Siswadi
Statistika Matematik Untuk Aktuaris
Windiani Erliana
UNTUK AKTUARIS
Siswadi dan Windiani Erliana
e-book DOI: doi.org/10.31227/osf.io/nj3ag ISBN : 978-XXX-XXXX-XX-X
2019
1 Sebaran Multivariat 1
1.1 Vektor Peubah Acak . . . 1
1.2 Fungsi Sebaran Bersama . . . 1
1.2.1 Fungsi Massa Peluang Marginal . . . 2
1.2.2 Fungsi Kepekatan Peluang Marginal . . . 2
1.3 Nilai Harapan . . . 3
1.4 Kebebasan Vektor Peubah Acak . . . 4
1.5 Dekomposisi Spektrum . . . 5
1.6 Matriks Koragam . . . 8
1.7 Sebaran Normal Multivariat . . . 12
1.8 Latihan . . . 19
2 Beberapa Sebaran Kontinu 21 2.1 Sebaran Gamma . . . 21
2.2 Sebaran Khi-Kuadrat . . . 24
2.3 Sebaran t . . . 27
2.4 Sebaran F . . . 31
2.5 Teorema Student . . . 33
2.6 Latihan . . . 36
3 Pendugaan Parameter 37 3.1 Penduga Titik . . . 37
3.2 Metode Pendugaan Titik . . . 38
3.2.1 Metode Momen . . . 38
3.2.2 Metode Kemungkinan Maksimum . . . 42
3.3 Sifat-Sifat Penduga . . . 51 1
3.3.1 Ketakbiasan . . . 51
3.3.2 Efisiensi Relatif Penduga . . . 54
3.3.3 Efisiensi dan Pertaksamaan Rao-Cram`er . . . 55
3.3.4 Kekonsistenan . . . 63
3.4 Penduga Selang . . . 66
3.4.1 Selang Kepercayaan Beda Dua Nilai Tengah . . . 70
3.4.2 Selang Kepercayaan Nisbah Dua Ragam . . . 71
3.5 Latihan . . . 73
4 Kecukupan 76 4.1 Statistik Cukup . . . 76
4.2 Kelengkapan dan Kekhasan . . . 83
4.3 Kelas Eksponen . . . 87
4.4 Latihan . . . 93
5 Pendugaan Bayes 94 5.1 Prinsip Minimax . . . 94
5.2 Sebaran Prior dan Posterior . . . 96
5.3 Metode Pendugaan Bayes . . . 98
5.4 Latihan . . . 103
6 Pengujian Hipotesis 105 6.1 Uji Paling Kuasa . . . 108
6.2 Uji Selalu Paling Kuasa . . . 111
6.3 Uji Rasio Kemungkinan . . . 113
6.4 Uji Rasio Peluang Bersekuens . . . 120
6.5 Latihan . . . 126
Buku ini disusun berdasarkan perkuliahan Statistika Matematik pada rentang
3
waktu 2014/2015, 2015/2016, 2016/2017, 2017/2018, 2018/2019, yang di-
4
ampu oleh penulis pertama.
5
Mata kuliah Statistika Matematik, merupakan salah satu bagian yang
6
diakui untuk mata uji profesi Persatuan Aktuaris Indonesia (PAI). Sehingga
7
dilengkapi dengan beberapa soal ujian A20 Probabilitas dan Statistika.
8
Pada Lampiran diberikan kumpulan soal ujian A20, terima kasih kepada
9
Dr. Lia Yuliawati, MSi dari STKIP 11 April, Sumedang, yang telah mem-
10
berikan kontribusi pada kumpulan soal tersebut. Serta saudari Grace Agustina,
11
SMat., atas sejumlah catatannya.
12
Hibah PUPT-IPB, ’Pengembangan Perangkat Lunak Berbasis Finite El-
13
ement Method (FEM) untuk Produk Jasa Keuangan dan Asuransi’ dengan
14
kontrak no: 079/SP2H/LT/DRPM/II/2016, secara tidak langsung memberi
15
bantuan pendanaan kepada penulis yunior. Terima kasih kami ucapkan.
16
Terima kasih disampaikan kepada Dr. Ir. IG Putu Purnaba, yang mem-
17
berikan koreksi atas jawaban soal ujian PAI. Dr. Ir. Sri Nurdiati, MSc.,
18
selaku peneliti utama Hibah PUPT-IPB tersebut di atas, yang memberikan
19
kesempatan kepada penulis yunior mengembangkan ilmu aktuaria. Terakhir,
20
kepada Drs. Agah D. Garnadi, Grad. Dip. Sci. yang berulangkali meminta
21
agar naskah ini untuk diterbitkan dalam seri buku: ’Pendidikan Aktuaris In-
22
donesia’, sehingga bisa dimanfaatkan khususnya untuk pendidikan aktuaria
23
di Indonesia.
24
Terima kasih kepada Rianto Ahmadi, PhD., ketua PAI periode 2014-
25
2017, yang sudi memberikan kata sambutan seri buku ’Pendidikan Aktuaris
26
Indonesia’.
27
Bogor, 09 Juni 2019
28
Siswadi
29
Windiani Erliana
30
i
Sebaran Multivariat
32
1.1 Vektor Peubah Acak
33
Definisi 1.1 MisalkanΩadalah ruang contoh suatu percobaan acak. Peubah
34
acak Xi dari percobaan tersebut adalah suatu fungsi bernilai real Xi : Ω →
35
R, i= 1,2, ..., n dengan (X1, X2, ..., Xn) disebut vektor peubah acak dimensi-
36
n.
37
Dalam bab ini, digunakan notasi vektor untuk menyatakan peubah acak X1, X2, ..., Xn. Sebagai contoh, (X1, X2, ..., Xn)0 merupakan vektor kolom X yang memiliki nilai (x1, x2, ..., xn)0,∀xi ∈R.
X = x
(X1, X2, ..., Xn)0 = (x1, x2, ..., xn)0
X1 X2 ... Xn
=
x1 x2 ... xn
1.2 Fungsi Sebaran Bersama
38
Fungsi sebaran bersama bagi vektor peubah acak tersebut didefinisikan se-
39
bagai berikut
40
FX(x) = P (X1 ≤x1, ..., Xn ≤xn).
Jika n peubah acak X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak diskret, maka
41
1
FX(x) = X
w1≤x1,...,w... n≤xn
Xp(w1, ..., wn),
sedangkan jika n peubah acak tersebut adalah peubah acak kontinu, maka FX(x) =
Z
w1≤x1,...,w... n≤xn
Z
f(w1, ..., wn)dw1...dwn,
∂n
∂x1...∂xn
FX(x) = f(x),
dengan fungsi pdan f secara berturut-turut merupakan fungsi massa pelu-
42
ang dan fungsi kepekatan peluang bagi vektor peubah acak x.
43
Contoh 1.1 Misalkan fungsi kepekatan peluang dari peubah acakX1, X2, X3 adalah sebagai berikut
f(x1, x2, x3) = e−(x1+x2+x3) I(0< x1, x2, x3 <∞), maka fungsi sebaran bersama bagi X1, X2, X3 ialah
FX1,X2,X3(x1, x2, x3) = P (X1 ≤x1, X2 ≤x2, X3 ≤x3)
=
x1
R
0 x2
R
0 x3
R
0
e−(x1+x2+x3)dx1dx2dx3
= (1−e−x1) (1−e−x2) (1−e−x3)I(0< x1, x2, x3 <∞).
1.2.1 Fungsi Massa Peluang Marginal
44
Definisi 1.2 MisalkanX1, ..., Xn adalah peubah acak diskret yang menyebar bersama dengan fungsi massa peluang bersama pX1,...,Xn(x1, ..., xn). Fungsi massa peluang marginal dari peubah acak X1 ialah
pX1(x1) = X
x2
...X
xn
pX1,...,Xn(x1, ..., xn).
1.2.2 Fungsi Kepekatan Peluang Marginal
45
Definisi 1.3 Misalkan X1, ..., Xn adalah peubah acak kontinu yang menye- bar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama fX1,...,Xn(x1, ..., xn). Fungsi kepekatan peluang marginal dari peubah acak X1 ialah
fX1(x1) = Z ∞
−∞
...
Z ∞
−∞
fX1,...,Xn(x1, ..., xn)dx2...dxn.
1.3 Nilai Harapan
46
Definisi 1.4 Misalkan Y =u(X1, X2, ..., Xn) adalah fungsi terhadap vektor peubah acak (X1, X2, ..., Xn)0. Jika X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak diskret yang menyebar bersama dengan fungsi massa peluang bersamap(x1, x2, ..., xn), maka nilai harapan dari Y didefinisikan sebagai
E(Y) =X
xn
...X
x1
u(x1, x2, ..., xn)p(x1, x2, ..., xn),
asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. Jika X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang bersama f(x1, x2, ..., xn), maka nilai harapan dari Y didefinisikan sebagai
E(Y) =
∞
Z
−∞
...
∞
Z
−∞
u(x1, x2, ..., xn)f(x1, x2, ..., xn)dx1dx2...dxn asalkan integral di atas konvergen mutlak.
47
Teorema 1.1 Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang terdefinisi dalam ruang peluang yang sama dan k1, k2, ..., km adalah m konstanta bilan- gan real. Jika Yi =u(X1, X2, ..., Xn), i = 1,2, ..., m, adalah fungsi terhadap vektor peubah acak (X1, X2, ..., Xn)0, maka
EXm
i=1kiYi
=Xm
i=1kiE(Yi).
MisalkannWm = (Wij) merupakan matriks peubah acak berukurann×m
48
yang berunsur peubah acak Wij, maka
49
E(W) = (E(Wij))
=
E(W11) E(W12) ... E(W1m) E(W21) E(W22) ... E(W2m)
... ... . .. ... E(Wn1) E(Wn2) ... E(Wnm)
.
Berikut merupakan teorema yang menunjukkan sifat linearitas dari nilai
50
harapan.
51
Teorema 1.2 Misalkan nVm dan nWm masing-masing merupakan matriks
52
peubah acak; kAn, kBn, dan mCp masing-masing merupakan matriks berun-
53
sur konstanta, maka
54
E[AV+BW] = AE[V] +BE[W]
E[AWC] = AE[W]C.
Bukti. MisalAV = n
P
k=1
aikVkj
dan BW= n
P
k=1
bikWkj
, maka
55
E[AV+BW] = E
" n X
k=1
aikVkj +
n
X
k=1
bikWkj
#!
=
n
X
k=1
aikE[Vkj]
! +
n
X
k=1
bikE[Wkj]
!
= AE[V] +BE[W].
Pembuktian E[AWC] =AE[W]Cdigunakan sebagai latihan. z
56
1.4 Kebebasan Vektor Peubah Acak
57
Misalkan peubah acakX1, X2, ..., Xnmemiliki fungsi kepekatan peluang bersama f(x1, x2, ..., xn) dan fungsi kepekatan peluang marginalf1(x1), f2(x2), ..., fn(xn) secara berturut-turut bagix1, ..., xn.Peubah acakX1, X2, ..., Xnsaling bebas jika
f(x1, x2, ..., xn) = f1(x1)f2(x2)...fn(xn),
untuk kasus kontinu. Pada kasus diskret, X1, X2, ..., Xn dikatakan saling bebas jika
p(x1, x2, ..., xn) = p1(x1)p2(x2)...pn(xn). Misalkan X1, X2, ..., Xn saling bebas, maka
58
1. P (a1 < X1 < b1, a2 < X2 < b2, ..., an< Xn < bn)
59
=P (a1 < X1 < b1)P (a2 < X2 < b2)...P (an< Xn < bn)
60
=
n
Q
i=1
P (ai < Xi < bi)
61
2. E n
Q
i=1
u(Xi)
=
n
Q
i=1
E[u(Xi)].
62
3. Fungsi pembangkit momen bagi peubah acakX1, X2, ..., Xndinotasikan dengan MX(t1, t2, ..., tn) dan didefinisikan sebagai berikut
MX(t1, t2, ..., tn) = E[exp (t1X1+t2X2+...+tnXn)]
MX(t) = E[exp (t0X)],∀t∈B ⊂Rn,
dengan B = {t:−hi < ti < hi, i= 1,2, ..., n}. Bagi fungsi sebaran
63
marginal dari peubah acakXi,fungsi pembangkit momen peubah acak
64
Xi didefinisikan sebagaiMX(0,0, ...,0, ti,0, ...,0), i= 1,2, ..., n.
65
Teorema 1.3 Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang saling bebas dan fungsi pembangkit momen bagi Xi ialah MXi(t),∀i = 1, ..., n. Misalkan pula T =
n
P
i=1
kiXi,dengank1, ..., kn suatu konstanta, maka fungsi pembangkit momen bagi T ialah
MT (t) =
n
Y
i=1
MXi(kit),−min
i {hi}< t <min
i {hi}.
Contoh 1.2 MisalkanX1, X2, X3adalah peubah acak saling bebas yang masing- masing memiliki fungsi kepekatan peluang sebagai berikut
f(x) = 2x I(0< x < 1).
Fungsi kepekatan peluang bersama bagi peubah acak tersebut ialah
66
f(x1, x2, x3) = f(x1)f(x2)f(x3)
= 8x1x2x3 I(0< x1, x2, x3 <1). Nilai harapan bagi 5X1(X2)3+ 3X2(X3)4 ialah
1
Z
0 1
Z
0 1
Z
0
5x1(x2)3 + 3x2(x3)4
8x1x2x3 dx1dx2dx3 = 2.
Jika peubah acak saling bebas memiliki sebaran yang sama, maka peubah
67
acak tersebut disebut peubah acak bebas stokastik identik (bsi). Berikut ini
68
merupakan akibat dari Teorema 1.3 untuk peubah acak bsi.
69
Akibat 1.1 Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak bsi dengan fungsi pembangkit peluang MX(t),−h < t < h dengan h > 0. Misalkan pula T =
n
P
i=1
Xi, maka fungsi pembangkit momen bagi T ialah MT (t) = [MX (t)]n,−h < t < h.
1.5 Dekomposisi Spektrum
70
Dari aljabar linear diperoleh bahwa suatu matriks dapat didekomposisikan atau diuraikan menjadi perkalian beberapa matriks. Khususnya bagi matriks
Σ yang merupakan matriks n×n, simetrik, dan semi-definit positif, maka dekomposisi spektrum dari Σialah sebagai berikut
Σ=Γ0ΛΓ, di mana Λ merupakan matriks diagonal,
Λ=diag(λ1, λ2, ..., λn),
λ1 ≥ λ2 ≥ ... ≥ λn ≥ 0 merupakan nilai eigen dari Σ, dan kolom-kolom
71
matriks Γ0 ialah v1, v2, ..., vn yang merupakan vektor eigen padanannya
72
yang ortonormal. Nilai eigen tersebut tidak perlu ditata dari yang terbesar
73
ke yang terkecil. Untuk analisis multivariat, tataan ini kita perlukan terkait
74
dengan tataan ragam atau pentingnya peubah baru. Matriks Γ merupakan
75
matriks ortogonal di mana Γ0Γ = ΓΓ0 = I. Matriks Γ tidak bersifat khas,
76
karena vektor eigen suatu matriks (walaupun dipilih yang merupakan vektor
77
satuan) tidak bersifat khas.
78
Penulisan dekomposisi tersebut dapat dituliskan dalam bentuk lain, yaitu Σ=Γ0ΛΓ =
n
X
i=1
λiviv0i.
Secara intuisi, pendekatan matriks dengan matriks lain (misalnya yang berper- ingkat lebih rendah) dapat diperoleh dengan membuang beberapa matriks terakhir yang terkait dengan nilai eigen yang kecil. Karena nilai eigen dari matriks semi-definit positif selalu ≥ 0, maka matriks Σ dapat ditulis dalam bentuk lain, yaitu
Σ=Σ12Σ12 = Σ122
, di mana Σ12 = Γ0Λ12Γ dengan Λ12 = diag √
λ1,√
λ2, . . . ,√ λn
. Misalkan Σ merupakan matriks yang definit positif, yang berarti nilai eigennya selalu positif, maka
Σ12−1
=Σ−12 =Γ0Λ−12Γ dengan
Λ−12 = diag 1
√λ1, 1
√λ2, . . . , 1
√λn
.
Contoh 1.3 Tentukan dekomposisi spektrum dari matriks berikut
Σ=
3 0 −1
0 4 0
−1 0 3
. Tentukan pula Σ12 dan Σ−12.
79
Jawab. Berikut merupakan polinom karakteristik dari matriks Σ:
80
|Σ−λI| =
3−λ 0 −1
0 4−λ 0
−1 0 3−λ
= (−1)2+2(4−λ)
3−λ −1
−1 3−λ
= (4−λ)
(3−λ)2−1
= (4−λ) (3−λ+ 1) (3−λ−1)
= (4−λ)2(2−λ), sehingga nilai eigen dari matriks tersebut ialah
λ1 =λ2 = 4, λ3 = 2,
dan vektor-vektor eigen yang berpadanan dengan nilai eigen tersebut ialah v1 =
0 1 0
, v2 =
−1 0 1
, dan v3 =
1 0 1
.
Vektor-vektor ortonormal dari v1,v2, dan v3 tersebut secara berturut-turut ialah
w1 =
0 1 0
, w2 = 1
√2
−1 0 1
, dan w3 = 1
√2
1 0 1
, sehingga matriks Λ dan Γ0 ialah sebagai berikut
Λ=
4 0 0 0 4 0 0 0 2
, Γ0 =
0 √−12 √12
1 0 0
0 √12 √12
. Jadi, dekomposisi spektrum dari matriks Σialah
81
Σ = Γ0Λ1/2 Γ
3 0 −1
0 4 0
−1 0 3
=
0 −1√
2
√1 2
1 0 0
0 √1
2
√1 2
4 0 0 0 4 0 0 0 2
0 1 0
−1√
2 0 √1
1 2
√
2 0 √1
2
.
Selanjutnya, berikut merupakan matriks Σ1/2 dan Σ−1/2.
82
Σ1/2 = Γ0Λ1/2 Γ
=
0 −1√
2
√1 2
1 0 0
0 √1
2
√1 2
2 0 0 0 2 0 0 0 √ 2
0 1 0
√−1
2 0 √1
1 2
√
2 0 √1
2
=
1 2
√2 + 1
0 12√ 2−1
0 2 0
1 2
√2−1
0 12√ 2 + 1
. Σ−1/2 = Γ0Λ−1/2 Γ
=
0 −1√2 √12
1 0 0
0 √12 √12
1
2 0 0
0 12 0 0 0 √1
2
0 1 0
√−1
2 0 √1
1 2
√2 0 √12
=
1 4
√2 + 14
0 14√ 2−14
0 12 0
1 4
√2− 14
0 14√ 2 + 14
.
z
83
1.6 Matriks Koragam
84
Misalkan Xi dan Xj masing-masing merupakan peubah acak ke-i dan ke-j dengan nilai harapan E[Xi] = µi dan E[Xj] = µj , serta koragam σij = E([Xi−µi][Xj−µj]). Bila X = (X1, X2, ..., Xn)0 adalah suatu vektor dari n peubah acak, maka
E(X) =
µ1 µ2 ... µn
,
dan matriks koragam (covariance matrix) vektor peubah acak X ialah
85
Cov(X) = E [X−µ] [X−µ]0
=
E([X1−µ1] [X1−µ1]) ... E([X1−µ1] [Xm−µm]) E([X2−µ2] [X1−µ1]) ... E([X2−µ2] [Xm−µm])
... . .. ...
E([Xn−µn] [X1−µ1]) ... E([Xn−µn] [Xm−µm])
=
σ11 σ12 ... σ1m σ21 σ22 ... σ2m ... ... . .. ... σn1 σn2 ... σnm
. (1.1)
Misalkanaadalah vektor berunsur konstanta yang berukurann×1.Misalkan
86
pula Y = a0X adalah peubah acak, maka Y memiliki ragam bernilai non-
87
negatif, yaitu 0 ≤ V ar(Y) = V ar(a0X) = a0Cov(X)a. Dengan demikian,
88
matriks koragam pada 1.1 merupakan matriks semi-definit positif.
89
Secara umum, kita dapat mendefinisikan matriks koragam antara vektor
90
p-peubah acak X = (X1, X2, ..., Xp)0 dengan vektor q-peubah acak Y =
91
(Y1, Y2, ..., Yq)0 sebagai
92
Cov(X,Y) = E [X−E(X)] [Y−E(Y)]0
=
E([X1−E(X1)] [Y1−E(Y1)]) ... E([X1−E(X1)] [Yq−E(Yq)]) E([X2−E(X2)] [Y1−E(Y1)]) ... E([X2−E(X2)] [Yq−E(Yq)])
... . .. ...
E([Xp−E(Xp)] [Y1−E(Y1)]) ... E([Xp−E(Xp)] [Yq−E(Yq)])
,
sehingga Cov(X) merupakan Cov(X,X). Selanjutnya, misalkan X dan Y
93
merupakan vektor peubah acak dengan vektor nilai harapan µX dan µY,
94
maka
95
ΣX,Y = Cov(X,Y)
= E [X−E(X)] [Y−E(Y)]0
= E(XY0)−E(X) [E(Y)]0
= E(XY0)−µXµ0Y, sehingga
96
ΣX = ΣX,X
= E(XX0)−µXµ0X.
Bila A dan B merupakan matriks konstanta, maka E(AX) = AµX dan
97
E(BY) = BµY, serta
98
Cov(AX,BY) = ΣAX,BY
= E [AX−E(AX)] [BY−E(BY)]0
= E [AX−AE(X)] [BY−BE(Y)]0
= E [AX−AµX] [BY−BµY]0
= E [A(X−µX)] [B(Y−µY)]0
= E A(X−µX) (Y−µY)0B0
= AE (X−µX) (Y−µY)0 B0
= AΣX,YB0, sehingga
Cov(AX) =ΣAX =AΣXA0. Misalkan pula
99
V = AX+δ W = BY+η
dengan δ dan η merupakan vektor berunsur konstanta, maka
100
E(V) = AµX+δ, E(W) = BµY+η, Cov(V,W) = AΣX,YB0, sehingga
Cov(V) =AΣXA0.
Contoh 1.4 MisalkanX= [X, Y, Z]0 merupakan vektor peubah acak dengan E(X) = [1,4,−6]0 dan matriks koragam
Σ =
3 2 1 2 2 1 1 1 3
.
Tentukan nilai harapan serta matriks koragam dari peubah acak T dan W
101
jika
102
T = 2X−Y + 3Z+ 1, W=
X−Y + 2Z+ 2 2X+ 4Y −Z + 3
.
Jawab. Peubah acak T dan W dapat dinyatakan sebagai suatu vektor,
103
yaitu
104
T = 2X−Y + 3Z+ 1 = [ 2,−1,3]X+1, W =
X−Y + 2Z 2X+ 4Y −Z
=
1 −1 2
2 4 −1
X+
2 3
.
Selanjutnya, menentukan nilai harapan dan matriks koragam bagi masing-
105
masing peubah acak.
106
E(T) = [ 2,−1,3]E(X) + 1
= [ 2,−1,3]
1 4
−6
+ 1
= −20 + 1
= −19 ΣT = [ 2,−1,3]
3 2 1 2 2 1 1 1 3
2
−1 3
= 39 E(W) =
1 −1 2
2 4 −1
E(X) + 2
3
=
1 −1 2
2 4 −1
1 4
−6
+ 2
3
= 15
24
+ 2
3
= 17
27
ΣW =
1 −1 2
2 4 −1
3 2 1 2 2 1 1 1 3
1 2
−1 4 2 −1
=
13 8 8 67
.
z
107
Contoh 1.5 Misalkan X= (X1, X2, X3)0, Y = (Y1, Y2, Y3, Y4)0, dan
Cov(X,Y) =
1 3 −2 5
−1 2 4 6
2 1 0 7
. Tentukan :
108
1. Cov(X1+ 2X2−3X3 + 1, 2Y1+Y2+ 4Y3−5Y4+ 2).
109
2. Cov(V,W) jika
V =
X1+ 2X2−3X3+ 3 4X1−2X2+ 3X3+ 4
dan W=
Y1−2Y2+ 3Y3−5Y4+ 7 2Y1+Y2−4Y3−Y4 Y1+Y2−6Y3+ 2Y4
. 1. MisalkanU =X1+ 2X2−3X3+ 1 dan Z = 2Y1+Y2+ 4Y3−5Y4+ 2,
maka U = [1,2,−3]X+ 1 danZ = [2,1,4,−5]Y+ 2.
Cov(U ,Z) = (1,2,−3)
1 3 −2 5
−1 2 4 6
2 1 0 7
2 1 4
−5
= 34.
110
2. V =
1 2 −3 4 −2 1
X+
3 4
, W=
1 −2 3 −5
2 1 −4 −1
1 1 −6 2
Y+
7 0 0
.
111
Cov(V,W) =
1 2 −3 4 −2 1
1 3 −2 5
−1 2 4 6
2 1 0 7
1 2 1
−2 1 1
3 −4 −6
−5 −1 2
=
23 −30 −47
−133 74 143
.
112
1.7 Sebaran Normal Multivariat
113
Pada subbab ini dibahas sebaran normal multivariat untuk vektor peubah
114
acak dimensi-n. Misalkan vektor peubah acakZ = (Z1, ..., Zn)0dengan Z1, ..., Zn
115
merupakan peubah acak bebas stokastik identik yang memiliki sebaran nor-
116
mal baku, Zi ∼N(0,1), i= 1, ..., n. Fungsi kepekatan peluang bagiZ ialah
117
fZ(z) =
n
Y
i=1
√1
2π exp
−1 2zi2
= 1
2π n2
exp (
−1 2
n
X
i=1
zi2 )
= 1
2π n2
exp
−1 2z0z
,z∈Rn.
Karena E(Zi) = 0, V ar(Zi) = 1,dan Cov(Zi, Zj) = 0 untuk ∀i6=j, maka
118
1. E(Z) = 0,
119
2. Cov(Z) =ΣZ=E [Z−E(Z)] [Z−E(Z)]0
120
=
V ar(Z1) 0 · · · 0 0 V ar(Z1) · · · 0 ... ... . .. ... 0 0 · · · V ar(Zn)
121
=
1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 ... ... . .. ...
0 0 · · · 1
122
=In,
123
dengan In adalah matriks identitas berukuran n×n.
124
Selanjutnya, karena peubah acak Zi bebas stokastik identik, maka fungsi
125
pembangkit momen bagi Z ialah
126
MZ(t) = E[exp{t0Z}]
= E
" n Y
i=1
exp{tiZi}
#
=
n
Y
i=1
E[exp{tiZi}]
=
n
Y
i=1
MZ(ti)
=
n
Y
i=1
exp 1
2t2i
= exp (1
2
n
X
i=1
t2i )
= exp 1
2t0t
,∀t∈Rn.
Dengan demikian, vektor peubah acakZdikatakan memiliki sebaran normal
127
multivariat dengan vektor nilai harapan 0 dan matriks koragam In yang
128
dinotasikan dengan Z∼Nn(0,In).
129
Misalkan Z memiliki sebaran Nn(0,In). Misalkan pula Σ merupakan
130
matriks simetrik dan semi-definit positif, serta µ adalah vektor berunsur
131
konstanta. Definisikan suatu vektor peubah acak X sebagai berikut
132
X =Σ12Z+µ, (1.2)
maka diperoleh
E(X) = µdan Cov(X) =Σ12Σ12 =Σ.
Kemudian, fungsi pembangkit momen bagi X ialah
133
MX(t) = E[exp{t0X}]
= Eh expn
t0Σ12Z+t0µoi
= exp{t0µ}Eh expn
t0Σ12Zoi
= exp{t0µ}exp 1
2
Σ12t0
Σ12t
= exp{t0µ}exp 1
2t0Σt
= exp
t0µ+1 2t0Σt
.
Definisi 1.5 (Normal Multivariat) Vektor peubah acak X memiliki sebaran normal multivariat atau X ∼ Nn(µ,Σ) jika X memiliki fungsi pembangkit momen sebagai berikut
MX(t) = exp
t0µ+1 2t0Σt
,
untuk setiap t∈Rn danΣ merupakan matriks simetrik, semi-definit positif,
134
serta µ∈Rn.
135
Jika Σ merupakan matriks definit positif, maka matriks Σ12 memiliki invers, sehingga transformasi satu-satu antara peubah acak X dan Z pada persamaan 1.2
Z =Σ−12 (X−µ) dengan Jacobi
Σ−1/2
= |Σ|−1/2 menghasilkan fungsi kepekatan peluang bagi X, yaitu
fX(x) = 1
(2π)n/2|Σ|1/2 exp
−1
2(x−µ)0Σ−1(x−µ)
,x∈Rn.
Teorema 1.4 Misalkan X ∼ Nn(µ,Σ). Misal Y = AX +b dengan A
136
adalah matriks berukuranm×ndanb∈Rm, makaY ∼Nm(Aµ+b,AΣA0).
137
Bukti. ∀t∈Rm, fungsi pembangkit momen bagi Y ialah
138
MY(t) = E[exp{t0Y}]
= E[exp{t0(AX+b)}]
= exp{t0b}E exp
(A0t)0X
= exp{t0b}exp
(A0t)0µ+1
2(A0t)0Σ(A0t)
= exp
t0(Aµ+b) + 1
2t0AΣA0t
,
di mana fungsi pembangkit momen tersebut adalah fungsi pembangkit mo-
139
men bagi sebaran Nm(Aµ+b,AΣA0). z
140
MisalkanX1 merupakan subvektor berdimensim < n dari vektor peubah
141
acak X, maka X dapat dituliskan menjadi
142
X= X1
X2
, (1.3)
dengan X2 merupakan vektor berdimensi p = n−m. Karena X dipartisi
143
seperti pada persamaan 1.3, maka nilai harapan dan matriks koragam dari
144
X juga dapat dipartisi sebagai berikut
145
µ= µ1
µ2
dan Σ=
Σ11 Σ12 Σ21 Σ22
, (1.4)
dengan Σ11 merupakan matriks koragam bagi X1 dan Σ12merupakan ma- triks koragam antara X1 dan X2. Kemudian, definisikan matriks A sebagai berikut
A=h
Im ... Omp i
,
di manaOmp merupakan matriks nolm×p,makaX1 =AX.Dengan meng-
146
gunakan Teorema 1.4 pada transformasi tersebut, diperoleh akibat sebagai
147
berikut:
148
Akibat 1.2 Misalkan X ∼Nn(µ,Σ). Jika X1 merupakan subvektor berdi-
149
mensi m < n dari vektor peubah acak X (persamaan 1.3), maka X1 ∼
150
Nn(µ1,Σ11).
151
Akibat 1.2 dapat digunakan untuk mencari sebaran marginal dari peubah
152
acak normal multivariat.
153
Teorema 1.5 Misalkan X ∼ Nn(µ,Σ) dan X dipartisi seperti pada per-
154
samaan 1.3 dan 1.4. X1 dan X2 saling bebas jika dan hanya jikaΣ12=O.
155
Bukti. Disediakan untuk latihan. z
156
Teorema 1.6 Misalkan X ∼ Nn(µ,Σ) dan X dipartisi seperti pada per- samaan 1.3 dan 1.4. Asumsikan bahwa Σ adalah matriks definit positif, maka sebaran bersyarat dari X1|X2 ialah
Nm µ1+Σ12Σ−122 (X2−µ2),Σ11−Σ12Σ−122Σ21 .
Bukti. Perhatikan vektor peubah acak W =X1−Σ12Σ−122X2 dan X2,
maka
W X2
=
Im −Σ12Σ−122 O Ip
X1 X2
.
Berdasarkan Teorema 1.4, E(W) =µ1−Σ12Σ−122µ2, E(X2) =µ2, dan ma-
157
triks koragam
158
Im −Σ12Σ−122 O Ip
Σ11 Σ12 Σ21 Σ22
Im O
−Σ12Σ−122 Ip
=
Σ11−Σ12Σ−122Σ21 O
O Σ22
.
Dengan demikian, berdasarkan Teorema 1.5, vektor peubah acak Wdan X2 saling bebas. Karena saling bebas, sebaran bersyarat W|X2 sama dengan sebaran marginal dari W∼Nm µ1−Σ12Σ−122µ2,Σ11−Σ12Σ−122Σ21
. Aki- batnya,
X1|X2 ∼Nm µ1−Σ12Σ−122µ2+Σ12Σ−122X2,Σ11−Σ12Σ−122Σ21 , atau
W+Σ12Σ−122X2
|X2 ∼Nm µ1−Σ12Σ−122µ2+Σ12Σ−122X2,Σ11−Σ12Σ−122Σ21 . z
159
Contoh 1.6 Misalkan dalam suatu populasi, bobot badan dan tinggi badan
160
pria memiliki sebaran normal bivariat. Jika diketahui bahwa rata-rata dan
161
ragam dari bobot badan pria secara berturut-turut sebesar 60 kg dan 25 kg2,
162
kemudian rata-rata dan ragam dari tinggi badannya secara berturut-turut
163
sebesar 165 cm dan 100 cm2, serta besar korelasi antara bobot badan dan
164
tinggi badan sebesar 0.6, maka tentukan :
165
a. P (160< Y <175),
166
b. P (160< Y <175|X = 65),
167
dengan X dan Y secara berturut-turut menyatakan bobot badan dan
168
tinggi badan pria.
169
Jawab.
170
a. P (160< Y <175)
171
P (160< Y < 175) = P
160−µy
σy < Y −µy
σy < 175−µy σy
= P
160−165
10 < Z < 175−165 10
= P (−0.5< Z <1)
= Φ (1)−Φ (−0.5)
= Φ (1)−[1−Φ (0.5)]
= 0.8413−[1−0.6915]
= 0.5328.
b. P (160< Y <175|X = 65) Y
X
∼N2
µy µx
,
σ11 σ12 σ21 σ22
catatan: σy2 =σ11, σx2 =σ22, dan σ12=σ21=ρσxσy.
172
Berdasarkan Teorema 1.6,
173
Y|X ∼ N2
µy+ σ12
σ22(x−µx), σ11− σ12 σ22σ21
∼ N2
µy+ ρσxσy
σx2 (x−µx), σy2−ρσxσy
σ2x (ρσxσy)
∼ N2
µy+ρσy
σx (x−µx), σy2 1−ρ2
E(Y|x= 65) = 165 + 0.6 10
5
(65−60) = 171 V ar(Y|x= 65) = 100 (1−0.36) = 64.
Jadi,
174
P (160< Y <175|X = 65) = P
160−171
8 < Z < 175−171 8
= Φ (0.5)−Φ (−1.375)
= Φ (0.5)−[1−Φ (1.375)]
= 0.6915−[1−0.9154]
= 0.6069.
z
175
1.8 Latihan
176
1. MisalkanX, Y, dan Z adalah tiga peubah acak diskret yang menyebar bersama dengan fungsi massa peluang
pX,Y,Z(x, y, z) = c(x+y+z) I(x= 1,2; y = 1,2; z = 1,3) a. Tentukan nilai c.
177
b. Tentukan fungsi massa peluang marginal pX,Y (x, y) dan pX(x).
178
c. Tentukan E(X+Y +Z).
179
2. MisalkanX, Y,danZ adalah tiga peubah acak kontinu yang menyebar bersama dengan fungsi kepekatan peluang
fX,Y,Z(x, y, z) = cxyz I(0≤x≤ y≤z ≤2) a. Tentukan nilai c.
180
b. Tentukan fungsi kepekatan peluang marginal fX,Y (x, y) dan fX (x).
181
c. Tentukan E(XY +Z).
182
3. Misalkan X dan Y memiliki sebaran normal bivariat dengan µx = 3,
183
µy = 1, σx2 = 16, σy2 = 25, dan ρ= 35. Tentukan:
184
a. P(3< Y <8).
185
b. P(3< Y <8|X = 7).
186
c. P(−3< X <3).
187
d. P(−3< X <3|X =−4).
188
4. Misalkan X∼N2(µ,Σ). Tentukan sebaran dari vektor peubah acak
189
(X1+X2, X1 −X2) serta tunjukkan bahwa peubah acak X1+X2 dan
190
X1−X2 saling bebas jika V ar(X1) =V ar(X2).
191
5. Misalkan X = (X1, X2, X3)0 memiliki sebaran N3(µ,Σ) di mana µ= (3,2,1)0, dan
Σ=
5 −1 2
−1 2 1
2 1 3
a. Tentukanlah sebaran dari vektor peubah acak (X1−X2 + 1,2X2+ 3X3−4)0,
serta berikanlah korelasi dari kedua peubah acak tersebut.
192
b. Carilah P (X1 > X2−2X3+ 3).
193
c. Carilah P (X1−X2−X3)2 >10 .
194
6. Buktikan bahwaX1 danX2 saling bebas jika dan hanya jikaΣ12=O,
195
di mana X ∼ Nn(µ,Σ) dan X dipartisi seperti pada persamaan 1.3
196
dan 1.4.
197
Beberapa Sebaran Kontinu
199
2.1 Sebaran Gamma
200
Definisi 2.1 Fungsi Gamma yang dinotasikan Γ (α) didefinisikan sebagai Γ (α) =
Z ∞ 0
yα−1e−ydy dengan α >0.
201
Jikaα = 1, maka
Γ (1) = Z ∞
0
e−ydy= 1.
Jika α >1, maka dengan menggunakan teknik integral parsial diperoleh
202
Γ (α) = (α−1) Z ∞
0
yα−2e−ydy
= (α−1) Γ (α−1).
Oleh karena itu, jika α adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1,
203
maka
204
Γ (α) = (α−1) (α−2)...(3) (2) (1) Γ (1)
= (α−1)!.
Misalkan suatu variabel baruy=x/β di mana β >0, maka Γ (α) =
Z ∞ 0
x β
α−1 e−x/β
1 β
dx 21
atau ekuivalen dengan 1 =
Z ∞ 0
1
Γ (α)βαxα−1e−x/βdx.
Karena α >0, β > 0,dan Γ (α)>0, maka f(x) = 1
Γ (α)βαxα−1e−x/βI(x >0)
merupakan fungsi kepekatan peluang dari suatu peubah acak kontinu. Peubah
205
acak X yang memiliki fungsi kepekatan peluang tersebut disebut memiliki
206
sebaran gamma dengan parameter α dan β, dinotasikan Γ (α, β).
207
Berikut merupakan ilustrasi dari sebaran gamma apabila salah satu pa-
208
rameternya dibuat tetap. Gambar 1 merupakan sebaran gamma dengan pa-
209
rameterβtetap, yaituβ = 2 dan parameterαyang berbeda, yaituα = 1,2,4.
210
211
Selanjutnya, Gambar 2 merupakan sebaran gamma dengan parameter α
212
tetap, yaitu α= 2 dan parameter β yang berbeda, yaitu β = 0.5,1,1.5.
213
214
Fungsi pembangkit momen bagi peubah acak X yang menyebar gamma
215
ialah
216
MX(t) = Z ∞
0
etx 1
Γ (α)βαxα−1e−x/βdx
= Z ∞
0
1
Γ (α)βαxα−1e−x(1−βt)/βdx
= 1
Γ (α)βα ×Γ (α)× β
1−βt α
= 1
(1−βt)α, t < 1 β. Selanjutnya,
M0(t) = (−α) (1−βt)−α−1(−β) dan
M00(t) = (−α) (−α−1) (1−βt)−α−2(−β)2.
Dengan demikian, sebaran gamma memiliki nilai harapan dan ragam sebagai berikut
E(X) = M0(0) =αβ dan
217
V ar(X) = M00(0)−[E(X)]2
= α(α+ 1)β2−α2β2
= αβ2.
Teorema 2.1 Misalkan X1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang saling bebas
218
di mana Xi ∼ Γ (αi, β) untuk i = 1,2, ..., n. Misalkan pula Y = Pn i=1Xi,
219
maka Y ∼Γ (Pn
i=1αi, β).
220
Bukti. Dengan menggunakan asumsi kebebasan dan fungsi pembangkit
221
momen dari sebaran gamma, diperoleh
222
MY (t) = E
"
exp (
t
n
X
i=1
Xi )#
=
n
Y
i=1
E[exp{tXi}]
=
n
Y
i=1
(1−βt)−αi
= (1−βt)−Pni=1αi (2.1) untuk t < 1/β. Persamaan 2.1 merupakan fungsi pembangkit momen dari
223
sebaran Γ (Pn
i=1αi, β). z
224
2.2 Sebaran Khi-Kuadrat
225
Sebaran khi-kuadrat merupakan kasus khusus dari sebaran gamma, yaitu jika parameter α = 2r dan β = 2 di mana r adalah bilangan bulat positif. Nilai harapan dan ragam dari sebaran khi-kuadrat ialah
E(X) = αβ =r 2
×2 = r dan
V ar(X) =αβ2 =r 2
×22 = 2r.
Jadi, fungsi kepekatan peluang bagi peubah acak kontinu X yang memiliki sebaran khi kuadrat dengan parameter r, dinotasikan dengan X ∼ χ2(r), ialah
f(x) = 1
Γ (r/2) 2r/2xr/2−1e−x/2I(x >0),
di mana parameterrdisebut sebagai derajat bebas dari sebaranχ2(r).Gam-
226
bar fungsi kepekatan peluang untuk r = 2, r = 4, dan r= 8 diberikan pada
227
Gambar 1.
228
Teorema 2.2 Misalkan X memiliki sebaran χ2(r). Jika k > −r/2, maka nilai harapan dari Xk ada dan
E Xk
= 2kΓ r2 +k Γ 2r . Bukti.
229
E Xk
= Z ∞
0
1
Γ (r/2) 2r/2x(r/2)+k−1e−x/2dx
= 1
Γ (r/2) 2r/2 ×Γr 2+k
×2r/2+k
= 2kΓ r2 +k Γ (r/2) .
z
230
Akibat 2.1 MisalkanX1, X2, ..., Xn adalah peubah acak yang saling bebas di
231
mana Xi ∼ χ2(ri) untuk i = 1,2, ..., n. Misalkan pula Y = Pn
i=1Xi, maka
232
Y ∼χ2(Pn i=1ri).
233
Bukti. Karena sebaran khi-kuadrat dengan derajat bebas r merupakan kasus khusus dari sebaran gamma yang memiliki parameterα= r2 danβ = 2, maka fungsi pembangkit momen bagi sebaran khi-kuadrat ialah
M(t) = (1−βt)−α= (1−2t)−r/2.
Dengan menggunakan asumsi kebebasan dan fungsi pembangkit momen dari
234
sebaran khi-kuadrat, diperoleh
235
MY (t) = E
"
exp (
t
n
X
i=1
Xi )#
=
n
Y
i=1
E[exp{tXi}]
=
n
Y
i=1
(1−2t)−ri/2
= (1−2t)−12
Pn i=1ri
(2.2) untuk t < 1/2. Persamaan 2.2 merupakan fungsi pembangkit momen dari
236
sebaran χ2(Pn
i=1ri). z
237
