UKURAN TENDENSI SENTRAL

(1)

BAB 3

UKURAN TENDENSI SENTRAL

Kompetensi

Mampu menjelaskan dan menganalisis konsep dasar ukuran tendensi sentral.

Indikator

1. Menjelaskan dan menganalisis mean.

2. Menjelaskan dan menganalisis median.

3. Menjelaskan dan menganalisis modus.

A. Pendahuluan

Ukuran tendensi sentral adalah suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu nilai. Nilai tersebut dianggap sebagai gambaran dari kondisi suatu data (Atmaja, 1997). Beberapa macam ukuran tendensi sentral yang sering dipakai yaitu:

1. Mean 2. Median 3. Modus

Dalam pembahasan ini dibedakan antara data yang dikelompokkan dan data yang tidak dikelompokkan. Data yang dikelompokkan yaitu data

(2)

yang sudah disusun ke dalam suatu distribusi frekuensi. Sedangkan data yang tidak dikelompokkan adalah data yang tidak disusun ke dalam suatu distribusi frekuensi.

B. Mean (Rata-Rata Hitung)

Mean merupakan angka rata-rata dari sekelompok data. Notasi yang digunakan untuk mean yaitu X (eks bar) untuk rata-rata sampel dan µ (miu) untuk rata-rata populasi. Mean dapat dihitung dari 2 macam, yaitu:

1. Mean Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan

n

X X

X X + + + ⁿ

= ₁ ₂ ...

Atau

n X ₌

∑

X

Keterangan:

rata rata mean

X = / −

X = harga tiap-tiap data N = banyaknya data

(3)

Contoh:

Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu:

Tabel 3.1

Pendapatan Tukang Becak

Nama Pendapatan (Rp)

Karjo 15.000 Paijo 12.500 Parto 14.000 Slamet 17.500 Saidun 20.000 Jupri 10.000

Hitunglah rata-rata pendapatan tukang becak di Malioboro Penyelesaian:

833 . 6 14 89000 =

=

∑

n X X

2. Mean Untuk Data Yang Dikelompokkan

n X ₌

∑

fX

Keterangan:

rata rata mean

X = / −

(4)

f = frekuensi masing-masing kelas X = titik tengah masing-masing kelas N = banyaknya data

Contoh:

Skor TOEFL mahasiswa FE UMY yaitu:

Tabel 3.2 Skor TOEFL

Skor Frekuensi 300 - 349 4

350 - 399 10 400 - 449 15 450 - 499 6 500 - 549 8 550 - 599 2

Hitunglah rata-rata skor TOEFL mahasiswa FE Universitas Muhammadiyah Yogyakarta

Penyelesaian:

Tabel 3.3

Perhitungan Rata- rata Skor TOEFL

Skor Frekuensi X (Titik Tengah) fX

300 - 349 4 324,5 1298

350 - 399 10 374,5 3.745

400 - 449 15 424,5 6367,5

450 - 499 6 474,5 2847

500 - 549 8 524,5 4196

550 - 599 2 574,5 1149

Jumlah 45 19.602,5

(5)

61 , 435 45

5 , 602 .

19 =

=

∑

n fX X

C. Median

Median adalah nilai yang terletak di tengah suatu data yang telah diurutkan dari nilai terkecil hingga terbesar. Median dapat dihitung dari 2 macam, yaitu:

1. Median Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan

Median merupakan harga tengah dari sekelompok data yang sudah disusun ke dalam array data (data yang sudah diurutkan).

Contoh:

a. Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu:

Tabel 3.4

Pendapatan Tukang Becak Nama Pendapatan

(Rp)

Hitunglah median pendapatan tukang becak di Malioboro

(6)

Penyelesaian:

10.000 12.500 14.000 15.000 17.500 20.000

500 . 2 14

000 . 15 000 .

14 + =

= Md

b. Pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro yaitu:

Tabel 3.5

Pendapatan Pedagang Kaki Lima

Nama Pendapatan (Rp)

Karjo 15.000 Paijo 12.500 Parto 14.000 Saidun 20.000 Jupri 10.000

Hitunglah median pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro Penyelesaian:

10.000 12.500 14.000 15.000 20.000 Md = 14.000

(7)

2. Median Untuk Data Yang Dikelompokkan

fmd n F i TBK

Md _md

+ −

= 2

Atau

fmd F n i TAK

Md _md '−2

−

=

Keterangan:

TBKmd = tepi bawah kelas median TAKmd = tepi atas kelas median

N = banyaknya data = jumlah frekuensi I = interval kelas

F = frekuensi kumulatif dari kelas-kelas di muka kelas median F’ = frekuensi kumulatif sampai dengan kelas median

Fmd = frekuensi kelas median

(8)

Contoh:

Tabel 3.6 Skor TOEFL

Skor Frekuensi 300 - 349 4

350 - 399 10 400 - 449 15 450 - 499 6 500 - 549 8 550 - 599 2

Hitunglah median skor TOEFL mahasiswa FE UMY Penyelesaian:

a. Menentukan letak kelas media 5 , 2 22 45 2 = =

= n median kelas

Letak

Frekuensi Kelas 1 = 4 kurang 18,5 Frekuensi Kelas 2 = 10 kurang 8,5

Frekuensi Kelas 3 = 10 letak kelas median b. Menghitung nilai median

fmd n F i TBK

Md _md

− +

= 2

5 , 2 399

400 399+ =

md = TBK

(9)

I = 50

F = 4 + 10 =14 Fmd = 15

83 , 15 427

2 14 45 50 5 ,

2 399 − =

+

=

− +

= fmd

n F i TBK

Md _md

Atau

fmd F n i TAK

Md _md '−2

−

=

5 , 2 449

450 449+ =

md = TAK

F’ = 4 +10 +15 = 29

83 , 15 427

2 29 45 50 5 , 2 449 '

=

−

=

−

= fmd

F n i TAK

Md _md

(10)

D. Modus

Modus Merupakan angka yang sering muncul. Modus dapat dihitung dari 2 macam, yaitu:

1. Modus Untuk Data Yang Tidak Dikelompokkan Contoh:

a. Pendapatan tukang becak di Malioboro yaitu:

Tabel 3.7

(Rp)

Hitunglah modus pendapatan tukang becak di Malioboro Penyelesaian:

Tidak ada modusnya karena tidak ada tukang becak yang mempunyai pendapatan yang sama.

(11)

b. Pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro yaitu:

Tabel 3.8

(Rp)

Hitunglah modus pendapatan pedagang kaki lima di Malioboro Penyelesaian:

Mo = 15.000

c. Pendapatan pedagang souvenir di Malioboro yaitu:

Tabel 3.9

(Rp)

(12)

Hitunglah modus pendapatan pedagang souvenir di Malioboro Penyelesaian:

Mo = 12.500 dan 15.000

2. Modus Untuk Data Yang Dikelompokkan

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− + −

=

−

− 1 1

1 1

2

2 fmo f f

f i f

X Mo _mo

Atau

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= 1 2

1 d d i d TBK

Mo _mo

Keterangan:

Xmo = titik tengah kelas modus fmo = frekuensi kelas modus TBKmo = tepi bawah kelas modus

f1 = frekuensi dari kelas sesudah kelas modus f-1 = frekuensi dari kelas sebelum kelas modus

d1 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelumnya (fmo-f-1)

d2 = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudahnya (fmo-f1)

(13)

Contoh:

Tabel 3.10

Pendapatan Tukang Becak Skor Frekuensi 300 - 349 4

350 - 399 10 400 - 449 15 450 - 499 6 500 - 549 8 550 - 599 2

Hitunglah modus skor TOEFL mahasiswa FE UMY Penyelesaian:

a. Menentukan letak kelas modus

Letak kelas modus yaitu pada kelas yang memiliki frekuensi paling banyak.

Dalam soal ini letak kelas modus pada kelas ke -3.

b. Menghitung nilai modus

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− + −

=

−

− 1 1

1 1

2

2 fmo f f

f i f

X Mo _mo

5 , 2 424

449 400+ =

mo = X

i = 50

1 =6 f

1 =10 f−

(14)

fmo = 15

36 , 10 417

6 ) 15 2 (

10 6 2

5 50 ,

424 ⎥=

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

− + −

= x

Mo

Atau

⎟⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= 1 2

1 d d i d TBK

Mo _mo

5 , 2 399

400 399+ =

md = TBK

d1 = 15 – 10 = 5 d2 = 15 – 6 = 9

36 , 9 417 5 50 5 5 ,

399 ⎟=

⎠

⎜ ⎞

⎝

⎛ + +

= Mo

E. Perhitungan Mean, Median, Dan Modus Menggunakan SPSS

Perhitungan mean, median, dan modus menggunakan spss, dilakukan dengan contoh berikut ini:

Data nilai mahasiswa yang mengambil matakuliah metoda penelitian bisnis pada program studi manajemen FE UMY yaitu:

20 75 80 90 80 20 35 60 60 40

65 60 5 100 65 25 90 45 60 70

45 70 30 100 55 45 28 90 60 60

90 5 100 10 90 70 45 90 45 10 70 55 75 20 82 85 75 72 68 67 Berdasarkan data tersebut carilah nilai mean, median, dan modus Penyelesaian menggunakan SPSS diperoleh output sebagai berikut:

(15)

Statistics NILAI

50 0 59.04 62.50 60^a Valid

Missing N

Mean Median Mode

Multiple modes exist. The smallest value is shown a.

Analisis:

Berdasarkan output di atas diperoleh hasil:

N merupakan jumlah data yaitu 50.

Nilai mean sebesar 59,04.

Nilai median sebesar 62,50.

Nilai modus sebesar 60.

F. Kuartil, Desil, Persentil 1. Kuartil

Kuartil adalah suatu harga yang membagi histogram frekuensi menjadi empat bagian yang sama.

1 4

1

1 fk

n F i TBK

K _k

− +

=

2 4 2

2

2 fk

n F i TBK

K _k

+ −

=

3 4 3

3

3 fk

n F i TBK

K _k

− +

=

(16)

2. Desil

Desil merupakan harga-harga yang membagi histogram menjadi 10 bagian yang sama besar.

n dst n D

n D

D 10

3 3 10, 2 2 10,

1= = =

3. Persentil

Persentil merupakan harga-harga yang membagi histogram menjadi 100 bagian yang sama besar.

n dst n P

n P

P 100

3 3 100, 2 2 100,

1= = =

G. Kedudukan Mean, Median, dan Modus

Hubungan mean, median, dan modus, dapat digambarkan sebagai berikut:

1. Apabila nilai mean > median > modus, maka kurvanya menceng ke kanan (ekor kurva ada di sebelah kanan)

Mo Md X Gambar 3.1

Bentuk menceng kanan/positif

(17)

2. Apabila nilai mean = median = modus, maka kurvanya simetris

X =Mo=Md Gambar 3.2 Bentuk simetris

3. Apabila nilai mean < median < modus, maka kurvanya menceng ke kiri (ekor kurva ada di sebelah kiri)

X Md Mo Gambar 3.3

Bentuk menceng kiri/negatif

H. Rangkuman

Ukuran tendensi sentral adalah suatu nilai yang mewakili semua nilai observasi dalam suatu nilai. Beberapa macam ukuran tendensi sentral yang sering dipakai yaitu mean, median, dan modus.

(18)

Mean merupakan angka rata-rata dari sekelompok data. Median adalah nilai yang terletak di tengah suatu data yang telah diurutkan dari nilai terkecil hingga terbesar. Modus merupakan angka yang paling sering muncul dalam sekelompok data.

I. Latihan Soal

1. Data Keuntungan per hari pedagang di Pasar Beringharjo yaitu:

Tabel 3.11

Keuntungan Pedagang di Pasar Beringharjo Keuntungan Per Hari

(000)

Jumlah Pedagang

5 – 9 15

10 – 14 21

15 – 19 17

20 – 24 29

25 – 29 24

30 – 34 19

35 – 39 30

40 – 45 20

Berdasarkan data tersebut, hitunglah mean, median, modus.

2. Data di bawah ini menunjukkan distribusi pendapatan per minggu karyawan di PT”KATLYA”, dengan gaji minimum Rp120.000

(19)

Tabel 3.12 Pendapatan Karyawan

GAJI (000) JUMLAH KARYAWAN

Kurang dari 120 0

Kurang dari 135 6

Kurang dari 150 17 Kurang dari 165 31 Kurang dari 180 49 Kurang dari 195 59 Kurang dari 210 66 Kurang dari 225 75

3. Data jumlah produksi karyawan PT”DENDRO” yaitu:

Tabel 3.13 Jumlah Produksi

Poduksi Jumlah Karyawan

50 atau lebih 92

65 atau lebih 76

80 atau lebih 62

95 atau lebih 32

110 atau lebih 24

125 atau lebih 8

140 atau lebih 0

(20)

4. Data lama bekerja karyawan PT”HANG-HANG” yaitu:

Tabel 3.14

Lama Bekerja Karyawan PT”HANG-HANG”

Lama Bekerja Jumlah Karyawan

2 - 5 5

6 - 9 9

10 - 13 8

14 - 17 11

18 - 21 7

22 - 25 15

26 - 29 4

5. Nilai ujian Statistika I Jurusan Manajemen FE UMY ditunjukkan dalam table 3.15 di bawah ini:

Tabel 3.15 Niali Ujian Statistika I

Nilai Jumlah Mahasiswa

Kurang dari 20 0 Kurang dari 40 5 Kurang dari 60 27 Kurang dari 80 49 Kurang dari 100 60