada

cabang

ilmu

so-sial seperti bisnis, ekonomi dan psikologi.

Kalkulus

terbagi dalam dua cabang,

yaitu kalkulus diferensial

dan

kalkulus

in-tegral.

Kalkulus

diferensial berurusan dengan gradien garis singgung

kurva

yang

merupakan

bentuk

geometri

dari

turunan yang

sering

ditafsirkan

sebagai laju

perubahan, seperti laju perubahan

jarak

terhadap n aktu, laju perubahan kecepatan

terhadap

waktu, laju

perubahan

temperatur,

laju

perubahan

muatan

listrik,

laju perubahan

populasi

dan

sebagainya.

Ia juga

berurusan

dengan penentuan

nilai

maksimum

atau

minimum

yang

dapat dicapai oleh suatu

fungsi kontinu.

Adapun

kalkulus integral

berurusan

dengan

penentuan

sebuah

_{fungsi asal}

yang

_fungsi

turunannya diketahui. Misalnya, kecepatan dari sebuah benda yang bergerak adalah merupakan

_{fungsi turunan}

dari

_fungsi

asal,

yaknijarak

yang

ditempuh

oleh benda

tersebut

pada

sebarang

waktu.

Artinya jika

sebuah

rumus bagi

kecepatan sebuah benda

diketahui

sebagai

fungsi

dari

waktu,

maka

kita

dapat menggunakan integral

untuk

mendapatkan

rumus yang

menjelaskan sejauh mana

jarak yang ditempuh

benda tersebut dari

titik

berangkatnya pada sebarang waktu. Ia juga berurusan dengan

L _{Dari artikel Murray Spiegel pada llmu Pengetahuan Populer Jld. 2, Grolier}

Intemational, Inc. 1988 l(alkulus Diferens:lal d'

IH

IL

;;,,.,ti,,i:::l'," 2 ttttitttttttttttt,ll,,,,ll',]]',,: .' ::::::::::::::::::::::::::).:):.:1:a:aaaaaa:l:aLaaa:a:aaaa:

penentuan panjang lintasan sebuah

kurva,luas

area bidang datar tak beraturan yang

dibatasi oleh beberapa

kurva, volume-volume bangun dimensi tiga yang

dibatasi oleh selubung (kurva) permukaan, pusat gravitasi

dari

sebuah benda,

nilai

rata-rata

suatu fungsi, kerja atau usaha yang

dilakukan

oleh sebuah gaya yang beraksi pada sebuah benda, dan sebagainya.

Diferensial dan integral merupakan dua sisi yang saling melekat dalam kalkulus. Satu

sisi

merupakan

proses

balikan dari

yang

lain.

Satu

dan lainnya tidak

bisa

dipisahkan dan saling

berdiri

sendiri.

Sains

dan

rekayasa

modern

menggunakan

diferensial dan integral secara bersamaan

untuk

menyatakan beragam

hukum

alam

dengan memanfaatkan bahasa matematika dan menjelaskan dampak

dari

hukum-hukum

tersebut.

B.

FUNDAMEN

YANG

DIBUTUHKAN UNTUK MEMUTAI

PELAJARAN

KALKUTUS

Secara

umum,

beberapa cabang matematika

seperti

aljabar, geometri analitik,

fungsi

dan

trigonometri

merupakan fundamen yang

dibutuhkan

untuk

menguasai

kalkulus.

Selain

itu,

beberapa

istilah

berikut ini

akan sering

kita jumpai

pada kal-kulus.

"rril:

Himpunan

bilangan. Perhitungan pada

kalkulus

didasari oleh sistem bilangan

real. Oleh sebab

itu, kita

akan mengawali fundamen dengan membahas sistem

himpunan bilangan.

'i.."

Variabel. Kalkulus dan matematika tidak terlepas dari penggunaan simbol-simbol

untuk

menyatakan sebuah besaran yang nilainya berubah-ubah. Besaran seperti

ini

dinamakan oariabel. Oleh

karena

nilai

sebuah

variabel dapat

menjelajahi angka-angka dalam

wilayah

bilangan real, maka

kita perlu

memahami tentang selang

interval

dan pertaksamaan.

.:3

_{Fungsi dan grafik}

_fungsi.

_{Mayoritas bagian}

_{dari kalkulus terkait}

_{dengan fungsi}

dan

grafik fungsi.

Hal ini

karena

fungsi

atau persamaan

merupakan

alat

yang

paling

tepat

untuk

menyatakan hubungan antara dua buah variabel atau lebih.

Fungsi atau persamaan merupakan dasar

dari

setiap pemodelan matematika.

Grafik sebuah kurva juga merupakan salah satu alat

untuk

mengamati

perilaku

hubungan antara

dua

variabel atau

lebih. Grafik kurva

merupakan visualisasi

dari fungsi

atau

persamaan. Pembahasan

tentang

fungsi

akan selalu

terkait

dengan grafik atau kurva. Hal

ini

disebabkan karena

grafik

dapat dipakai

untuk

mempelajari persamaan dan demikian pula sebaliknya.

d:

Kontinuitas.

Fungsi atau

persamaan

yang

dibahas

dalam

kalkulus

biasanya bersifat kontinu. Dalam perhitungannya, kalkulus diferensial dan integral sering

mensyaratkan

adanya

sifat

kontinuitas pada

fungsi. Oleh

sebab

itu,

konsep

Menuju

lGlkulns

3 rry r -'5-.-r'--*i ffil-.

rl

.r ril

kontinuitas

merupakan salah satu aspek penting yang harus

dipahami

dengan

baik manakala kita

ingin

mempelajari kalkulus.

'$

Limit.

Konsep

limit

fungsi merupakan tulang punggung yang mendasari kalkulus diferensial

dan integral. Definisi-definisi yang dibangun

serta

pembuktian

ru-mus-rumus dan

teorema-teorema dasar

dalam diferensial dan integral

selalu menggunakan ide

limit.

Oleh sebab itu, pemahaman yang baik mengenai kalkulus

akan

sulit

dicapai manakala konsep

limit

tidak

dipahami dengan baik.

C.

HIMPUNAN

BILANGAN

Bilangan dapat diklasifikasikan ke dalam beberapa

himpunan:himpunanbilang-an

bulat,

himpunan bilangan

rasional,

himpunan bilangan

irasional,

himpunan

bi-langan real, himpunan bilangan

khayal

(bilangan

imajiner)

dan himpunan bilangan

komplek. Perhitungan dalam kalkulus berdasarkan sistem bilangan real.

Bilanganbulat

terdiri

dari semua bilangan bulat

positif

dan negatif.

Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan sebagai

hasilbagi

da-ri

dua buah bilangan bulat seperti:

u,

_-1.1=

-1\'

_+=!

5102

terdiri dari

semua

bilangan

bulat dan

sebagian bilangan pecahan.

Bilangan irasional

adalah bilangan yang

tidak

dapat dinyatakan sebagai hasil bagi dari dua buah bilangan bulat. Ia merupakan kebalikan dari bilangan rasional dan tak satu pun bilangan bulat yang merupakan bilangan irasional. Berikut ini beberapa contoh bilangan irasional:

Ji

=1.,41.421g562... ;1og 12=1,079181.2...; e=2,778281828...; sin210=0,358368...

Titik'...'bermakna

angka

dibelakang

koma terus dapat

ditulis

tanpa batas. Bilangan rasional dan irasional

memiliki

perbedaan yaitu:

angka

di

belakang koma pada bilangan irasional

tidak

pernah habis dan

tidak

mempunyai pola berulang. Sedangkan angka

di

belakang koma pada bilangan ra-sional selalu mempunyai pola berulang. Misalnya bilangan berikut ini adalah rasional,

karena angka dibelakang koma mempunyai pola berulang:

L

_{= 0,77777777...}

_ar.t

E

₌

1,1818181818....

911

Bilangan

real rneliputi

semua

bilangan bulat, bilangan

rasional

dan

bilangan

irasional.

_Jika diilustrasikan secara skematis maka keadaannya seperti berikut:

1,2=

Himpunan bilangan

rasional

-l

bilangan irasional

bilangan real _{bilangan bulat}

sebagian dari bilangan pecahan

Bilangan

khayal

atau bilangan imajiner muncul akibat mengambil akar bilangan

negatif. Bilangan khayal adalah bilangan yang satuannya

i

di mana i =

J-7

. Misalnya:

2i, -34i,0,6i,dan lain-lain. Himpunan bilangan khayal

berdiri

sendiri di luar

himpunan

bilangan real. Perhitungan dalam

kalkulus tidak

melibatkan himpunan

bilangan khayal.

Bilangankomplek

dinyatakan dengan simbol

zterdiri

dari dua

komponen,yattu

komponen real dan komponen khayal. Bilangan komplek biasa

ditulis

z ₌

x

+

yi di

mana

x

merupakan komponen

real

dari

z

dan

y

merupakan komponen lchayal z.

Misalnya

z=3+2i

atauz=-45-l2idanlain-lain.Jikadiilustrasikansecaraskematis,

maka keadaannya seperti

berikut

bilangan khayal

bilangan real

Dari

skema

ini,

tampak bahwa bilangan komplek

meliputi

semua

himpunan

bilangan yang ada.

Namun, kembali

kita

ingatkan bahwa bilangan

komplek tidak

menjadi bilangan dasar perhitungan dalam kalkulus. kalkulus

menggunakanbilang-an real.

Sebelum

kita

lanjutk ant, ada

dua hal penting yang

selalu harus

diingat

dalam kalkulus, yaitu:

pertama,

tidak diijinkan

membagi dengan nol. Pernyataan-pernyataan seperti:

1,-9 11

x+3

2'

o'2'2'

2+7-9

dianggap sebagai t ak-t er

ilefinisi

(undet'ined).

kedua, akar dari bilangan negatif adalah

tak-terdefinisi.Misalnya,

:i :l

Ini

karena

perhitungan kalkulus

berdasarkan sistem

bilangan

real. Sementara akar dari bilangan

negatif

terdefinisi hanya pada himpunan bilangan khayal.

D.

VARIABEL

Dalambanyak masalahpemodelanmatematik, seringkali kita harus menggunakan

notasi, misalnya a,b,

x,

untuk

menyatakan besaran yang belum diketahui

nilainya

seperti

waktu,

volume, kecepatan, percepatan

t

gaya. Besaran yang

belum diketahui

nilainya ini disebut oariabel. Dalam memilih notasi sebuah variabel, dapat digunakan

huruf-huruf

seperti

fl,

b, c, ffir /t, x,

y

dan sebagainya. Tetapi dalam beberapa kasus adalah lebih

baik

menggunakan

huruf

awal dari besaran yang dimaksud. Misalnya

notasi

t

(time)

untuk

menyatakan

variabel

waktu,

zt

(volume)

untuk

menyatakan volume, F (force atau gaya)

untuk

menyatakan variabel gaya dan sebagainya.

Variabel

adalah besaran

yang

nilainya tidak

tetap

dan

dimungkinkan untuk

berubah-ubah. Kebalikan

dari

pengertian

ini

dinamakan konstanta. Peubah adalah nama

lain

yang

sering

digunakan

untuk

menyatakan variabel.

Misalkan

x

adalah sebuah variabel yang menyatakan

umur

atau daya tahan bola lampu merk tertentu.

Jika dianggap bahwa umur tertingginya adalah 3500 jam, maka selang atau jelajah

ni-lai yang

mungkin

bagi x adalah setiap bilangan real yang berada pada

Dalam contoh ini,

r

disebut variabel yang menyatakan umur atau daya tahan bola lampu,

sebab nilainya

dimungkinkan

untuk berubah-ubah dalam selang Akan tetapi,

jlkax

telah ditetapkan nilainya, misalnya3200jam, maka

di

sini

x dinamakan konstanta,

bukan

variabel. Mengapa disebut konstanta? Karena

nilai

r

telah

dite-tapkan pada satu harga saja dan tidak berubah-ubah lagi.

E.

SETANG

Selang merupakan

himpunan

bilangan real yang sering digunakan dalam

kal-kulus

untuk

menyatakan garis bilangan. Nama

lain bagi

selang adalah

interval di

mana padanya terdapat bilangan tertentu yang menjadrbatasbawah danbatas atas.

Secara umum selang

terbagidua,yakni

selang terbuka dan selang tertutup. Selainnya adalah kombinasi salah satu

di

antara keduanya. Misalkan a dan

b

adalah bilangan

real

di

mana

a

<b, maka yang dinamakan selang

terbuka

adalah semua bilangan x yang terletak antara a dan

b

dan

ditulis

dengan lambang (a ,

b)

atau dengan notasi

pembentuk-himpunan

:

_{x

_I a < x < b}. Perhatikan bahwa kedua ujung selang yakni a

dan b,

tidak

termasuk

nilai

yang dijangkau oleh x. Secara geometri, hal

ini

dijelaskan oleh gambar 1.1.

tt

Adapun selang

tertutup

dari a ke b dinyatakan dengan lambang [a , b] atau dalam

notasi pembentuk-himpunan

_{*

_{I a}

<x<

b}.

Perhatikan bahwa

nilai

x menjangkau

kedua

ujung

selang,

yakni

a dan b. Secara geometri, hal

ini

dijelaskan oleh gambar

1.2.

Gambar 1.2

Ingat bahwa pada selang terbuka dan selang

tertutup

terdapat perbedaan tanda

kurung,

yakni

tanda

kurung

biasa

(

₎

untuk

selang

terbuka

dan tanda

kurung

siku

[

]

untuk

selang

tertutup.

Seringkali kita menggabungkan kedua tanda

ini

sekaligus,

misalnya

(a,

b]

untuk menyatakan

selang a < x < b

_{atau [a,}

b)

untuk

menyatakan

a < x <

b.

Tabel

berikut ini

menampilkan beragam selang yang sering muncul dalam kalkulus.

Lambang Notasi Pembentuk-Himpunan Tipe

(a,b) la,bl (a,bI a,b) (-co, al cco, a) (a, m) [a, co)

t-m.oo)

{xla<x<b}

{xla(x(bi

{xla<x

(

b1 {xla

(

x<b}

{xlx(a1

{xlx<a} {xlx>a} {xlx

)

a}

Himpunan semua bilangan real

Selang terbuka Selang tertutup Selang semi terbuka Selang semi teibuka

Selang semi terbuka Selang terbuka Selang terbuka Selang semi terbuka

Selang terbuka

Tanda * oO menyatakan "tak terhingga" baik itu positif atau negatif.

F.

PERTAKSAMAAN

Sebuah ekspresi matematika

disebut

pertaksamaan

jika

di

dalamnya terlibat

simbol-simbol seperti

:

<,

>,

3,

2.

Ketika berurusan dengan pertaksamaan,

kita

harus mengingat kaidah-kaidah

berikut

ini.

1.

Jika

a < b, menambah atau mengurangkan kedua ruas dengan sebuah bilangan

c, tidak

mengubah tanda pertaksamaan.

2.

Jika a <

b,

mengalikan kedua ruas dengan sebuah bilangan

positif

c

tidak

meng-ubah tanda pertaksamaan.

3.

Jika a <

b,

mengalikan kedua ruas dengan sebuah bilangan negatif c akan meng-ubah tanda pertaksamaan (yakni dari < menjadi > atau sebaliknya)

r

4.

Jika0<a<b,

maka 1,/a

>

1,/b

Contohl:

selesaikanpertaksamaan

(a)

2x+3>x-5

(b)4-9x<6+7x

ir

I

_I 1'. i l Penyelesaian:

(a)

2x+3>x-5

x+3>-5

x>-8

(b)

4-9x<6+7x

-9x <2

+ 7x

-2x

<2

x>-L

Penyelesaian:

(a)

2x+3>x-5

2x-x>-5-3

-

kurangkan kedua ruas dengan

x

( kaidah 1);

-

Tambahkan kedua ruas dengan

_-3

(kaidah 1);

-

Jadi penyelesaiannya adalah

himpunan

semua bilangan

real

yang

lebih.besar

dari

_-8.

Dalam

notasi pembentuk

himpunan

_{ditulis {x}

_I

x >

_-8};

-

Tambahkan kedua ruas dengan

_-

4 (kaidah

i);

-

Kurangkan kedua ruas dengan 7x (kaidah 1);

-

Kalikan kedua ruas dengan-1/z (kaidah4);

-

Perhatikan bahwa tanda < berubah menjadi > ketika kedua

rnas dikalikan

dengan

bilangan negatif

r/2.

Ini

adalah konsekuensi kaidah 4 . _Jadi, penyelesaiannya adalah semua

bilangan real yang lebih besar _{dari -1.}

-

pindahkan

+3 yang ada

di

ruas

kiri

ke ruas kanan dan x yang ada

di

ruas kanan ke ruas

kiri;

-

sederhanakanmasing-masing ruas;

Selain

mengikuti

kaidah-kaidah

tersebut,

kita juga

dapat

menyelesaikan

per-taksamaan dengan memindah ruas suku-sukunya atau koefisien suku-suku tersebut. Cara

ini

lebih cepat. Lihat contoh-contoh berikut.

Contoh2:selesaikanpertaksamaan: (a)

2x+3

>x-5

(b)

9x<18

(c)9x>18

(d)

_-

9x <

18

(e)

18

<

_-9x

x >

_-

8

-

jadi

penyelesaiannya adalah

himpunan

semua bilangan

real

yang

lebih

besar

_{dari -8.}

Dalam notasi pembentuk himpunan

_{ditulis {x}

_I

x >

_-

8}.

Untuk

soal

b

hingga

e,

kita

sengaja

memberi angka

yang

sama,

namun

hanya dibedakan oleh tanda positif, negatif dan arah pertaksamaan. Tujuannya adalah agar jelas bagi kita bahwa pemindahan ruas bagi koefisien suku tidak akan mengubah tanda

pertaksamaan

jika

koefisien yang dipindah-ruas

bernilai positif.

Sebaliknya,

jika

koefisien yang

dipindah-ruas bernilai

negatif akan mengubah tanda pertaksamaan (dari < menjadi > atau sebaliknya).

Mari

kita perhatikan penyelesaiarurya:

-

pindahkan +9 yang ada diruas

kiri

ke ruas kanan;

-

sederhanakan masing-masing ruas;

-

Perhatikanbahwatanda <

tidakberubahmenjadi

> karena koefisien x

yakni

9 bernilai positif.

-

pindahkan +9 ke ruas kanan;

-

sederhanakan masing-masing ruas;

-

perhatikanbahwa tanda > tidakberubah menjadi < karena koefisien x

yakni

9 bernilai positif.

(d)

-

9x <

18

-

pindahkan

-9

ke ruas kanan;

x>

18/

-9

-

perhatikan bahwa tanda < berubah menjadi > karena

ko-efisien x yang

di

pindah-ruas, yakni -9 bernilai negatif;

(b)

9x < 18 x

<

78/2

x<2

(c)

9x > 18

x>

18/2

x>2

x>

-2

(e)

18 <

-9x

L8/-2

>x

-2>

x

-

solusi akhir.

-

pindahkan

_-9

ke ruas

kiri;

-

perhatikan

bahwa tanda

<

berubah

menjadi

>

karena koefisien x yang

di

pindah-ruas dari ruas kanan, yal<ni

-9

bemilai

negatif;

-

solusi akhir. Solusi

ini

dapat

ditulis

menjadi x <

-2.

Terkadang kita berhadapan dengan pertaksamaan yang bentuknya:

1

.

O,

_{1 ,}

O,

a.b < 0 atau a.b >

0.

Untuk

menyelesaikan pertaksamaan seperti

ini

22

maka kita harus mengingat aturan-aturan berikut

ini:

i.

Jika

_'2

1

.O,maka

a<0danb

>0

atausebaliknya:a>0danb <0

1

ii.

lika

;

>

0,makaa>

0danb>

0

atausebaliknya: a <

0danb <0

2

iii.

Jika a.b < 0,

maka

a < 0

danb

>

0

atau sebaliknya:a > 0

danb

< 0

iv.

Jika a.b > 0,

maka

a > 0

danb

>

0

atau sebaliknya:a < 0

danb

< 0

Contoh

3:

Selesaikan pertaksamaan-pertaksamaan

berikut ini.

(a)

**5

_,o

(b)

_',**!

.,

4x-72

x+2

Penyelesaian:

(a)

Menurutaturan(ii),pecahar,

i1l

,g

bernilaipositif

(>0)

jikapembilangdan

penyebut

lebih

besar

dari

nol

atau sebaliknya pembilang dan penyebut sama-sama lebih kecil dari _{nol. Jadi,} terdapat dua kasus bagi pertaksamaan ini:

7'

I I

I

$.

kasusl:x+5>0

dan 4x-12>0.

$

kasus2:x+5<0

dan 4x-12<0

kasus 1 mengakibatkan: x >

-5

dan x > 3. Kedua pertaksamaan

ini diwikili

oleh

x>3

kasus 2 mengakibatkan: x <

-5

dan x < 3. Kedua pertaksamaan

ini

diwikili

oleh

x<-5

akhirnya, jawaban kasus 1 dan kasus

2

dapat digabungkan menjadi:

x

< -5 atau

x>3.

Kesimpulannya:

x+5

^

'

"

_>0

_akan

_benar

_jika

_{x <}

_-5

_{atau x >} 3

4x-12

(b)

q+

<

1. Pindahkan 1 yang ada

di

ruas kanan ke ruas

kiri

menjadi:

x-2

2x+3

-

1

<

0 samakan penyebut ruas

kiri

menjadi:

4:+ +

<

_0.

sederha-x+2 -

x+1

x+2

nakan

menjadi:

tJ1

1

g

x+2

Untuk

pertaksamaan terakhir

ini,

selesaikan dengan calayarrg sama sePerti soal (3a). pertaksamaan

ini

akan

bernilai

negatif atau nol

jika

memenuhi salah satu

dari

dua kasus

berikut.

$

kasusl;

x+

1

<

0

dan

x+2>0.

Selesaikanmenjadi:

x(-1danx>-2.

Kedua pertaksamaan

ini

(yaitu:

x

(

-1

dan x

>

-2)

dapat digabung menjadi:

-2<x<

-1.

$

kasus2:

x+

L

>

0dan

x+2<0.

Selesaikanmenjadi:

x>-1danx<-2

Tak satupun

nilai

x yang secara beirsamaan iebih besar

dari

-1 dan sekaligus ia

lebih kecil d.ari -2,karena

di

sini

kita

menggunakan

hubung

"dar." '

Artinya

kasus 2

tidak

memberi solusi

bagi

soal yang

dimaksud.

Kesimpulallnya, pertaksamaan

ini

hanya

dipenuhi

oleh jawabankasus 1. _Jadi:

3x+1'

_.,

_adalahbenar

_jlka

_-2<x

(

_-1

,-2 ='

Penyelesaian:

(a)

-2

+ 3x > 8x +18

3x-8x>L8+2

-5x

> 20 x

<20/ -5

x<-4

(b)

5<4x-6<1.2

11<4x<18

1.1./4

<x<1.8/4

pindahkan 8x ke ruas

kiri

dan

_-

2 ke ruas kanan menjadi: sederhanakan kedua ruas menjadi:

pindahkan

_-5

ke ruas kanan sehingga arah pertaksamaan berubah menjadi < (ingat bahwa yang dipindahkan adalah

bilangan negatif sehingga mengubah > menjadi < _): sederhanakan menjadi:

inilah

penyelesaiannya!

-

tambahkan masing-masing ruas dengan 6 lagor suku ruas tengah menjadi 4x saja) menjadi:

-

bagilah

masing-masing

ruas

dengan

4

(agar

suku

ruas tengah menjadi x saja) menjadi:

-

inilah

penyelesaiannya!

Contoh

5:

Selesaikan pertaksamaan (a)

*'

>

9

(b) x2

<9

Penyelesaian:

(a)

x'

>9

x2

_-

9 > 0. Faktorkan ruas

kiri

menjadi:

(x + 3)(x

_-

3) > 0.

Menurut

aturan 4, hasil

kali

kedua

faktor

(x + 3)(x

_-

3) akan

positif

jika

memenuhi salah satu dari dua kasus berikut.

{i

kaszs

1:

x

+3

>

0danx-3

> 0

x

>-3danx>3.

Penggabungan kedua pertaksamaan

ini

akan benar

jika

x > 3

*

kasus

2:

x + 3 <

0danx-3

< 0

x<-3danx<3

Penggabungan kedua pertaksamaan

ini

akan benar

jika

x <

_-3

Jikakitagabungkanjawabankasus

l

dankasus2,makapenyelesaianpertaksamaan xz > 9 adalah x > 3 atau x <

_-3.

<

9.

Penyelesaiannya seperti soal sebelumnya.

-9<0.

+ 3)(x

_-

_{3 ) <} 0. Dari sini muncul dua kasus:

(b)

x'

x2

7

$

kasusT:

x+3 <0

danx-3

>0.

x <-3danx

>3

Pada saat yang sama, tak satu pun bilangan x yang secara bersamaan lebih kecil dari -3 dan sekaligus lebih besar dari 3. _{Jadi, kasus} 1

tidak

memberikan solusi.

$

kasus2: x+3>0danx-3<0

x>-3danx<3.

Pada

saatyangsama,x

)

-3

dan

x <

3

dapatditulismenjadi-3

< x

<3.

Inilah

penyelesaiannya. Jadi:

x2<9jika:-3<x<3.

Menyelesaikan Pertaksamaan dengan Mathematica2

Pandang

kembali

contoh 4a

dan

4b. Soal

ini

kita

selesaikan dengan software

Mathematica:

((Algebra'

Inegual i

tySolve'

InegualitySolvel-2 +

3

x )

8

x *

18,x1

x<-

4

((Algebra'

f

nequal i

tySolve'

InequalitySolve [5 <

4

x -

6

1

L2,xl

11

9

42

Solusi

untuk

soal4a dan 4b

berturut-turut

adalah

x

<

-4

dan

G.

NILAI

MUTLAK

Nilai

mutlak dari

suatu bilangan a dinyatakan oleh

iambang

_la

_l,

menyatakan

jarak a dari

titik

asal0 pada garis bilangan rea1. Karena jarak senantiasa

positif

atau

nol,maka

_lul

> 0 untuksetiapbilanganreala.Misalnya

_{l-5 l=5}

dan

_llZl=12

Definisi Nilai Mutlak: Nilai

mutlak dari

suatu bilangan a dinyatakan oleh

lam-bang

_la

_I

adalah:

rur=lu

iil'u=9...ti1

r..r

_{{_a}

jikaa<0

: _{Penjelasan lengkap tentang Mathematica dapat dibaca pada buku "Carq Mudah Menyelesaikan Matemalika dengan}

Mathemotica" oleh penulis, diterbitkan oleh penerbit Andi..

11

9

Bilangan a jaraknya

adalah

_la

_I

satuan ke arah kanan

dari

titik

asal 0

jika

a > 0

dan a satuan ke arah

kiri

dari

titik

asal 0

jika

a < 0.

Nilai

mutlak digunakan untuk menyatakan jarak antara dua bilangan

(titik)

pada garis bilangan.

Artinya,

jarak antara bilangan

x,

dan bilangan

x,

pada sebuah garis

bilangan dinyatakan oleh rumus:

l*,

-

*,

_I ... (ii) Contoh

6:

Tentukan jarak antara dua bilangan

ini.

(a)

3dan-4

(b)-3dan-4

Penyelesaian:

(a)

Denganrumus

(ii) maka jarak antara 3 dan

_-

4

adalah

_l-

4-3

_I

₌

_{| -7}

_{| =Z}

l-4-(-3) l=

l-4*3

l= l-11=t

ft)

Secara geometri masing-masing soal

ini

digambarkan sebagai berikut.

Gambar 1.3.a Gambar 1.3.b

Gambar 1.3

Contoh 7: Nyatakanlah soal

berikut

tanpa menggunakan tanda

nilai mutlak

@)lax-71

(b)le+5xl

(c)

13*nl

(d)

ln-sl

Penyelesaian:

(a)

soal

ini,

_| 4x

_-7

_|

_,

lnilangkan tanda mutlaknya dengan rumus (i). Menurut rumus

(i),

r,r

:{

i

iif::j

Dari soal

ini

kita

ar.ggap a _{= 4x}

_-

7 . Dengan rumus (i) diperoleh:

lax-7

|

=

{

_.!x-z-

lt\a 4x-7

>0 selesaikan masing-masingbaris pada ruas kanan

[ - t+x -

z)

_{iika 4x-7 <o}

=

I

+*-7

ilka

4x>7

|

7

-ax

jlka 4x <7

_

_{t +"-z}

jlka x>7

/4

l7

-4x jika

x<7/4

7

-4-b.

Soal

ini,

_l9 + 5x

_l,

diselesaikan dengan cara yang sama seperti soal (a). _Jadi,

19 + 5xl

""t

:

{

.?*l*.

iif'?.:'>!

selesaikanmasing-masingbarispadaruaskanan

[-(9+5x)

jika

9+5x<o

_l

9+5x jika5x>-9

-

_i-l-s*

_iitu

_s*.-o

_l

9+5x

jika

x>-9/5

-

_|

_-o-sx

jika

x<-9/5

Untuk

soal (c) dan (d), cukup melihat apakah bilangan yang berada dalam tanda mutlak lebih besar atau lebih kecil dari nol.

Untuk

soal (c)

:

_l3

-

n

_{l, bilangan} dalam tanda

mutlak

lebih kecil dari nol, maka dengan rumus (i) kita peroleh:

13-n

l=-(3-n)=n-3

Untuk

soal (d)

:

_I

r

_-3

_l, bilangan dalam tanda mutlak lebih besar dari nol, maka dengan rumus (i), kita hilangkan tanda mutlaknya, diperoleh:

ln

-31

=

n

-3

Sifat-sifat

Nilai Mutlak

Misalkan a dan

b

sembarang bilangan real dan

n

adalah bilangan

bulat positif,

maka berlaku:

L.

_labl=lullbl

2.

lgl

=

lul:dimanab+o

lul

lbl

3.

_la"l

=

lal"

Misalkan a >

0

maka berlaku:

4. l*l

=u jikax=

*a

5. l*l <,

jika-a<x<a

6. l*l

>ujikax>a

ataux< -a

Adanya

sifat

4,5

dan 6 akan memudahkan

kita

ketika berurusan dengan

per-samaan atau pertakper-samaan yang melibatkan tanda mutlak.

Contoh8:Selesaikan

(a).

_14x-51

=3

(b).

_l3-2*l

<6

(c).

_l-6*-31

>4

Penyelesaian:

(a)

Gunakan sifat 4:

4x-5=8atau4x-5=-8

4x=1,3

atau4x

_=-3

x=13/4

ataux

_=-3/4

O)

Gunakan sifat 5:

l3

-2x

|

<

6

jika

_-

6

<3-2x<6.

Selesaikanpertaksamaan

ini

-

6

<3 -2x

<

6

-

kurangkan masing-masing ruas dengan 3 (agar suku ruas tengah menjadi

1x

saja) menjadi:

-

bagilah

masing-masing

ruas

dengan

-2

(agar

suku

ruas tengah menjadi x saja) dan baliklah arah pertaksamaannya:

9

/2

>

x

>

3/2 -

inilahpenyelesaiannya!

Jawaban

ini

dapatjuga

ditulis

sebagai

3/2

<

x

<

9/2

(c)

Gunakan sifat 6:

I

-6*-3

I

>

4 jika

-6x

-g

>

4atau -6x

-3

<

-

4.

Ini

artinya:

-6x-3>4atau-6x-3<-4

-6x>7atau-6x<-1

x < -7 / 6

atau

x

> 1/

6

(ingat! arah pertaksamaan berubah)

Menyelesaikan Masalah

Nilai Mutlak

dengan

Mathematica

Lihatkembali

contoh 8a

:

_l4x-5

_|

= 8

Solve [Abs

[4

x-5]

==$,11

(

n

_{13 I}

l{*-r-9},

{x-+

a}l

[

4

4)

Solusinya adalah x = -3

_/

4dan _{x =} 1,3 / 4

Pertaksamaan Segitiga

Salah

satu sifat penting lainnya

dari nilai mutlak

adalah

srfat pertaksamaan segitiga. Sifat

ini

seringkali

muncul

dan dipakai

tidak

hanya dalam kalkulus, tetapi dalam matematika pada umufirnya. Pertaksamaan segitiga menyatakan bahwa:

la+bl

<

lul*

lbl

Dari

pertaksamaan segitiga

ini,

jika

a

dan

b

kedua-duanya adalah bilangan negatif, atau kedua duanya bilangan

positif,

maka

nilai

ruas

kiri

akan sama dengan ruas kanan.

7

Nilai Mutlak

sebagai Batas Toleransi

Ketika

nilai

mutlak diapiikasikan pada masalah pengukuran(nrcasurement) rrtaka

ia

dapat dipandang

sebugai batas

toliransi

pad,a

hasil pengukuran'

Batas toleransi

mengijinkan

adrnya

sedikit penyimpangan (deviasi) pengukuran

dari

standar yang ditetapkan.

contoh

g: saat kita membeli satu sak semen, jika pada kemasannya tertera beratnya

40

kg

t

1, artinya pada satu sak semen beratnya tidaklah pas 40 kg, namun bervariasi antara 39 kg hingga 41 kg. Dalam

nilai mutlak

hat

ini

dapat

tulis

sebagai

berikut'

misalkanw=beratsatusaksemen(dalamkg)'maka:

40-L<w340+1

39<w34L

pertaksamaan

pada

baris terakhir

dapat

ditulis

dalam

nilai

mutlak

sebagai

lw-a0l

<

1

H.

RUMUS JARAK

Nilai

mutlak _iuga digunakan

untuk

menyatakan jarak antara dua buah

titik

pada

sistem koordinat kartesius. pada gamb ar 1.4, P(x, ,

y,)

dan Q(x,

,yr)

adalah dua

titik

pada sistem koordinat kartesius. saat kita

be,g"tui

dari

titik

P ke Q' terjadi perubahan koord inat dalam arah x dan dalam arah y. Perubahan dalam arah x dinyatakan dengan

simbol A x dan perubahan dalam arah y dinyatakan dengan simbol A

y'

Jadi' Perubahan dalam x = Ax =

xr-

x..

Perubahan dalam Y = AY =

Yz'

Yt

BesarpertrbahanAxdanAydapatbernilaipositif,negatifataunol.

(b)

Dengan

dalil

Phytagoras, jarak

d

antara

P _{dan Q} dinyatakan oleh rumus rumus

ini

disebut rumus

jarak.

Contoh 10: Tentukan jarak

antara

(a)

P(-3,5)

dan

_Q(4,

-2)

(b)

A(2,3)

dan

B(-1,7)

Penyelesaian:

(r)

lpal

=@=rF,*(,zf

=Jq9+49

=

J98

=7

J,

Jadi, jarak antara

titik

P(-3,5)

dan

Qe,

-2) adarahT

Ji

Jal=rf

.(?

if

=

,,[3F

*(4F =

J2s =

5

Jadi, jarak antara

titik

A(2 , 3) dan B(,1.

,7)

adalah 5.

I.

KOORDINAT

TITIK

TENGAH

GARIS LURUS

Koordinat

titik

tengah

M

dari

sebuah garis

lurus

yang

titik

ujungnya

P (x,, y,)

dan Q

(x,yr)

dapat ditentukan dengan rumus:

,(!+,r*,

,t

Contoh 11: Tentukan koordinat

titik

tengah dari garis lurus yang

titik-titik

ujungnya

adalah:

(a)

P (-3

_,5)

dan Q

(4,

-2)

(b) A

(2

_,3)

danB

(-1

_,7)

Penyelesaian:

(a)

141-3+4,

5+(-z)

)=M(1,

3 )

2

2

22

16)

*,2+C1),112

_'2

1=vr11,st

2'

'2

J.

PERSAMAAN

LINGKARAN

Dari

rumus jarak menuju persamaan lingkaran hanyalah sebuah langkah kecil. Jika P(a, b) adalah

titik

pusat lingkaran dan Q(x, y) adalah sebarang

titik

yang terletak

di

lingkaran, maka jarak dari P _{ke Q sama dengan panjang}

jari-jari

r.

_|adi

IPQI

=r=

Kuadratkan kedua ruas persamaan menjadi:

(x

_-

a)' + (y

_-

b)'

=

r'

... (i)

a

Persamaan (i) merupakan persamaan lingkaran dengan

jarijari

r

dan pusat

di

(a, b). Jika koordinat pusat lingkaran (0,0), maka persamaan (i) menjadi:

*'

+

_Y'=

12

_"'ii)

Persamaan

(ii)

merupakan persamaan

lingkaran

dengan

koordinat

pusat (0, 0).

Khususnya jika

r

₌ L, maka persamaan (ii) menjadi:

x2+y2-1

yang disebut sebagai

lingkaran

satuan (unit circle), yakni lingkaran dengan pusat (0,

0) dan

jari-jari

1.

Contoh

12: Tentukan persamaan

lingkaran yang koordinat pusat dan jari-jarinya

adalah:

a.

(-g,4) dan r =

5

b.

(2, -7) dan

r

₌

.,6

c.

(2,\)

d,anr

₌₉

Penyelesaian:

a.

Masukkan

a=-3,

b

_=4danr

=

5kedalampersamaanlingkaran

(x-a)'+(y-b)'=r'

(x+3)2+(y-4)'=25

b.

Seperti jawaban a

b'(x-

2)'+(Y+7)'-

Jl'

=3

,'

c.

(x-2)'

+ (y

_-

1)2 ₌

81

t

K.

TRIGONOMETRI

Trigonometri merupakan cabang matematika yang membahas hubungan antara

sudut

dan sisi-sisi suatu segitiga.

Kita

akan sering menjumpai persamaan maupun

fungsi trigonometri dalam kalkulus. Oleh

sebab

itu,

sangat

bermanfaat untuk

menyegarkan

kembali

ingatan

kita

tentang beberapa

topik

trigonometri,

terutama mengenai operator-operator dasar

trigonometri,

seperti sinus, cosinus, dan tangen suatu sudut.

y = sisi depan

x = sisi apit

Dari

gambar L.5,

kita memiliki

segitiga

siku-siku

dengan panjang sisi x,

y

dan

r

dan

sudut

0. Dalam hubungannya dengan

sudut

0, maka sisi

x

disebut 'sisi

apit'

karena sisi x adalah salah satu sisi yang mengapit sudut 0. Sisi

y disebut'sisi

depan' karena ia berada didepan sudut 0 sedangkan sisi

r disebut'sisi

miring'.

Dalam

trigonometri,

rasio (perbandingan) panjang sisi depan 0 dan sisi

miring

disebut sebagai sinus 0. _{Jadi, sinus, cosinus, tangen, cotangent,} secan dan cosecan

su-dut

0 didefinisikan oleh:

sisi deoan sin 0

sisi

miring

cos 0 sisi apit

cot 0 sec 0 cosec 0 cos 0

=-

_sin0 1 cos0 sisi

miring

sisi deoan foA srcr

aplt

1

sin0

X V

]ika posisi sudut 0 pada gambar 1.5 di atas diubah seperti pada gambar 1.6

berikut

ini

maka

nilai

sinus, cosinus, dan lain-lain akan tetap

mengikuti prinsip di

atas.

y = sisi apit

Oleh karena

itu,

x = sisi depan

Gambar 1.6

sisi x menjadi sisi depan, dan sisi

y

menjadi sisi apit sehingga

sin0

=

s$r

mlrlng

sisi

aoit

cos 0 sisi

miring

sisi deoan

tg0 =

_--r-srsl

aplt

x

=_

_r

V

=-

_r

x

v

r

Dua Segitiga

Istimewa

Terdapat

dua

segitiga

siku-siku istimewa dalam trigonometri. Dikatakan

de-mikian

karena, sudut-sudut yang ada pada masing-masing segitiga tersebut sering

digunakan

dalam

perhitungan trigonometri. Dua

segitiga tersebut adalah segitiga dengan kombinasi

sudut-sudut:450,

450, 900

dan

300, 600, 900 seperti pada gambar

1..7.a danl-.7.b

Gambar 1.7a

Dari

gambar 1.7.a dan sudut

ini.

1.7.b

kita

peroleh

nilai

Gambar 1.7b

trigonometri

bagi masmg-masmg

sin 450 =

tg 600 =

I tg eOo _{= tak} terdefinisi

(6

₎

Ukuran

Derajat dan Radian

Ukuran

sudut

biasa

dinyatakan

dengan

dua

cara:

derajat dan radian.

Sudut dalam pembahasan

trigonometri terkait

erat dengan

lingkaran.

Ukuran sudut 1

ile-raiat

(10) adalah

_fr

revolusi lingkaran,

di

mana satu

revolusi

(perputaran) penuh

setara dengan 360 derajat. Putaran sudut

positif dilakukan

berlawanan dengan arah

perputaranjarumjamdanputaransudutnegatif

dilakukansearahdenganperputaran

jarum jam.

Perhatikan gambar

1.8,

sebuah

sudut

positif

1 derajat

dibentuk

oleh sumbu x

positif

dan segmen anak panah yang berpusat

di

titik

asal (0, 0).

Ini

adalah representasi sudut dalam derajat.

1

a

1

o

..6_

2

I

2

1r

-J3

₂

t;

vr l;

-=vJ

1 sin 300

₌

1

2

cos3oo-

€ ='Ji

22

tg3oo=#=].n

cos 900 ₌ 0

tg45o

_=l

=t

: -.)--

I 1

li

'1T:1_

'

\

/

A 1 putaran penuh 3600

+

Gambar 1.8

llkuran

sudut 1

radian

(1

rad)

adalah setara

dengan

190

revolusi lingkaran

di

mana n ₌ 3,14159. Oleh karena

itu,

L radian

₌

180 = 57,2960'.'Perhatikan gambar 1,.9.

Diberikan

sebuah

lingkaran

satuan,

yaitu

ling[<aran dengan

panjang jari-jari

1,. 1,

radian adalah perjalanan sebuah

partikel dari

titik A

ke

titik

B disepanjang lintasan

lingkaran

dengan panjang

busur 1 jari-jari.

_Jadi,

satu radian

adalah

busur

AB

sepanjang

1jari-jari. Ini

setara

dengan

sebuah revolusi 57,2960.

1 putaran penuh 360o

2700

*

270,

7

l

Rumus

Konversi

Derajat ke Radian

Kita dapat mengubah satuan derajat ke radian dan sebaliknya dengan mengguna-kan rumus berikut:

0derajat

_{_x}

radian

180

TE

Contoh L3: Ubahlah sudut 450 ke dalam radian!

Penyelesaian:

Dari soal

ini

diketahui 0 = 45 dan mau dicari _{x =} ... radian. Masukkan ke dalam rumus

di

atas:

45

-

x

+kalisilangmenjadi

180x=

45n

_{= r=9=Iradian.}

180 rE

"

180

4

Jadi45o =TE/Aradian.

Contoh 14: Ubahlah sudut 1,5 radian ke dalam derajatl Penyelesaian:

Di

sini diketahui x = 1,5 radian dan mau dicari e

-

... derajat. Gunakan rumus

di

atas, lakukan kali silang:

0

_-

1'5

_{.tralisilangmenjadi 180(1,5)=ltr0=}

0-

180(1'5) =85,94870. -T

180

Tt

o

)-

T Jadi, 1,5 _{radian =} 85,94370 .

Contoh 15: I-Ibahlah

_ftradian

ke dalam derajat Penyelesaian:

Di

sini diketahui x

₌

_ft

dan mau dicari e

-

... derajat. Dengan rumus

di

atas

-0===

/'o

_=*=

j=kalisilangmenjadi

180=100+ 0

=

18-0 =1g0.

180 Tc

180

10

e

'

10

Latihan Bab 1

Tentukan interval

nilai

x yang memenuhi pertaksamaan pada soal 1

-

10!

1.

-4x+7 <2

3.

-8<4x<0

5.

3<-x<8

7.

_l*-81<0,001

3x+1

_{_} ^ o -\Z

/'

_x-2

2.

-5(3-x)>3x-1

4.

-4<x-3<10

6.(x-3)(2x+5)>0

8. l-3x+51

>12

10.x2+5x-6<0

11. Tentukan jarak

antara

(a)

P(-3,5)

dan

_Q(3,

13)

(b) ,4(6,-3) dan B(12,3)!

12.

Tentukan

koordinat

titik

tengah garis

lurus

yang

titik-titik

ujungnya

(2

_,5)

dan

(6,L1).

13. Tentukan persamaan lingkaran yang koordinat pusat dan jari-jarinya adalah:

a.

(-1,2) dan

r

= 3 b. (3, 0) dan r =

2

c. (0

,

1.5) dan

r

= 0.25

14. Ubahlah sudut 650 ke dalam satuan radian!

15. Ubahlah sudut 2,5

rudianke

dalam satuan derajat!

BAB

FUNGSI

A.

PENDAHULUAN

Para

peneliti

terkadang

ingin

mengamati

hubungan

antara

dua buah

besaran atau lebih. Misalnya:

S

seorang

insinyur

elektro mengamati bagaimana hubungan tegangan dan arus

yang melewati sebuah tahanan (resistor) pada sebuah rangkaian;

S

seorang

ahli mikrobiologi

melihat bagaimana perubahan populasi suatu

koloni

bakteri pada selang

waktu

tertentu setelah

koloni

tersebut diberi toksin;

$

seorang ahli pemasaran melihat dampak

biayaiklan

(promosi) terhadap

tingkat

penjualan sebuah

produk.

Dari

contoh-contoh

di

atas, studi matematis

untuk

melihat hubungan antara be-saran atau variabel yang terkait, akan melibatkan konsep

matematikayang

dikenal dengan nama

_{fungsi. Hampir}

semua

bagian

dari

kalkulus dan

matematika pada

umumnya berhubungan dengan fungsi, karena fungsi merupakan alat yang

paling

tepat

untuk menyatakan

hubungan antara dua buah variabel atau lebih.

Lazimnya

fungsi dinyatakan dengan salah satu dari tiga cara

berikut

ini, yaitu:

S

persamaan eksplisit;

O

tabel

nilai

data berpasangan;

Ketiga cara tersebut merupakan

fungsi yang

sering

kita

temui.

Mari kita

per-hatikan beberapa contoh berikut.

a.

y

= 2x2

+

20x-

log 10x

t"-b.

h-

/t'+8

-5t+rZ

\

2-t

c.

s =

v.

t

dimana

s =

jarak,

v

= kecepatanbenda,

t

=

waktutempuh

d.

V ₌

I.

R dimanaV

= tegangan,I = arus

listrik,

danR=

tahanan

Empat

persamaan

di

atas

adalah

fungsi. Berikut

adalah

penjelasan masing-masing contoh

di

atas.

a.

Pada contoh a,

nilai

variabel

y

bergantung

(dipengaruhi)

pada

nilai x

yang

di

berikan. Misalnya

jika di

berikan

nilai x =

1 maka

y

menjadi

21.

Kita

katakan

y

adalah

fungsi

dari

variabel

x.

y

dinamakan

oariabel

tak-bebas (dependent

o ari ab I e) sedang x dinamak an a ari ab el b eb a s (in ilep en dent o ari ab I e),

b.

Pada contohb,

nilaivariabelhbergantung

(dipengaruhi)pada variabel t. Misalnya

jika

anda berikan

nilai

t

= 0, maka

nilai h

menjadi 14 atau 10 (ingat bahwa

nilai

suku yang

memiliki

tanda 'akar'adalah

2

atau

_-

2). Kita katakan h adalah

fungsi

dari

variabel

t. h

dinamakan

oailabel

tak-bebas sedang

t

dinamakan aariabel

bebas,

c.

Pada contoh (c),

nilai

variabel

jarak

s tergantung pada dua variabel

lain, yaitu

variabel

kecepatan

v

dan waktu

t.

Misalnya, suatu benda bergerak

dengan kecepatan tetap v = 50

km/jam

_{selama t =} 2 jam, maka jarak s yang ditempuhnya

adalah s _{= 50}

.2

-- 1.00 km.

Di

sini kita katakan s adalah fungsi variabel

v

dan t. s

dinamakan oariabel

tak-bebas

sedangkan

v

dan t dinamakanoariabelbebas.

d.

Sama seperti contoh c, tegangan

V

adalah

fungsi dari

dua variabel

I

dan

R.

V

dinamakan oariabel tak-bebas sedangkan

I

dan R ztariabelbebas.

Contoh (a) dan (b)

merupakan

fungsi yang memiliki satu variabel

bebas, sedangkan (c) dan (d) merupakan fungsi yang

memiliki

dua

variabel

bebas.

Untuk

sementara pembahasan kita batasi pada fungsi satu variabel bebas.

Dalam matematika, cara

simbolik untuk mengatakan'y

adalah

_{fungsi dari}

aa-riabel

r'cukup

dengan menulis:

Y = f(x)

yang kita b aca'y sama dengan fungsi dari x'. Cara simbolik ini diperkenalkan pertama

Demikian juga

untuk

mengatakan

'V

adalah fungsi dari variabel

I

dan R' cukup

dengan menulis

V=f(I,R)

yang kita

baca'V

sama dengan fungsi dari I dan R'.

B.

DEFINISI

FUNGSI

Definisi fungsi

z Sebuah _fungsi

_f

dengan nilai real yang didet'inisiknn pada himpunan bilangan real

D

adalah aturan yang memetakan setiap bilangan x yang berada dalam

D

ke

tepat satubilangan real, dinyatakan denganf(x). Himpunan D yangberanggotaknn seluruh bilangan di mana

_f(x)

didet'inisikan disebut domain atau daerah asal

_fung.i

r

Bilangan

_f(x)

yang merupakan _fungsi dari x disebut

nilai

_f

pada bilangan

(titik)

x. Sedangkan himpunan

semlta nilai y =

_f(x)

disebut range (jelajaD dari

f.

Gambar 2.1 mengilustrasikan apayang dimaksud oleh kalimat

di

atas

Gambar 2.1. llustrasi lungsi

Nilai

Suatu Fungsi

Nilai

suatu fungsi f(x)

untuk

x = a dinyatakan oleh simbol _{f(a). Jika}

Y=f(x)=x2+10x+5

maka

nilai

f(x)

untuknilaixberturut-turut

di

mana x ₌

0,2,-3,

h,

(a +

h)

adalah:

(0)

=

0 +

0+5=5

f(2)

=22+10(2)+5=29

(-3)

_{= (-3)'+10(-3)+5=}

-L6

f(h)

=

h2+10h+5

f(a+h)=

(a +h)'z+ 10(a

+h)

+ 5=a2

+Zah+h3+

10a +

10h+5

Kita akan sering menggunakan variabel y untuk mewakili nilai fungsi f(x) dengan menyatakan y = f(x). Jadi,

untuk

f(0) = 5, f(2) = 29, _{f(3) =} -16 kita katakan juga sebagai

Domain

dan

Range Fungsi

Di

atas telah dijelaskan pengertian domain (daerah asal) dan range (daerah hasil)

fungsi. Hal

ini

penting

untuk

dipahami dengan baik.

Domain: Himpunan

D

yang

beranggotakan seluruh

bilangan real

x

(variabel

bebas) yang untuknya f(x) didefinisikan disebut

domain

(daerah asal) fungsi f.

Range: Range (daerah hasil) adalah himpunan semua

nilai

y ₌ f(x) dari fungsi f.

Contoh L:

Tentukan

domain dan range dari fungsi!

y=f(x)=

x2+10x

+5;

dimana

-3

< x <

4

Penyelesaian:

Domain fungsi

ini

adalah semua nilai x yang terletak antara

-

3 hingga 4.

Artinya,

kitamendefinisikanfungsif(x)=12+10x+5dalamselang-3(x<4.Untukmelihat

rangefungsiini,buatlahtabelnilaixdanY=f(x),dimanaxberadadalamselang-3

(

_x

(

4. Hasilnya sebagai berikut:

Dari

tabel

di

atas,

kita iihat

bahwa nilai

y

terkecil adalah

_{-16 yaitu}

ketika

x

₌

_-3

dan nilai y terbesar adalah 61. _{Jadi, range} fungsi

ini

adalah semua

nilai

y yang berada

antara -16

dan

61

atat

dalam notasi

himpunan

ditulis

_{y

_|

-t0

<

y

(

61}. Selain dengan tabel, kita juga dapat mengetahui range fungsi ini dengan membuat grafiknya dan melihat

nilai

y terkecil dan terbesar pada sumbu vertikal. Kita gambarkan

grafik

fungsi

f(x)

₌

az +

10x

+ 5 . Hasilnya seperti pada gambar 2'2

Dari

gamb ar 2.2. dan dengan bantuan tabel

nilai

x

dan

y, kita lihat

jejak

kurva

x -3 -2 -1 0 'I _{2 3 4}

y ₌ f(x) -16 11 -4 5 16 29 44 61

dalam jelajah

nilai

y pada sumbu

range fungsi f(x)

=

x2 + 10x +

5;

adalah:

vertikal bergerak dari

y

= -16

hinggay

=

61. Maka

untuk

-3<x<4

{yl't0<y<61}

Contoh 2: Tentukan domain dan range

fungsi

y

=

1/x

agar y

bernilai

real! Penyelesaian:

Persamaan _Y =

1/x

akan menghasilkan

nilai y

real

untuk

semua x kecuali x ₌ 0,

sebab

untuk

x = 0 maka y tak terdefinisi (oo _). Dari sini dapat dikatakan bahwa:

-

domain bagi x

adalah: x

< 0 atau

x

> 0,

yakni semuabilanganreal

kecuali nol.

-

range

bagi

y

adalah:

y

<

0

atatt

y

>

0,

yakni

semua

bilangan

real kecuali nol.

Contoh 3: Tentukan domain xagar fungsi y = bernilai real. Penyelesaian:

Agar fungsi

ini bernilai

real, maka suku dalam tanda akar harus lebih besar atau sama dengan

nol

(sebab akar bilangan negatif

tidak didefinisikan

dalam

himpunan

bilangan real,

kelqali

dalam bilangan komplek.

Coba

hitung

dengan

kalkulator

anda

nilai

dari V-4

?

Kalkulator Anda

akan menjawab E (error). Mengapa? Karena

jawaban

pada

kalkulator

(kecuali

tipe

tertentu) diprogram hanya

untuk

bilangan

real).

Artinya

-2x+6>0

-2x

> -6

x

( 3

(domain atau daerah asal x)

Contoh 4: Tentukan domain fungsi-fungsi berikut!

a.

f(x) _{= 45}

_-3x

b.

_{g(x) =} x2 + 3xs + 2

c.

h(x) ₌

(3x+2)(-2x-5)

x+9

Penyelesaian:

a.

Berapa pun x yang disubstitusikan pasti akan menghasilkan f(x) yang terdefinisi

(ada). Jadi, domainnya adalah semua x elemen bilangan real atau

ditulis

.

b.

Sama seperti jawaban a.

c.

Karena h(x) terdefinisi

untuk

semua

nilai

x

*

-9 maka domainnya adalah semua

bilangan real kecuali -9.