SIFAT-SIFAT DASAR FUNGSI KARAKTERISTIK

SIFAT-SIFAT DASAR FUNGSI KARAKTERISTIK

MEDI PRASETIA Program Studi Matematika,

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas Padang, Kampus Unand Limau Manis, Padang 25163

mediprasetia@gmail.com

Abstrak. Fungsi karakteristik ϕ

X

(t) dari peubah acak X didefinisikan sebagai

ϕ

X

(t) = E[e

^itX

] = Z

e

^itx

dF (x) dimana t ∈ R, i = √

−1 dan e

^itX

= cos(tX) + i sin(tX). Fungsi ini memiliki sifat-sifat dasar yaitu kontinu seragam dan selalu ada untuk setiap sebaran.

Kata kunci: peubah acak, fungsi karakteristik, dan sebaran

1 Pendahuluan

Fungsi karakteristik adalah salah satu jenis transformasi yang sering digunakan pada teori peluang dan statistika. Fungsi karakteristik dari suatu peubah acak X, dinotasikan dengan ϕ _X (t), didefinisikan sebagai berikut

ϕ _X (t) = E[e ^itX ], (1)

di mana e ^itX = cos(tX) + i sin(tX), −∞ < t < ∞ dan i adalah unit imajiner.

Dari (1) terlihat bahwa fungsi karakteristik identik dengan fungsi pembangkit momen M _X (t) = E[e ^tX ] dengan penambahan ?i? pada bagian eksponennya.

Sama halnya dengan fungsi pembangkit momen, fungsi karakteristik dapat digunakan untuk menghitung momen dari peubah acak X, selain itu fungsi karakteristik dapat juga digunakan untuk menentukan fungsi distribusi dari su- atu peubah acak yang dikenal sebagai teorema inversi fungsi karakteristik.

Teorema inversi fungsi karakteristik merupakan salah satu sifat yang men- jadi ciri khas fungsi karakteristik. Kajian tentang sifat-sifat fungsi karakteristik yang lainnya merupakan masalah yang sangat menarik untuk dipelajari. Dalam makalah akan diberikan beberapa sifat dasar dari fungsi karakteristik dengan memberikan ilustrasi yang bersesuaian.

2 Sifat-sifat Dasar Fungsi Karakteristik

Definisi 1. [1, 2, 3] Jika X suatu peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang f (x) dan fungsi sebaran kumulatif F (x), maka fungsi karakteristik ϕ X (t) dari peubah acak X didefinisikan sebagai berikut

ϕ _X (t) = E[e ^itX ] = Z

e ^itx dF (x),

di mana t ∈ R, i = p(−1) dan e ^itX = cos(tX) + i sin(tX).

Proposisi 1. Misalkan ϕ _X (t) adalah fungsi karakteristik dari peubah acak X.

Maka ϕ _X (0) = 1.

Bukti. Misalkan ϕ X (t) = E[e ^itX ] untuk t = 0. Maka berlaku ϕ X (t) = E[e ^itX ]

ϕ _X (0) = E[e ⁰ ]

= E[1]

= 1.

Proposisi 2. Fungsi karakteristik ada untuk sebarang sebaran.

Bukti. Misalkan X adalah sebarang peubah acak dengan fungsi peluang f (x).

Berdasarkan definisi e ^itX = cos(tX) + i sin(tX), diperoleh |e ^itx | ² = cos ² (tx) + sin ² (tx) = 1. Sehingga

|ϕ X (t)| =     Z

e ^itx f (x)dx    

≤ Z

 e ^itx f (x)   dx

= Z

 e ^itx ||f (x)   dx

= Z

f (x)dx

= 1.

Proposisi 3. Misalkan X suatu peubah acak. Maka fungsi karakteristik dari

−X adalah ϕ X (t).

Bukti. Misalkan ϕ _X (t) adalah sekawan dari fungsi karakteristik ϕ _X (t). Per- hatikan bahwa

ϕ X (t) = E[e ^itX ]

= E[cos(tX) + i sin(tX)]

= E[cos(tX) + i sin(tX)]

= E[cos(tX)] + iE[sin(tX)]. (2)

Akan ditunjukkan fungsi karakteristik dari −X adalah ϕ _X (t) E h

e ^it(−X) i

= E e ^−itX 

= E[cos(−tX) + i sin(−tX)]

= E[cos(tX) − i sin(tX)]

= E[cos(tX)] − iE[sin(tX)]

= ϕ(t). (3)

Berdasarkan (2) dan (3) terlihat bahwa fungsi karakteristik dari −X adalah ϕ(t), sekawan dari ϕ(t).

Proposisi 4. Fungsi karakteristik ϕ _X (t) adalah kontinu seragam.

Bukti. Akan ditunjukkan bahwa untuk setiap  > 0, terdapat δ() > 0 sedemikian sehingga |ϕ _X (s) − ϕ _X (t)| < , dimana |s − t| < δ. Misalkan h = s − t dimana s > t, maka

|ϕ X (s) − ϕ _X (t)| = |Ee ^isX − Ee ^itX |

= |Ee ^i(t+h)X − Ee ^itX |

= |Ee ^itX (e ^ihX − 1)|

≤ E[|e ^itX (e ^ihX − 1)|

= E[|e ^itX ||e ^ihX − 1|.

Karena  e ^itx 

 = 1, maka dapat diperoleh

|ϕ X (s) − ϕ X (t)| ≤ E |e ^ihX − 1| 

≤ Z

 e ^ihx − 1   dF (x)

= Z

| cos(hx) + i sin(hx) − 1|dF (x)

= Z

|(cos(hx) − 1) + i sin(hx)|dF (x)

= Z q

[(cos(hx) − 1) ² + sin ² (hx)]dF (x)

= Z q

[cos ² (hx) − 2 cos(hx) + 1 + sin ² (hx)]dF (x)

= Z

p [2 − 2 cos(hx)]dF (x), (4)

untuk h → 0, maka cos(hx) = 1. Sehingga diperoleh

|ϕ _X (s) − ϕ _X (t)| ≤ Z p

[2 − 2 cos(hx)]dF (x) = 0

Jadi, untuk h → 0, |ϕ X (h + t) − ϕ X (t)| → 0 dan |s − t| → 0. Hal ini menunjukkan δ bergantung pada , di mana |ϕ X (h + t) − ϕ X (t)| <  untuk |s − t| < δ.

Proposisi 5. Misalkan X suatu peubah acak. Maka fungsi karakteristik dari a + bX adalah e ^itX ϕ X (bt).

Bukti. Akan ditunjukkan fungsi karakteristik dari a + bX sebagai berikut E h

e ^it(a+bX) i

= E e ^ita+itbX 

= E e ^ita e ^itbX 

= e ^ita E e ^itbX 

= e ^ita ϕ X (bt).

Proposisi 6. Fungsi karakteristik ϕ X (t) dari peubah acak X bernilai riil jika dan hanya jika peubah acak X mempunyai sebaran yang simetrik terhadap ordi- nat x = 0, yaitu P (X > x) = P (X < −x) untuk x = 0.

Bukti. Sebaran dari peubah acak X simetrik jika dan hanya jika X memiliki

sebaran yang sama dengan −X. Hal ini benar, apabila peubah acak X dan −X

mempunyai fungsi karakteristik yang sama. Dengan menggunakan Proposisi 3,

maka ϕ _X (t) = ϕ _X (t). Hal ini menunjukkan bahwa ϕ _X (t) hanya mempunyai

bagian riil.

3 Ilustrasi

Misalkan X adalah peubah acak dari sebaran eksponensial dengan fungsi kepekatan peluang f (x) = λe ^−λx , x ≥ 0, dan λ > 0. Fungsi karakteristik dari sebaran ek- sponensial tersebut adalah

ϕ X (t) = E[e ^itX ]

= Z ∞

−∞

e ^itx f (x)dx

= lim

t→∞

Z t 0

e ^itx λe ^−λx dx

= lim

t→∞ λ



− 1

λ − it e ^{−x(λ−it)}

 t 0

dx

= λ

λ − it .

Akan ditunjukkan bahwa fungsi karakteristik sebaran eksponensial memenuhi sifat-sifat fungsi karakteristik.

Sifat 1. Misalkan fungsi karakteristik sebaran eksponensial adalah ϕ _X (t) = _λ−it ^λ . Maka ϕ _X (0) = 1.

Penjelasan. Perhatikan bahwa

ϕ _X (t) = λ λ − it ϕ _X (0) = λ

λ − i0

= λ λ

= 1.

Sifat 2. Misalkan ϕ X (t) adalah fungsi karakteristik dari peubah acak X dengan sebaran eksponensial. Maka fungsi karakteristik peubah acak −X adalah ϕ X (t).

Penjelasan. Peubah acak X mempunyai sebaran eksponensial f (x) = λe ^−λx . Misalkan Y = −X, maka diperoleh ^dx _dy = −1 dan mutlak Jacobian |J | = 1. Maka peubah acak Y mempunyai sebaran f (y) = f _X (−y)|J | = λe ^λy . Jadi diperoleh sebaran dari peubah acak −X adalah f (−x) = λe ^λx . Fungsi karakteristik peubah acak −X adalah

ϕ _−X (t) = E[e ^−itx ]

= Z ∞

−∞

e ^−itx f (−x)dx

= lim

t→∞

Z t 0

e ^−itx λe ^λx dx

= lim

t→∞ λ



− 1

λ + it e ^−x(λ+it)

 t 0

= λ

 1 λ + it



= λ

λ + it .

Karena ϕ _X (t) = _λ−it ^λ , maka diperoleh bahwa fungsi karakteristik dari −X adalah ϕ _X (t).

Sifat 3. Fungsi karakteristik ϕ X (t) = _λ−it ^λ adalah kontinu seragam.

Penjelasan. Misalkan ϕ X (t) = _λ−it ^λ dan h = s − t dimana s > t, maka akan ditunjukkan bahwa untuk setiap  > 0 terdapat δ > 0 sedemikian sehingga

|ϕ _X (s) − ϕ _X (t)| =   

λ

λ−is − _λ−it ^λ  

 <  untuk |s − t| < δ. Perhatikan bahwa

|ϕ _X (s) − ϕ _X (t)| =    

λ

(λ − is) − λ (λ − it)

   

=    

−i(λs − λt) (λ ² + st) − i(λt + λs)

   

=    

(s − t)λ[−i(λ ² + st) − (λt + st)]

(λ ² + st) ² + (λt + λs) ²     .

Untuk h → 0, maka |ϕ X (h + t) − ϕ X (t)| → 0 dimana |s − t| → 0. Hal ini menunjukkan δ bergantung pada  dimana |ϕ _X (h+t)−ϕ _X (t)| <  untuk |s−t| <

δ.

Sifat 4. Misalkan X adalah suatu peubah acak dari sebaran eksponensial, maka fungsi karakteristik dari a + bX adalah e ^itX ϕ X (bt).

Penjelasan.

E h

e ^i(a+bX)t i

= Z ∞

−∞

e ^i(a+bx)t f (x)dx

= lim

t→0

Z t 0

e ^i(a+bx)t λe ^−λx dx

= lim

t→0 λe ^iat



− 1

λ − ibx e ^{−x(λ−ibt)}

 ^t

0

= λe ^iat λ − ibx .

Sifat 5. Misalkan X menyebar U N IF (−1, 1). Akan ditentukan fungsi karakter- istik dari sebaran seragam tersebut.

Penjelasan. Misalkan X ∼ U N IF (−1, 1) dimana f (x) = ¹ ₂ ; −1 ≤ x ≤ 1. Se- baran ini simetrik terhadap ordinat x = 0. Fungsi karakteristik dari sebaran U N IF (−1, 1) adalah

E e ^itX 

= Z 1

−1

1 2 e ^itx dx

= e ^itx 2it | ¹ ₋₁

= ie ^it − ie ^−it

−2t

= i(cos t + i sin t) − i(cos(−t) + i sin(−t))

−2t

= sin t

t .

Dapat dilihat bahwa fungsi karakteristik dari sebaran seragam U N IF (−1, 1) hanya mempunyai bagian riil. Hal ini dikarenakan sebaran seragam U N IF (−1, 1) tersebut simetris terhadap ordinat pada nol.

4 Ucapan Terima kasih

Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Dodi Devianto, Bapak Budi Rudianto, M.Si, Ibu Izzati Rahmi HG, M.Si, Ibu Hazmira Yozza, M.Si dan Ibu Dr. Lyra Yulianti yang telah memberikan masukan dan saran sehingga makalah ini dapat diselesaikan dengan baik.

5 Daftar Pustaka

1. Spiegel, M. R. 1964. Peubah Kompleks. Polytechnic Institute Rensselaer 2. Bartle, R.G. dan Donald R.S. 1927. Introduction to Real Analysis. Sec-

ond Edition. John Wiley and Sons, Inc, Singapore

3. Chung, K.L. 2001. A Course In Probability Theory. Third Edition.

Academy Press, San Diego

4. Rao, M.M dan R.J. Swift. 2006. Probability with Applications. Second

Edition. Springer, United States of America