Materi Matematika Ekonomi dan Bisnis

(1)

(2)

HIMPUNAN

Pengertian Himpunan

Himpunan adalah Kumpulan benda atau objek yang

didefinisikan (diterangkan) dengan jelas

Himpunan dilambangkan dengan huruf kapital misalnya A, B, C, D, …,Z dan objek-objek dari himpunan itu ditulis diantara dua kurung kurawal dan dipisahkan dengan tanda koma

Yang dimaksud diterangkan dengan jelas adalah benda atau

objeknya jelas mana yang merupakan anggota dan mana yang bukan anggota dari himpunan itu

Contoh:

A adalah himpunan bilangan asli kurang dari 10

(3)

Soal : Nyatakan himpunan berikut dalam bentuk notasi

pembentuk himpunan

3. D adalah bilangan ganjil kurang dari 20

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x



A}

1. B adalah bilangan Asli yang lebih dari 3 dan kurang

atau sama dengan 15

2. C adalah bilangan bulat lebih dari atau sama dengan

-5 tetapi kurang dari 10

Jawaban :

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x



B }

(4)

Contoh soal : Nyatakan soal di atas dengan cara mendaftar anggotanya

Jawaban:

=

{ 4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15 }

= { -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

= { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19 }

1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x



A}

2. C = { x | -5 ≤ x < 10 , x



B }

(5)

Keanggotaan Suatu Himpunan

Contoh:

A = { 1, 3, 5, 7, 9 } B = { 2, 4, 6, 8, 10, 12 } 1



A 1



B

3



A 3



B 5



A 5



B 7



A 7



B 9



A 9



B

2



B 2



A 4



B 4



A 6



B 6



A 8



B 8



A 10



B 10



A

Banyaknya anggota himpunan A dilambangkan dengan n(A) = 5

Banyaknya anggota himpunan B dilambangkan dengan n(B) = 6 12



B 12



A

Catatan:

Lambang



dibaca “elemen” atau anggota

Lambang



dibaca “bukan elemen” atau bukan anggota

(6)

D = { x | x orang yang tingginya lebih dari 5 m}

HIMPUNAN KOSONG

DEFINISI:

Himpunan Kosong adalah himpunan yang tidak memiliki anggota dan dilambangkan dengan { } atau 

Contoh :

F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 } F = { x | x bilangan prima antara 7 dan 11 }

Pada contoh di atas adakah saat ini orang yang tingginya lebih dari 5 meter dan adakah bilangan prima diantara 7 dan 11 ? (coba pikir)

(7)

Himpunan Lepas

Definisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan saling lepas jika kedua himpunan itu tidak mempunyai satupun anggota yang sama

Contoh : L = { 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 } G = { 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 }

Coba kalian perhatikan, adakah anggota himpunan L dan G yang sama ? Karena tidak ada anggota himpunan L dan G yang sama maka himpunan L dan G adalah dua himpunan yang saling lepas, jadi L // G

Himpunan Tidak Saling Lepas

Definisi:

Dua himpunan yang tidak kosong dikatakan tidak saling lepas

(berpotongan) jika kedua himpunan itu mempunyai anggota yang sama

Contoh :

(8)

Himpunan

Semesta

Definisi :

Himpunan Semesta adalah himpunan yang memuat semua objek yang dibicarakan

Contoh :

A = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15} B = { -3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11 } C = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

D = { 2,3,5,7,11 }

E = { 0, 2, 4, 6 }

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C, D, dan E

1. Apakah setiap anggota himpunan D ada di dalam himpunan A, B, dan C ? 2. Apakah setiap anggota himpunan E ada di dalam himpunan A, B, dan C ? Setiap anggota himpunan D yaitu 2,3,5,7,11 ada di dalam Himpunan A, B, C. Oleh karena itu Himpunan A,B,C adalah Himpunan Semesta dari Himpunan D

Setiap anggota Himpunan E yaitu 0,2,4,6 ada di dalam himpunan B dan C, tetapi angka 0 tidak ada di dalam himpunan A. Oleh karena itu

(9)

HIMPUNAN BAGIAN

Definisi:

A adalah himpunan bagian dari himpunan B apabila setiap anggota himpunan A juga menjadi anggota himpunan B dilambangkan

dengan A



B

Contoh:

S = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 }

A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 } ; B = { 1, 2, 3, 4 } ; C = { 6, 7, 8, 9 }

a. Apakah himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

b. Apakah himpunan C merupakan himpunan bagian dari himpunan A ?

Perhatikan setiap anggota himpunan A, B, C

a. Karena setiap anggota himpunan B juga merupakan anggota

himpunan A maka himpunan B merupakan himpunan bagian dari himpunan A, jadi B



A

(10)

Rumus Banyaknya Himpunan Bagian

Jika suatu himpunan mempunyai anggota sebanyak n(A) maka banyaknya himpunan bagian dari A adalah sebanyak

2

n(A)

Contoh:

Tentukan banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari himpunan berikut

1. A = { a, b, c }

2. B = { 1, 2, 3, 4, 5 }

3. C = { 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 } Jawab:

1. n(A) = 3 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari A adalah 23 = 2 x 2 x 2 = 8

2. n(B) = 5 maka banyaknya himpunan bagian yang mungkin dari B adalah 25 = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 32

(11)

Himpunan Sama Definisi:

Dua himpunan dikatakan sama apabila setiap anggota kedua himpunan itu sama bentuk dan jumlahnya

Contoh :

A = { a, I, u, e, o } ; B = { u, a, I, o, e }

Kedua himpunan A dan B anggota-anggotanya sama yaitu a,I,u,e, dan o maka himpunan A = B

Himpunan Ekuivalen Definisi:

Dua himpunan dikatakan Ekuivalen apabila jumlah anggota kedua himpunan itu sama tetapi bendanya ada yang tidak sama

Contoh :

P = { a, I, u, e, o } ; Q = { 1, 2, 3, 4, 5 }

(12)

Irisan Dua Himpunan (Interseksi)

Definisi:

Irisan himpunan A dan B ditulis A



B adalah himpunan semua objek yang menjadi anggota himpunan A sekaligus menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P  Q

P  Q = { d, e } Jawab :

Gabungan Dua Himpunan ( Union)

Definisi:

Gabungan himpunan A dan B ditulis A  B adalah himpunan semua objek

yang menjadi anggota himpunan A atau menjadi anggota himpunan B

Contoh:

Bila P = {a, b, c, d, e } dan Q = {d, e, f, g, h }. Tentukan P  Q

(13)

Diagram Venn

Langkah-langkah menggambar diagram venn

1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan

2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama

3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama ditengah-tengah

4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi anggota bersama tadi

5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan 6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis didalam

lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu

(14)

Contoh:

Diketahui: S = { 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14 }

A = { 1,2,3,4,5,6 } B = { 2,4,6,8,10 } C = { 3,6,9,12 } Gambarlah diagram Venn untuk menyatakan himpunan di atas Jawab:

6

3

2 4

1

5

8

10

9

12

A

B

C

S

7

11

13

14

6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A,B,C

3 dan 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan C

2,4, 6 adalah anggota yg dimiliki oleh himpunan A dan B

(15)

Contoh 2:

Dari 32 siswa terdapat 21 orang gemar melukis, 16 orang gemar menari dan 10 orang gemar keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar melukis? b. Ada berapa orang siswa yang hanya gemar menari? c. Ada berapa orang siswa yang tidak gemar keduanya?

Jawab:

N(S) = 32 Misalnya : A = {siswa gemar melukis} n(A) = 21 B = {siswa gemar menari} n(B) = 16

A  B = {siswa gemar keduanya} n(A  B) = 10

Perhatikan Diagram Venn berikut

10

A B

11

6

S

5

a. Ada 11 siswa yang hanya gemar melukis

b. Ada 6 siswa yang hanya gemar menari

(16)

Contoh 3:

Diketahui : S = { x | 10

<

x

≤ 20, x



B }

M = { x | x

> 15, x



S }

N = { x | x

>

12

, x



S }

Gambarlah diagram vennya

Jawab : S = { x | 10 < x ≤ 20, x  B } = { 11,12,13,14,15,16,17,18,19,20 }

M = { x | x

> 15, x



S } = { 16,17,18,19,20}

N = { x | x

>

12

, x



S } = { 13,14,15,16,17,18,19,20}

M  N = { 16,17,18,19,20 }

16

17 18

19 20 M

N

13

14 15 S

11

12

(17)

Contoh 4:

Dari 60 siswa terdapat 20 orang suka bakso, 46 orang suka siomay dan 5 orang tidak suka keduanya.

a. Ada berapa orang siswa yang suka bakso dan siomay? b. Ada berapa orang siswa yang hanya suka bakso?

c. Ada berapa orang siswa yang hanya suka siomay?

Jawab: N(S) = 60

Misalnya : A = {siswa suka bakso} n(A) = 20 B = {siswa suka siomay} n(B) = 46

Maka A



B = {suka keduanya}

(A



B)c = {tidak suka keduanya} _n((A



_B)_c_{) = 5}

n(A



B)= x {siswa suka bakso saja} = 20 - x

{siswa suka siomay saja} = 46 - x Perhatikan Diagram Venn berikut

x

A ₂₀_{- x} ₄₆_{- x} _B

S

5

n(S) = (20 – x)+x+(46-x)+5 60 = 71 - x

X = 71 – 60 = 11

a. Yang suka keduanya adalah x = 11 orang

b. Yang suka bakso saja adalah 20-x = 20-11= 9 orang

(18)

Kembali ke halaman utama