BAB II TINJAUAN PUSTAKA

(1)

4 BAB II

TINJAUAN PUSTAKA

Bab ini berisikan definisi-definisi beserta contoh yang berkaitan dengan graf, graf pohon, matriks jarak, determinan matriks, dan sistem instalasi listrik.

2.1 Graf

Definisi 2.1.1 Sebuah graf 𝐺 adalah pasangan himpunan (𝑉, 𝐸) dengan 𝑉 merupakan himpunan tak kosong dari simpul dan 𝐸 adalah himpunan dari busur yang menghubungkan sepasang simpul dalam graf tersebut. Simpul pada graf dapat disimbolkan dengan huruf seperti 𝑣, 𝑤, … dengan bilangan asli 1, 2, 3, … atau gabungan dari keduanya. Untuk sisi yang menghubungkan simpul 𝑣_𝑖 dengan 𝑣_𝑗 dinyatakan dengan pasangan (𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗) atau dengan lambang 𝑒₁, 𝑒₂, ... atau dengan kata lain jika e adalah sisi yang menghubungkan simpul 𝑣_𝑖 dengan 𝑣_𝑗 maka e dapat ditulis sebagai e = (𝑣_𝑖, 𝑣_𝑗) (Shafi, 2019).

Contoh 2.1.1

Gambar 2.1.1 Contoh Graf

𝐺₁ adalah graf dengan 𝑉 = {1, 2, 3, 4} dan 𝐸 = {(1, 2), (1, 3), (2, 3), (2, 4), (3, 4)}, 𝐺₂ adalah graf dengan 𝑉 = {1, 2, 3, 4} dan 𝐸 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4)} = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄, 𝑒₅, 𝑒₆, 𝑒₇} sedangkan 𝐺₃ adalah graf dengan 𝑉 = {1, 2, 3, 4} dan 𝐸 = {(1, 2), (2, 3), (1, 3), (1, 3), (2, 4), (3, 4), (3, 4), (3, 3)} = {𝑒₁, 𝑒₂, 𝑒₃, 𝑒₄, 𝑒₅, 𝑒₆, 𝑒₇, 𝑒₈}. Pada 𝐺₂, di sisi 𝑒₃ = (1, 3) dan 𝑒₄ = (1, 3) dinamakan

(2)

5

sisi ganda (multiple edges atau paralel edges) dikarenakan kedua sisi tersebut menghubungi dua buah simpul yang sama, yaitu simpul 1 dan simpul 3. Pada 𝐺₃, di sisi 𝑒₈ = (3, 3) dinamakan gelang atau kalang (loop) dikarenakan ia berawal dan berakhir pada simpul yang sama.

Berikut adalah istilah-istilah dalam teori graf.

Definisi 2.1.2 Barisan berhingga dari vertex dan edge yang dimulai dan diakhiri dengan vertex sedemikan sehingga setiap edge menempel (incident) dengan vertex sebelum dan sesudahnya disebut dengan jalan (walk) (Ferdias & Wamiliana, 2011).

Contoh 2.1.2

Gambar 2.1.2 Graf G

Contoh walk pada gambar 2.1.2 di atas adalah (𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₇, 𝑣₄, 𝑒₆, 𝑣₁, 𝑒₅, 𝑣₅, 𝑒₄, 𝑣₄).

Definisi 2.1.3 Suatu walk yang semua vertexnya berbeda disebut dengan lintasan (path) (Ferdias & Wamiliana, 2011).

Contoh path pada gambar 2.1.2 di atas adalah (𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₂, 𝑣₃, 𝑒₃, 𝑣₄, 𝑒₄, 𝑣₅).

Definisi 2.1.4 Lintasan (path) yang dimulai dan diakhiri dengan titik yang sama disebut dengan sirkuit (Ferdias & Wamiliana, 2011).

Pada gambar 2.1.2 di atas (𝑣₁, 𝑒₁, 𝑣₂, 𝑒₂, 𝑣₃, 𝑒₃, 𝑣₄, 𝑒₄, 𝑣₅, 𝑒₅, 𝑣₁) merupakan contoh dari lintasan.

Graf terdiri dari berbagai jenis diantaranya adalah graf pohon.

(3)

6 2.2 Graf Pohon (Tree)

Definisi 2.1.2 Graf pohon (tree) adalah graf terhubung yang tidak mengandung sirkuit (Syahputra, Dahria, & Zulkarnain, 2017).

Dalam definisi graf pohon tersebut, ada dua sifat yang penting pada pohon yaitu terhubung dan tidak mengandung sirkuit. Pohon merupakan graf yang dimana dua simpul mempunyai satu lintasan yang menghubungkannya. Karena pada setiap simpul hanya mempunyai satu lintasan askses dari setiap simpul lainnya, maka tidak mungkin bagi sebuah lintasan untuk membentuk simpul (loop) atau siklus (cycle) yang secara berkesinambungan melalui simpul (Syahputra, Dahria, &

Zulkarnain, 2017).

Contoh 2.2.1

Gambar 2.2.1 Graf pohon (tree) 2.3 Matriks Jarak

Definisi 2.3.1 Matriks dapat didefinisikan sebagai kumpulan dari beberapa nilai yang mempunyai baris dan kolom dengan baris adalah susunan horizontal sedangkan kolom merupakan susunan vertikal. Matriks yang mempunyai 𝑚 baris dan 𝑛 kolom dapat didefinisikan sebagai matriks yang berordo 𝑚 × 𝑛 atau dengan kata lain ordo matriks menyatakan banyaknya baris dan kolom pada suatu matriks (Yulian, dkk., 2019).

(4)

7

Bentuk umum suatu matriks 𝐴 yang memuat 𝑚 baris dan 𝑛 kolom dapat dinyatakan dalam bentuk di bawah ini.

𝐴_𝑚×𝑛 = [

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ … 𝑎_1𝑛 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ … 𝑎_2𝑛 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃ … 𝑎_3𝑛

… … … … …

𝑎_𝑚1 𝑎_𝑚2 𝑎_𝑚3 … 𝑎_𝑚𝑛]

Sebuah matriks dapat ditulis dengan menggunakan huruf kapital seperti 𝐴, 𝐵, 𝐶, dan sebagainya sedangkan elemen atau unsur suatu matriks dapat ditulis dengan huruf kecil sesuai letak elemennya. Unsur atau elemen dari suatu matriks dapat juga dinyatakan dengan huruf kecil yang berindeks ganda (𝑎_𝑖𝑗). Indeks ganda dari setiap unsur suatu matriks merupakan petunjuk dari posisi setiap unsur. Misalnya unsur 𝑎₂₁ menyatakan unsur/elemen matriks 𝐴 yang terletak pada baris kedua dan kolom ketiga, unsur 𝑎₃₃ terletak pada baris ketiga kolom ketiga, dan seterusnya.

Contoh 2.3.1 Misalnya diberikan sebuah matriks 𝐴 sebagai berikut.

𝐴 = [

2 3 6

4 1 9

9 7 5

]

Matriks 𝐴 di atas terdiri dari 3 baris dan 3 kolom. Jika dilihat dari matriks 𝐴 diatas, 5 adalah unsur 𝑎₃₃ terletak pada baris ketiga kolom ketiga.

Ada banyak jenis representasi graf ke dalam matriks diantaranya adalah matriks jarak.

Definisi 2.3.2 Jarak antara dua simpul pada suatu graf 𝐺 adalah jumlah sisi jarak terpendek di antara dua simpul pada graf 𝐺 (Rao, 2017).

(5)

8 Contoh 2.3.2

Gambar 2.3.1 Graf 𝐺

Jarak terpendek simpul 𝑎 ke simpul 𝑔 adalah 2 yaitu simpul 𝑎 ke simpul 𝑏 ke simpul 𝑔 yaitu (𝑎 − 𝑏 − 𝑔).

Definisi 2.3.3 Misalkan graf 𝐺 adalah sebuah graf dengan n simpul/node. Jarak antara simpul 𝑣_𝑖 dan 𝑣_𝑗 adalah jumlah sisi jalur terpendek di G diantara 𝑣_𝑖 dan 𝑣_𝑗 (Dratman, dkk., 2019).

Matriks jarak pada graf 𝐺 dilambangkan dengan 𝐷(𝐺) dimana 𝐷(𝐺) = [𝑑_𝑖𝑗] adalah matriks simetris 𝑛 × 𝑛 dan entri 𝑑_𝑖𝑗 didefinisikan sebagai

𝑑_𝑖𝑗= { jarak antara 𝑣_𝑖 dan 𝑣_𝑗, jika i≠j, 0, jika i=j.

Contoh 2.3.3 Diberikan sebuah graf pohon T sebagai berikut.

Gambar 2.3.2 Graf Pohon 𝑇 Maka matriks jarak dari graf di atas adalah:

(6)

9

Dari contoh matriks jarak di atas, dapat dilihat bahwa jika 𝑖 = 𝑗 maka nilai entrinya adalah nol misalnya unsur 𝑎₃₃ yang terletak pada baris ketiga dan kolom ketiga nilainya sama dengan nol sedangkan jika i ≠ j maka nilai entrinya tidak sama dengan nol misalnya unsur 𝑎₁₃ memiliki nilai sebesar tiga yang artinya panjang jalur terpendek dari titik satu menuju titik tiga adalah tiga.

2.4 Determinan Matriks

Definisi 2.4.1 Jika 𝐴 adalah suatu matriks persegi, maka minor dari entri 𝑎_𝑖𝑗 dinyatakan sebagai 𝑀_𝑖𝑗 dan didefinisikan sebagai determinan dari submatriks yang tersisa setelah baris ke−𝑖 dan kolom ke−𝑗 dihilangkan dari 𝐴, sedangkan kofaktor didapatkan dari (−1)^𝑖+𝑗𝑀_𝑖𝑗 (Anton & Rorres, 2014).

Contoh 2.4.1 Misalkan matriks 𝐴 adalah sebagai berikut.

𝐴 = [

1 2 3

4 5 2

1 3 4

]

Determinan matriks A menggunakan metode ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama adalah:

Minor dari 𝑀₁₁ adalah:

𝑀₁₁ = |

1 2 3

4 5 2

1 3 4

| = |5 2

3 4| = 20 − 6 = 14 Sedangkan kofaktornya adalah:

𝐶₁₁ = (−1)¹⁺¹ . det 𝑀₁₁ = (1)(14) = 14 Dengan cara serupa, diperoleh:

𝑀₁₂ = 14, 𝐶₁₂ = −14, 𝑀₁₃ = 7, 𝐶₁₃ = 7

(7)

10

Sehingga, |A| = 𝑎₁₁𝐶₁₁− 𝑎₁₂𝐶₁₂ + 𝑎₁₃𝐶₁₃ = 1(14) − 2(−14) + 3(7) = 7 Lema 2.4.1 (Anton & Rorres, 2014) Misalkan 𝐴 matriks berukuran 𝑛 × 𝑛 dan 𝑘 suatu skalar, maka

|𝑘𝐴| = 𝑘^𝑛|𝐴|

Contoh 2.4.1

Misalkan matriks 𝐴 adalah sebagai berikut.

𝐴 = [

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃] Maka |𝑘𝐴| adalah:

|𝑘𝐴| = |

𝑘𝑎₁₁ 𝑘𝑎₁₂ 𝑘𝑎₁₃ 𝑘𝑎₂₁ 𝑘𝑎₂₂ 𝑘𝑎₂₃ 𝑘𝑎₃₁ 𝑘𝑎₃₂ 𝑘𝑎₃₃

| = 𝑘³|

𝑎₁₁ 𝑎₁₂ 𝑎₁₃ 𝑎₂₁ 𝑎₂₂ 𝑎₂₃ 𝑎₃₁ 𝑎₃₂ 𝑎₃₃

|

Cara lain dalam menghitung determinan matriks yaitu berdasarkan partisi matriks blok:

Teorema 2.4.2 (Ilhamsyah, Helmi, & Fran) Jika A dan D adalah matriks persegi, maka

|𝐴 𝐵

𝐶 𝐷| = {|A| |(𝐷 − 𝐶𝐴⁻¹𝐵)| , jika 𝐴⁻¹ ada

|D| |(𝐴 − 𝐵𝐷⁻¹𝐶) |, jika 𝐷⁻¹ ada 2.5 Sistem Instalasi Listrik

Sistem instalasi listrik merupakan suatu sistem yang menjelaskan bagaimana penyaluran suatu tenaga listrik untuk semua peralatan listrik yang memerlukan energi listrik, dimana pemasangan peralatan instalasi harus memenuhi persyaratan yang ditetapkan karena setiap instalasi listrik yang terpasang pada pelanggan (instalasi pemanfaatan tenaga listrik/ instalasi pelanggan) harus melalui pemeriksaan lembaga independen yaitu lembaga pemeriksa kesesuaian standar (PUIL). Instalasi listrik yang baru terpasang tidak bisa dioperasikan sebelum memperoleh izin pengoperasian dari lembaga pemeriksa kesesuaian standar PUIL.

(Riyanto & Londong, 2019)

(8)

11 Contoh 2.5.1

Gambar 2.5.1 Contoh Sistem Instalasi Listrik Pada Gedung Bertingkat Keterangan:

1. MDP (Main Distribution Panel) adalah panel yang menghubungkan tenaga listrik dari sumber tegangan menengah dan disuplai langsung oleh transformator atau genset.

2. MCB (Mini Circuit Breaker) adalah alat pengaman yang berfungsi sebagai pemutus arus hubung singkat dan beban lebih.

3. NYY adalah jenis kabel yang memiliki lebih dari satu inti tembaga dengan isolasi PVC dan selubung luar berbahan PVC.

4. MEE adalah pembagian beban tiap grup pada bagian gedung yang berfungsi agar tidak terjadi drop pada tegangan listrik. (Santoso, Dhofir, & Suyono, 2014)