BAB 2 ALJABAR MATRIKS UNTUK STATISTIKA

(1)

BAB 2

ALJABAR MATRIKS UNTUK

STATISTIKA

Analisis data, khususnya estimasi parameter dalam regresi multi-variat, banyak melibatkan operasi matriks. Dalam bab ini akan diba-has teori matriks yang banyak terkait dengan statistika.

Kompetensi

Setelah membaca bab ini, pembaca diharapkan memahami aljabar matriks, turunan yang berkaitan dengan matriks serta menggunakan-nya dalam statistika, khususmenggunakan-nya dalam analisis regresi.

(2)

2.1 Materi

1. Deﬁnisi dan jenis matriks 2. Operasi matriks

3. Kebergantungan linier

4. Bentuk kuadrat dan turunannya 5. Aplikasi R untuk matriks

2.2 Defenisi dan Jenis Matriks

Deﬁnisi 2.1. Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang.

Matriks biasanya dinotasikan dengan huruf besar tebal, misalnya

A, B, sedangkan unsur-unsurnya bisa berupa bilangan atau huruf

kecil. Banyaknya baris dan kolom matriks disebut ordo matriks ma-triks. Matriks yang memiliki n baris dan m kolom,dikatakan berordo

n× m dan dinotasikan dengan A_n×m = [aij]. Dalam hal ini, aij adalah unsur yang berada pada baris ke i dan kolom ke j dengan

i = 1, 2,· · · , n dan j = 1, 2, 3, · · · , m.

Contoh 2.1. Matriks A berikut adalah matriks yang berordo 4 ×3;

A= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 4 5 1 3 6 7 10 20 5 7 2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

Beberapa matriks khusus yang banyak digunakan dalam statistika diantaranya adalah matriks bujur sangkar, matriks diagonal, matriks

(3)

2.2. DEFENISI DAN JENIS MATRIKS 53

skalar dan matriks simetrik. Deﬁnisi formal masing- masing jenis matriks tersebut dapat dilihat pada buku-buku teks standar yang membahas matriks.

Deﬁnisi 2.2. Matriks bujur sangkar (square matrix), adalah matriks

dengan banyak barisnya sama dengan banyak kolomnya, yaitu n = m.

Pada matriks bujur sangkar, unsur unsur yang berada pada baris dan kolom dengan nomor sama disebut diagonal utama (yaitu:

aii, i = 1, 2,· · · , n.) Contoh 2.2. B= ⎛ ⎜ ⎝ 3 14 5 11 3 6 7 10 20 ⎞ ⎟ ⎠

Deﬁnisi 2.3. Matriks diagonal adalah matriks yang semua unsurnya, selain unsur-unsur pada diagonal utamanya, adalah nol, yaitu aij = 0 untuk setiap i= j. Contoh 2.3. D= ⎛ ⎜ ⎝ 3 0 0 0 0 0 0 0 2 ⎞ ⎟ ⎠

Deﬁnisi 2.4. Matriks skalar adalah matriks diagonal yang semua unsurnya sama, tetapi tidak sama dengan 0.

Contoh 2.4. C= ⎛ ⎜ ⎝ 3 0 0 0 3 0 0 0 3 ⎞ ⎟ ⎠

Deﬁnisi 2.5. Matriks identitas I adalah matriks skalar yang semua unsurnya 1

(4)

Contoh 2.5. I= ⎛ ⎜ ⎝ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ⎞ ⎟ ⎠

Deﬁnisi 2.6. Matriks nol (0) adalah matriks yang semua unsurnya adalah 0.

Deﬁnisi 2.7. Matriks simetris adalah matriks yang unsur-unsurnya simetris terhadap diagonal utama, yaitu aij = aji untuk setiap i dan

j. Contoh 2.6. A= ⎛ ⎜ ⎝ 3 1 5 1 2 0 5 0 4 ⎞ ⎟ ⎠ Contoh 2.7.

Dalam statistika, matriks simetris yang banyak ditemukan adalah matriks korelasi (R) dan matriks varians-kovarians atau matriks ragam-koragam(V). R= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 r₁₂ · · · r_1n r₂₁ 1 · · · r_2n .. . ... . .. ... r_n1 r_2n · · · 1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ dan V = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ σ₁2 σ₁₂ · · · σ_1n σ₂₁ σ₂2 · · · σ_2n .. . ... . .. ... σ_n1 σ_2n · · · σ_n2 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Selain matriks-matriks umum di atas, dalam statistika ada yang disebut matriks desain X. Matriks ini merupakan matriks yang meng-hubungkan parameterβ dengan peubah- peubah penjelas Xj. Pada

(5)

2.3. OPERASI MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA 55

umumnya model yang dipergunakan selalu mengandung konstanta sehingga kolom pertama matriks X biasanya beranggotakan 1.

X= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 x₁₁ x₁₂ · · · x_1p 1 x₂₁ x₂₂ · · · x_2p .. . ... . .. ... 1 x_n1 x_n2 · · · xnp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

2.3 Operasi Matriks dan Sifat-sifatnya

Operasi matriks yang penting yang banyak dipergunakan dalam sta-tistika diantaranya adalah operasi uner yaitu: invers dan transpos dan operasi biner yaitu penjumlahan dan perkalian.

2.3.1 Operasi uner

Untuk melakukan operasi uner diperlukan cukup satu matriks. Ope-rasi yang termasuk uner adalah opeOpe-rasi invers baik untuk penjumla-han maupun perkalian dan operasi transpos.

Deﬁnisi 2.8. Invers penjumlahan suatu matriks A ditulis−A, ada-lah matriks yang unsur-unsurnya adaada-lah negatif dari unsur-unsur ma-triks A Contoh 2.8. Jika A = ⎛ ⎜ ⎝ 3 1 5 1 −2 0 5 0 −4 ⎞ ⎟ ⎠ , maka −A = ⎛ ⎜ ⎝ −3 −1 −5 −1 2 0 −5 0 4 ⎞ ⎟ ⎠ .

(6)

Deﬁnisi 2.9. Transpos matriks A (berordo m×n) ditulis AT adalah matriks berordo n× m yang diperoleh dengan menukar baris matriks

Amenjadi kolom dan sebaliknya, yaitu jika B = AT, maka bij = aji.

Contoh 2.9. Jika A = ⎛ ⎜ ⎝ 4 5 1 7 2 4 ⎞ ⎟ ⎠ maka AT= 4 1 2 5 7 4

Hasil 2.1. Jika A adalah matriks simetris, maka A = AT

Deﬁnisi 2.10. Invers perkalian suatu matriks A ditulis A−1, adalah

matriks yang jika dikalikan dengan A menghasilkan matriks identitas yaitu A.A−1= A−1.A = I.

2.3.2 Operasi biner

Dalam operasi matriks secara simbolik kita akan banyak menggu-nakan notasi . dan . Untuk itu dalam subbab ini akan dibahas

secara sepintas kedua notasi tersebut.

Deﬁnisi 2.11.

n

i=1

f (xi) = f (x1) + f (x2) +· · · + f(xi) +· · · + f(xn).

Sifat-sifat operator Sigma diberikan dalam hasil berikut ini.

Hasil 2.2. Sifat- sifat operator Sigma adalah

1. Jika k adalah suatu konstanta, maka

n i=1

(7)

2. Jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam xi

maka n i=1 kf (xi) = k n i=1 f (xi).

3. Jika k₁, k₂ adalah konstanta dan f (xi) = x2i + k1xi+ k2, maka n i=1 f (xi) = n i=1 x2_i + k₁ n i=1 +nk₂. Bukti: 1 n_i=1k = k + k + · · · + k n = nk. 2 n_i=1kf (xi) = kf (x1) + kf (x2) +· · · + kf(xn) = k(f (x₁) + f (x₂) +· · · + f(xn)) = k n i=1 f (xi). 3 n_i=1f (xi) = n i=1 x2_i + k₁xi+ k2 =x2₁+ k₁x₁+ k₂+· · · +x2_n+ k₁xn+ k2 = x2₁+· · · + x2_n+ k₁x₁+· · · + k₁xn+ k2+· · · + k 2 n = n i=1 x2_i + n i=1 k₁xi+ nk2 = n i=1 x2_i + k₁ n i=1 xi+ nk₂.

Untuk lebih meringkas notasi, kadang-kadang jumlah untuk selu-ruh rentangan indeks hanya dinotasikan dengan tanda titik (.) untuk

(8)

indeks tersebut, misalnya xi.= n j=1 xij x.j= m i=1 xij.

Jika operator merupakan penjumlahan yang berulang, maka operator untuk perkalian berulang disebut operator yang dideﬁ-nisikan seperti berikut ini.

Deﬁnisi 2.12.

n i=1

f (xi) = f (x1)× f(x2)× · · · × f(xi)× · · · × f(xn).

Sedangkan sifat-sifat operatordinyatakan dalam hasil berikut.

Hasil 2.3. Sifat- sifat operator adalah: • jika k adalah suatu konstanta, maka

n i=1

k = kn;

• jika k adalah suatu konstanta, dan f adalah fungsi dalam xi

maka n i=1 kf (xi) = kn n i=1 f (xi);

• jika k1, k2 adalah konstanta dan f (xi) = (x2i)(k1xi)(k2), maka n i=1 f (xi) = n i=1 x2_i × kn₁ n i=1 xi× kn₂.

Pembuktian hasildi atas analog dengan pembuktian sifat- sifat operator.

(9)

Penjumlahan Matriks

Matriks yang bisa dijumlahkan (ditambah dan dikurangi) adalah ma-triks yang berdordo sama. Mama-triks yang berordo sama disebut Kon-formabel (conformable terhadap penjumlahan. Penjumlahan matriks dilakukan dengan menjumlahkan unsur unsur yang seletak, yaitu un-sur unun-sur yang terletak pada baris dan kolom yang sama atau yang mempunyai indeks yang sama.

Deﬁnisi 2.13. Jika A = (aij) dan B = (bij) i = 1, 2,· · · , m; j = 1, 2,· · · , n maka A + B adalah matriks C yang berordo m×n dengan unsur unsurnya adalah cij = aij+ bij.

Contoh 2.10. Jika A= ⎛ ⎜ ⎝ 3 5 8 4 6 10 ⎞ ⎟ ⎠ dan B = ⎛ ⎜ ⎝ 6 8 2 4 3 10 ⎞ ⎟ ⎠ , maka A+ B = ⎛ ⎜ ⎝ 3 + 6 5 + 8 8 + 2 4 + 4 6 + 3 10 + 10 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 9 13 10 8 9 20 ⎞ ⎟ ⎠ .

Deﬁnisi 2.14. Selisih dua matriks dideﬁnisikan sebagai jumlah de-ngan negatif matriks pengurang, yaitu A− B = A + (−B).

Hasil 2.4. Sifat- sifat penting dari penjumlahan matriks adalah

A+ B = B + A komutatif

A+ 0 = 0 + A identitas A+ (−A) = 0 invers A+ (B + C) = (A + B) + C assosatif

(10)

Perkalian matriks

Perkalian matriks bisa dilakukan apabila banyaknya kolom matriks terkali sama dengan banyaknya baris matriks pengali. Matriks-matriks yang dapat dikalikan disebut matriks-matriks yang conformable ter-hadap perkalian. Selain perkalian dengan sesama matriks, matriks juga dapat dikalikan dengan skalar.

Deﬁnisi 2.15. Hasil kali suatu matriks dengan suatu skalar adalah matriks yang unsur- unsurnya adalah hasil kali setiap unsur matriks dengan skalar tersebut, yaitu kA = (kaij) .

Contoh 2.11. 3 ⎛ ⎜ ⎝ 3 −2 −6 1 2 0 −5 0 4 ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ 9 −6 −18 3 6 0 −15 0 12 ⎞ ⎟ ⎠ .

Deﬁnisi 2.16. Hasil kali dua matriks adalah matriks yang berordo sedemikian sehingga barisnya sama dengan baris matriks yang dika-likan dan kolomnya sama dengan kolom matriks pengali. Unsur unsur dari matriks pengali merupakan kombinasi linier dari baris matriks terkali dengan kolom dari matriks pengali. Jadi jika A_m×nB_n×p, maka C_m×p= AB dengan c_ik= a_i1b_1k+ a_i2b_2k+· · · + ainbnk = n j=1 aijbjk. Contoh 2.12. Jika A= ⎛ ⎜ ⎝ 3 −2 −6 1 2 0 −5 0 4 ⎞ ⎟ ⎠ dan B = ⎛ ⎜ ⎝ 3 −1 2 5 2 0 0 2 4 ⎞ ⎟ ⎠ ,

(11)

2.3. OPERASI MATRIKS DAN SIFAT-SIFATNYA 61 maka AB adalah = ⎛ ⎜ ⎝ (3)(3) + (−2)(5) + (−6)(0) (3)(−1) + (−2)(2) + (−6)(2) (1)(3) + (2)(5) + (0)(0) (1)(−1) + (2)(2) + (0)(2) (−5)(3) + (0)(5) + (4)(0) (−5)(−1) + (0)(2) + (4)(2) (3)(2) + (−2)(0) + (−6)(4) (1)(2) + (2)(0) + (0)(4) (−5)(2) + (0)(0) + (4)(4) ⎞ ⎟ ⎠ = ⎛ ⎜ ⎝ −1 −19 −18 13 3 2 −15 13 6 ⎞ ⎟ ⎠ .

Hasil 2.5. Sifat-sifat operasi perkalian yang penting di antaranya adalah:

1. nonkomutatif, yaitu secara umum AB= BA; 2. assosiatif, yaitu (AB)C = A(BC);

3. distributif perkalian terhadap penjumlahan, yaitu A(B + C) = AB + AC.

4. distributif transpos terhadap perkalian, yaitu (AB)T= BTAT.

2.3.3 Determinan dan Invers Matriks

Deﬁnisi 2.17. Determinan dari suatu matriks bujur sangkar A, dinotasikan dengan |A| atau det(A), adalah fungsi skalar yang di-deﬁnisikan sedemikian rupa sehingga merupakan jumlah hasil kali

(12)

unsur yang sejajar diagonal utama dikurangi jumlah unsur-unsur yang sejajar diagonal lain. Dalam bentuk notasi

|A| = n i=1 aii+ n i=1 a_i,i+1+· · · + a_1n n−1 i=1 a_i+1,i− n i=1 a_n+1−i,i− · · · − a11 n−1 i=2 a_n+2−i,i.

Deﬁnisi 2.18. Matriks yang determinannya tidak nol disebut ma-triks nonsinguler, sedangkan mama-triks yang determinannya 0 disebut matriks singuler. Contoh 2.13. Jika A = ⎛ ⎜ ⎝ 3 4 1 5 7 6 3 2 5 ⎞ ⎟

⎠ , maka det A adalah

|A| = (3)(7)(5) + (4)(6)(3) + (1)(5)(2) − (3)(7)(1) − (5)(4)(5) − (3)(2)(6)

= 105 + 72 + 10− 21 − 100 − 36 = 187− 157 = 30

Deﬁnisi 2.19. Teras(trace) suatu matriks bujur sangkar adalah jum-lah unsur diagonal utama dari matriks tersebut, yaitu tr(A) =n_i=1aii.

Contoh 2.14. Dari A= ⎛ ⎜ ⎝ −1 −19 −18 13 3 2 −15 13 6 ⎞ ⎟ ⎠ ,

(13)

2.4. KEBERGANTUNGAN LINIER DAN RANK MATRIKS 63

maka tr(A) =−1 + 3 + 6 = 8.

Untuk matriks bujur sangkar beordo 2, cara mencari invers adalah sebagai berikut. Hasil 2.6. Jika A = a c b d , maka • | A |= ac − bd • A−1 ₌ 1 |A| d −c −b a

Contoh 2.15. Bertikut adalahcontoh matriks bujur sangkar berordo 2× 2 dan inversnya A= 1 2 −1 2 , maka A−1 = 1 4 2 −2 1 1 = 1/2 −1/2 1/4 1/4

2.4 Kebergantungan Linier dan Rank Matriks

Dalam statistika pada umumnya kolom-kolom matriks mewakili pe-ubah - pepe-ubah acak yang bisa saling bebas atau tidak saling bebas satu sama lain. Kondisi ini akan mempengaruhi apakah matriks yang akan dihasilkan mempunyai rank penuh atau tidak, apakah matriks yang dihasilkan akan mempunyai invers atau tidak.

Deﬁnisi 2.20. Suatu kolom dari matriks A dikatakan bergantung linier dengan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut.

(14)

Deﬁnisi 2.21. Rank suatu matriks adalah bilangan yang menun-jukkan banyaknya maksimum kolom yang saling bebas linier.

Deﬁnisi 2.22. Suatu matriks dikatakan mempunyai rank penuh jika ranknya sama dengan banyaknya kolom

Hasil 2.7. Suatu matriks bujur sangkar akan nonsingular jika mem-punyai rank penuh, sebaliknya akan singular jika tidak mempuyai rank penuh. Contoh 2.16. Matriks A = ⎛ ⎜ ⎝ 3 4 1 5 7 6 3 2 5 ⎞ ⎟

⎠ adalah matriks nonsingular dengan rank

penuh 3. Tetapi B = ⎛ ⎜ ⎝ 3 4 1 18 7 6 15 2 5 ⎞ ⎟

⎠ tidak mempunyai rank penuh karena kolom pertama merupakan 3× kolom ketiga dan karenanya

B adalah matriks singular dan tidak memiliki invers. Penyelesaian konkrit dari kegergantungan ini dapat dihitung dengan membentuk sistim persamaan homogen antara kolom-kolom matriks dan mencari apakah sistem persamaan homogen tersebut mempunyai atau tidak penyelesaian tidak nol.

Hasil 2.8. Jika matriks Anp bukan matriks bujur sangkar (n < p),

paling tidak ada (p− n) kolom yang dapat dinyatakan sebagai kombi-nasi linier dari kolom lainnya. Dengan demikian maka A tidak akan mempunyai rank penuh.

Contoh 2.17. Matriks A = ⎛ ⎜ ⎝ 3 4 1 1 5 7 6 1 3 2 5 1 ⎞ ⎟

⎠ mempunyai banyak kolom yang lebih besar dari banyaknya baris, karena itu pasti salah satu dari kolom

(15)

2.4. KEBERGANTUNGAN LINIER DAN RANK MATRIKS 65

yang ada dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari yang lain-nya. Secara aljabar hal ini mengandung pengertian bahwa sistim persamaan ak₁+ b + k₂+ ck₃+ dk4 = 0, dengan kj adalah kolom ke

j, mempunyai penyelesaian dimana sekalar a, b, c, d tidak semuanya

sama dengan nol.

3a + 4b + c + d = 0 (1) 5a + 7b + 6c + d = 0 (2) 3a + 2b + 5c + d = 0 (3) Selanjutnya (1)-(3) dan (2)-(3) akan menghasilkan

2b +−4c = 0 (4) 2a + 5b + c = 0 (5)

Persamaan (4) menghasilkan hubungan b = 2c yang dapat disubsti-tusikan ke (5)

2a + 10c + c7 = 0 2a + 11c = 0

a =−11

2 c (7)

Selanjutnya jika (7) disubstitusikan ke persamaan (1) akan meng-hasilkan −33 2 c + 8c + c + d = 0 d = 33 2 c− 9c = 15 2 c

(16)

Jadi sistim persamaan ini mempunyai penyelesaian yang bersifat pa-rametrik, salah satu diantaranya adalah untuk c = 2, maka diperoleh

b = 4, a =−11, d = 15.

Dalam statistika, jika X adalah matriks desain yang kolomnya me-nunjukkan peubah-peubah penjelas dan barisnya merupakan sampel, untuk menjamin agar X mempunyai rank penuh, maka banyaknya sampel selalu diusahakan jauh lebih banyak dari banyaknya peubah penjelas yang menjadi perhatian.

2.5 Bentuk Kuadrat dan Diferensial Matriks

Deﬁnisi 2.23. Misalkan x= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x₁ x₂ x₃ · · · xn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ dan A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ a₁₁ a₁₂ · · · a_n1 a₂₁ a₂₂ · · · a_n2 .. . ... . .. ... a_n1 a_n2 · · · ann ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠, maka Q = xTAx= ⎛ ⎝n i=1 ⎡ ⎣n j=1 xjaij ⎤ ⎦ xi ⎞ ⎠ ; merupakan matriks 1 ×1 (skalar) yang disebut matriks bentuk kuadrat.

Matriks A pada umumnya merupakan matriks simetrik, misal-nya matriks korelasi ataupun matriks ragam - koragammisal-nya. Dalam statistika

Definisi 2.24. Matriks bentuk kuadrat Q disebut definit positif apa-bila Q > 0 untuk setiap x= 0 dan Q = 0 jika dan hanya jika x = 0. Selanjutnya matriks A dari Q disebut matriks positif definit.

(17)

2.5. BENTUK KUADRAT DAN DIFERENSIAL MATRIKS 67

Deﬁnisi 2.25. Matriks bentuk kuadrat Q disebut semi deﬁnit positif apabila Q≥ 0 untuk setiap x = 0 dan Q = 0 paling tidak untuk satu

x = 0. Selanjutnya matriks A dariQ disebut matriks positif semi

deﬁnit.

sering diperlukan turunan suatu matriks terhadap sekelompok pe-ubah dalam satu vektor. Pada dasarnya turunan satu pepe-ubah ter-hadap suatu vektor adalah adalah suatu vektor atau matriks yang unsur-unsurnya adalah turunan peubah pertama terhadap peubah unsur-unsur vektor penurun sedemikain sehingga posisi unsurnya se-suai dengan posisi unsur yang diturukan dan unsur penurun.

Deﬁnisi 2.26. Misalkan x= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x₁ x₂ x₃ .. . xn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ dan g = g(x) maka ∂g ∂x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∂g ∂x1 ∂g ∂x2 ∂g ∂x3 .. . ∂g ∂x_n ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ dan ∂g ∂xT = ∂g ∂x T = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ∂g ∂x1 ∂g ∂x2 ∂g ∂x3 · · · ∂g ∂xn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(18)

Contoh 2.18. Jika g = (2x₁+ 5x₂), dan x = x₁ x₂ , maka ∂g ∂x = 2 5 Contoh 2.19. Jika g= ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ g₁ g₂ g₃ .. . gn ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ , dan x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ x₁ x₂ x₃ .. . xp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ,

maka yang dapat dilakukan adalah ∂g

∂xT yang menghasilkan matriks n× p atau ∂g

T

∂x yang menghasilkan matriks p× n.

∂g ∂xT = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ dg₁/dx₁ dg₁/dx₂ · · · dg₁/dxp dg₂/dx₁ dg₂/dx₂ · · · dg₂/dxp dg₃/dx₁ dg₃/dx₂ · · · dg₃/dxp .. . ... . .. ... dgn/dx1 dgn/dx2 · · · dgn/dxp ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ Contoh 2.20. Misalkan x = x₁ x₂ dan A = 1 2 2 1 maka 1. Ax = x₁+ 2x₂ 2x₁+ x₂ ;

(19)

2. xTAx = x₁(x₁+ 2x₂) + x₂(2x₁+ x₂)

= x2₁+ 4x₁x₂+ x2₂ yang merupakan bentuk kuadrat;

3. ∂Ax ∂xT = ⎛ ⎜ ⎝ ∂(x₁+ 2x₂) ∂x₁ ∂(x₁+ 2x₂) ∂x₂ ∂(2x₁+ x₂) ∂x₁ ∂(2x₁+ x₂) ∂x₂ ⎞ ⎟ ⎠ = 1 2 2 1 = A;

4. Turunan xTAx terhadap x adalah

∂xTAx ∂x = ⎛ ⎜ ⎜ ⎝ ∂(x2₁+ 4x₁x₂+ x2₂) ∂x₁ ∂(x2₁+ 4x₁x₂+ x2₂) ∂x₂ ⎞ ⎟ ⎟ ⎠ = 2x₁+ 4x₂ 4x₁+ 2x₂ = 2 1 2 2 1 x₁ x₂ = 2Ax;

5. Karena xTAx pada dasarnya adalah suatu skalar, maka dapat juga diturunkan terhadap xT.

∂xTAx ∂xT = ∂(x2₁+ 4x₁x₂+ x2₂) ∂x₁ ∂(x2₁+ 4x₁x₂+ x2₂) ∂x₂ = 2x₁+ 4x₂ 4x₁+ 2x₂ = 2 x₁ x₂ ₁ ₂ 2 1 = 2xTA;

6. berdasarkan hasil butir 3 dan 4 di atas maka, maka diperoleh

∂2xTAx ∂xT∂x =

∂2xTAx ∂x∂xT = 2A.

(20)

Hasil 2.9. Misalkan A adalah matriks simetrik berordo n× n dan x adalah vektor baris berordo n, maka

1. ∂xTA ∂x = ∂Ax ∂xT = A 2. ∂x T_Ax ∂x = 2Ax 3. ∂ 2_xT_Ax ∂xT∂x = 2A Contoh 2.21. Misalkan A = 2 1 1 3 , x = x₁ x₂ , sedangkan x₁= 2t₁+ 3t₂ dan x₂ = 3t₁+ t₂, jika t = 2 3 3 1 , maka: 1. x = Bt dan ∂x ∂tT = B; 2. Ax = 2x₁+ x₂ x₁+ 3x₂ = 2(2t₁+ 3t₂) + 3t₁+ t₂ 2t₁+ 3t₂+ 3(3t₁+ t2) , sehingga ∂Ax ∂xT = A dan 3. ∂Ax ∂tT = 7 7 11 6 = 2 1 1 3 2 3 3 1 = AB = ∂Ax ∂xT ∂x ∂tT.

Hasil di atas dapat diperluas pada hasil berikut. Bukti umum dari hasil berikut tidak dibahas dalam buku ini.

Hasil 2.10. Misalkan y adalah vektor peubah yang merupakan fungsi dari x, yaitu merupakan hasil perkalian antara x dengan suatu ma-triks simetrik dan F adalah mama-triks peubah yang merupakan fungsi

(21)

dari y, yaitu hasil kali y dengan suatu matriks simetrik, maka berlaku sifat turunan rantai sebagai berikut:

∂F ∂x = ∂F ∂yT ∂y ∂x atau ∂F ∂x = ∂F ∂y ∂yT ∂x

Contoh 2.22. Misalkan X, Y dan β adalah matriks-matriks sede-mikian sehingga

Q= (Y− Xβ)T (Y− Xβ)

adalah suatu bentuk kuadrat (matriks 1× 1). Tentukan 1. ∂Q/∂β 2. ∂2Q/ (∂βT∂β) Jawab: Q= (Y− Xβ)T (Y− Xβ) =YT − βTXT(Y− Xβ) = YTY− βTXTY−βTXTYT +βTXTXβ

mengingatβTXTYadalah matriks 1×1, maka identik dengan traspos-nya dan persamaan di atas menjadi

Q= YTY− 2βTXTY+βTXTXβ. Maka ∂Q ∂β = 0− 2X T_Y_{+ 2X}T_X_β = 2XTXβ − XTY =−2XTY− XTXβ =−2XT(Y− Xβ) , dan ∂2Q ∂βT∂β = 2X T_X.

(22)

Contoh 2.23. Misalkan X, Y dan β adalah matriks-matriks sede-mikian sehingga

Q= (Y− Xβ)T V−1(Y− Xβ)

adalah suatu bentuk kuadrat (matriks 1× 1), dengan V adalah ma-triks simetrik. Tunjukkan bahwa ∂Q ∂β =−2X T_V−1_(Y_{− Xβ) , dan} ∂2Q ∂βT∂β = 2X T_V−1_X.

2.6 Aplikasi R untuk Operasi Matriks

Untuk aplikasi R tentang matriks dan operasinya, selain menggu-nakan beberapa fungsi yang telah dideﬁnisikan secara internal, pem-baca dapat juga mencari paket/library yang berkaitan dengan ma-triks. Beberapafungsi R terkait matriks diberikan pada Tabel 2.1

2.6.1 Mendeﬁnisikan matriks

Matriks dapat dideﬁnisikan dengan beberapa cara yaitu:

1. memberikan data elemen matriks (c(a11, a21, a31, ..., a21, a22, ...) yang selanjutnya disusun dalam bentuk baris dan kolom. Ingat bahwa R akan melengkapi seluruh baris kolom 1 baru melengkapi kolom 2 dan seterusnya.

>x<-seq(1,10,1) >xmat<-matrix(x,2,5)

(23)

2.6. APLIKASI R UNTUK OPERASI MATRIKS 73

Tabel 2.1: Fungsi R terkait matriks No perintah R Keterangan

1 matrix(c,b,k) menyusun matriks berordo b× k 2 diag(M) menyusun matriks diagonal, atau

mengambildiagonal dari matriks bujur sangkar

3 t(M) transpos matriks M

4 A*B perkalian unsur-unsur pada baris dan kolom yang bersesuaian

5 A%*%B perkalian dua matriks yang konforma-bel

6 solve(M) menghitung inverse matriks M

>ymat<-matrix(x,5,2) >xmat [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1 3 5 7 9 [2,] 2 4 6 8 10 > ymat [,1] [,2] [1,] 1 6 [2,] 2 7 [3,] 3 8 [4,] 4 9 [5,] 5 10

2. menjadikan matriks data yang sudah tersusun dalam bentuk baris dan kolom dengan perintah as.matrix(). Untuk matriks berukuran besar, mungkin tidak praktis mencetak seluruh

(24)

el-emennya, tetapi kita bisa memeriksa dimensi/ordonya dengan dim(). Pada contoh berikut data kecepatan dan jarak tempuh mobil yang berupa tabel dengan 50 baris dan 2 kolom dideﬁ-nisikan menjadi matriks berordo 50×2.

>data(cars) >x<-as.matrix(cars) >dim(x) [1] 50 2 >amat<-x%*%t(x) >bmat<-t(x)%*%x >dim(amat) [1] 50 50 >dim(bmat) [1] 2 2

3. beberapa matriks dideﬁnisikan secara khusus diantaranya ada-lah

(a) matriks dengan elemen yang sama, misalnya k dengan ordo m× n. >matrix(0,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 0 0 0 [2,] 0 0 0 >matrix(1,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 1 1 1 [2,] 1 1 1

(25)

>matrix(5,2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 5 5 5 [2,] 5 5 5

(b) matriks diagonal atau matriks identitas. > diag(1,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 1 0 0 [2,] 0 1 0 [3,] 0 0 1 > diag(2,3) [,1] [,2] [,3] [1,] 2 0 0 [2,] 0 2 0 [3,] 0 0 2 >diag(c(1,2,3,4,5)) [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 1 0 0 0 0 [2,] 0 2 0 0 0 [3,] 0 0 3 0 0 [4,] 0 0 0 4 0 [5,] 0 0 0 0 5

Sebaliknya jika diag() dilakukan pada matrik bujur sangkar, maka fungsi ini akan mengekstrak diagonal matriks tersebut. > diag(bmat)

(26)

speed dist 13228 124903

2.6.2 Operasi Matriks dengan R

Beberapa operasi matriks yang dapat dilakukan yang terkait dengan kebutuhan statistika diantaranya adalah perkalian matriks, determi-nan ((det()) invers dan transpose matriks.

xmat%*%ymat [,1] [,2] [1,] 95 220 [2,] 110 260 > ymat%*%xmat [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [1,] 13 27 41 55 69 [2,] 16 34 52 70 88 [3,] 19 41 63 85 107 [4,] 22 48 74 100 126 [5,] 25 55 85 115 145 >det(xmat%*%ymat) [1] 500 > solve(xmat%*%ymat) [,1] [,2] [1,] 0.52 -0.44 [2,] -0.22 0.19 > det(ymat%*%xmat)

(27)

[1] 0

> solve(ymat%*%xmat) #tes walau kita tahu det=0. Error in ... system is exactly singular

Untukmatriks yang berordo sama, ada kalanya diperlukan hasil per-kalian dari unsur-unsur seletak. Pada R perper-kalian ini dinotasikan dengan A*B. Berikut adalah contoh perkalian tersebut.

> A.mat<-matrix(c(2,3,4,1),2,2) > B.mat<-matrix(c(1,3,2,5),2,2) > A.mat [,1] [,2] [1,] 2 4 [2,] 3 1 > B.mat [,1] [,2] [1,] 1 2 [2,] 3 5 > A.mat*B.mat [,1] [,2] [1,] 2 8 [2,] 9 5 > B.mat*A.mat [,1] [,2] [1,] 2 8 [2,] 9 5

Jadi perkalian tersebut di atas bersifat komutatif (A* B=B*A). Akan tetapi, tidak demikian halnya dengan perkalian umum matriks,

(28)

seperti pada contoh berikut, yang pada umumnya A%*% B= B%*% A > B.mat%*%A.mat [,1] [,2] [1,] 8 6 [2,] 21 17 > A.mat%*%B.mat [,1] [,2] [1,] 14 24 [2,] 6 11

Berikut adalah matriks pada Contoh 2.15 yang dihitung dengan R. > A<-matrix(c(1,-1,2,2),2,2) > print(A) [,1] [,2] [1,] 1 2 [2,] -1 2 > solve(A) [,1] [,2] [1,] 0.50 -0.50 [2,] 0.25 0.25

2.7 Bacaan Lebih Lanjut

Referensi umum mengenai matriks dapat dijumpai pada buku-buku teks tentang matriks atau aljabar linier. Namun tidak banyak refer-ensi yang membahas turunan matriks/ vektor terutama yang terkait

(29)

2.8. RINGKASAN 79

dengan statistika. Pembahasan dalam bab ini, terutama mengenai aplikasi matriks dalam statistika, dapat dijumpai pada Timm (1975, Bab 1), Searle (1982), Harville (1997), dan Neter et al. (1985).

2.8 Ringkasan

Beberapa halpenting terkait matriks perlu dipahamidenganbaik di-antaraya seperti berikut ini.

1. Matriks adalah kumpulan unsur yang disusun dalam baris dan kolum sehingga membentuk persegi panjang.

2. Operasi matriks ada yang bersifat uner (negatif dan transpos) dan bersifat biner(penjumlahan dan perkalian).

3. Matriks yang dapat dilakukan operasi tertentu dikatakan kon-formabel untuk operasi tersebut.

4. Operasi penjumlahan bersifat asosiatif, memiliki identitas 0, memiliki invers, dan komutatif.

5. Operasi perkalian secara umum memehuhi sifat asosiatif, ma-triks bujur sangkar memiliki identitas, beberapa diantaranya memiliki invers.

6. Suatu kolom dari matriks A dikatakan bergantung linier de-ngan kolom-kolom lainnya jika dia dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari kolom-kolom lainnya tersebut.

7. suatu matriks bujur sangkar dikatakan memiliki rank penuh jika semua kolomnya bebas(tidak bergantung) linier dengan kolom lainnya.

(30)

8. Matriks bujursangkar yang memiliki invers disebut matriks non-singuler, matriks ini memiliki rank penuh dan determinan tidak nol.

9. Bentuk yTAy dengan ymatriks peubah, dan A matriks kon-stanta, disebut matriks bentuk kuadrat.

2.9 Latihan Soal-soal

Kerjakan soal-soal berikut secara sendir atau berkelompok.

1. Sebutkan deﬁnisi matriks berikut dan beri masing- masing satu (1) contoh.

(a) Matriks diagonal (b) Matriks skalar

(c) Matriks simetrik (d) Matriks nonsinguler.

2. Buatlah dua buah matriks (A, B), masing- masing berordo 2×2 , selanjutnya hitung

(a) AB (b) BA (c) A−1

3. Selidiki apakah matriks-matriks berikut mempunyai rank kolom lengkap atau tidak.

(a) A = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 4 3 3 6 2 4 1 5 5 3 6 2 −1 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠

(31)

2.9. LATIHAN SOAL-SOAL 81 (b) B = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 1 2 4 1 5 5 3 0 2 4 1 2 6 2 −1 −4 3 3 6 0 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ (c) C = ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ 3 3 6 3 3 −1 1 2 4 1 1 1 5 5 3 0 0 1 6 2 −1 4 3 5 2 4 1 2 5 10 ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ 4. Diketahui A= ⎛ ⎜ ⎝ 1 2 4 2 3 6 4 6 1 ⎞ ⎟ ⎠ dan x= ⎛ ⎜ ⎝ x y z ⎞ ⎟ ⎠ Tentukan (a) Q = XTAX (b) ∂Q ∂x (c) ∂ 2_Q ∂xT∂x

baik dengan cara menurunkan unsur-unsurnya maupun dengan cara keseluruhan dengan cara matriks.

(32)

5. Diketahui A= ⎛ ⎜ ⎝ 3 2 4 2 3 5 4 6 1 ⎞ ⎟ ⎠ . Deﬁnisikan A pada R, selanjutnya tentukan:

(a) AT (b) ATA

(c) AAT (d) AAT−1