Modul Matematika SMA dan Soal Latihan 03 Bentuk Akar

EKSPONEN DAN LOGARITMA

B. Bentuk Akar

Bentuk akar merupakan salah satu contoh bilangan irrasional. Bentuk ini pada awalnya sering diasumsikan sebagai produk dari teorema Pythagoras.

Sebagai contoh :

5adalah bentuk akar, karena 5 adalah bilangan irrasional

4 adalah bukan bentuk akar, karena 4 = 2 adalah bilangan rasional

3 _{6 adalah bentuk akar, karena} 3_{6 adalah bilangan irrasional}

3 _{27 adalah bukan bentuk akar, karena} 3 _{27 = 3 adalah bilangan rasional}

Jika a bukan bentuk akar, maka a merupakan operasi penarikan akar yang hasilnya merupakan sebuah bilangan rasional. Dalam hal ini berlaku : Untuk a dan n adalah bilangan real tak negatif , maka

Jika a  n maka a  n2 .

Sehingga : 25 bukan bentuk akar, karena 25 = 5 dimana 25 = 52

Bentuk akar dibagi dalam dua jenis, yakni bentuk akar murni, misalnya 5,3 6, 4 25 dan lain lain, serta bentuk akar campuran, misalnya 3 2, 5 7 , 435 dan lain lain. Bentuk campuran ini merupakan hasil perkalian antara bilangan rasional dan irrasional.

Namun beberapa bentuk akar dapat disederhanakan, seperti diuraikan pada contoh-contoh soal berikut ini

01. Sederhanakanlah

(a) 48 (b) 200 (c) a b7 3

(d) 12a b5 6 (e) 2ab 8a6b3 Jawab

(a) 48 = 16 x 3 = 4 3 (b) 200 = 100 x 2 = 10 2 (c) a7b3 = a6a1b2b1

(d) 12a5b6 = 4 x 3a4a1b6 = 2a2b3 3a

(e) 2ab 8a6b3 = 2ab 4 x 2a6b2b1 = 2ab x 2a3b1 2b1 = 4a4b2 2b

02. Sederhanakanlah

(a) 3_{54 (b)} 3₃₂

(c) 4a6b11 (d) 3125a5b9

Jawab

(a) 354 = 3 27 x 2

= 3 33 x 2 = 3.3 2 (b) 3_{32 =} 3 _{8 x 4}

= 3 23 x 4 = 2.3 4

(c) 4a6b11 = 4 a4a2 b8b3 = a1b2 4 a2 b3 = ab2 4 a2 b3 (d) 3125a5b9 = 3 53a3a2b9

= 51a1b33 a2 = 5ab33 a2

Sifat-sifat operasi aljabar pada bentuk akar

Untuk a dan b bilangan real tak negatif serta m dan n adalah bilangan real sembarang, maka berlaku

(1) m a + n a = (m+n) a (2) m a x n b = mn ab

Untuk memahami uraian di atas, ikutilah contoh-contoh soal berikut ini

03. Sederhanakanlah

Jawab

(a) 32 + 8 – 50 – 18 = 16 x 2 + 4 x 2 – 25 x 2 – 9 x 2 = 4 2 + 2 2 – 5 2 – 3 2

= (4 + 2 – 5 – 3) 2 = 2 2

(b) 2 27 – 12 + 3 48 = 2 9 x 3 – 4 x 3 + 3 16 x 3

= 2(3 3) – 2 3 + 3(4 3)

= 6 3 – 2 3 + 12 3

= (6 – 2 + 12) 3

= 16 2 04. Sederhanakanlah :

(a) 6x 3 (b) 2 8 x 3 50

(c) ( 2+ 3)( 6 + 2) (d) ( 50– 2)( 27 + 12)

Jawab

(a) 6x 3 = 18

= 9 x 2

= 3 2 (b) 2 8 x 3 50 = 6 400

= 6 x 20 = 120

(c) ( 2+ 3)( 6 + 2) = ( 2) ( 6) + ( 2)(2) + ( 3)( 6) + ( 3)(2) = 12 + 2 2 + 18 + 2 3

= 2 3 + 2 2 + 3 2 + 2 3 = 4 3 + 5 2

(d) ( 50– 2)( 27 + 12) = (5 2– 2)(3 3 + 2 3) = (5 – 1) 2 _{(3 + 2)} 3 = 4 2 x 5 3

= 20 6

Merasionalkan penyebut pecahan dapat dilakukan dengan cara mengalikan

pembilang dan penyebut dengan suatu bentuk tertentu sehingga penyebut pecahan tersebut menjadi rasional. Terdapat dua bentuk pengali dalam hal ini, yaitu :

Bentuk 1 Sebagai contoh:

05. Sederhanakanlah setiap bentuk akar berikut ini :

(a)

Sebelum membahas bentuk 2, terlebih dahulu akan dikenalkan bentuk akar konjugat dari suatu bentuk akar, yakni :

Jika hasil kali dua bentuk akar adalah bilangan rasional, maka masing-masing dari kedua bentuk akar tersebut dinamakan faktor rasional atau bentuk akar konjugat dari bentuk akar yang lain

Bentuk (a b) bentuk konjugatnya (a b) dan begitu juga sebaliknya, sehingga

Dengan adanya bentuk konjugat ini, maka bentuk 2 dapat dirumuskan sebagai: Bentuk 2

Sebagai contoh :

06. Sederhanakanlah setiap bentuk akar berikut ini :

(a)

07. Sederhanakanlah setiap bentuk akar berikut ini :

(a)

08. Sederhanakanlah setiap bentuk akar berikut ini :

09. Tentukanlah bentuk sederhana dari : 44920 6

Jawab

4_{4920 6 = 49 20 6} 1/2

  

 _

=

2 / 1

6 10 . 2 ) 24 25 (

  

 _{ }

= 25 2. 600 24 1/2

  

 _{ }

= 25 2. 25.24 24 1/2

  

 _{ }

= [ 5 – 24]1/2

= 52. 6

= 322. 3.2

= 3 21/2

10. Tentukanlah bentuk sederhana dari 102( 15 10 6)

Jawab

) 6 10 15 ( 2

10   = 5322 152 102 6)

= 5322 5 32 5 22 3 2

= ( 5 3 2)2