BAB III
EKSPEKTASI MATEMATIKA
3.1 Rasional
Dalam suatu percobaan tentu ada hasil yang diharapkan. Untuk mendapatkan hasil yang baik dan kesimpulan hasil yang akurat, maka percobaan statistika tersebut dilakukan berulang kali. Hal tersebut dimaksudkan untuk memperoleh suatu hasil yang benar-benar mendekati,sehingga kesimpulan yang dihasilkan valid. Ukuran yang menyatakan harapan dari hasil yang dapat diperoleh dari suatu percobaan statistika dinyatakan secara matematis sebagai ekspektasi matematika.
3.2 Ekapektasi Matematik
Definisi 3.1 Ekspektasi Matematika Suatu Peubah Acak
Jika X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka nilai harapan X atau harapan matematik X didefinisikan sebagai
kontinu X
Jika dx
x f x
diskret X
Jika x
xf X
E
) ( .
) ( )
(
Contoh 3.1
Tentukan nilai harapan banyaknya wanita dalam panitia yang terdiri dari 3 orang dipih secara acak 4 orang wanita dan 3 orang pria !
Solusi :
Misalkan X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih, maka rumus peluang X adalah :
3 7 3 3 3 4 )
(x x
f , x = 0,1,2,3
Sehingga, f(0)= ; 35 18 2 ; 35 12 1 ; 35
1
f
f dan
35 4 3 f
Jadi, E(X) = 0. 175
7 12 35
4 . 3 35 18 2 35 12 . 1 35
1
Ini artinya, bahwa, jika pemilihan tersebut diulang bekali-kali, maka rata-rata wanita terpilih adalah 175 tiap pemilihan.
Contoh 3.2
Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi pada: f(X) =
lainnya X
untuk X untuk X
, 0
1 0
, 2
Solusi:
E(X) =
3 2 3
2 2
,
1
0 1
0
1
0
3
xf x dx
x xdx xDefinisi 3.2 Ekspektasi Matematik Suatu Fungsi
,. ,
kontinu x
Jika dx
x f x g
diskret x
Jika x
f x g x
g
E x
Contoh 3.3:
Misalnya X suatu peubah acak dengan distribusi peluang sebagai berikut:
x 0 1 2 3
f(x) 101 52 103 51
Hitunglah nilai harapan peubah acak Y = X + 1 Solusi:
Karena X peubah acak diskret, maka
x x
x f x x
f x g x
g
E 3
0 1
=
5 1 1 3 10
3 1 2 5
2 1 1 10
1 1
0
= 2,9
10 29 10
8 10
9 10
8 10
4
Contoh 3.4:
Diketahui X suatu peubah acak dengan fungsi padat peluang f(X) =
lainnya x
untuk
x untuk
x
, 0
2 1
, 3
2
Hitunglah nilai harapan g(X)=2X-1!
Solusi:
2
1
2 3
2 2
3 1 3
1 1 2 )
1 2
( x x x dx x x dx
E
1 8 3 1 1 16 2 1 3 1 3
1 2
1 3
1 2
1 3
4 x
x
1,5
2 3 6 9 2 9 3 1 3 2 15 3 1
Definisi 3.3 Ekspektasi Matematika dari Fungsi Peluang Gabungan
Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x), maka nilai harapan matematika fungsi g(X,Y) ditentukan oleh:
kontinu Y
dan X Jika dxdy
y x f y x g
diskret Y
dan X Jika y
x f y x g
Y X g
E x y
. , ,
,
, , ,
Contoh 3.5:
Distribusi peluang gabungan peubah acak X dan Y sebagai berikut
Hitungalah nilai harapan g(X, T) = XY . Solusi:
18 15 18
4 9 2 9 2 2 1 9 1 18
1 . 4 4 1 . 2 9 1 . 1
) 2 , 2 ( ) 2 )( 2 ( ) 1 , 2 ( ) 2 )( 1 ( ) 1 , 1 )( 1 ( ) 1 ( ) 1 , 1 ( ) 1 )( 1 (
) 0 , 1 ( ) 0 )( 1 ( ) 2 , 0 ( ) 2 )( 0 ( ) 1 , 0 ( ) 0 ( ) 0 , 0 ( ) 0 )( 0 (
) , ( )
( 2
0 2
0
f f
f f
f f
f f
y x xyf XY
E
x y
Contoh 3.6: Hitunglah
X Y
untuk fungsi padat :
lainnya y
dan x
x x
y x x f
0
1 0
; 2 0
4 ) 3 1 ( ) (
2
Solusi:
8 5 2
3 4
) 3 1
( 1 3
0 2
1
2 1
0
y y dxdy y y dy
X Y E
Sifat 3.1 Ekspektasi Matematika
a. Jika a dan b konstanta, maka E(aX+b)-aE(X)+b b. Jika a = 0, maka E(b)=b
c. Jika b = 0, maka E (aX) = aE(X) d. E[g(X)+ h(X)] = E[g(X)]+ E[h(X)]
e. Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y)=Y maka E(X+ Y)= E(X)+E(Y)
f. Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y). Bukti:
b X aE x f b x xf a x f b ax b
aX E
x x
x
)
( ) ( )
( )
( ) ( )( (sifat 3.1a terbukti)
3.3 Moment
Definisi 3.4 Moment Disekitar Pusat
Jika X peubah acak, maka moment disekitar pusat X dibdefinisikan sebagai ' ( k)
k E x
.
Jika k=0 maka dieproleh 0'
0 ( )
( )1 xx
x f x
f x
. Untuk X diskret, dan
1 )
( )
( 0 '
0
x f x dx f x dx
untuk X kontinu. Sekarang, jika k=1, maka
) ( ) ( '
1 xf x E X
x
dan ' ( ) ( )
1 xf x dxE x
yaitu nilai harapan pubah acak X itu
sendiri. Dengan demikian momen pertama di sekitar titik asal suatu peubah acak X ini menyatakan rataan peubah acak tersebut. Maka dari itu rataan ini ditulis dengan x atau
lebih sederhana saja. Jadi, E(x). Definisi 3.4 Moment Disekitar Rataan
Jika X peubah acak, maka moment disekitar rataan X dibdefinisikan sebagai
2
)
(
k E x
Untuk k=2 atau momen kedua di sekitar rataan, yaitu 2, akan memberikan gambaran pengukuran sekitar rataan. Oleh sebab itu untuk selanjutnya 2 ini dinamakan variansi peubah acak X dan dinyatakan dengan 2
x
atau lebih singkat 2
saja. Jadi ]
)
[( 2
2 2
E X . Akar positif dari variansi ini akan memberikan suatu ukuran yang
disebut dengan simpangan baku atau standar deviasi.
Teorema 3.1 Varians
Jika peubah acak bebas, maka 2 E(x2)
E(x)
2
Bukti:
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
)] ( [ ) ( )
(
2 ) ( ) ( ) ( 2 ) ( ) 2
( ) (
x E x E x
E
x E E
x E x
E x
x E x
E
Contoh 3.7
Tentukan variansi X, jika X menyatakan banyaknya buah mangga yang harus diambil oleh Dilla dari dalam tas yang berisi 4 mangga dan 3 jeruk, jika dia mengambil 3 buah sekaligus !
Solusi:
Distribusi peluangnya adalah :
x 0 1 2 3
f(x) 351 1235 1835 354
7 24 35
4 . 3 35 18 . 2 35 12 . 1 35
1 . 0 ) ( ]
[
7 12 35
4 . 3 35 18 . 2 35 12 . 1 35
1 . 0 ) ( ]
[
2 2
x x
x f x X
E
x xf X
E
Jadi 2 247 127 24924
Contoh 3.8
Diketahui fungsi padat peluang peubah acak X dinyatakan sebagai :
laiinya x
untuk x x
x f
0
2 1
hitunglah Rataan dan Variansi
Definisi 3.4 Kovarians
Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan x dan y, maka kovarians peubah
Teorema 3.2 Kovarians
Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan rataan x dan y, maka kovarians peubah
Contoh 3.9
Dimas mengambil 2 buah pensil secara acak dari sebuah kotak yang berisi tiga pensil warna biru, dua warna merah dan tiga warna kuning. Jika X menyatakan pensil warna biru dan Y warna yang diambil, hitunglah kovariansi dua peubah tersebut!
Solusi:
Distribusi pelang gabungannya sebagai berikut: X
E (lihat nilai harapan peubah acak gabungan X dan
Y)
TEntukan kovariansi peubah acak X dan Y yang fungsi padat peluang gabungannya dinyatakan sebagai
xydxdy
XY E
y
sehingga
9
Sifat 3.1 Varians
a. Jika X pebuah acak dengan distribusi leluang f(x), maka variansi g(X) adalah
2
d. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka
xy
Teorema 3.2 Teori Chebyshev
Peluang bahwa setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpngan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit
Menurut definisi variansi,
dengan demikian terbuktilah teorema Chebyshev.
Suatu peubah acak X mempunyai rataan 8,variansi 2 9,
sedangkan distribusinya tidak diketahui. Hitunglah a. P(-4<X<20), dan b. P( X 8 6.
Solusi :
a, Telah diketahui, bahwa8, variansi 2 9,
sehingga 99.yang harus dicari
adalah nilai k. Nilai k ini dicari dengan melihat salah satu ujung interval, yaitu -4 atau 20. Berdasarkan teorema Chebyshev diketahui, bahwa
, 1 1 ) ( )
(
2
k
k k
dx x f k
X k
p sehingga k 8k34
Dengan menyelesaikan persamaan ini diperoleh nilai k=4. Jadi,
1
15 ) 20 4
( 1
1 1 ) 3 )( 4 ( 8 )
3 )( 4 ( 8 ) 20 4
( X P X P X
P
Kerena diketahui , bahwa simpangan baku = 3, maka 3k = 6 k = 2, sehingga :
4 1 ) 3 )( 2 ( 8 )
3 )( 2 ( 8 ( 1 ) 6 8
(X P X
P
b. P(X 8 6)1P(X 8 6)P(6X 86)1P(86X 86)
3.4 Fungsi Pembangkit Moment
Definisi 3.5 Fungsi Pembangkit Moment
Fungsi pembangkit momen peubah acak X didefinisikan sebagai Mx(t) = E(etX)=
n itXi
tX
disket x jika x f e
kontinu x jika dx x f e
1
), (
,
) (
Fungsi Pembangkit momen hanya ada, jika jumlah atau integral pada definisi di atas
konvergen. Jika fungsi pembangkit momen suatu peubah acak memang ada, maka fungsi itu dapat dipakai untuk membangkitkan atau menemukan seluruh momen peubah acak tersebut. Caranya dengan menggukana rumus : misal X suatu peubah acak dengan fungsi pembangkit momen Mx(t), maka : r t r
x r
dt t M d
0
) (
Contoh 3.12:
Tentukan fungsi pembangkit momen peubah acak binomial X dan kemudian tunjukkan bahwa np dan 2 npq.
Solusi:
Dari definisi diperoleh
n
x
n
x
n t n
t pe q
x n q p x n e t M
0 0
) ( )
(
jumlah yang terakhir adalah penguraian binomial (pet+q)n,
sehingga Mx(t)=(pet+q)n. Kemudian dibeproleh bahwa dt n pet q n pet
t dMx
. ) (
)
( 1
sehingga, ( ) [ ( 1)( ) 21. ( ) 1. ]
2 2
t n t t
n t
t n pe q pe pe q e
e np dt
t Mx
d
. Untuk t=0, maka
np 1
dan 2 np[(n1)p1]. Jadi, 1 npdan 2 122 np(n1)npq
Teorema 3.3 Ketunggalan
dan My(t), maka untuk semua harga t, peubah acak X dan Y mempunyai distribusi
peluang yang sama Mx(t) dan My(t)
b. Mx+a(t) = eatMx(t)
Bukti :
) ( )
( ]
[ )
(t E e ( ) e E e e M t
M t x a at tx at x
a
x
Max(t) = Mx(at). (bukti sebagai tugas mahasiswa)
Jika x1, x2,..., x2 peubah acak bebas dengan fungsi penbangkit moment masing-masing Mx1(t),
Mx2(t),..., Mxn(t), dan Y=X1+X2+....+X3 maka My(t) = Mx1(t) +Mx2(t)+...+Mxn(t) (bukti sebagai
tugas mahasiswa). 3.4 RANGKUMAN
1. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x). Nilai harapan X atau harapan matematika X didefinisikan sebagai
kontinu X
Jika dx
x f x
diskret X
Jika x
xf X
E
) ( .
) ( )
(
2. Misalkan X suatu peubah acak dengan distribusi peluang f(x), nilai harapan matematik fungsi g(x) dinyatakan sebagai
,. ,
kontinu x
Jika dx
x f x g
diskret x
Jika x
f x g x
g
E x
3. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka nilai harapan matematik fungsi g(X,Y) ditentukan oleh
,. ,
kontinu x
Jika dx
x f x g
diskret x
Jika x
f x g x
g
E x
4. Jika a dan b konstanta, maka E(aX + b) = aE(X) + b. Jika a = 0, maka E(b) = b. Jika b = 0, maka E(aX) = aE(X).
5. E[g(X)±h(X),Y] = E[g(X,Y)] ± E[h(X,Y)]. 6. E[g(X,Y)±h(X)] = E[g(X)] ± E[h(X)].
7. Jika g(X,Y) = X dan h(X,Y) = Y, maka diperoleh E(X±Y) = E(X)E(Y) 8. Jika X dan Y dua peubah acak yang bebas, maka E(XY) = E(X)E(Y) 9. Variansi peubah acak X adalah 2
[(
)
2]
E
X
10. Kovariansi dua peubah acak X dan Y dengan rataaan masing-masing x dan y
diberikan oleh :xy E[(X x)(Y y)]
11. Misal X peubah acak dengan distribusi peluang f(x), maka variansi g(x) adalah
] ) )
(
[( 2
) ( 2
x g
x g
E
12. Jika X suatu peubah acak dan b suatu tetapan, maka 2 2 2
xb a x
13. Jika X suatu peubah acak dan a suatu konstanta, maka 2 2 2 2
14. Jika X dan Y peubah acak dengan distribusi peluang gabungan f(x,y), maka
2 2
2 2 2 ) (
2 2
y ab y X x
g a b
15. Jika X dan Y pe ubah acak yang bebas, maka 2 2 2 2 2
y y
by
ax a b
16. Jika X dan Y peubah acak dan bebas, maka 2 2 2 2 2
y y
by
ax b
17. Peluang bahwa nilai setiap peubah acak X mendapat nilai dalam k simpangan baku dari nilai rataan adalah paling sedikit
2 1 1
k , yaitu 2
1 1 (
k k
X k
P
3.5 Soal-soal
1. Diketahui distribusi peluang peubah acak X adalah sebagai
x x
x
x f
3 3
4 1 4 1 )
( untuk x = 0, 1, 2, 3, hitunglah E(X)!
2. Hitunglah nilai harapan peubah acak X yang mempunyai fungsi padat peluang
lainnya x
x x
x f
0
1 0
) 1 ( 2 ) (
3. Jika X menyatakan hasil yang muncul jika suatu dadu yang sepasang dilantunkan, hitunglah nilai E(Y), jika Y=2X2-5.
4. Misalkan X dan Y adalah peubah acak dengan fungsi padat gabungan :
lainnya x
y x
xy y
x f
0
0 ; 1 0 2 ) , (
Hitunglah nilai harapan Z = X2 y2!
5. Misalkan X peubah acak dengan distribusi peluang berikut :
X 1 2 3
P(X = x)
6 1
2 1
3 1
Hitunglah a) E(X); b. E(x2); c. E[(2X+1)2]; dan E[{X-E(X)}2]
6. Olid dan Dilla bersama-sama mengambil empat buah-buahan secara acak dari dalam tas yang berisi 3 jeruk, 2 mangga, dan 3 pisang. Jika X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya mangga dalam sampel tersebut, hitunglah kovariansi peubah acak X dan Y. 7. hitunglah kovariansi acak X dan Y yang mempunyai fugsi padat peluang gabungan ;
f(x,y)= x+y, 0<X<y; 0<y<1 dan f(x,y) = 0 untuk nilai x dan y lainnya.
8. Misalkan X menyatakan bilangan yang muncul jika sebuah dadu hiaju dilantunkan dan Y bilangan yang muncul jika sebuah dadu merah dilantukan hitunglah variansi peubah acak a, 2X-Y; b. X+3Y-5!
9. Jika X dan Y dua peubah acak bebas dengan variansi 2 5 X
dan 2y 5, hitunglah variansi peubah acak Z = 12X+4Y-3!
10. Diketahui soal no. 9, hitunglah variansinya jika peubah acak X dan Y tak bebas dan .
1
XY
