Bab III. Dasar Teori

Bab III

Dasar Teori

Pada dasarnya, pengujian yang dilakukan untuk mengetahui koefisien refleksi dan transmisi model pemecah gelombang struktur akresi mineral, adalah suatu upaya untuk mereproduksi suatu keadaan lapangan ke dalam skala yang lebih kecil yang besaran parameternya dapat dikontrol.

Agar hasil yang didapat mewakili keadaan lapangan ada beberapa hal yang perlu diperhatikan yaitu:

1. Perbandingan dan keserupaan antara model dan prototipe

Dasar teori yang digunakan untuk memenuhi poin ini adalah dasar teori keserupaan model laboratorium dengan prototipe lapangan.

2. Keluaran yang dihasilkan

Supaya hasil yang keluar dapat digunakan, dasar teori pengolahan data dan analisis dimensi harus digunakan.

3. Peralatan yang digunakan

Pada Pengujian ini peralatan yang digunakan adalah saluran gelombang dan alat ukur gelombang.

3.1 Keserupaan Model-Prototipe

Keserupaan model-prototipe dapat terpenuhi apabila memenuhi keserupaan geometrik, keserupaan kinematik, dan keserupaan dinamik. Berikut akan dibahas mengenai seluruh keserupaan tersebut.

3.1.1 Faktor Skala

Hubungan antara parameter model dan prototipe ditunjukkan oleh rasio skala, yaitu rasio parameter pada prototipe untuk variabel yang sama dari nilai parameter model.

Secara simbolis, ditunjukkan oleh: m p x

X

X

N

=

(3.1)

X

p = nilai x pada prototipe

X

m = nilai x pada model

N

x = skala x antara prototipe dan model

Banyak rasio skala tidak dapat dipilih secara langsung, tetapi merupakan turunan dari pemilihan skala lainnya, seperti dimensi luas yang merupakan perkalian dari dimensi panjang.

3.1.2 Keserupaan Geometri

Keserupaan geometri adalah fungsi dari dimensi panjang (L) mensyaratkan model dan prototip sebanding ukurannya dalam segala arah sehingga didapat bentuk yang sama antara prototip dan model.

keserupaan geometri dinyatakan dalam:

L h

v N N

N = = (3.2) Nv = skala panjang vertikal

Nh = skala panjang horisontal

NL = skala panjang

Suatu model memiliki panjang skala vertikal yang tidak sama dengan panjang skala horizontal sehingga tidak memenuhi keserupaan geometrik disebut sebagai model dengan geometri terdistorsi. Model seperti ini dapat digunakan untuk pemodelan gelombang panjang, sedangkan pemodelan gelombang pendek seperti pengujian koefisisen transmisi dan refleksi ini harus memenuhi keserupaan geometri.

3.1.3 Keserupaan Kinematik

Keserupaan kinematik mengacu pada pergerakan dari sebuah sistem. Pergerakan yang terjadi dapat berupa pergerakan fluida atau solid. Pergerakan didefinisikan sebagai perubahan dimensi panjang terhadap waktu.

Keserupaan kinematik menunjukkan kesamaan gerak partikel pada model maupun pada partikel. Keserupaan kinematik akan tercapai bila rasio anatara komponen-komponen dari seluruh pergerakan vektorial untuk prototipe dan model adalah sama untuk semua partikel untuk setiap saat.

3.1.4 Keserupaan Dinamik

Keserupaan dinamik mensyaratkan skala panjang, skala waktu, dan skala gaya yang sama. Keserupaan dinamik secara matematik dijelaskan oleh hukum Newton II, bahwa gaya inersia sebanding dengan sejumlah vektor dari gaya gravitasi, gaya tegangan permukaan, gaya gesek/kekentalan, gaya kompresi elastis dan gaya tekanan, yang dinyatakan dalam persamaan matematis :

p e v g I F F F F F = + + + (3.3) Dimana : I F = gaya inersia g F = gaya gravitasi F_ν = gaya gesek e F = gaya elastis P F = gaya tekanan

Rasio gaya inersia di model dan prototipe harus sama dengan rasio jumlah vektor gaya, dalam persamaan matematis dapat ditulis sebagai berikut :

[ ]

[ ]

[

[

g v a e p

]

]

p m p e a v g p I m I F F F F F F F F F F F F + + + + + + + + = (3.4)

Agar keserupaan dinamik terpenuhi, haruslah memenuhi kriteria-kriteria hidrolis tertentu. Pada hampir seluruh masalah teknik pantai (dan sekitar 90% dari

seluruh masalah hidrolis), gaya akibat tekanan permukaan dan kompresi elastis biasanya kecil dan dapat diabaikan (Warnock 1950). Karena alasan ini, keserupaan dinamik dianggap dapat terpenuhi apabila keserupaaan Reynolds dan Froude terpenuhi.

3.1.4.1 Keserupaan Reynolds

Bila gaya yang terjadi didominasi kekentalan fluida, maka skala berdasarkan keserupaan Reynolds harus dipenuhi. Dari gaya inersia dan gaya kekentalan diperoleh hubungan : µ ρ µ ρ LV VL V L2 2 ₌ (3.5)

Keserupaan dapat terjadi saat angka Reynold model sama dengan angka reynold prototipe, m p LV LV ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ µ ρ µ ρ _(3.6)

Persamaan 3.6 diatas dapat disederhanakan menjadi :

1 = µ ρ N N N N_{v L} atauNRe =1 (3.7 & 3.8) Ingat bahwa: ρ µ = v (3.9)

Dari Persamaan 3.7 dan 3.9 diperoleh hubungan sebagai berikut :

1 = ν N N NL V (3.10)

dengan skala kecepatan

T L V N N N = (3.11)

dengan mensubtitusi Persamaan 3.11 ke Persamaan 3.10 diatas, maka didapat hubungan skala waktu sebagai berikut,

v L T N N N 2 = (3.12)

Karena sangat sulit menemukan fluida dengan viskositas yang memenuhi kriteria Reynold, Namun demikian, pemodelan fisik tetap dapat dilakukan sepanjang bilangan Reynolds untuk model memenuhi persyaratan tertentu. Hal ini didapat dari suatu penelitian atau eksperimen yang telah banyak dilaksanakan. Persyaratan tersebut antara lain sebagai berikut :

• _>3×104

e

R (Hudson,1975)

• _>0.6×104

e

R (Jensen and Klinting, 1983)

• Re model tidak jauh berbeda dengan Re prototipe (Dalrymple, 1985)

3.1.4.2 Keserupaan Froude

Jika gaya gravitasi dominan dalam suatu fenomena fisik maka skala berdasarkan keserupaan Froude harus dipenuhi.

Keserupaan Froude :

(

)

1/2

(

)

1/2 p p p m m m L g V L g V ₌ (3.13)

Karena percepatan gravitasi tetap (gm = gp) sehingga Ng = 1, maka Persamaan

3.13 diatas dapat ditulis,

( )

( )

p p m m L V L V = (3.14)

dapat ditulis juga sebagai:

1 = L V N N (3.15)

3.1.5 Syarat-Syarat Keserupaan Pengujian

Pengujian yang dilakukan haruslah memenuhi keserupaan-keserupaan: 1. Keserupaan geometri

2. Keserupaan kinematik 3. Keserupaan dinamik

a. kriteria froude b. kriteria reynolds

Pengujian koefisien refleksi tergolong pada Pengujian gelombang pendek yang memerlukan permodelan yang tidak terdistorsi, yaitu memiliki skala horizontal sama dengan skala vertikal yaitu

L h v N N N = = (3.16) atau 1 = h v N N (3.17)

Nv = skala panjang vertikal

Nh = skala panjang horisontal

NL = skala panjang

Karena itu syarat keserupaan geometri terpenuhi.

Apapabila panjang gelombang pada Pengujian dinyatakan dengan

) 2 tanh( 2 2 L h gT L π π = (3.18)

Rasio panjang gelombang antara prototipe dan model menjadi

m p m p L h gT L h gT L L ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = ) 2 tanh( 2 ) 2 tanh( 2 2 2 π π π π (3.19) karena

1 ) 2 ( ) 2 ( = = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = L h m p m p m p N N L L h h L h L h π π (3.20)

maka nilai tangen hiperbolis antara prototipe dan model akan sama sehinggga persaman 3.20 menjadi 2 ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ = m p m p m p T T g g L L (3.21) atau 2 T g L N N N = (3.22) karena nilai gravitasi tak dapat diubah sehingga Ng = 1, maka

2

T

L N

N = (3.23)

Syarat keserupaan kinematik dapat dipenuhi apabila L

T N

N = (3.24) Dari Persamaan 3.24 dan 3.15 dapat diperoleh hubungan rasio kecepatan antara model dan prototipe sebagai berikut:

2 / 1 L V N N = (3.25)

maka keserupaan froude akan terpenuhi bila v

T N

N = (3.26)

karena hampir tidak mungkin menemukan fluida dengan viskositas yang memenuhi kriteria Reynold, maka untuk pengujian ini diasumsikan kriteria reynold sudah terpenuhi.

3.2 Analisa Dimensi

Konsep dasar analisa dimensi adalah menyatakan variabel fisik yang ada menjadi variabel tak berdimensi dengan jumlah variabel yang lebih sedikit. Analisa dimensi mengurangi jumlah kerumitan akibat jumlah variabel eksperimen yang mempengaruhi gejala fisik tertentu kemudian menyederhanakan variabel-variabel tersebut menjadi variabel baru yang tidak memiliki dimensi.

Langkah –langkah proses Analisis dimensi terdiri dari:

1. Mengidentifikasi variabel independen (variabel yang berdiri sendiri atau tidak bergantung pada variabel lainnya) yang penting.

2. Menentukan variabel yang bersifat dependen (variabel yang bergantung pada variabel lainnya).

3. Menetapkan berapa banyak variabel non-dimensi independen yang dapat dibentuk dari variabel-variabel tersebut.

4. Mengubah sistem variabel ke dalam variabel non-dimensi yang jumlahnya sudah ditentukan sebelumnya..

Manfaat dari analisa dimensi antara lain:

1. Mengurangi jumlah variabel yang diselidiki, sehingga mempermudah Pekerjaan

2. Menghasilkan grafik non-dimensional yang berlaku umum 3. Mudah digunakan dalam model skala.

Metoda analisis dimensi yang akan dibahas pada tugas Akhir ini adalah Theorema Pi-Buckingham, yang merupakan salah satu metoda yang digunakan dalam mereduksi bilangan peubah dimensi ke dalam bilangan yang lebih kecil dari kelompok-kelompok dimensi.

Theorema Pi-Buckingham menyatakan “Pada suatu persamaan dimensi homogen yang melibatkan ‘n’ variabel, jumlah produk non-dimensi yang dapat dibentuk dari ‘n’ variabel adalah ‘n-r’ dimana ‘r’ adalah jumlah unit satuan dasar dari variabel yang terlibat.

Dengan Theorema Pi-Buckingham, rumus-rumus yang ada disusun kembali menjadi rumus baru yang dinyatakan dalam produk non-dimensi (istilah pi). Contohnya adalah

(

∏ ∏ ∏n−r

)

Ψ

=

∏1 2, 3,..., .

Syarat variabel yang dapat dipilih dalam Buckingham Pi Theorem: 1. Variabel yang terpilih haruslah penting

4. Variabel aliran yang relevan harus dikelompokkan menjadi: - Variabel geometrik

- Variabel kinematik - Variabel dinamik

Secara singkat langkah-langkah melakukan analisa dimensi dengan Buckingham Pi Theorm adalah sebagai berikut:

1. Mereduksi data

- Membuat daftar seluruh variabel fisik berdasarkan tipenya (geometrik, kinematik, dinamik).

- Memilih sistem dimensi untuk seluruh variabel yang dipakai seperti M (massa), L (panjang) dan T (waktu).

- Memilah variabel-variabel yang ada ke dalam sistem dimensi dasar, dengan bantuan matriks dimensi, misalnya

2. Menuliskan Π untuk setiap variabel yang telah dipilih, misalkan

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

xn

( )

yn

( )

zn n z y x z y x n B A n B A n B A = ∏ ↓ = ∏ = ∏ 2 2 2 2 1 1 1 1

Dan eksponen x1...xn, y1...yn, z1...zn dicari dengan mencari jumlah eksponen

variabel sejenis menjadi nol.

3. Π dikonversikan dalam bentuk praktis dan Πi dapat dinyatakan dalam bentuk

lain, misalkan

A B n Î variabel yang ada

L X1 X2 Xn

T Y1 Y2 Yn

(

)

(

n

)

n f atau f ∏ ∏ ∏ = ∏ = ∏ ∏ ∏ ∏ ... , 0 ... , , 3 1 2 3 2 1

4. Memeriksa ulang hasil yang telah didapat untuk memastikan bilangan yang didapatkan adalah bilangan non-dimensi.

3.3 Saluran dan Alat Ukur Gelombang

3.3.1 Saluran Gelombang

Pada saluran gelombang, gelombang dibangkitkan pada sisi pembangkit dan akan merambat ke sisi pantai. Apabila kemiringan sisi pantai tidak cukup landai (minimal 1:10) maka gelombang akan dipantulkan lagi dari sisi pantai ke arah sisi pembangkit. Pembangkit gelombang yang canggih biasanya memiliki kemampuan untuk meredam gelombang pantul ini. Saluran gelombang hanya dapat digunakan untuk Pengujian 2 dimensional.

3.3.2 Alat Ukur Gelombang

Alat ukur gelombang memiliki fungsi yang sangat penting pada Pengujian model uji fisik dalam saluran gelombang, alat ini dapat mengambil data muka air dengan ketelitian yang sangat tinggi jika dibandingkan dengan pengukuran dengan pengamatan visual.

Pengujian ini, menggunakan alat ukur gelombang tipe resistansi (resistance) berupa 2 kawat batangan yang dialiri listrik, dimana tegangan listrik berubah-ubah sesuai perberubah-ubahan resistansi akibat bersentuhan dengan air. Hasil pengukuran ini berbentuk satuan tegangan listrik sehingga diperlukan suatu proses kalibrasi agar didapat hubungan antara tegangan dan tinggi muka air. Proses kalibrasi tegangan ke dalam tinggi muka air adalah sebagai berikut:

1. Pada posisi nol, besarnya tegangan dicatat selama lebih kurang 5 menit. 2. Pengukur gelombang digerakkan turun sebesar jarak tertentu yang

diketahui dengan pasti, misalnya 0.10 m, kemudian dilakukan pengukuran kembali.

3. Pengukur gelombang digerakkan turun kembali sebesar 0.10 m, dan dilakukan pengukuran kembali.

4. Hasil pengukuran tiap-tiap posisi, selama 5 menit, dihitung harga rata-ratanya, sehingga didapat hubungan antara tegangan (volt) dan simpangan pengukuran (m.) pada posisi 0.0, 0.10, 0.20 m dan seterusnya. Nilai tegangan dan hubungannya dalam simpangan pengukuran kemudian dimasukkan dalam grafik tegangan dan simpangan.

5. Besaran kalibrasi didapat dari kemiringan (slope) grafik tegangan (volt) vs. simpangan (m) dengan persamaan gradien: y =ax+b

Contoh grafik hubungan tegangan dan tinggi muka air dapat dilihat pada Gambar 3.1

Gambar 3.1 Contoh Grafik Hubungan Tegangan vs Simpangan

Proses kalibrasi ini dilakukan pada setiap hari Pengujian, untuk menghindari perubahan sensitivitas alat akibat kondisi lingkungan seperti kelembapan, dan suhu.

3.4 Pengolahan Data

3.4.1 Zero-mean

Blok data timeseries fluktuasi muka air yang akan dianalisis adalah elevasi muka air relatif terhadap muka air rata-rata. Sehingga, setelah kalibrasi dilakukan, maka selanjutnya timeseries tersebut lalu mengalami zero mean (agar ratanya sama dengan nol) untuk mendapatkan time series fluktuasi muka air rata-rata (η). Proses zero mean dilakukan dengan mengurangi nilai elevasi muka air

hasil kalibrasi dengan nilai rata-rata dari timeseries fluktuasi muka air hasil kalibrasi itu sendiri. Dengan rumus,

η η

η = _i − (3.27)

Dimana,

η = Timeseries fluktuasi muka air baru terhadap elevasi muka air rata-rata

i

η = Timeseries fluktuasi muka air hasil rekaman wave gauge yang telah dikalibrasi

η = Nilai rata-rata timeseries fluktuasi muka air hasil rekaman wave gauge (η) dengan rumus:

∑

= = N i i N 1 1 _η η (3.28)

dengan N =jumlah data dalam timeseries

3.4.2 Zero-upcrossing -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 2 4 6 8 10 12 14 16 T (s) H ( m ) ….

Gambar 3.2 Profil Gelombang dengan Zero-upcrossing

Zero-upcrossing adalah metode numerik untuk mencari nilai tinggi gelombang dan periode dengan menyusur keatas dan memotong nilai nol

T2

H1 _H2 Hn

Tn T1

-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 0 1 2 3 4 5 6 H T

Gambar 3.3 Variabel η i pada Profil Gelombang Hasil pengujian Syarat untuk perioda

• Titik η i < η i+1 dan η i <0 ; η i +1 >0 • Titik η i < η i+1 dan η i >0 ; η i -1 <0

Langkah mencari perioda:

1. Gunakan syarat diatas, simpan data yang memenuhi syarat diatas, sehingga akan ada 2 titik tersimpan.

2. Buat persamaan garis pada 2 titik tersebut (y=ax+b) dengan persamaan garis tersebut, cari nilai x yang berupa perpotongan terhadap titik nol. 3. Cek lagi data untuk titik yang lain, kemudian simpan 2 titik yang

memenuhi syarat dan buat persamaan garis lagi. Dengan persamaan garis tersebut cari nilai x yang perpotongan terhadap titik nol

4. Selisih kedua titik yang berupa perpotongan terhadap titik nol tersebut adalah satu perioda (T)

Syarat untuk tinggi gelombang:

• Titik η i > η i-1 dan η i > η i +1 Î Puncak Gelombang • Titik η i < η i-1 dan η i > η i +1 Î Lembah Gelombang

ηi+1

Langkah mencari Tinggi Gelombang

1. Dengan syarat perioda cari 2 titik perpotongan terhadap titik nol. 2. Dengan syarat tinggi gelombang cari titik puncak atau titik lembah

3. dengan tiga titik yang dipunyai bisa didapatkan persamaan parabolik (y=ax2_+bx+c)

4. Dari persamaan parabolik cari titik puncak persamaan atau titik minimum persamaan

5. Tinggi gelombang adalah selisih titik puncak dan titik minimum persamaan diantara 2 titik perpotongan terhadap nol.

Dari tinggi gelombang dan periode gelombang yang didapat kemudian dicari nilai H rata-rata, H1/3, Hmax, T rata-rata, T1/3, Tmax karena gelombang pada saluran

gelombang adalah gelombang reguler, maka nilai H rata-rata, H1/3, Hmax, T

rata-rata akan sama, begitu juga dengan nilai T rata-rata-rata-rata, T1/3, Tmax. 3.4.3 Pengolahan Data Gelombang Pantul Reguler

Pada pelaksanaan Pengujian, gelombang pantul dari benda uji, atau dari “pantai”, tidak bisa dideteksi oleh pengukur gelombang, karena fungsi dari pengukur gelombang adalah mengukur perubahan muka air.

Untuk memisahkan antara gelombang pantul dan gelombang datang, perlu dilakukan pengukuran gelombang pantul dengan cara menggerakkan sebuah pengukur gelombang sejauh 2-3 gelombang dimuka struktur uji.

Metoda pemisahan gelombang dikembangkan berdasarkan super posisi dari dua gelombang yang datang dari dua arah yang berlawanan.

Apabila gelombang datang dari arah +X

(

1

)

1

1 sin ω δ

η =a kx− t+ (3.29)

gelombang datang dari arah –X

(

2

)

2

2 sin ω δ

η =−a kx+ t+ (3.30)

dengan potensial kecepatan masing- masing ) ( coshk h z g a ω φ = + −

) cos( cosh ) ( cosh 2 2 kx t kh z h k g a ω ω φ = + + (3.32)

superposisi dari kedua potensial kecepatan tersebut adalah

2 1 φ

φ

φ = + (3.33)

sedang superposisi dari kedua profil muka air adalah

2 1 η η η = + (3.34) atau

(

1

)

2

(

2

)

1sin ω δ sin ω δ η =a kx− t+ −a kx+ t+ (3.35) sehingga ) sin cos cos (sin ) sin cos cos (sin ₂ 1 kx t kx t a kx t kx t a ω ω ω ω η = − − + (3.36) atau t kx a a t kx a a ω ω

η =( 1− 2)sin cos −( 1+ 2)cos sin (3.37) • Saat kx = 0, π, 2π,.... ; nilai sin kx = 0, sedangkan cos kx = ±1

• Saat kx = π /2, 3π/2,.... ; nilai sin kx = ±1 , sedangkan cos kx = 0

• Karena (a1-a2) < (a1+ a2) maka puncak pada kx = π /2, 3π/2,.... akan lebih kecil

dibanding puncak pada kx = 0, π, 2π,....

Penjumlahan kedua geombang akan menghasilkanenvelope dimana perubahan muka air berada. Profil ini disebut partially standing wave envelope. Posisi envelope tidak akan berubah, maka bila pengukur gelombang digerakkan sepanjang 2-3 gelombang partially standing wave envelope yang terekam akan seperti pada Gambar 3.4

Gambar 3.4 Profil Partially Standing Wave Envelope

Dari profil pada Gambar 3.4 nilai Hmax dan Hmin dapt diukur. Karena a H =2 (3.38) maka ) ( 2 _{1 2} max a a H = + (3.39) ) ( 2 1 2 min a a H = − (3.40)

kedua persamaan 3.31 dan 3.32 dapat diselesaikan sebagai

i a H H a = + = 4 min max 1 (3.41) r a H H a = + = 4 min max 2 (3.42)

sedang koefisien refleksi dari struktur adalah:

i r r a a K = (3.43)