Bahan Ajar 3 Stat Elementer

(1)

UKURAN PEMUSATAN

Rata-rata, Median, Modus

(2)

Perhatikan pengelompokan data sampel berikut

•

Data dalam tabel dist frek

Data dalam tabel distribusi

frekuensi

Sko r

Frekuen si

x₁ x₂ . . . x_k

f₁ f₂ . . . f_k

k

Skor Frekuen_si

a₁ - b₁ a₂- b₂

. . . a - b

f₁ f₂ . . . f_k

•

Data tunggal :

n

x

(3)

(4)

Ukuran Bentuk

(5)

•

Rata-rata = 67,3, Mo = 45,2

•

Me = (Mo + 2 )/3 = (45,2 +

134,6)/3 = 59,9

(6)

Rata-rata

•

Rata-rata hitung

•

Rata-rata harmonis

sering

digunakan untuk

merata-ratakan kecepatan untuk beberapa jarak tempuh yang

sama

•

Rata-rata geometrik

digunakan untuk merata-ratakan

data yang rasio suku-suku berurutannya kira-kira tetap.

Sering terjadi pada data yang berupa laju perubahan,

rasio, indeks ekonomi, ukuran-ukuran populasi untuk

periode waktu yang berurutan.

•

Rata-rata terboboti

digunakan untuk merata-ratakan

(7)

Rata-rata Hitung (rata-rata)

•

Data tunggal: x

_{1 ,}

x

_{2. ...}

, x

_n

a. data populasi

rata-rata populasi



μ =

b. data sampel

rata-rata sampel



N

x

N i

i



1

n

x

n

i



(8)

•

Data dalam tabel distribusi frekuensi

x

_i

f

_i

f

_i

x

_i

x

₁

x

₂

.

x

_k

f

₁

f

₂

.

f

_k

f

₁

x

₁

f

₂

x

₂

.

f

_k

x

_k

(9)

•

Data dalam tabel distribusi frekuensi

Skor

f

i

x

i

f

i

x

i

a

₁

- b

₁

a

₂

- b

₂

.

a

_k

- b

_k

f

₁

f

₂

.

f

_k

x

₁

x

₂

.

x

_k

f

₁

x

₁

f

₂

x

₂

.

f

_k

x

_k



k f n i

i 



1 i

k i i

x

f



1

n

x

f

x

k

i





i



1

Rata-rata

2

i

b

a

x





(10)

Hitunglah nilai rata-rata dari data berikut

Nilai

f

_i

x

_i

f

_i

x

_i

c

_i

f

_i

c

_i

31

– 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

4

3

11

21

33

15

3

35,5

45,5

55,5

65,5

75,5 =

x*

85,5

95,5

-2 -1 0 1



90

p

x

c

_i i

*





x*= titik tengah yang dipilih

(11)

Jika lebar kelas sama untuk setiap kelas interval

Nilai

f

_i

x

_i

f

_i

x

_i

c

_i

f

_i

c

_i

31

– 40

41 – 50

51 – 60

61 – 70

71 – 80

81 – 90

91 – 100

4

3

11

21

33

15

3

35,5

45,5

55,5

65,5

75,5

*

85,5

95,5

142

136,5

610,5

1375,5

2491,5

1282,5

286,5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

-16

-9

-22

-21

0

15

6



90

6325

-47











n

c

f

p

x

k

i 1 i i *

278

,

70

90

6325

1







n

x

f

x

k

i

278

,

70

90

47

10

5

,

(12)

•

No 6







80

110

100

120

275

.

80

255

.

110

250

.

100

270

.

120

x

(13)

Masalah

•

Rony bersepeda pp dari A ke B yang berjarak 30km.

Berangkat dengan kecepatan 30km/jam, pulang dengan

kecepatan 20km/jam. Tentukan rata-rata kecepatan

bersepeda Rony dari A ke B pp

Tentu jawabnya bukan (30+20)/2 = 25 km/jam

Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 1 jam,

sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 1,5 jam,

sehingga pergi pulang perlu waktu 2.5 jam,

sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang

60/2,5 =

24 km/jam

.

(14)

Data tunggal Data dalam tabel distribusi frekuensi

Rata-rata Harmonis





_n

i _i H

x

n

x

1





_k

i _i i H

x

f

n

x

(15)

Contoh penggunaan rata-rata harmonis

Seseorang menempuh perjalanan dari kota A ke kota B yang berjarak 300km, pergi pulang. Kecepatan perjalanan dari kota A ke kota B adalah 100 km/jam, sedangkan kecepatan perjalanan dari kota B ke kota A adalah 150 km/jam. Berapakah rata-rata kecepatan pergi-pulang?

Tentu jawabnya bukan (100+150)/2 = 125 km/jam

Dalam hal ini, untuk pergi diperlukan waktu 3 jam, sedangkan untuk pulang diperlukan waktu 2 jam, sehingga pergi pulang perlu waktu 5 jam, sehingga rata-rata kecepatan pergi-pulang 600/5 = 120 km/jam.

Jika dihitung dengan rumus untuk rata-rata harmonis diperoleh:

Jadi rata-rata kecepatan yang dimaksud adalah 120 km/jam.

120

150

1

100

1

2







H

(16)

•

Contoh: Jarak antara kota A dan B 60 km,

dari B ke C 80 km, jalan pintas dari C ke A

100km. Ary berangkat dari A ke B dg kec

40 km/jam, dari B ke C 30 km/jam, dan

dari C ke A 50 km/jam. Hitunglah rata-rata

kec dari A ke C pp

•

Data

:

50

,

30

,

40

₂ ₃

1



X



X



X

50

1

30

1

40

1

3





H

(17)

Rata-rata Ukur/Geometrik

Data tunggal Data terkelompok

         





10 log 1 log 1 1 G n i i G n n i i G x x n x x x          





10 log 1 log 1 1 G k i i i G n k i f i G x x f n x x x i

Perhatikan data berikut : 8, 17, 33, 67, 136, 275, 560

(18)

Rata-rata Ukur

Suatu percobaan jenis makanan yang diberikan

pada unggas tertentu memberikan kenaikan

berat (dlm gram) pada minggu pertama sampai

kelima berturut-turut sbb.

250, 690, 990, 1890, 3790. Tentukanlah kira-kira

kenaikan berat unggas rata-rata tiap minggu

= 1041,13

5 / 1

)

3790

1890

990

690

250

(





U

(19)

Rata-rata Terboboti

• _{Perhatikan kasus berikut!}

Penilaian mata kuliah Statistika Elementer meliputi Tugas : 10%  95

Kuis : 10%  70

Ujian Sisipan I : 25%  85 Ujian Sisipan II : 25%  80 Ujian Akhir : 30%  65 Maka nilai akhir (NA) adalah

Misalkan wi bobot xi maka rata-rata terboboti adalah

(20)

Rata-rata Gabungan

•

Bila sampel acak berukuran n

₁

, n

₂

, …, n

_k

yang

diambil dari k populasi dengan masing-masing

mempunyai rata-rata maka rata-rata

gabungannya adalah



 



_k

i

i k

i

i i

n

x

n

x

(21)

Median

(22)

•

Median untuk Data tunggal ( sudah diurutkan)

•

Bila n adalah bilangan ganjil

Bila n adalah bilangan genap

Rumus berikut berlaku untuk n bilangan ganjil dan genap



 



2

1

median

x

n

2

median

2 2 1  

 

 

   







n

x

(23)

Median

•

Atau (setelah data diurutkan)

Median = skor ke

Contoh

Tentukanlah median dari

1) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 10, 16,

16

Data: 2, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 10, 15,

16, 16

Me = skor ke( )

)

1

(

2

1



n

7

2

1

13

(24)

Median

2) 5, 5, 2, 3, 7, 7, 9, 10, 10, 15, 10, 16,

16, 3

Data: 2, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 10, 10, 10,

15, 16, 16

Me = skor ke ( )

= skor ke 7 + (skor ke 8 –

skor ke 7)

5 , 7 2

1 14

 

2 1

(25)

3) Data

Me = 60

skor fi fku m

40 50 60 80 95

5 11 10 13 11

5 16 26 39 50

(26)

Median

skor fi

30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79

5 11 10 13 11

 50









f

F

n

b

(27)

Rumus Median

untuk data dalam tabel distribusi

frekuensi









f

F

n

b

Me



2

b : batas bawah kelas Median l : lebar kelas Median

(28)

MODUS

•

Data tunggal

Modus adalah nilai data yang paling

sering muncul.

Contoh: 3, 3, 2, 7, 2, 5, 10, 7, 4, 7

Mo = 7

Data: 5, 4, 6, 4, 6, 8, 9, 12 Mo = 4

dan 6

Data : 5, 4, 6, 7, 10, 15 Mo = tidak ada

(29)

Modus

Data terkelompok

Skor f

30 – 39 2 40 – 49 16 50 – 59 14 60 – 69 5 70 – 79 16 80 – 89 3

56













2 1

1

b

(30)

Rumus Modus

untuk data dalam tabel distribusi

frekuensi













2 1

1

b

Mo



b : batas bawah kelas Modus l : lebar kelas Modus

(31)

skor f_i fku m 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 40 70 30 100 60 40 110 140 240 300  300 50 100 frekuensi

0,5 10,5 20,5 30,5 40,5 50,5

240 140 5 , 31 100 140 150 10 5 ,

30  

        Me

Kelas Me : kelas yang memuat x_[n/2]= x_[300/2]= x_[150] 31- 40

(32)

modus

•

Data tunggal

Modus adalah nilai data yang paling sering muncul.

•

Data terkelompok

(33)

skor f_i fku m 1 – 10 11 – 20 21 – 30 31 – 40 41 – 50 40 70 30 10 0 60 40 110 140 240 300  300 2 1 1 2 1 _, , b b b y x x b b y x maka d y c x b y a x       50 100 frekuensi

(34)

Rumus Modus

untuk data dalam tabel distribusi frekuensi

b : batas bawah kelas Modus

l : lebar kelas Modus

b

₁

: frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas

sebelumnya

b

: frekuensi kelas Modus – frekuensi kelas













2 1

1

b

(35)