1.1 Sub Kompetensi. 1.2 Uraian Materi. Modul I Besaran dan Satuan

(1)

Modul Fisika I Page 2

1.1 Sub Kompetensi

Kemampuan yang akan dimiliki oleh mahasiswa setelah memahami isi modul ini adalah sebagai berikut :

• Mahasiswa bisa memahami tentang besaran, satuan, dan operasi vektor dan dapat menerapkannya pada permasalahan yang berhubungan dengan fisika

• Mahasiswa bisa menerapkan operasi dan penguraian vektor pada permasalahan yang berhubungan dengan fisika.

• Mahasiswa dapat menyelesaikan soal-soal yang berhubungan dengan aplikasi vektor pada bidang fisika

1.2 Uraian Materi

Satuan

Sistem satuan yang sering digunakan adalah Sistem Satuan Internasional, Sistem Satuan British.

Sistem Satuan Internasional (SI) untuk beberapa besaran antara lain:

Massa (kg; gr)

Panjang (meter, centimeter) Waktu (detik)

Gaya (Newton atau kg m/dt²) Usaha/kerja (Joule atau N-m) Tekanan (Pascal, Bar) dll

Sistem Satuan British untuk beberapa besaran antara lain:

Massa (lbm) Panjang (ft, inchi) Waktu (detik) Gaya (lb) Usaha (lb-ft) Tekanan (psi) dll

Besaran

Dalam ilmu fisika ada dua jenis besaran yang digunakan, yaitu besaran Skalar dan besara Vektor. Besaran skalar adalah besaran yang hanya mempunyai besar saja. Sedang besaran vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah.

(2)

Modul Fisika I Page 3 Contoh besaran skalar adalah : massa, waktu, usaha, dll

Contoh besaran Vektor adalah : Kecepatan, percepatan, gaya, medan listrik, medan magnet dll.

Vektor

Penjumlahan Vektor Secara Grafis

a b

r r

+

b

r

ar ar a b

r r

−

b

r

−

Gambar 1.1 Penjumlahan dan pengurangan vektor secara grafis

Penjumlahan dan pengurangan vektor secara grafis, haris dilakukan dengan teliti, diskalakan dengan benar dan sudutnya juga diukur dengan busur derajat.

Jika dijumlahkan secara matematis maka rumusnya adalah:

θ

cos 2

2 2

b a b a R

r r r r

r

+ +

= ^(1.1)

Perkalian vektor

a. Perkalian antara vektor a

r

dengan skalar k Hasilnya merupakan vektor baru.

Bila k >0 vektor baru k ar

searah dengan ar Bila k<0 vektor baru ka

r

berlawanan arah dengan vektor a

r

b. Perkalian vektor dengan vektor

a. Perkalian titik.

Hasilnya merupakan besaran skalar.

θ

cos . .b a b a

r r r r

= (1.2)

(3)

Modul Fisika I Page 4 dan a

r

b

r

b

r

a

r

.

. =

Dimana

θ

adalah sudut antara kedua vektor.

c. Perkalian silang. Hasilnya merupakan besaran vektor.

Hasilnya besaran vektor yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Dan arahnya sesuai dengan arah putar sekrup kanan.

θ sin .b

a b x a

r r r r

= (1.3)

axb

r r

b

r

θ

b sin

θ

a

r

b

r

xa

r

Gambar 1.2 Perkalian silang antara dua vektor

Uraian Vektor

Koordinat Kartesian

y

^F r

^F^y r

θ

F^x

r

x Gambar 1.3 Penguraian gaya ke sumbu x dan y

θ cos

F F_x

r r

= ;

F_y F

sin θ

r r

= ;

F F_x F_y

r r r

+

= (1.4)

2 2

y

x F

F F

r r r

+

= ;

x y

F tg Fr r

θ

=

(1.5)

(4)

Contoh Soal:

1.1 Gaya F

1

= 20 N dengan arah

θ

= 60

^o

dan F

2

= 30 N dengan arah

θ

= -30

^o

, dan F

3

= 40 N dengan arah

θ

= 120

^o

Tentukan besar dan arah resultannya.

Penyelesaiannya:

F

x1

= F

y1

= F

x2

= F

y2

= F

_x3

= F

_y3

=

Σ

F

_x

=

Σ

F

_y

=

Σ Σ

F

total

Koordinat Ruang

y

^F^y r

=F cos

β

^F r

β

α

F_x r

=F cos

α

γ

x

Fz

r

= F cos

γ

z

Gambar 1.4 Penguraian gaya pada ketiga sumbu koordinat kartesian

z y

x F F

F F

r r r r

+ +

=

; (1.6)

(5)

2 2 2

z y

x F F

F F

r r r r

+ +

=

(1.7)

α

cos F F_x

r r

=

F F_x

r r

α

=

cos (1.8)

β cos

F F_y

r r

=

F F_y r r

β =

cos (1.9)

cos γ

F F_z

r r

=

F F_z r r

γ

=

cos

(1.10)

Sudut

α

,

β

, dan

γ

harus memenuhi syarat:

1 cos cos

cos

²

α +

²

β +

²

γ = (1.11)

Contoh Soal:

1.2 F

1

= 30 N dengan arah mengapit sudut 30

^o

dengan sumbu x positif, 60

^o

dengan sumbu y positif, dan 90

^o

dengn sumbu z positif. F

2

= 20 N dengan arah mengapit sudut 90

^o

dengan sumbu x positif, 30

^o

dengan sumbu y positif, dan 60

^o

dengn sumbu z positif. Dan F

₃

= 20

N dengan arah mengapit sudut 45

^o

dengan sumbu x positif, 90

^o

dengan sumbu y positif,

dan 45

^o

dengn sumbu z positif. Tentukanlah resultan ketiga gaya tersebut.

Penyelesaian:

F

x1

= F

y1

= F

z1

= F

_x2

= F

_y2

= F

_z2

= F

x3

= F

y3

= F

z3

=

Σ

F

x

=

Σ

F

y

=

Σ

F

z

=

Σ Σ Σ

F

_total

=

(6)

Modul Fisika I Page 7 Vektor satuan

Vektor satuan adalah vektor yang besarnya satu, berfungsi menunjukkan arah vektor ke sumbu koordinat kartesian x, y, atau z.

y

^jˆ

i x

kˆ

Z

Gambar 1.6 Vektor satuan

dengan

i

ˆ = ˆ

j

=

k

ˆ = vektor satuan, yang besarnya 1 satuan.

contoh:

k a j a i a

a

r =

_x

ˆ +

_y

ˆ +

_z

ˆ

dan

b =b_xiˆ+b_yjˆ+b_zkˆ r

Pengoperasian vektor dalam notasi vektor satuan.

*

a+b =(a_x +b_x)iˆ+(a_y +b_y)ˆj+(a_z +b_z)kˆ r r

*

a−b =(a_x −b_x)iˆ+(a_y −b_y)jˆ+(a_z−b_z)kˆ r r

*

k.ar=(ka_x)iˆ+(ka_y)ˆj+(ka_z)kˆ

* Perkalian titik antara dua vektor.

Misalkan

dan

. .

Karena

a

.

b a

.

b

cos θ

r r

= maka jika sudut antara dua vektor 90

^o

maka hasik perkaliannya

akan nol, sedangkan jika sudut antara dua vektor 0

^o

maka hasil kalinya akan sama dengan 1.

Maka:

ˆ 1 ˆ = .

i

;

ˆj.ˆj=1

;

k

ˆ .

k

ˆ = 1 ;

iˆ.ˆj=0

;

ˆj.kˆ=0

;

k

ˆ = .

i

ˆ 0 sehingga,

a

r

b

r =

a_xb_x

+

a_yb_y

+

a_zb_z

.

(7)

* Perkalian silang antara dua vektor.

Misalkan

dan

Karena

a

.

b a

.

b

sin θ

r r

= maka jika sudut antara dua vektor 90

^o

maka hasik perkaliannya

akan sama dengan 1, sedangkan jika sudut antara dua vektor 0

^o

maka hasil kalinya akan sama

dengan nol.

ˆ 0 ˆ

xi

=

i

;

ˆjxˆj=0

;

k

ˆ

xk

ˆ = 0 ;

iˆxˆj=kˆ

;

ˆjxkˆ=iˆ

;

kˆxiˆ= jˆ

; Jika dibalik, harganya negatif.

Maka:

k b a b a j b a b a i b a b a b x

a

= (

_y _z

−

_z _y

) ˆ + (

_z _x

−

_x _z

) ˆ + (

_x _y

−

_y _x

) ˆ r r

Mengerjakan perkalian silang antara dua vektor ini akan lebih mudah jika dikerjakan dengan menggunakan matrik.

= (

a_yb_z

−

a_zb_y

)

i

ˆ + (

a_zb_x

−

a_xb_z

) ˆ

j

+ (

a_xb_y

−

a_yb_x

)

Contoh Soal:

1. 2 3 4 !" 3 2# 3

Tentukanlah b.

c.

d. k

jika k = 2 e.

_.

f.

Penyelesaian::

.

(

2 3 4 3 2 3 5 9

b.

(

2 3 4 3 2 3 5

c. 2.

2 3 4 4 6 8

d.

_.

= (

2 3 4. 3 2 3 12

e.

=

(8)

2 3 4

3 2 3

=

1.3 Rangkuman

Vektor dan operasi vektor Perkalian vektor

g. Perkalian antara vektor a r

dengan skalar k Hasilnya merupakan vektor baru.

Bila k >0 vektor baru k a r

searah dengan a r Bila k<0 vektor baru k a r

berlawanan arah dengan vektor a r b. Perkalian vektor dengan vektor

a. Perkalian titik.

Hasilnya merupakan besaran skalar.

θ cos .

.

b a b

a r r r r

=

dan

a

r

b

r

b

r

a

r .

. =

Dimana

θ

adalah sudut antara kedua vektor.

d. Perkalian silang. Hasilnya merupakan besaran vektor.

Hasilnya besaran vektor yang besarnya sama dengan luas jajaran genjang yang dibentuk oleh kedua vektor tersebut. Dan arahnya sesuai dengan arah putar sekrup kanan.

θ sin .b

a b x a

r r r r

=

Pengoperasian vektor dalam notasi vektor satuan.

Misalkan : a

r =

a_xi

ˆ +

a_y

ˆ

j

+

a_zk

ˆ

dan

b =b_xiˆ+b_yˆj+b_zkˆ r

*

a

+

b

= (

a_x

+

b_x

)

i

ˆ + (

a_y

+

b_y

) ˆ

j

+ (

a_z

+

b_z

)

k

ˆ r r

*

a

−

b

= (

a_x

−

b_x

)

i

ˆ + (

a_y

−

b_y

)

j

ˆ + (

a_z

−

b_z

)

k

ˆ

r r

(9)

*

k.ar=(ka_x)iˆ+(ka_y)ˆj+(ka_z)kˆ

* Perkalian titik antara dua vektor.

Misalkan

dan

. .

ˆ 1 ˆ = .

i

;

ˆj.ˆj=1

;

k

ˆ .

k

ˆ = 1 ;

iˆ.ˆj=0

;

ˆj.kˆ=0

;

k

ˆ = .

i

ˆ 0 sehingga,

ab

=

a_xb_x

+

a_yb_y

+

a_zb_z

r r .

* Perkalian silang antara dua vektor.

Misalkan

dan

= (

a_yb_z

−

a_zb_y

)

i

ˆ + (

a_zb_x

−

a_xb_z

) ˆ

j

+ (

a_xb_y

−

a_yb_x

)

1.4 Referensi

a. Halliday & Resnick (1984). FISIKA 3th ed. : Jakarta , ERLANGGA

b. Sears. Zemansky (1985). FISIKA Cetakan ke enam ; Jakarta, BINACIPTA

c. Diktat FISIKA II; FMIPA – ITS

1.5 Latihan Soal

1. Y F

1

= 20 N F

₂

= 15 N

30

^o

45

^o

30

^o

F

3

= 15 N

Tentukanlah resultan dari ketiga gaya tersebut

2. Gaya F

1

= 10 N dengan arah (

α

,

β

,

γ

) masing-masing adalah ( 30

^o

, 90

^o

, 60

^o

) ; F

2

= 20 N dengan arah (

α

,

β

,

γ

) masing-masing adalah ( 45

^o

, 60

^o

, 60

^o

). Tentukanlah:

a. F

1

dan F

2

dalam bentuk vektor satuan

(10)

b. F

1

+ F

2

c. F

₁

– F

₂

d. F

1

.F

2

e. F

1

xF

2

3.

9 6 !" 4 6 5

Buktikan bahwa kedua vektor di atas saling tegak lurus, dengan menggunakan perkalian titik

4.

9 6 !" 4 6 5

Buktikan bahwa kedua vektor di atas saling tegak lurus, dengan menggunakan perkalian silang.

5. Pada sebuah benda dikerjakan gaya

3 2

. Dikarenakan gaya ini, benda berpindah dari titik pusat koordinat ke titik (5,7,10). Hitunglah kerja/usaha yang dilakukan gaya tersebut.

6. Muatan listrik q = 10

^-5

Coulumb bergerak denga kecepatan konstan 10

⁷

m/s dengan arah (

α

,

β

,

γ

) masing-masing (60

^o

, 60

^o

, 45

^o

) di dalam medan magnet serba sama 2 W/m

²

dengan arah (

α

,

β

,

γ

) masing-masing (90

^o

, 45

^o

, 45

^o

). Hitunglah gaya lorentz yang dialami muatan tersebut.

7.

3 2 7 ; 5 6 5 ; * 2 4 2

Tunjukkan bahwa ketiga vektor tersebut di atas membentuk segitiga siku-siku.

1.6 Lembar Kerja

...

(11)

...

(12)

...

(13)

...

(14)

...

(15)

...

(16)

...

(17)

...

(18)

...

(19)

...