Pengertian Pecahan
Dalam kehidupan sehari-hari, pernahkah kamu melihat benda-benda yang telah terbagi menjadi beberapa bagian yang sama? Misal: kue terbagi menjadi tiga bagian yang sama, semangka dipotong menjadi dua bagian yang sama, kertas terbagi menjadi beberapa bagian yang sama, dan seterusnya.
Semua bagian yang sama itu berkaitan dengan pecahan. Perhatikan gambar berikut!
Apa yang akan Anda
Pelajari?
• Bilangan pecahan biasa, campuran, desimal, persen, dan permil
• Mengubah bentuk pecahan ke bentuk yang lain
• Operasi hitung tambah, kurang, kali, bagi, dan pangkat dengan melibatkan pecahan serta mengkait kannya dalam kehidupan sehari – hari
• Mengubah bilangan pecah an ke bentuk baku
• Pembulatan bilangan pecah an
Kosa Kata
• Bilangan pecahan• Bentuk dan jenis pecahan
• Operasi pecahan
Kata Kunci
• Pecahan permil• Bentuk baku
• Menaksir hasil operasi pecahan
Standar Kompetensi
Standar Kompetensi
Standar Kompetensi
Standar Kompetensi
1. Memahami sifat-sifat operasi hitung bilangan dan penggunaannya dalam pemecahan masalah
Kompetensi Dasar
Kompetensi Dasar
Kompetensi Dasar
Kompetensi Dasar
1.1 Melakukan operasi hitung bilangan Bulat
Indikator
Indikator
Indikator
Indikator
1.1.5 Memberikan contoh berbagai bentuk dan jenis bilangan pecahan
Sebuah lingkaran mula - mula dibagi menjadi dua bagian yang sama. Satu bagian lingkaran dari dua bagian yang sama itu disebut “satu per dua” atau “seperdua” atau “setengah” dan ditulis “
2 1
”.
Kedua bagian tersebut masing-masing dibagi dua lagi sehingga menjadi dua bagian yang sama. Dengan demikian dari sebuah lingkaran diperoleh empat bagian
lingkaran yang sama. Satu bagian lingkaran dari empat bagian yang sama itu disebut “satu per empat” atau “seperempat” dan ditulis “
4 1”. Bilangan 2 1 dan 4
1 disebut bilangan pecahan.
Selanjutnya disepakati sebutan “bilangan pecahan” disingkat dengan “pecahan”. Pada pecahan
2
1, 1 disebut pembilang dan 2 disebut penyebut.
Pada pecahan
4
1, 1 disebut pembilang dan 4 disebut penyebut.
Kesimpulan :
Bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk “
b a
”, dengan a dan b adalah bilangan bulat, b≠≠≠≠ 0, dan b bukan faktor dari a disebut bilangan pecahan. Bilangan “a” disebut pembilang, “b” disebut penyebut.
Mengapa b disyaratkan tidak nol?
Latihan A
Di antara bilangan – bilangan ini, manakah yang merupakan bilangan pecahan? a. 2 1 b. 3 1 c. 3 2 − d. 7 3 e. 3 10 − f. 2 10 g. 4 16 − h. 3 18 i. 7 6 − j. 8 35 −
B. Bentuk dan Jenis Pecahan
B.1 Bentuk dan jenis pecahanTentu anda masih ingat tentang berbagai bentuk dan jenis pecahan. Sekarang marilah kita pelajari lebih dalam lagi tentang berbagai bentuk dan jenis pecahan.
1. Pecahan Biasa
Pecahan – pecahan yang berbentuk
11 5 , 7 3 , 5 2
, dan seterusnya adalah contoh dari jenis pecahan biasa.
Contoh penggunaan pecahan biasa adalah : • Ana menghabiskan
2 1
liter air. • Mobil melaju dengan kecepatan
4 3
km per menit. 2. Bilangan Campuran
Pecahan – pecahan yang berbentuk 2
7
2
, 1 4 5, - 5 8 4
dan seterusnya adalah contoh dari jenis bilangan Campuran ( gabungan bilangan bulat dan bilangan
pecahan )
3. Bilangan Desimal
Pecahan – pecahan yang berbentuk 0,25 ; 1,125 ; 3,175 ; -2,37 dan seterusnya adalah contoh dari jenis bilangan Desimal.
4. Persen
Persen artinya perseratus. Contoh :
100 3
= 3 % ( tiga persen ) 5. Permil
Permil artinya perseribu. Contoh :
1000 65
B.2 Menyederhanakan Pecahan dan Menentukan Pecahan yang Senilai
Kamu dapat menulis bentuk paling sederhana dari suatu pecahan dengan cara membagi pembilang dan penyebut pecahan itu dengan faktor persekutuan terbesar ( FPB ) dari pembilang dan penyebutnya.
Contoh: 1. Tulislah
28
20 dalam bentuk paling sederhana! FPB dari 20 dan 28 adalah 4.
Jadi bentuk paling sederhana dari pecahan adalah 7 5.
Untuk menentukan pecahan yang senilai, perhatikan gambar berikut!
Perhatikan bagian yang diarsir dari gambar-gambar berikut dan pecahan-pecahan yang melambangkannya. Ada berapa bagian pada masing-masing gambar? Ada berapa bagian yang diarsir? Bilangan pecahan manakah yang melambangkan bagian yang diarsir?
2 1 4 2 6 3
Dari gambar diatas, terlihat bahwa luas daerah yang diarsir adalah sama, sehingga dapat kita tulis 6 3 4 2 2 1 = = .
Latihan B
1. Tentukan FPB dari bilangan – bilangan berikut ini!
a. 2 dan 6 b. 4 dan 12 c. 56 dan 72
d. 65 dan 15 e. 70 dan 30
Bagilah pembilang dan penyebut dengan 4.
2. Sederhanakan pecahan – pecahan berikut ini! a. 35 25 b. 16 4 c. 45 15 d. 70 35 e. 65 15 f. 72 56
3. Tentukan tiga pecahan yang senilai dengan pecahan – pecahan di bawah ini! a. 2 1 b. 3 1 c. 3 2 − d. 7 3 e. 7 6 −
C. Mengubah Bentuk Pecahan ke Bentuk yang Lain
Misal kamu mempunyai 28 liter minyak. Kamu diminta mengisikan semua minyak itu pada 8 kaleng. Jika isi tiap kaleng harus sama, berapa liter harus diisikan pada tiap kaleng?
Jawab:
8
28 ← Tulislah pembagian itu dalam bentuk pecahan
← Bagilah 28 dengan 8 2 1 3 8 4
3 = ←←←← Nyatakan sisa pembagian sebagai suatu pecahan dan sederhanakanlah!
Jadi, setiap kaleng harus diisi dengan
2 1
3 liter minyak.
C.2 Mengubah Bilangan Campuran ke Pecahan Biasa Untuk memahaminya, kerjakan lab mini berikut :
−
Indikator
Indikator
Indikator
Indikator
Fara mempunyai kue tar 4 3
2 bagian. Tulislah bagian kue tar itu dalam bentuk pecahan biasa. Penyelesaian : 4 11 4 3 4 2 4 3 2 = x + = 4 1 1 ! " # ! $ ! ! ! ! # ! 4 1 % 4 1 1 ! & ' ( ! 4 1 1 # ! ! ) # ! ! ) * ! 4 1 1 )
Bilangan
(
)
(
)
3 7 3 1 6 3 1 2 3 3 1 2 = − + = − + = − − x Kesimpulan : • Bilangan c ba , jika diubah ke pecahan biasa diperoleh dari
(
)
c b c a.... ... • Bilangan -c ba , jika diubah ke pecahan biasa diperoleh dari
(
)
c b c a.... ... −Latihan C.1 dan C.2
1. Ubahlah pecahan berikut ke bilangan campuran. a. 5 17 b. 7 13 c. 5 27 d. 1237 e. - 214 f. - 5 16 2. Ubahlah menjadi pecahan biasa.
a. 4 3 4 b. 4 3 3 c.
16
15
3
d. - 4 1 3C.3 Mengubah Pecahan biasa atau Bilangan Campuran Ke Bilangan Desimal dan Sebaliknya
C.3.1 Pecahan Biasa atau Bilangan Campuran Ke Bilangan Desimal
Untuk mengubah pecahan biasa atau bilangan campuran ke bilangan decimal diperoleh dengan pembagian seperti biasa (membagi pembilang dengan penyebut).
Contoh : 1. Ubahlah
4
3 menjadi bilangan desimal. Jawab : 4 3 0,75 0 2 2 8 2 30 4
Jadi,
4
3 = 0,75
2. Ubahlah
15
4 menjadi bilangan desimal. Jawab : 266 , 0 1 9 10 9 10 0 3 40 15 Jadi 154 = 0,26
Aturan Pembulatan:
• Jika 0,266 dibulatkan sampai satu desimal, menjadi 0,3 ( 2 berubah menjadi 3, karena angka di kanannya yaitu 6 lebih atau sama dengan 5)
• Jika 0,266 dibulatkan sampai dua desimal, menjadi 0,27 ( 6 berubah menjadi 7, karena angka di kanannya yaitu 6 lebih atau sama dengan 5)
• Jika 0,725 dibulatkan sampai satu desimal, menjadi 0,7 ( 7 tetap, karena angka di kanannya yaitu 2 kurang dari 5).
• Jika 0,725 dibulatkan sampai dua desimal, menjadi 0,73 ( 2 berubah menjadi 3, karena angka di kanannya yaitu 5 lebih atau sama dengan 5).
Latihan C.3.1
Ubahlah ke bilangan desimal. a.
4
1
b. 20 3 c.5
4
d. 45 15 e. 8 6 f.5
17
g. 4 21 h. 5 16 i. 509 j. 65 Angka 6 berulang.C.3.2 Bilangan Desimal Ke Pecahan Biasa atau Bilangan Campuran
Seorang tukang kayu ingin melobangi sebuah kayu dengan diameter tidak lebih dari 0,7 inci, sedangkan bor yang tersedia ukurannya tertulis dalam bentuk pecahan seperti 12 7 , 8 5 , 10 7
dan . Ukuran bor manakah yang dapat digunakan oleh tukang tersebut? Untuk menjawab permasalahan di atas, tentunya anda harus mengubah ukuran bor tadi menjadi bentuk desimal.
Setelah dihitung dengan kalkulator ternyata 10 7 = 0,7 ; 8 5 = 0,625 ; 12 7 = 0,583 sehingga bor yang dapat dipakai adalah bor yang berukuran
8 5 dan 12 7 ( mengapa demikian ?)
Untuk mengubah bilangan desimal ke pecahan biasa atau bilangan campuran dapat dikerjakan dengan cara sebagai berikut.
Contoh :
Ubahlah menjadi pecahan biasa atau campuran! a. 0,5 =
10 5
( satu angka di belakang koma, artinyaa persepuluh ) jika disederhanakan menjadi 2 1 b. 0,12 = 25 3 100 12 = c. 2,003 = 1000 3 2
d. 0,66666 ….. = 0,6 = ……. dapat dikerjakan dengan cara berikut: Misal x = 0,66666 …. 10 x = 6,66666 …. 10x = 6,66666 …. x = 0,66666 …. – 9x = 6 3 2 9 6 = = x
Karena x = 0,66666 ….. = 0,6 = 3 2
e. 2,121212 ….. = 122, = ……. dapat dikerjakan dengan cara berikut:
Jadi 2,121212 ….. = 2,12 = 33
4 2
Ubahlah menjadi pecahan biasa atau campuran! 3,125125 … = ...
Latihan C.3.2
Ubahlah menjadi pecahan biasa atau campuran dalam bentuk paling sederhana!
a. 0,08 = …. b. 0,45 c. 0,025
d. 0,650 e. 4,25 f. 3,065
g. 5,25 h. 2,3 i. 123,
C.4 Mengubah Pecahan Ke Persen dan Sebaliknya C.4.1 Mengubah pecahan ke persen
Untuk mengubah pecahan ke persen ada 2 cara yaitu: a. Mengubah penyebutnya menjadi 100
Contoh: = = = 100 20 20 5 20 1 5 1 x x 20%
b. Mengalikan pecahan itu dengan 100% Contoh: Misal x = 2,121212 ….. 100 x = 212,1212 …. 100x = 212,1212 …. x = 2,1212 ….. – 99x = 210 33 4 2 99 12 2 99 210 = = = x
a. 7 2 7 2 = x 100% = 00 0 0 7 4 28 7 200
= atau sama dengan 28,571% b. 0,354 = 0,354 x 100% = 35,4%
C.4.2 Mengubah persen ke pecahan Contoh: a. 30% = 10 3 100 30 = b. 25% = 4 1 100 25 = c. 12 2 1 % = 8 1 200 25 2 25 0 0 = =
C.5 Mengubah Pecahan Ke Permil dan Sebaliknya C.5.1 Mengubah pecahan ke permil
Contoh: a. 1000000 400000 5 2 5 2 = = x b. 1000000 750000 4 3 4 3 = = x c. 1000000 1400000 5 7 5 2 1 = x =
C.5.2 Mengubah permil ke pecahan Contoh: a. 1000 3 3000 = b. 40 3 1000 75 75000 = = c. 4000 101 100000 2525 1000 25 , 25 25 , 25 000 = = =
Latihan C.4 dan C.5
1. Ubahlah pecahan – pecahan berikut ini menjadi bentuk persen! a. 20 19 b. 507 c. 41 d. 81 e. 2003 f. 50 9 g. 208 h. 103 i. 3012 j. 252
2. Ubahlah pecahan – pecahan berikut ini menjadi pecahan biasa atau bilangan campuran dalam bentuk yang paling sederhana!
a. 15% b. 75% c. 88% d. 1,8%
3. Ubahlah bentuk permil berikut menjadi pecahan biasa dalam bentuk yang paling sederhana!
a. 25 b. 73 c. 82 d. 6,8
4. Ubahlah pecahan – pecahan berikut ini menjadi bentuk permil! a. 20 3 b. 50 34 c. 150 18 d. 250 23
5. Sebanyak 35% dari anggota suatu kelompok mengatakan bahwa hobinya adalah mebaca. Berapa persen yang tidak hobi membaca?
6. Fahmi mempunyai tali yang panjangnya 1 meter. Tali itu dipotong menjadi dua bagian. Panjang salah satu bagiannya adalah 0,55 meter. Nyatakan panjang setiap panjang tali itu dalam bentuk pecahan biasa
D. Membandingkan dan Mengurutkan Pecahan
D.1 Membandingkan Pecahana. Membandingkan pecahan yang penyebutnya sama. Perhatikan kedua model pecahan berikut.
Dari model-model tersebut, dapatkah kamu simpulkan bahwa
6 5>
6
4? Mengapa?
Perhatikan juga bahwa seperenaman dapat dipandang sebagai satuan baru.
6
5 berarti 5 seperenaman, dan 6
4 berarti 4
seperenaman.
Manakah yang lebih besar antara 5 seperenaman dengan 4 seperenaman? Dari uraian di atas jelas bahwa
6 5 > 6 4. 6 5 6 4
Jadi untuk membandingkan beberapa pecahan yang penyebutnya sama, cukup dengan membandingkan pembilangnya. Jika pembilang lebih besar maka pecahannya juga lebih besar.
b. Membandingkan pecahan yang penyebutnya berbeda. Marilah kita mulai dengan membandingkan
2 1 dan
3 1.
Kita tahu bahwa
2
1 senilai dengan
63 dan 3
1 senilai dengan
62 . Keempat pecahan tersebut dapat dimodelkan seperti berikut.
senilai dengan
senilai dengan
Pecahan manakah yang lebih besar? Tampak bahwa 2 1 > 3 1 dan 6 3 > 6 2, sebab 2 1 = 6 3 dan 3 1= 6 2.
Jadi, suatu cara membandingkan pecahan adalah dengan menyatakan pecahan-pecahan itu sebagai pecahan yang penyebutnya sama kemudian membandingkan pembilang-pembilangnya. Dalam proses ini dapat digunakan kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari penyebut-penyebut pecahan.
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut. 2 1 3 1 6 3 6 2
Catatan
Dalam pengukuran, agar besarnya ukuran dapat di bandingkan maka satuan nya harus disamakan dulu. Demikian halnya dalam membandingkan pecahan, penyebut-penye butnya harus disamakan terlebih dahulu.
Contoh:
Gunakan tanda <, =, atau > untuk membandingkan
3 1 dan
7 2.
Ta hap I : Menentukan KPK dari penyebutnya yaitu KPK dari 3 dan 7 Kelipatan dari 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21 , 24
Kelipatan dari 7: 7, 14, 21 , 28
KPK dari 3 dan 7 adalah 21, sebab 21 adalah bilangan terkecil yang habis dibagi 3 dan dibagi 7.
Ta hap II : Menentukan pecahan yang senilai dengan
3
1 dan pecahan
yang senilai dengan
7
2 dengan menggunakan KPK pada
Tahap I sebagai penyebut.
3 1 = 21 ..., sehingga 21 7 3 1= 7 2 = 21 ..., sehingga 21 6 7 2=
Tahap III : Membandingkan pecahan yang penyebutnya sama pada Tahap II Membandingkan pembilang dari
21 7 dan 21 6 . Karena 7 > 6 maka 21 7 > 21 6 .
Sehingga dapat disimpulkan bahwa
7 2 3 1> .
D.2 Mengurutkan Pecahan dan Menentukan Letaknya pada Garis Bilangan Perhatikan contoh berikut:
1. Urutkan nilai pecahan – pecahan
4 3, 2 1 , dan 8 1
serta tentukan letaknya pada garis bilangan!
Penyelesaian:
KPK dari 4, 2, dan 8 adalah 8 4 3 = 8 6 2 4 2 3 = x x
Sehingga urutan dari yang terkecil ke yang
2 1 = 8 4 4 2 4 1 = x x terbesar adalah: 8 1 = 8 1 1 8 1 1 = x x 8 1 < 8 4 < 8 6 atau 8 1 < 2 1 <
4
3
Jika digambarkan pada garis bilangan adalah sebagai berikut:
Urutkan nilai pecahan – pecahan 4 5 , 1 2 1 , dan 8 9
serta tentukan letaknya pada garis bilangan!
Latihan D
1. Urutkan pecahan – pecahan beruk mulai dari yang nilainya terkecil sampai terbesar. a.
7
2
, 4 5 , 8 4 b. 6 4 ,3
1
, c. 6 5 1 , 4 3 1 , 3 2 1 d. 27
2
, 2 4 5 , 2 8 42. Urutkan pecahan – pecahan beruk mulai dari yang nilainya terkecil sampai terbesar. a. 0,65 ; 0,605 ; 0,6 ; 0,645 b. 0,673 ; 0,68 ; 0,609 ; 0,69
3. Urutkanlah bilangan-bilangan berikut dari terkecil ke terbesar. a. 8 7 ; 0,8; 119 ; 0,87 b. 1,65; 3 2 1 ; 5 3 1 ; 1,7 c. 12 1 3 ; 3,1; 5 1 3 ; 20 1 3
4. Ali berlari sejauh 143 km, Budi berlari sejauh 1107 km. Siapakah yang berlari lebih jauh? 0 8 1 8 4 8 6 1 20 8
5. Aan, Beben, dan Cicin adalah calon ketua OSIS di suatu SMP. Dalam pemungutan suara Aan mendapat
8 3
dari jumlah seluruh siswa yang memilih. Beben mendapat
7
2, sedangkan Cicin mendapat 4
1, dan sisanya tidak sah. Siapakah yang terpilih menjadi ketua OSIS?
6. Saya adalah sebuah pecahan dengan bentuk paling sederhana. Pembilang dan penyebutku adalah bilangan prima yang berselisih dua. Jumlah dari pembilang dan penyebutku sama dengan 12. Berapakah saya?
E. Operasi Pecahan
E.1 Penjumlahan dan Pengurangan Pecahan E.1.1 Penjumlahan pecahan yang penyebutnya sama
Ida dan Ita membeli roti yang telah dipotong menjadi 8 bagian yang sama. Sambil duduk di halaman rumah, Ida makan
8
1 roti itu dan Ita makan
83 . Berapa bagian roti yang telah dimakan oleh
mereka? Untuk membantu menjawab pertanyaan ini, marilah kita mengerjakan Lab Mini berikut.
Indikator
Indikator
Indikator
Indikator
" & " ' % 8 1 8 3 + ! " , - " ! 8 1 ( " ! " ! ! 8 3 ! ! " ) * ! ! ! ! ! " ) % " ! ! ! ! ! " )
Dari Lab Mini, kita ketahui bahwa 8
1 +
83 = 84 atau 21 .
Jadi dari cerita tentang Ida dan Ita dapat disimpulkan bahwa Ida dan Ita telah makan
2
1 dari roti yang telah dibelinya.
Cobalah kamu melakukan kegiatan Lab Mini untuk menentukan
6 1 + 6 3 dan 5 1 + 5 3.
Contoh:
1. Tentukanlah jumlah dari
5
3
dan5
4
. 5 3 + 5 4 = 54 3+ =5
7
= 5 2 1E.1.2 Penjumlahan Pecahan yang Penyebutnya Berbeda
Azam membaca sebuah buku cerita tentang Abu Nawas. Dua hari yang lalu, Azam membaca
4
1 dari isi buku itu. Hari ini Azam melanjutkan membaca
3
2 dari isi buku itu. Berapa bagian dari isi buku ceritera yang telah dibaca oleh Azam?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kamu perlu menjumlahkan pecahan yang penyebutnya berbeda.
Kamu dapat menggunakan model pecahan untuk penjumlahan tersebut. Contoh:
1. Berapa bagian dari isi buku itu yang telah dibaca oleh Azam? 5 3 + 5 4 5 2 1 1444442444443 6447448 64748 Kesimpulan :
Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama adalah dengan cara …… ……….
Jumlahkan 4 1 dan 3 2. 4 1 +
3
2
=12
11
atau 4 1 +3
2
= 123 + 128 = 12 8 3 + =12
11
Jadi Azam telah membaca 12
11 bagian isi buku ceritera tersebut. 2. Tentukanlah hasil dari
7 2 4 1 + . Jawab:
KPK dari 4 dan 7 adalah 28. 28 x 4 x 1 4 1 = = 7 7 7
←Tentukan KPK dari 4 dan 7.
28 x 7 x 2 7 2 = = 8 4 4
←Tulislah pecahan dengan penyebut sama. 28 7 + 28 8 = 28 15 ←Jumlahkan pembilang.
E.1.3 Penjumlahan Bilangan Campuran
Jika pecahan – pecahan yang dijumlahkan adalah bilangan campuran, maka cara yang digunakan untuk menyelesaikan bisa dengan menggunakan salah satu dari 2 cara berikut:
1. Menghitung bagian bilangan bulat dan pecahannya secara terpisah. 2. Dengan mengubah bilangan campuran itu menjadi pecahan biasa. Contoh:
1. Tentukan hasil dari
2 1 3 4 3 15 + Jawab: 2 1 3 4 3
15 + = ... dapat diselesaikan dengan 15 + 3 = 18 dan 4 3 + 2 1 = 4 3 + 4 2 = 4 5
←Tentukan model pecahan untuk menyatakan jumlah.
← ← ←
←Gunakan model pecahan untuk 32.
← ← ←
Jadi hasilnya = 18 + 4 5 = 4 5 18 = 18 + 4 1 1 = 4 1 19 2 1 3 4 3 15 + = 4 1 19 4 77 4 14 4 63 2 2 2 7 1 4 1 63 2 7 4 63 = = + = + = + x x x x
E.1.4 Pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Sama Totok menemukan
8
5 pizza di meja makan. Dia makan
8
1 pizza tersebut. Berapakah pizza yang belum di makan Totok? Jawab:
8
1
5
8
1
8
5
−
=
−
=2
1
atau
8
4
Jadi, pizza yang belum dimakan adalah 2 1.
Mengurangkan pecahan yang penyebutnya sama caranya sama dengan menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama. Misal di meja tersedia tigaperempat bagian semangka. Kemudian kamu makan seperempat bagian. Berapa bagian semangka yang masih tersisa?
Untuk menjawab pertanyaan di atas, kamu perlu melakukan pengurangan pecahan seperti berikut.
4 2 4 1 3 4 1 4 3 = − = − Catatan : 4 1 1 4 1 4 4 4 5 = + =
E.1.5 Pengurangan Pecahan yang Penyebutnya Tidak Sama
Untuk mengurangkan pecahan yang penyebutnya tidak sama caranya dengan menyamakan penyebutnya. Contoh: 1. 10 1 10 6 10 7 5 3 10 7 = − = − 2. 28 9 28 21 28 12 4 3 7 3 − = − = −
E.1.6 Pengurangan Bilangan Campuran
Jika pecahan – pecahan yang dikurangkan adalah bilangan campuran, maka cara yang digunakan untuk menyelesaikan bisa dengan menggunakan salah satu dari 2 cara berikut:
1. Menghitung bagian bilangan bulat dan pecahannya secara terpisah. 2. Dengan mengubah bilangan campuran itu menjadi pecahan biasa. Contoh:
1. Tentukan hasil dari 3 1 6 - 2 1 4 Jawab: 3 1 6 - 2 1 4 = 6 2 6 - 6 3 4 = 6 8 5 - 6 3 4 = 6 5 1 Ingat: 62 6 = 5 + 6 2 1 = 6 8 5 . Kesimpulan :
Untuk menjumlahkan pecahan yang penyebutnya sama adalah dengan cara ……. ………..
Jadi 3 1 6 - 2 1 4 = 6 5 1 . 3 1 6 - 2 1 4 = 6 5 1 6 11 6 27 6 38 3 2 3 9 2 3 2 19 2 9 3 19 = = − = − = − x x x x 2. Hitunglah 3 1 6 ( -2 1 4 ) Jawab: 3 1 6 ( -2 1 4 ) = 6 5 10 6 65 6 27 6 38 3 2 3 9 2 3 2 19 2 9 3 19 2 9 3 19 = = + = + = + = − − x x x x
Latihan E.1
1. Hitunglah dan tulislah setiap jawabanmu dalam bentuk yang paling sederhana. a. 11 7 11 3 + b. 7 2 7 6 − c. 8 5 8 3+ d. 9 4 9 4 − f.
4
1
10
7
−
g.8
3
+
5
4
h.5
6
+
4
1
i.6
5
−
2
1
2. Ani membeli dua buah semangka di pasar, semangka pertama beratnya 43 kg dan semangka kedua beratnya
4
2 kg. Berapa kelebihan berat semangka pertama dibandingkan dengan semangka kedua?
3. Tentukanlah hasil penjumlahan berikut! a. 3 2 1 8+ b. 2 6 1 3 + c. 4 3 3 5 1 8 + d. 16 1 2 8 3 11 + e. 4 3 8 12 1 9 + f. 2 1 11 12 11 15 +
4. Tentukanlah hasil pengurangan berikut! a. 3 2 1 8− b. 2 6 1 3 − c. 4 3 3 5 1 8 −
d. 16 1 2 8 3 11 − e. 4 3 8 12 1 9 − f. 2 1 11 12 11 15 −
5. Tentukan hasil dari .
5 1 6 3 2 2 5 4 3 3 1 5 + − −
6. Pertanyaan Terbuka. Tulislah dua pecahan campuran yang apabila dijumlahkan menghasilkan bilangan Bulat!
7. Pertanyaan Terbuka. Tulislahdua bilangan campuran jika di jumlahkan tidak selalu merupakan bilangan campuran!
E.2 Perkalian dan Pembagian Pecahan E.2.1 Mengalikan Pecahan dengan Pecahan.
Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan dapat menggunakan model luas. Adapun kata “dari” yang dimaksud adalah “kali atau x”
Contoh:
Perhatikan permasalahan berikut:
Bu Ifa mempunyai kebun 4 3
ha, dari kebun bu Ifa tersebut ditanami jagung. Berap hektar kebun bu Ifa yang ditanami jagung?
Penyelesaian:
Kebun bu Ifa yang ditanami jagung adalah
dari 4 3 atau 2 1 x 4 3 , untuk menghitungnya dapat digunakan permodelan seperti gambar berikut:
Kebun bu Ifa
4
Bagilah daerah yang diarsir itu menjadi 2 sama besar, seperti gambar berikut.
Ternyata ada 3 bagian dari 8 bagian yang sama sehingga 2 1 x 4 3 = 8 3 Dari contoh di atas dapat disimpullkan bahwa:
Untuk mengalikan pecahan dengan pecahan, kalikanlah pembilang-pembilangnya dan kalikanlah …
Jika pembilang dari pecahan pertama dan penyebut dari pecahan yang lain mempunyai factor persekutuan, maka Anda dapat menyederhanakan sebelum mengalikan.
Contoh: 5 4 8 3 1 2 x = 5 1 2 3 x = 10 3
E.2.2 Perkalain Bilangan Cacah dengan Pecahan Perhatikan permasalahan berikut:
1. Misalkan ibu mempunyai 5 kg beras, dan 3 1
dari beras itu akan diberikan kepada fakir miskin. Berapa kg beras yang akan diberikan kepada fakir miskin?
penyelesaian:
Permasalahan di atas jika ditulis dalam matematika adalah sebagai berikut: 3 1 dari 5 atau 3 1 x 5 = 5 x 3 1 = 3 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 + 3 1 = 3 5 = 1 3 2
Jadi beras yang diberikan kepada fakir miskin adalah 1 3 2 kg 2. 6 x 4 3 = 4 3 x 4 3 x 4 3 x 4 3 x 4 3 x 4 3 = 4 18
Jika kita amati dari kedua contoh tadi, antara lain: 5 x 3 1 = 3 5 atau 3 5 3 1 1 5 = x 6 x 4 3 = 4 18 atau 4 18 4 3 1 6 = x
Apa yang dapat Anda simpulkan tentang perkalian bilangan Cacah dengan pecahan?
E.2.3 Perlkalian Bilangan Campuran
Untuk mengalikan bilangan campuran, Anda dapat menggunakan model luasan seperti berikut: Contoh: 1. Tentukan nilai 1 3 2 2 2 1 x 1 1 3 2 2 1 2 1 2 1 6 2 1 2 1 1 1 1 3 2 1 2 1 x 2 3 2 = 1 + 1 + 3 2 + 2 1 + 2 1 + 6 2 = 2 + 3 2 + 1 + 6 2
Kesimpulan: Untuk mengalikan bilangan Cacah dengan pecahan, terlebih dahulu bilangan Cacah diubah ke dalam pecahan yang penyebutnya ...…, kemudian melakukan perkalian bilangan pecahan dengan pecahan seperti biasa.
= 3 + 3 2 + 6 2 = 3 + 6 4 + 6 2 = 3 + 6 6 = 3 + 1 = 4 Jadi, 1 2 1 x 2 3 2 = 4 Cara lain,
Ubah dulu bilangan campuran menjadi pecahan biasa, sebagai berikut: 1 2 1 x 2 3 2 = 4 6 24 3 8 2 3 = = x Contoh 2.
Penghasilan ibu setiap bulan adalah 1 2 1
juta rupiah, dari penghasilan tersebut 5 1
nya dipergunakan untuk membayar pembantu, berapa rupiah yang dipergunakan untuk membayar pembantu? Penyelesaian: 5 1 dari 1 2 1 = 5 1 x 1 2 1 = 5 1 x 10 3 2 3 =
Jadi, uang yang dipergunakan untuk membayar pembantu adalah 10 3 juta, atau 10 3 x 1.000.000,00 = Rp 300.000,00
E.2.4 Pembagian Pecahan
E.2.4.1 Invers Perkalian dan Kebalikan dari Suatu Bilangan.
Sebelum mempelajari tentang pembagian pecahan, terlebih dahulu kita pelajari tentang invers perkalian atau kebalikan dari suatu bilangan, karena kebalikan suatu bilangan erat kaitannya dengan pembagian pecahan.
Juka sebuah bilangan dikalikan bilangan yang lain dan hasilnay sama dengan 1, maka bilangan yang satu adalah merupakan invers perkalian atau kebalikan dari bilangan yang lain.
Perhatikan contoh berikut: 2 x
2 1
= 1 Hal itu menunjukkan bahwa 2 adalah kebalikan dari 2 1
3 1
x 3 = 1 Hal itu menunjukkan bahwa 3 1
adalah kebalikan dari 3
5 3
x 3 5
= 1 Hal itu menunjukkan bahwa 5 3
adalah kebalikan dari 3 5 Sekarang tentukan kebalikan dari bilangan-bilangan berikut:
5, 9 4 , 7 3 , 3 1 , 6 , 7 1 − −
E.2.4.2 Pembagian Bilangan Pecahan Perhatikan uraian berikut:
a. 4 x 2 1 = 2 1 4x = 2 4 = 4 : 2 Jadi, 4 : 2 = 4 x 2 1
(apa hubungannya 2 dengan 2 1 ?) b. 5 x 3 1 = 3 1 5x = 3 5 = 5 : 3 Jadi, 5 : 3 = 5 x 3 1
(apa hubungannya 3 dengan 3 1 ?) c. 7 x 5 1 = 5 1 7x = 5 7 = 7 : 5 Jadi, 7 : 5 = 7 x 5 1
(apa hubungannya 5 dengan 5 1
?)
Dari uaraian di atas dapat disimpulkan bahwa untuk membagi suatu bilangan dengan bilangan lain sama dengan mengalikan bilangan itu dengan kebalikan bilangan yang lain, dapat ditulis a : b = a x b 1 , untuk b ≠0 Contoh: 1. 8 : 2 1 = 8 x 1 2 = 1 16 = 16
2. 3 2 x 2 = 3 2 x 2 1 = 3 2 6 2 = 3. 5 3 : ( 7 2 − ) = 5 3 x ( 2 7 − ) = 10 21 − = -2 10 1
E. 2.5 Pembagian Bilangan Campuran
Untuk membagi bilangan campuran, terlebih dahulu bilangan campuran itu diubah dalam bentuk pecahan biasa.
Contoh: 1. 1 3 2 : 2 5 3 = 3 5 : 5 13 = 3 5 x 13 5 = 39 25 2. Siti mempunyai 4 2 1
kg apel, apel itu dibagi rata kepada 5 orang temannya. Berapa kg apel yang diterima masing-masing anak?
Penyelesaian: 4 2 1 : 5 = 2 9 : 5 = 2 9 x 5 1
Jadi masing-masing anak mendapat bagian 10 9 kg, atau 10 9 x 1000 g = 900 g
LATIHAN E.2
1. Tentukan hasil dari perkalian berikut: a. 4 3 − x ( 5 2 − ) = … b. 3 1 3 x 2 1 2 = … c. 4 1 2 − x 3 1 3 = …
d. 3 2 3 − x ( 4 1 1 − ) = … e. 9 8 x 9 3 = … f. -0,002 x 4,3 = … g. 0,5 x 0,12 = … h. -0,05 x (-1,3) = ... 2. Sekitar 10 7
dari berat badan manusia terdiri dari air. jika berat seseorang 75 kg. Berapa kg kandungan airnya?
3. Sebuah papan tulis berbentuk persegi panjang ukuran panjang 1 4 3
m dan lebar 1 3 1 m. Tentukan luas papan tulis tersebut?
4. Pak Sudirman seorang peternak ayam, beliau ingin menetaskan telur sebanyak 2500 butir. Ternyata telur yang menetas hanya 85% dari seluruh telur. Berapa butir telur yang tidak menetas?
5. Untuk membuat satu pasang baju seragam Pemda diperlukan 2 2 1
m kain. Jika seorang penjahit ingin membuat 15 pasang seragam, berapa m kain yang diperlukan? 6. Tentukan hasil dari setiap pembagian berikut:
a. 9 8 : 9 3 = … b. 6 5 : 7 1 = … c. 3 5 − : 4 6 = … d. 3 7 − : 5 8 − = … e. −5 : 2 1 = … f. 2 1 : 7 = … g. 3 2 1 − : 4− = … h. 5 : 4 3 2 − = … i. 0,5 : 5 = … j. -0,05 : 0,1 = … k. 6,25 : -5 = … l. -125,5 : -0,5 = …
7. Ibu mempunyai tali 15 m. tali tersebut akan dipotong-potong sepanjang 2 2 1
meteran, berapa banyak potongan tali yang terjadi? 8. Untuk membuat 1 kue pudak diperlukan
4 1
butir kelapa , jika kelapa yang tersedia 10 butir, berapa pudak yang dapat dibuat?
9. Rian membeli 8 2 1
kg salak, salak tersebut akan dibagikan kepada 42 orang temannya secara merata. Jika 1 kg salak rata-rata isinya 20 buah, berapa buah salak bagian masing-masing anak?
10.Berfikir kritis: Apakah 2 3 2
x 4 2 1
lebih dari atau kurang dari 10. jelaskan bagaimana cara Anda menjawab pertanyaan ini tanpa mengalikan seperti pada contoh.
F. Operasi Hitung Pangkat yang Melibatkan Pecahan
Pada pembelajaran operasi pangkat bilangan bulat, tentu Anda masih ingat tentang sifat-sifat operasi perpangkatan. Sama halnya pada bilangan bulat, pada bilangan pecahan juga ada operasi hitung pangkat.Contoh: 1. [ 3 2 ]2 = 3 2 x 3 2 = 3 3 2 2 x x = 2 2 3 2 jadi [ 3 2 ]2 = 2 2 3 2 2. [ 5 3 − ]2 =
(
2)
2 5 3 − = 25 9 3. [ 5 3 − ]3 =(
2)
3 5 3 − = …Kesimpulan: jika a, b anggota bilangan bulat, b ≠0, maka [b a
]2 = ...
...
b a
4. [ 4 3 ]2 x [ 4 3 ]3 = 4 4 3 3 x x x 4 4 4 3 3 3 x x x x = 4 4 4 4 4 3 3 3 3 3 x x x x x x x x = 5 5 4 3 jadi [ 4 3 ]2 x [ 4 3 ]3 = [ 4 3 ]2+3 5. 3 2 ] 3 2 [ ] 3 2 [ − − = ] 3 2 [ ] 3 2 [ ] 3 2 [ ] 3 2 [ ] 3 2 [ − − − − − x x x = [ 3 2 − ]1 Jadi 3 2 ] 3 2 [ ] 3 2 [ − − = [ 3 2 − ]3-2 = [ 3 2 − ]1 6. {[ 4 3 ]2}3 = [ 4 3 ]2 x [ 4 3 ]2 x [ 4 3 ]2 = 4 3 x 4 3 x 4 3 x 4 3 x 4 3 x 4 3 = [ 4 3 ]6 Jadi, {[ 4 3 ]2}3 = [ 4 3 ]2x3
LATIHAN F
Tentukan hasil dari: 1. a. ] 5 3 [ 2 b. ] 3 2 -[ 2 c. ] b a [ 3Kesimpulan: Untuk a, b anggota bilangan bulat, b ≠0, m dan n bilangan bulat positif, berlaku:
a. ] b a [ m x ] b a [ n = ] b a [ … b. n m ] b a [ ] b a [ = ] b a [ … c. [ ] b a [ m ]n = ] b a [ …
d. ] 3 1 3 [ 3 e. ] 2 1 2 [− 3 f. ] 2 1 4 [− 4 2. a. 5 6 ] 5 2 [ ] 5 2 [ − − = … b. [[ 3 1 − ]2]3 = … c. 5 7 ] 7 5 [ ] 7 5 [ − − = … 3. a. (0,4)2 b. (-3,5)3 c. (-1,5)2
G. Pengertian Bentuk Baku
Misalkan dalam mata pelajaran sains terdapat pernyataan sebagai berikut: a. Kecepatan cahaya adalah 300.000.000.000 mm/s.
b. Masa proton adalah 0,000000000000000000000167 g
Bagaimana Anda membaca kedua bilangan tersebut? Tentunya Anda mengalami kesulitan. Kadang-kadang penulisan bilangan-bilangan di atas sering salah karena kurang teliti dalam mengamati banyaknya nol. Untuk mengatasi kesulitan membaca ataupun menulis bilangan-bilangan seperti di atas, maka digunakan suatu model penulisan bilangan yang disebut bentuk baku.
Bentuk baku adalah cara yang singkat untuk menuliskan bilangan yang sangat besar atau sangat kecil.
Bentuk baku suatu bilangan dinyatakan dengan a 10n dengan n bilangan bulat 1 < a < 10
G.1 Bentuk Baku Suatu Bilangan
Sebelum membahas cara menuliskan suatu bilangan ke bentuk baku , perhatikan bilangan-bilangan berpangkat berikut ini!
105 = 100000 ( ada 5 angka 0 di sebelah kanan angka 1) 104 = 10000 ( ada 4 angka 0 di sebelah kanan angka 1)
103 = 1000 ( ………)
102 = … ( ………)
101 = … ( ………)
100 = 1 ( ada 0 angka 0 di sebelah kanan angka 1) 10-1 =
10 1
10-2 = 100
1
= 0,01 ( ada 2 angka 0 di sebelah kiri angka 1) 10-3 = 3
10 1
= 0,001 ( ada 3 angka 0 di sebelah kiri angka 1) 10-4 = 4
10 1
= 0,0001 ( ada 4 angka 0 di sebelah kiri angka 1) 10-5 = 5
10 1
= 0,00001 ( ada 5 angka 0 di sebelah kiri angka 1)
Ada dua macam penulisan bilangan dalam bentuk baku (notasi ilmiyah) yaitu: 1. bentuk baku bilangan lebih dari 10
2. bentuk baku bilangan yang kurang dari 1
G.1.1 Bentuk Baku Bilangan yang Lebih dari 10
Bentuk baku atau notasi ilmiyah untuk bilangan yang lebih ari 10 adalah a x 10n dengan n anggota bilangan bulat positif, dan 1 < a < 10
Contoh kaitan dengan dunia nyata.
1. Jarak antara bumi dan bulan adalah 406.800 km. Nyatakan jarak tersebut dalam bentuk baku!
Penyelesaian:
406.800 = 4,068 x 100000
5 tempat = 4,068 x 105
2. Kecepatan gelombang elektromagnetik dalam ruang hampa adalah 300000000000 mm/detik. Nyatakan kecepatan tersebut dalam bentuk baku!
Penyelesaian:
300000000000 = 3,0 x 100000000000
11 tempat = 3 x 1011
G 1.2 Bentuk Baku Bilangan antara 0 dan 1
Bentuk baku atau notasi ilmiyah dari bilangan antara 0 dan 1 adalah a x 10n dengan n anggota bilangan bulat negative, 1 < a < 10
Contoh kaitan dengan dunia nyata
1. Massa molekul air diperkirakan 0,00000000000000000003 gram. Nyatakan massa molekul air tersebut dalam bentuk baku!
Penyelesaian:
0,00000000000000000003 = 3,0 x 10-20
20 tempat
Massa proton adalah 0,000000000000000000000167 gram. Nyatakan massa proton tersebut dalam bentuk baku.
Penyelesaian:
0,000000000000000000000167 = 1,67 x 10-24
24 tempat
G.2 Pembulatan Bilangan Pecahan
Pada pembulatan bilangan desimal dapat dilihat dari angka di belakang bilangan yang akan dubulatkan, jika angka di belakangnya lebih dari atau sama dengan 5, maka angka di depannya bertambah satu, jika angka di belakangnya kurang dari 5 maka angka di depannya tetap.
Contoh:
a. 3,34500 = 3,35 (sampai dua tempat desimal) b. 7,68480 = 7,68 (sampai dua tempat desimal) c. 13,02449 = 13,024 (sampai tiga tempat desimal)
LATIHAN G.
1. Nyatakan bilangan-bilangan berikut dalam bentuk baku dengan pembulatan sampai satu tempat desimal!
a. 364000000 b. 5000000000 c. 465700000
2. Nyatakan bilangan-bilangan ini dalam bentuk baku dengan pembulatan sampai dua tempat desimal!
a. 60080000000 b. 345390000000 c. 2585100050000 3. Tulislah setiap bentuk baku berikut dalam bentuk umum!
a. 6 x 10-8 b. 1,345 x 109 c. 5,028 10-5 d. 6,981 x 107 4. Nyatakan masing-masing pernyataan berikut ini dalam bentuk baku!
a. massa electron = 0,00000000000000000000000091091 kg b. massa matahari = 1330000000 km3
5. Satu liter sama dengan 106 mm kubik (mm3). Dalam 1 mm3 darah terdapat 5 x 106 sel darah merah. Tulislah bentuk baku banyak sel darah merah dalam 2 liter darah manusia!
H
Menaksir Operasi Hitung Bilangan Pecahan
H.1. Menaksir Hasil Jumlah dan Selisih dengan menggunakan Pendekatan
Bilangan Cacah
Contoh:
Taksirlah hasil penjumlahan dan pengurangan bilangan-bilangan ini! a. 5 4 3 + 2 8 5 = … b. 200 5 1 - 125 3 2 = … Penyelesaian:
a. Bilangan cacah yang terdekat dengan 5 4 3
adalah 6 Bilangan cacah yang terdekat dengan 2
8 5
adalah 3 Jadi, hasil dari 5
4 3 + 2 8 5 ≈9
b. Bilangan cacah yang terdekat dengan 200 5 1
adalah 200 Bilangan cacah yang terdekat dengan 125
3 2
adalah 126 Jadi, hasil dari 200
5 1 - 125 3 2 ≈74
H.2 Menaksir Hasil Kali dengan Menggunakan Pendekatan Bilangan Cacah
Contoh: a. 5 5 3 x 2 2 1 = … b. 118 5 3 x 48 2 1 = … Penyelesaian:
a. Bilangan cacah yang terdekat dengan 5 5 3
adalah 6 Bilangan cacah yang terdekat dengan 2
2 1
Jadi, hasil dari 5 5 3 x 2 2 1
≈ 6 x 3
≈18
Menaksir hasil perkalian pecahan jika bilangannya ratusan, untuk menghindari perhitungan , maka kita bisa menggunakan kelipatan 10 terdekat.
Misalnya pada contoh 118 7 2 x 48 2 1 = … Bilangan cacah yang terdekat dengan 118
7 2
adalah 118 Bilangan cacah yang terdekat dengan 48
2 1
adalah 49
Maka kita masih menghitung 118 x 49 = 5782. Jadi hasilnya mendekati 5782. untuk menghindari penghitungan kita bisa menggunakan kelipatan 10 terdekat. Yaitu: Kelipatan 10 terdekat dari 118
7 2
adalah 120 Kelipatan 10 terdekat dari 48
2 1 adalah 50 Jadi, 118 7 2 x 48 2 1 = 120 x 50 = 6000
H.3 Menaksir Hasil Bagi dengan Pendekatan Bilangan Cacah atau Kelipatan 10
Contoh:
Taksirlah hasil operasi pembagian berikut! a. 34 50 41 : 6 3 1 = ... b. 102 10 7 : 19 10 6 = ... Penyelesaian:
a. Bilangan cacah yang terdekat dengan 34 50 41
adalah 35 Bilangan cacah yang terdekat dengan 6
3 1 adalah 6 Jadi, 34 50 41 : 6 3 1 = 35 : 6 = 5 6 5
b. Taksirlah untuk yang b dengan menggunakan pendekatan bilangan cacah dan kelipatan 10 terdekat.
LATIHAN H
Taksirlah hasil operasi hitung bilangan-bilangan berikut! 1. 7 3 1 + 5 4 3 = ... 2. 14 3 2 + 25 5 4 = ... 3. 41 8 5 - 34 7 3 = ... 4. 234 - 25 5 2 = ... 5. 45 4 2 x 15 5 1 = ... 6. 200 6 5 x 45 4 3 = ... 7. 12 4 3 : 3 5 1 = ... 8. 515 7 4 : 125 2 1 = ...
SOAL LATIHAN KD 2.2
1. Pecahan-pecahan berikut ini senilai dengan 7 3 , kecuali .... a. 14 6 b. 35 15 c. 49 21 d. 47 39
2. Pecahan berikut yang nilainya diantara 4 3 dan 8 5 adalah .... a. 3 1 b. 2 1 c. 16 11 d. 5 4 3. Pecahan , 6 5 , 3 2 dan 7 5
a. 3 2 , 6 5 , dan 7 5 b. 3 2 , 7 5 , dan 6 5 c. 6 5 , 3 2 , dan 7 5 d. 6 5 , 7 5 , dan 3 2
4. Bentuk pecahan yang paling sederhana dari 0,0075 adalah .... a. 000 . 10 75 b. 000 . 1 75 c. 400 5 d. 40 3
5. Bentuk decimal dari 37 15
dengan pembulatan sampai tiga tempat desimal adalah ....
a. 0,405 b. 0,406 c. 0,450 d. 0,454
6. 3 1
8 % dinyatakan sebagai pecahan biasa menjadi .... a. 25 1 b. 12 1 c. 25 3 d. 4 1 7. Pecahan 8 5
dinyatakan dalam bentuk persen menjadi ....
a. 62,5% b. 58% c. 12,5% d. 6,25%
8. Pecahan 8 3
dinyatakan dalam bentuk permil menjadi ....
a. 250 b. 300 c. 375 d. 625 9. .... 4 3 5 8 3 1 + = a. 4 2 1 b. 4 8 3 c. 5 8 1 d. 7 8 1 10. .... 6 5 1 8 3 6 − = a. 4 6 1 b. 4 24 13 c. 5 24 11 d. 5 24 13 11. .... 2 1 1 : 4 3 5 4 1 x = a. 2 1 b. 20 11 c. 30 17 d. 10 9 12.Hasil dari .... 3 2 3 2 = −
a. 243 32 − b. 729 64 c. 243 32 d. -729 64
