Bab 2 TEORI KONTROL H

TEORI KONTROL H

_∞

Penempatan pole (Pole Placement) dan Linear Quadratic Regulator merupakan strategi klasik untuk mencari pengontrol dari sistem. Kelemahan dari strategi-strategi ini adalah tidak dapat mengatasi ketidakpastian dari model sistem ataupun gangguan dari luar. Untuk mengatasi kelemahan-kelemahan ini muncullah teori kon-trol modern seperti teori konkon-trol H_∞. Kelebihan dari teori kontrol H_∞ ini adalah mampu mengurangi ketidakpastian dari model sistem ataupun gangguan dari luar. Karena alasan inilah, strategi untuk mencari pengontrol H_∞ pada sistem manipu-lator fleksibel digunakan. Akan tetapi, sebelum menerapkan teori kontrol H_∞ pada manipulator fleksibel, kita perlu mengetahui bagaimana mencari pengontrol H_∞ini. Oleh karena itu, pada Bab 2 ini akan dibahas mengenai konsep dasar dari teori kon-trol H_∞.

Konsep penting dari kontrol H_∞ adalah Aljabar Riccati yang akan dibahas pada Subbab 2.2. Akan tetapi, sebelum membahas Aljabar Riccati terlebih dahulu akan dijelaskan mengenai sistem dinamika linear pada Subbab 2.1 yaitu merupakan kon-sep dasar dalam teori kontrol. Sedangkan untuk teori kontrol H_∞akan dibahas pada Subbab 2.3.

2.1

Sistem Dinamika Linear

Persamaan ruang keadaan (state space equation) dari suatu sistem dinamika dapat diekspesikan oleh persamaan diferensial berikut:

˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x(t₀) = x₀, (2.1)

y(t) = Cx(t) + Du(t), (2.2)

dengan x(t)∈ Rn _{disebut state sistem, x(t}

0) disebut syarat awal dari sistem, u(t)∈

Rm _{disebut input sistem, dan y(t)∈ R}p _{disebut output sistem. Sedangkan A, B, C,}

dan D adalah matriks real konstan.

Matriks transfer dari u(t) ke y(t) didefinisikan sebagai Y (s) = G(s)U (s),

dengan U(s) dan Y(s) adalah hasil transformasi Laplace dari u(t) dan y(t) dengan syarat awal nol (x(0) = 0). Matriks transfer G(s) dari u(t) ke y(t) dapat diperoleh dengan melakukan transformasi Laplace pada persamaan (2.1) dan (2.2), diperoleh

G(s) = C(sI− A)−1B + D.

Sistem persamaan (2.1) dan (2.2) dapat dituliskan ke dalam bentuk matriks sebagai

berikut: _⎡ ⎣ ˙x(t) y(t) ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ A B C D ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ x(t) u(t) ⎤ ⎦ .

Untuk mempercepat perhitungan yang melibatkan matriks transfer, kita akan gu-nakan notasi sebagai berikut:

⎡

⎣ A B

C D

⎤

⎦ := C(sI − A)−1_{B + D.}

Selanjutnya akan diperkenalkan beberapa definisi yang cukup penting dalam teori kontrol H_∞ [1].

disebut terkontrol (controllable) jika untuk setiap state awal x(0) = x₀, t₁ > 0 dan state akhir x₁ terdapat (piecewise continues) input u(·) sedemikian sehingga solusi dari persamaan (2.1) memenuhi x(t₁) = x₁.

Definisi 2.2 Suatu sistem dinamika ˙x(t) = Ax(t) dikatakan stabil jika semua

ni-lai eigen dari A terletak pada setengah bidang kompleks buka sebelah kiri, yaitu Reλ(A) < 0. Matriks A dengan sifat tersebut dikatakan stabil atau Hurwitz. Seba-liknya, jika Reλ(A) > 0 maka matriks A dikatakan antistabil.

Definisi 2.3 Sistem dinamika pada persamaan (2.1) atau sepasang matriks (A,B )

disebut terstabilkan (stabilizable) jika terdapat state feedback u = F x sedemikan sehingga sistem tersebut stabil (yaitu A + BF stabil).

Definisi 2.4 Sistem dinamika pada persamaan (2.1) dan (2.2) atau sepasang

ma-triks (C,A) disebut terobservasi (observable) jika untuk setiap t₁ > 0, state awal x(0) = x₀ dapat ditentukan dari time history dari input u(t) dan output y(t) dalam interval [0, t₁].

Definisi 2.5 Suatu sistem, atau sepasang matriks (C,A) disebut terdeteksi

(de-tectable) jika A+LC stabil untuk suatu L.

2.2

Operator Riccati

Misalkan A, Q, R matriks real berukuran n x n dengan Q dan R simetri, yaitu Q = Q∗ dan R = R∗. Definisikan matriks Hamiltonian 2n x 2n :

H := ⎡ ⎣ A R Q −A∗ ⎤ ⎦ .

Asumsikan H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner, maka H haruslah mempunyai n nilai eigen di Re s < 0 dan n nilai eigen di Re s > 0. Misalkan

χ₋(H) adalah subruang spectral berdimensi n yaitu pembentuk subruang tersebut merupakan subruang invariant yang berkaitan dengan nilai-nilai eigen di Re s < 0. Dengan mencari basis dari χ₋(H), kemudian menyusunnya menjadi sebuah matriks, dan mempartisi matriks tersebut, maka akan diperoleh

χ₋(H) = Im ⎡ ⎣ X1 X₂ ⎤ ⎦ , dengan X₁, X₂ ∈ Cn×n_{. Jika X}

1 nonsingular, atau ekivalen dengan jika dua buah

subruang χ₋(H), Im ⎡ ⎣ 0 I ⎤ ⎦ (2.3)

saling komplementer, maka kita dapat memisalkan X := X₂X₁−1 dan X ditentukan oleh H secara tunggal yaitu H → X adalah sebuah fungsi y, disimbolkan dengan Ric. Jadi, X = Ric (H ). Kita akan ambil domain dari Ric, disimbolkan dengan dom (Ric), terdiri dari matriks-matriks Hamiltonian H dengan dua buah sifat yaitu H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner dan dua buah subruang pada (2.3) saling komplementer. Sifat yang pertama disebut sifat stabilitas dan sifat yang kedua disebut sifat kekomplementeran.

Lemma 2.1 Misalkan H ∈ dom(Ric) dan X = Ric(H ). Maka

1. X simetri.

2. X memenuhi persamaan aljabar Riccati, yaitu

A∗X + XA + XRX − Q = 0.

3. A + RX stabil.

Lemma 2.2 Misalkan H tidak mempunyai nilai-nilai eigen imajiner, R semidefinit

Lemma 2.3 Misalkan H mempunyai bentuk H = ⎡ ⎣ A −BB∗ −CC∗ _−A∗ ⎤ ⎦ ,

dengan (A,B ) terstabilkan dan (C,A) terdeteksi . Maka H ∈ dom(Ric), X = Ric(H ) = 0, dan ker(X ) ⊂ χ.

2.3

Masalah Kontrol H

_∞

Salah satu pengukur unjuk kerja performance dalam teori kontrol optimal adalah menggunakan norm H_∞ yang didefinisikan dalam suatu domain frekuensi untuk suatu matriks transfer stabil G(s), yaitu

G_∞ := sup

ω

σ_max[G (jω)] (σ_max:= nilai singular maksimum). Misalkan suatu sistem digambarkan oleh diagram blok sebagai berikut:

Gambar 2.1: Diagram blok

dengan G adalah plant diperumum dan K adalah pengontrol (controller ). Plant diperumum terdiri dari plant suatu masalah kontrol ditambah dengan semua fungsi bobot untuk masalah kontrol tersebut. Sinyal w terdiri dari semua input dari luar, termasuk gangguan (disturbance) dan sensor noise; output z adalah sinyal error; y adalah variabel pengukur; dan u adalah input kontrol. Fungsi transfer lup tertutup dari w ke z dilambangkan dengan T_zw Plant diperumum G dan pengontrol K kita asumsikan real rasional dan proper. Model ruang keadaan untuk G dan K kita

asumsikan tersedia (available) dan realisasi dari model ruang keadaan kita asum-sikan terstabilkan (stabilizable) dan terdeteksi (detectable).

Realisasi matriks transfer G kita ambil berbentuk

G(s) = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ A B₁ B₂ C₁ 0 D₁₂ C₂ D₂₁ 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ dengan asumsi sebagai berikut:

1. (A,B₁) terkontrol dan (C₁,A) terobservasi. 2. (A,B₂) terstabilkan dan (C₂,A) terdeteksi. 3. D₁₂∗ [C₁ D₁₂] = [0 I]. 4. ⎡ ⎣ B1 D₂₁ ⎤ ⎦ D∗ 21= ⎡ ⎣ 0 I ⎤ ⎦.

Asumsi (1) dan (2) dibuat untuk menjamin bahwa dua buah persamaan aljabar Riccati mempunyai solusi terstabilkan definit positif. Asumsi (2) merupakan syarat cukup dan syarat perlu untuk plant G agar terstabilkan secara internal.

Misalkan realisasi pengontrol K dapat dituliskan sebagai berikut:

K(s) = ⎡ ⎣ Aˆ Bˆ ˆ C Dˆ ⎤ ⎦ .

Fungsi transfer lup tertutup dari w ke z yaitu T_zw dapat dicari dengan cara menuliskan G dan K kedalam persamaan ruang keadaan, sebagai berikut:

G(s) : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙x = Ax + B₁w + B₂u z = C₁x + 0w + D₁₂u y = C₂x + D₂₁w + 0u , (2.4) K(s) : ⎧ ⎨ ⎩ ˙v = ˆAv + ˆBy u = ˆCv + ˆDy . (2.5)

Kemudian substitusikan u dari persamaan (2.5) kedalam persamaan (2.4), diperoleh ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ˙x = Ax + B₁w + B₂( ˆCv + ˆDy) z = C₁x + D₁₂( ˆCv + ˆDy) y = C₂x + D₂₁w , (2.6)

dengan mengeliminasi y pada persamaan (2.6) maka akan diperoleh ⎧ ⎨ ⎩ ˙x = Ax + B₁w + B₂Cv + Bˆ ₂D(Cˆ ₂x + D₂₁w) z = C₁x + D₁₂Cv + Dˆ ₁₂D(Cˆ ₂x + D₂₁w) , (2.7) atau ⎧ ⎨ ⎩ ˙x = (A + B₂DCˆ ₂)x + B₂Cv + (Bˆ ₁+ B₂DDˆ ₂₁)w z = (C₁+ D₁₂DCˆ ₂)x + D₁₂Cv + Dˆ ₁₂DDˆ ₂₁w . (2.8)

Selanjutnya substitusikan y dari persamaan (2.4) kedalam persamaan (2.5), diper-oleh

˙v = Av + ˆˆ B(C₂x + D₂₁w) = Av + ˆˆ BC₂x + ˆBD₂₁w

Kita tuliskan persamaaan (2.8) dan (2.9) dalam bentuk matriks ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎡ ⎣ ˙x ˙v ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ A + B2DCˆ 2 B2Cˆ ˆ BC₂ Aˆ ⎤ ⎦ ⎡ ⎣ x v ⎤ ⎦ + ⎡ ⎣ B1+ B2DDˆ 21 ˆ BD₂₁ ⎤ ⎦ w = A_Cx + B˜ _Cw z =  C₁+ D₁₂DCˆ ₂ D₁₂Cˆ ⎡ ⎣ x v ⎤ ⎦ + D_12DDˆ _{21w = C} Cx + D˜ Cw. (2.10) Jadi, fungsi transfer lup tertutup dari w ke z adalah

T_zw(s) = C_C(sI− A_C)−1B_C+ D_C. (2.11) Suatu sistem lup tertutup dikatakan stabil secara internal jika dan hanya jika nilai-nilai eigen dari

A_C = ⎡ ⎣ A + B2DCˆ 2 B2Cˆ ˆ BC₂ Aˆ ⎤ ⎦ ,

terletak pada setengah bidang kompleks buka kiri, yaitu Reλ(A_C) < 0.

Suatu pengontrol dikatakan diperkenankan (admissible) jika pengontrol tersebut menyetabilkan sistem secara internal. Oleh karena itu, kestabilan adalah syarat pa-ling dasar agar suatu sistem dapat bekerja. Secara umum masalah kontrol optimal H_∞ dapat dinyatakan sebagai berikut :

Kontrol Optimal H_∞ : Mencari semua pengontrol K(s) yang diperkenankan

se-hingga T_zw_∞minimum.

Untuk kasus sistem MIMO (Multi Input Multi Output) pengontrol optimal H_∞ tidaklah tunggal. Lebih jauh lagi bahwa mencari pengontrol optimal H_∞ sangatlah rumit baik secara numerik maupun secara teoritis. Oleh karena itu, dalam prak-tiknya cukup dicari pengontrol dengan norm yang sangat dekat dengan norm pen-gontrol optimal. Penpen-gontrol yang demikian disebut penpen-gontrol suboptimal. Masalah kontrol suboptimal H_∞ dapat dinyatakan sebagai berikut :

diperkenankan K(s), jika ada, sehingga T_zw_∞< γ.

Solusi dari H_∞ terkait dengan dua matriks Hamiltonian sebagai berikut :

H_∞ = ⎡ ⎣ A γ−2B1B1∗− B2B2∗ −C∗ 1C1 −A∗ ⎤ ⎦ , J_∞= ⎡ ⎣ A∗ γ−2C1∗C1− C2∗C2 −B1B1∗ −A ⎤ ⎦ .

Teorema 2.1 Terdapat pengontrol yang diperkenankan sehingga T_zw_∞ < γ jika

dan hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi:

1. Matriks Hamiltonian H_∞∈ dom(Ric) dan Ric(H_∞) > 0. 2. Matriks Hamiltonian J_∞∈ dom(Ric) dan Ric(J_∞) > 0. 3. ρ(X_∞Y_∞) < γ2.

Jika ketiga kondisi ini terpenuhi, salah satu pengontrol K mempunyai realisasi se-bagai berikut: K_sub(s) := ⎡ ⎣ Aˆ∞ −Z∞L∞ F_∞ 0 ⎤ ⎦ , dengan ˆ A_∞ := A + γ−2B₁B₁∗X + B₂F_∞+ Z_∞L_∞C₂, F_∞ :=−B₂∗X_∞ , L_∞ :=−Y_∞C₂∗, Z_∞ := (I− γ−2X_∞Y_∞ )−1.

Untuk membuktikan Teorema 2.1 kita memerlukan beberapa lemma dan teorema pendukung.

Lemma 2.4 Misalkan X ∈ Rn×n, Y ∈ Rn×n, dengan X = X∗ > 0, dan Y = Y∗ >

0. Misalkan r adalah bilangan bulat positif, maka terdapat matriks X₁₂ ∈ Rn×r_,

X₂ ∈ Rr×rX₂ ∈ Rr×r sehingga X₂ = X₂∗, ⎡ ⎣ X X12 X₁₂∗ X₂ ⎤ ⎦ > 0 dan ⎡ ⎣ X X12 X₁₂∗ X₂ ⎤ ⎦ −1 = ⎡ ⎣ Y ∗ ∗ ∗ ⎤ ⎦,

jika dan jika ⎡ ⎣ X In I_n Y ⎤ ⎦ ≥ 0 dan rank ⎡ ⎣ X In I_n Y ⎤ ⎦ ≤ n + r. Bukti:

(⇐) Berdasarkan asumsi, terdapat matriks X₁₂∈ Rn×r_{sehingga X}−Y−1 _{= X}

12X12∗ .

Definisikan X₂ = I_r, maka bukti telah lengkap. (⇒) Gunakan Schur Complement,

Y = X−1+ X−1X₁₂(X₂− X₁₂∗ X−1X₁₂)−1X₁₂∗ X−1, invers-kan persamaan diatas diperoleh

Y−1 = X − X₁₂X₂−1X₁₂∗ .

Jadi, X − Y−1 = X₁₂X₂−1X₁₂∗ ≥ 0 dan rank(X − Y−1) = rank(X₁₂X₂−1X₁₂∗ ) ≤ r.

Lemma 2.5 (Bounded Real Lemma) Misalkan

γ > 0, G(s) = ⎡ ⎣ A B C D ⎤ ⎦ dan H := ⎡ ⎣ A + BR−1D∗C BR−1B∗ −C∗_{(I + DR}−1_D∗_{)C −(A + BR}−1_D∗_C)∗ ⎤ ⎦ ,

dengan R = γ2I− D∗D, maka pernyataan- pernyataan berikut ekivalen: 1. G_∞< γ.

2. ¯σ(D) < γ dan H tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner. 3. ¯σ(D) < γ dan H∈ dom(Ric).

4. ¯σ(D) < γ dan H∈ dom(Ric) dan Ric(H) = 0 (Ric(H ) > 0 jika (C,A) terob-servasi).

5. ¯σ(D) < γ dan terdapat X ≥ 0 sehingga X(A + BR−1D∗C) + (A + BR−1D∗C)∗ X + XBR −1B∗X + C∗(I + DR−1D∗)C = 0 dan A + BR−1D∗C + BR−1B∗Xtidak mempunyai nilai eigen di sumbu imajiner.

6. ¯σ(D) < γ dan terdapat X > 0 sehingga

X(A + BR−1D∗C) + (A + BR−1D∗C)∗ X + XBR−1B∗X + C∗(I + DR−1D∗)C < 0. 7. Terdapat X > 0 sehingga ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ XA + A∗X XB C∗ B∗X −γI D∗ C D −γI ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦< 0.

Lemma 2.5 Terdapat pengontrol yang diperkenankan berorde r sehinggaT_zw_∞<γ hanya jika tiga kondisi berikut dipenuhi :

1. Terdapat Y₁ > 0 sehingga AY₁+ Y₁A∗+ Y₁C₁∗C₁Y₁/γ2+ B₁B₁∗− γ2B₂B₂∗ < 0. 2. Terdapat X₁ > 0 sehingga X₁A + A∗X₁+ X₁B₁B₁∗X₁/γ2+ B₁B₁∗− γ2C₂∗C₂ < 0. 3. ⎡ ⎣ X1/γ In I_n Y1/_γ ⎤ ⎦ ≥ 0, rank ⎡ ⎣ X1/γ In I_n Y1/_γ ⎤ ⎦ ≤ n + r. Bukti:

Misalkan terdapat pengontrol K(s) berorde r sehinggaT_zw_∞< γ. Misalkan K(s) mempunyai realisasi ruang keadaan sebagai berikut:

K(s) = ⎡ ⎣ Aˆ Bˆ ˆ C Dˆ ⎤ ⎦

Fungsi transfer lup tertutup dari z ke w pada persamaan (2.11) dapat dituliskan sebagai T_zw= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ A + B₂DCˆ ₂ B₂Cˆ B₁+ B₂DDˆ ₂₁ ˆ BC₂ Aˆ BDˆ ₂₁ C₁+ D₁₂DCˆ ₂ D₁₂Cˆ D₁₂DDˆ ₂₁ ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦=: ⎡ ⎣ AC BC C_C D_C ⎤ ⎦ . Misalkan R = γ2I− D_C∗D_c, ˜R = γ2I− D_cD_C∗.

Berdasarkan bounded real lemma, terdapat ˜X = ⎡ ⎣ X1 X12 X₁₂∗ X₂ ⎤ ⎦ > 0 sehingga ˜ X(A_C+ B_CR−1D_C∗C_C) + (A_C+ B_CR−1D∗_CC_C)∗X + ˜˜ XB_CR−1B_C∗X + C˜ _C∗R˜−1C_C < 0. (2.12) Setelah melalui beberapa manipulasi aljabar, diperoleh

X₁A + A∗X₁ + X₁B₁B₁∗X₁/γ2+ C₁∗C₁ − γ2C₂∗C₂

+(X₁B₁D + X˜ ₁₂B + γ˜ 2C₂∗)(γ2I− ˜D∗D)˜ −1(X₁B₁D + X˜ ₁₂B + γ˜ 2C₂∗)∗ < 0, yang mengakibatkan bahwa

X₁A + A∗X₁+ X₁B₁B₁∗X₁/γ2+ C₁∗C₁− γ2C₂∗C₂ < 0. Dipihak lain, misalkan

˜

Y = γ2X˜−1,

dan partisi Y sebagai

˜ Y = ⎡ ⎣ Y1 Y12 Y₁₂∗ Y₂ ⎤ ⎦ > 0, maka (A_C+ B_CR−1D∗_CC_C) ˜Y + ˜Y (A_C+ B_CR−1D∗_CC_C)∗+ ˜Y C_C∗R˜−1C_CY + B˜ _CR−1B∗_C < 0. (2.13)

Ini memberikan

AY₁+ Y₁A∗+ B₁B₁∗X₁− γ2B₂B₂∗+ Y₁C₁∗C₁Y₁/γ2

+(Y₁C₁∗D˜∗+ Y₁₂C˜∗+ γ2B₂)(γ2I− ˜D ˜D∗)−1(Y₁C₁∗D˜∗+ Y₁₂C˜∗+ γ2B₂)∗ < 0, yang mengakibatkan bahwa

AY₁+ Y₁A∗ + B₁B₁∗X₁− γ2B₂B₂∗ + Y₁C₁∗C₁Y₁/γ2 < 0.

Berdasarkan Lemma 2.4, diberikan X₁ > 0 dan Y₁ > 0 terdapat X₁₂dan X₂sehingga  Y = γ2X˜−1 atau Y /γ =   X/γ −1 : ⎡ ⎣ X1/γ X12/γ X₁₂∗ /γ X₂/γ ⎤ ⎦ −1 = ⎡ ⎣ Y1/γ ∗ ∗ ∗ ⎤ ⎦

jika dan hanya jika ⎡ ⎣ X1/γ In I_n Y₁/γ ⎤ ⎦ ≥ 0, rank ⎡ ⎣ X1/γ In I_n Y₁/γ ⎤ ⎦ ≤ n + r.

Untuk menunjukkan peridaksamaan pada lemma terakhir termasuk eksistensi dari solusi stabil persamaan Riccati X_∞ dan Y_∞, kita memerlukan teorema berikut.

Teorema 2.2 Misalkan R ≥ 0 dan andaikan (A, R) terkontrol dan terdapat X =

X* sehingga

ϑ(X) := XA + A∗X + XRX + X < 0, (2.14)

maka terdapat solusi X+ > X untuk persamaan Riccati

X₊A + A∗X₊ + X₊RX₊ + Q = 0, (2.15)

sehingga A+ RX+ antistabil.

Bukti:

hanya jika (A, B) terkontrol. Misalkan X sedemikian sehingga ϑ(X) < 0. Karena (A, B) terkontrol maka terdapat F₀ sehingga

A₀ := A− BF₀

antistabil. Misalkan X₀ = X₀∗ adalah solusi tunggal untuk persamaan Lyapunov

X₀A₀+ A∗₀X₀− F₀∗F₀ + Q = 0. Definisikan

ˆ

F₀ := F₀+ B∗X,

maka kita mempunyai persamaan berikut :

(X₀− X)A₀+ A∗₀(X₀− X) = ˆF₀∗− ϑ(X) > 0.

Karena A₀antistabil, ini mengakibatkan X₀ > X. Kita mulai dengan X₀, definisikan barisan tak turun matriks Hermitian{X_i}. Berkaitan dengan {X_i}, kita definisikan juga barisan matriks antistabil {A_i} dan barisan matriks {F_i}. Asumsikan secara induktif bahwa kita telah mendefinisikan matriks {X_i}, {A_i}, dan {F_i} untuk i sampai n− 1 sehingga Xi Hermitian dan

X₀ ≥ X₁ ≥ · · · ≥ X_n−1 > X,

A_i = A− BF_i antistabil, i = 0, . . . , n− 1;

F_i =−B∗X_i−1, i = 1, . . . , n− 1;

X_iA_i+ A∗_iX_i = F_i∗F_i− Q, i = 0, 1, . . . , n − 1. (2.16) Selanjutnya, kita perkenalkan

F_n=−B∗X_n−1, A_n = A− BF_n.

Pertama kita tunjukkan bahwa A_n antistabil. Gunakan persamaan (2.16) dengan i = n-1, kita peroleh X_n−1A_n+ A∗_nX_n−1+ Q− F_n∗F_n− (F_n− F_n−1)∗(F_n− F_n−1) = 0. (2.17) Misalkan ˆ F_n∗ := F_n+ B∗X, maka (X_n−1− X)A_n+ A∗_n(X_n−1− X) = −ϑ(X) + ˆF_n∗Fˆ_n+ (F_n− F_n−1)∗(F_n− F_n−1) > 0, (2.18) ini mengakibatkan bahwa A_n antistabil menurut teorema Lyapunov karena X_n−1− X > 0. Sekarang kita perkenalkan X_n sebagai solusi tunggal dari persamaan Lya-punov :

X_nA_n+ A∗_nX_n = F_n∗F_n− Q, (2.19) maka X_n Hermitian. Selanjutnya kita mempunyai

(X_n− X)A_n+ A∗_n(X_n− X) = −ϑ(X) + ˆF_n∗Fˆ_n > 0, Dengan menggunakan persamaan (2.17),

(X_n−1− X_n)A_n+ A∗_n(X_n−1− X_n) = (F_n− F_n−1)∗(F_n− F_n−1) > 0. Karena A_n antistabil maka

X_n−1 ≥ X_n> X.

Kita mempunyai barisan tak turun{X_i}, dan barisan terbatas dibawah oleh X_i > X. Oleh karena itu, limit

X₊:= lim

n→∞Xn

ada dan Hermitian, dan kita mempunyai X₊ > X. Kita ambil limit n → ∞ pada persamaan (2.18) kita peroleh ϑ(X₊) = 0. Jadi, X+ adalah solusi dari persamaan (2.15). Perlu dicatat bahwa X₊− X ≥ 0 dan

Jadi, X₊− X > 0 dan A₊= A + RX₊stabil.

Bukti (Teorema 2.1):

(⇒)

1. KarenaT_zw_∞ < γ maka berdasarkan Bounded Real Lemma H_∞∈ dom(Ric). Selanjutnya dengan menggunakan lemma 2.6 bagian (1), kita peroleh bahwa terdapat Y₁ > 0 sehingga

AY₁+ Y₁A∗+ Y₁C₁C₁∗Y₁/γ2+ B₁∗B₁− γ2B₂∗B₂ < 0.

Dengan menggunakan Teorema (2.2) dapat disimpulkan bahwa terdapat Y > Y₁ > 0 sehingga

AY + Y A∗+ Y C₁C₁∗Y /γ2+ B₁∗B₁ − γ2B₂∗B₂ = 0 (2.21) dan A∗ + C₁∗C₁Y /γ2 antistabil. Misalkan X_∞ = γ2Y−1, karena Y > 0 maka X_∞ > 0. Kalikan persamaan (2.21) dengan Y−1 dari kanan dan dengan X_∞ dari kiri, maka diperoleh

X_∞A + A∗X_∞+ X_∞(B₁B₁∗/γ2− B₂B₂∗)X_∞+ C₁C₁∗ = 0. (2.22) Persamaan (2.22) dapat dituliskan sebagai

X_∞A + X_∞(B₁B₁∗/γ2− B2B∗₂)X_∞=−A∗X_∞− C₁∗CX_∞−1X_∞. (2.23) Kalikan persamaan (2.23) dengan X−1, diperoleh

A + (B₁B₁∗/γ2− B2B₂∗)X_∞ = −X_∞−1A∗X_∞− X_∞−1C₁∗CX_∞−1X_∞.

(2.24)

Karena X_∞ > 0 maka X_∞−1 > 0, sedangkan A∗+ C₁∗C₁Y /γ2 antistabil, maka A∗ + C₁∗C₁Y /γ2 > 0, sehingga −X_∞−1(A∗ + C₁∗CY /γ2)X_∞ < 0. Jadi, A + (B₁B₁∗/γ2− B2B₂∗)X_∞ stabil.

2. Dengan cara yang sama pada bagian (1) diperoleh bahwa H_∞ ∈dom(Ric) dan berdasarkan Lemma 2.6 bagian (2) dan Teorema 2.2 dapat disimpulkan bahwa

terdapat X > X₁ > 0 sehingga

XA + A∗X + XB₁B₁∗X/γ2+ C₁∗C₁− γ2C₂∗C₂ = 0 dan A + B₁B₁∗X/γ2 antistabil. Misalkan Y_∞= γ2X−1, kita peroleh

AY_∞+ Y_∞A∗+ Y_∞(C₁∗C₁/γ2− C₂∗C₂)Y_∞+ B₁B₁∗ = 0 (2.25) danA + (C₁∗C₁/γ2− C₂∗C₂)Y_∞stabil. Jadi, Y_∞= Ric(H_∞) > 0.

3. Berdasarkan Lemma (2.6) bagian (3) diperoleh ⎡ ⎣ γY∞−1 In I_n γX_∞−1 ⎤ ⎦ = ⎡ ⎣ X/γ In I_n Y /γ ⎤ ⎦ > ⎡ ⎣ X/γ In I_n Y₁/γ ⎤ ⎦ ≥ 0 Karena ⎡ ⎣ γY∞−1 In I_n γX_∞−1 ⎤ ⎦ > 0 dan γY−1

∞ > 0 maka berdasarkan Schur Complement

kita peroleh γY_∞−1− I_nγ−1X_∞I_n > 0 atau ρ(X_∞Y_∞) < γ2. (⇐)

Untuk melengkapi bukti, kita hanya perlu menunjukkan bahwa pengontrol K_sub(s) yang diberikan pada Teorema 2.1 mengakibatkan T_zw_∞< γ. Perhatikan fungsi transfer lup tertutup dari w ke z (dengan K_sub diberikan),

T_zw = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ A B₂F_∞ B₁ −Z∞L∞C2 Aˆ∞ −Z∞L∞D21 C₁ D₁₂F_∞ 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦=: ⎡ ⎣ AC BC C_C D_C ⎤ ⎦ . Definisikan P = ⎡ ⎣ γ2Y∞−1 −γ2Y∞−1Z∞−1 γ2(Z_∞∗ ) Y_∞−1 γ2Y_∞−1Z_∞−1 ⎤ ⎦ , maka P >0 dan P A_C+ A∗_CP + P B_CB_C∗P/γ2 = 0.

Selain itu, A_C + B_CB_C∗P/γ2 = ⎡ ⎣ A + B1B1∗Y∞−1 B2F∞− B1B1∗Y∞−1Z∞−1 0 A + B₁B₁∗X_∞/γ2+ B₂F_∞ ⎤ ⎦

tidak mempunyai nilai eigen pada sumbu imajiner karena A + B₁B₁∗X_∞/γ2+ B₂F_∞ stabil dan A+B₁B₁∗Y_∞−1antistabil. Berdasarkan Bounded Real Lemma makaT_zw_∞ < γ.

Teorema 2.1 menunjukkan eksistensi dari pengontrol H_∞dan juga menjelaskan men-genai langkah-langkah untuk mencari pengontrol H_∞. Masalah selanjutnya adalah bagaimana menerapkan pengontrol H_∞ ini pada sistem manipulator fleksibel. Un-tuk menerapkan kontrol H_∞ ini maka perlu dibuat model matematika dari sistem manipulator fleksibel kemudian mendesain sistem kontrolnya.