commit to user
MODEL PERSEDIAAN (Q, r, L) TANPA DAN DENGAN
PENGURANGAN BIAYA PEMESANAN
oleh
EKA HELY JAYANTI
NIM. M0108040
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar
Sarjana Sains Matematika
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
commit to user
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL . . . i
HALAMAN PENGESAHAN . . . ii
ABSTRAK . . . iii
ABSTRACT . . . iv
MOTTO . . . v
PERSEMBAHAN . . . vi
KATA PENGANTAR . . . vii
DAFTAR ISI . . . viii
DAFTAR GAMBAR . . . x
DAFTAR TABEL . . . xi
I PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah . . . 1
1.2 Perumusan Masalah . . . 3
1.3 Batasan Masalah . . . 3
1.4 Tujuan . . . 3
1.5 Manfaat . . . 4
II LANDASAN TEORI 5 2.1 Tinjauan Pustaka . . . 5
2.2 Landasan Teori . . . 6
2.2.1 Konsep Dasar Statistik . . . 6
2.2.2 Jenis-jenis permintaan . . . 8
commit to user
2.2.4 Variabel yang mempengaruhi biayainventory . . . 10
2.2.5 Model Persediaan Economic Order Quantity (EOQ) Klasik 11 2.2.6 Model Dasar Persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) . . . 13
2.2.7 Optimisasi Fungsi Multivariabel . . . 20
2.3 Kerangka Pemikiran . . . 23
III METODE PENELITIAN 25 IV HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN 27 4.1 Model Persediaan (Q,r,L) . . . 28
4.1.1 Penurunan Ulang Model . . . 28
4.1.2 Model Persediaan dengan Permintaan Selama Waktu Tung-gu Berdistribusi Normal . . . 32
4.1.3 Penyelesaian Optimal . . . 32
4.2 Model Persediaan (Q, r, L, A) . . . 35
4.2.1 Penurunan Ulang Model . . . 35
4.2.2 Penyelesaian Optimal . . . 36
4.3 Penerapan Kasus . . . 40
V PENUTUP 47 5.1 Kesimpulan . . . 47
5.2 Saran . . . 48
DAFTAR PUSTAKA 49
commit to user
DAFTAR GAMBAR
2.1 Hubungan antara Waktu Pemesanan dan Jumlah Pemesanan
dengan-Permintaan bersifat Deterministik . . . 8
2.2 Hubungan antara Waktu Pemesanan dan Jumlah Pemesanan
dengan-Permintaan bersifat Probabilistik . . . 9
2.3 Model Persediaan EOQ Klasik . . . 11
commit to user
DAFTAR TABEL
4.1 Data Waktu Tunggu . . . 40
4.2 Biaya Total Model Persediaan (Q, r, L) (Li dalam satuan minggu) 41 4.3 Penyelesaian Optimal Model Persediaan (Q, r, L) (Lidalam satuan
minggu) . . . 42
4.4 Biaya Total Model Persediaan (Q, r, L, A) (Li dalam satuan minggu) 43 4.5 Penyelesaian Optimal Model Persediaan (Q, r, L, A) (Li dalam
commit to user
Bab I
PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Masalah
Setiap perusahaan, seperti perusahaan retail yang menawarkan barang,
tidak terlepas dari masalah persediaan barang. Menurut Handoko [6], persediaan
merupakan suatu istilah yang digunakan untuk menunjukkan sumber daya yang
disimpan sebagai antisipasi terhadap pemenuhan permintaan tiap waktu.
Menu-rut Assauri [2], tanpa adanya manajemen persediaan, perusahaan akan
dihadap-kan pada resiko persediaan yang berlebih atau bahdihadap-kan kekurangan persediaan.
Persediaan yang berlebih, walaupun dapat mengurangi resiko terjadinya
keku-rangan persediaan (stock out), tetapi dapat mengakibatkan besarnya anggaran
pembelian dan penyimpanan. Hal tersebut mengakibatkan biaya total yang
dikeluarkan menjadi semakin besar. Namun, jumlah persediaan yang
sedik-it mengakibatkan naiknya frekuensi pemesanan. Selain sedik-itu, jumlah persediaan
yang sedikit memungkinkan terjadinya kekurangan persediaan sehingga
mengak-ibatkan bertambahnya biaya kerugian karena tidak dapat memenuhi permintaan
pelanggan. Oleh karena itu, perusahaan harus menentukan kebijakan untuk
men-jaga agar perusahaannya tidak mengalami kerugian yang berlebih dalam masalah
persediaan.
Di dalam sistem persediaan barang terdapat dua tipe permintaan yaitu
permintaan yang bersifat deterministik dan probabilistik. Permintaan dikatakan
bersifat deterministik jika laju permintaan di masa yang akan datang diketahui
se-cara pasti dan dikatakan bersifat probabilistik jika laju permintaan di masa yang
akan datang tidak diketahui secara pasti. Jika permintaan bersifat probabilistik,
maka sangat dimungkinkan terjadinya kekurangan stok barang. Kekurangan stok
Wins-commit to user
ton [13], jika pelanggan bersedia menerima pesanannya kembali pada waktu yang
akan datang, maka disebut kasusbackorder. Jika pelanggan tidak bersedia
mene-rima pesanannya kembali dan berpindah ke lain tempat, maka disebut kasus
lost-sales. Sedangkan pada kasus partial backorder, perusahaan tersebut mengalami
kasus backorder, kasus lostsales maupun kedua-duanya.
Taha [12] menyatakan bahwa permasalahan umum dari sebuah
manaje-men persediaan adalah manaje-menentukan berapa banyak barang yang harus dipesan
(Q) dan berapa jumlah barang yang tersedia di gudang untuk dilakukan peme-sanan ulang (r) agar permintaan dari waktu ke waktu dapat dipenuhi tetapi dapat meminimumkan biaya total persediaan. Selama melakukan pemesanan
barang, dimungkinkan adanya waktu tunggu. Menurut Taha [12], waktu tunggu
merupakan waktu antara pemesanan dan penerimaan barang dan diasumsikan
konstan. Selama waktu tunggu permintaan tetap berlangsung. Jika persediaan
selama waktu tunggu tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan, maka dapat
menyebabkan kerugian karena kehilangan pelanggan. Oleh karena itu, perlu
adanya pengurangan waktu tunggu untuk mempercepat kedatangan barang.
Pa-da penelitian yang dilakukan oleh Ben-Daya Pa-dan Raouf [5] Pa-dan Ouyanget al.[8],
kedatangan barang dapat dipercepat dengan menambahkan biaya percepatan
pengiriman (crashing cost). Masalah persediaan dengan mempertimbangkan
pe-ngurangan waktu tunggu dapat dimodelkan dengan model persediaan (Q,r,L).
Pada model persediaan (Q,r,L) diasumsikan biaya pemesanan (A) konstan. Biaya pemesanan merupakan biaya yang dikeluarkan untuk memesan barang.
Menurut Ouyang et al. [7], biaya tersebut dapat berkurang jika ada investasi.
Investasi adalah kegiatan yang dilakukan penanam modal yang berhubungan
dengan keuangan dan ekonomi dengan harapan untuk mendapatkan keuntungan
di masa yang akan datang ([4]). Masalah persediaan dengan mempertimbangkan
pengurangan waktu tunggu dan biaya pemesanan dapat dimodelkan dengan
mo-del persediaan (Q,r,L,A).
Pada penelitian ini akan dikaji ulang tentang model persediaan (Q,r,L) dan
commit to user
sesuai dengan jumlah barang yang dipesan. Setelah diperoleh model persediaan
(Q,r,L) dan (Q,r,L,A), akan dicari penyelesaian optimal untuk masing-masing
model yang dapat meminimumkan total biaya persediaan. menerapkan pada
sebuah contoh kasus dan menginterpretasikannya.
1.2
Perumusan Masalah
Perumusan masalah berdasarkan latar belakang yang telah dijabarkan yaitu
1. bagaimana menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L)?
2. bagaimana menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L,A)?
3. bagaimana menentukan penyelesaian optimal berdasarkan masing-masing
model yang diperoleh?
4. bagaimana menerapkannya pada sebuah contoh kasus dan
menginterpre-tasikannya?
1.3
Batasan Masalah
Permasalahan dalam penulisan skripsi ini dibatasi untuk permintaan
sela-ma waktu tunggu diasumsikan berdistribusi norsela-mal dan hanya untuk satu produk
barang tertentu.
1.4
Tujuan
Penulisan skripsi ini bertujuan untuk
1. dapat menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L),
2. dapat menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L,A),
3. dapat menentukan penyelesaian optimal berdasarkan masing-masing model,
dan
commit to user
1.5
Manfaat
Manfaat dari penulisan skripsi ini adalah sebagai pengaplikasian
matema-tika di kehidupan sehari-hari khususnya pada masalah persediaan barang.
Di-harapkan penelitian ini dapat digunakan sebagai informasi dalam menentukan
commit to user
Bab II
LANDASAN TEORI
Bab II pada penulisan skripsi ini terdiri dari tiga sub bab yaitu tinjauan
pustaka, landasan teori, dan kerangka pemikiran.
2.1
Tinjauan Pustaka
Pada bagian tinjauan pustaka ini, memuat tentang hasil-hasil penelitian
yang telah dilakukan oleh Ben-Daya dan Raouf [5], Ouyanget al.[7], [8], Wu [14],
dan Wu dan lin [15]. Ben-Daya dan Raouf [5] melakukan penelitian yang
meng-hasilkan model persediaan (Q, r) dengan mempertimbangkan pengurangan waktu
tunggu atau dikenal dengan model persediaan (Q,r,L). Pada penelitian tersebut,
biaya kerugian (shortage cost) yang diakibatkan karena kekurangan barang
diang-gap tidak ada dan kedatangan barang dapat dipercepat dengan adanya crashing
cost. Kemudian Ouyang et al. [8] melakukan penelitian yang menghasilkan
mo-del persediaan (Q,r,L) dengan menambahkan adanya kasus stock out yang
da-pat mengakibatkan timbulnya biaya kerugian. Selanjutnya Ouyang et al. [7]
melakukan penelitian yang menghasilkan model persediaan (Q, r) dengan
mem-pertimbangkan pengurangan waktu tunggu dan pengurangan biaya pemesanan
akibat adanya investasi atau dikenal dengan model persediaan (Q,r,L,A).
Penelitian yang telah dilakukan oleh Ben-Daya dan Raouf [5], Ouyang et
al. [7], dan [8] terjadi saat jumlah barang yang diterima sama dengan jumlah
barang yang dipesan, sedangkan pada kenyataannya ada kemungkinan barang
yang diterima jumlahnya tidak sesuai dengan jumlah barang yang dipesan
(Sil-ver [11]). Berdasarkan hal tersebut, Wu [14] meneliti model persediaan (Q,r,L)
saat jumlah barang yang diterima tidak sesuai dengan jumlah barang yang dipesan
commit to user
2.2
Landasan Teori
Pada bagian ini akan diuraikan terlebih dahulu beberapa hal yang
men-dasari penelitian ini. Beberapa hal tersebut antara lain adalah konsep dasar
statistik, jenis-jenis permintaan, macam-macam biayainventory, variabel-variabel
yang mempengaruhi biaya inventory, model dasar (Q, r, L) dan (Q, r, L, A) dan
optimisasi fungsi multivariabel.
2.2.1
Konsep Dasar Statistik
Berikut akan diberikan konsep dasar statistik berdasarkan Bain dan
Engel-hardt [3].
Definisi 2.2.1. Sebuah variabel randomX adalah fungsi yang didefinisikan pada ruang sampel S yang bersekawan dengan sebuah bilangan real, yang dinyatakan dengan X(e) =x, e∈S.
Terdapat dua tipe variabel random, yaitu variabel random diskrit dan
varia-bel random kontinu.
Definisi 2.2.2. Jika semua nilai yang mungkin dari variabel random, X, adalah himpunan terhitung x1, x2, x3, · · ·, xn, maka X merupakan variabel random
diskrit.
f(x) = P[X =x] x=x1, x2, x3,· · · ,
f(x)merupakan nilai probabilitas untuk masing-masing nilaixatau dapat disebut fungsi densitas probabilitas (pdf ).
Definisi 2.2.3. Fungsi distribusi komulatifnya (CDF) dari variabel random diskrit
X dapat didefinisikan sebagai
F(x) =P[X ≤x].
commit to user
sedemikian sehingga fungsi distribusi komulatifnya (CDF) dapat didefinisikan
se-bagai
F(x) =
Z x
−∞
f(t)dt.
Teorema 2.2.1. Fungsi f(x) adalah pdf untuk variabel random kontinu X jika dan hanya jika memenuhi sifat
f(x)≥0 untuk setiap x dan
Z ∞
−∞
f(x)dx= 1.
Definisi 2.2.5. Jika X merupakan variabel random kontinu dengan pdf f(x), maka nilai dari ekspektasi X dapat didefinisikan sebagai
E(X) =
Z ∞
−∞
xf(x)dx.
Definisi 2.2.6. Sebuah variabel randomX dikatakan berdistribusi normal dengan mean µdan variansi σ2 jika mempunyai pdf
f(x, µ, σ) = 1 Jika Persamaan 2.1 merupakan pdf normal standar dari z, maka fungsi distribusi komulatif (CDF) normal standar dari z adalah
Φ(z) =
Z z
−∞
φ(t)dt. (2.2)
Definisi 2.2.7. JikaX dan Y adalah variabel random distribusi bersama, maka ekspektasi bersyarat dari Y jika diberikan X =x adalah
E(Y|x) =
Z ∞
−∞
yf(y|x)dy, dengan X dan Y merupakan variabel random kontinu.
Definisi 2.2.8. Variansi bersyarat dariY jika diberikanX =x adalah Var (Y|x) = E([Y −E(Y|x)]2|x)
commit to user
2.2.2
Jenis-jenis permintaan
Menurut Taha [12], permintaan akan suatu barang sangat berpengaruh
terhadap pengambilan keputusan dalam inventory. Berdasarkan sifatnya,
per-mintaan pelanggan akan suatu barang dapat dibedakan menjadi dua jenis.
1. Permintaan deterministik.
Permintaan dikatakan bersifat deterministik jika laju permintaan di masa
yang akan datang diketahui secara pasti jumlahnya, seperti pada Gambar
2.1.
Gambar 2.1. Hubungan antara Waktu Pemesanan dan Jumlah Pemesanan
dengan Permintaan bersifat Deterministik
2. Permintaan probabilistik.
Permintaan akan suatu barang dikatakan bersifat probabilistik apabila laju
permintaan di masa yang akan datang tidak diketahui secara pasti
jumlah-nya, sehingga harus didekati dengan suatu distribusi tertentu, seperti pada
Gambar 2.2.
2.2.3
Jenis biaya dalam
inventory
Terdapat empat jenis biaya yang perlu diperhitungkan dalam mengevaluasi
persoalan persediaan.
1. Biaya pemesanan (ordering cost).
Menurut Aminudin [1], ordering cost merupakan total biaya pemesanan
commit to user
Gambar 2.2. Hubungan antara Waktu Pemesanan dan Jumlah Pemesanan
dengan Permintaan bersifat Probabilistik
menurut Taha [12], ordering cost merupakan biaya yang dikeluarkan
un-tuk pemesanan barang persediaan. Secara sederhana, biaya pemesanan
diperoleh dengan mengalikan banyak barang yang dibeli dengan harga beli
satuan barang tersebut.
2. Biaya penyimpanan (holding cost).
Taha [12] menyatakan bahwa holding cost adalah biaya yang dikeluarkan
selama proses penyimpanan barang, yaitu dari barang diterima di gudang
sampai barang terjual lagi. Biaya penyimpanan ditentukan oleh jumlah
barang yang disimpan dan lama penyimpanan per unit per tahun.
Se-tiap waktu, jumlah barang yang disimpan akan berkurang, sehingga perlu
diperhatikan tingkat persediaan rata-rata di gudang. Menurut Handoko [6],
holding cost per periode semakin besar apabila jumlah barang yang dipesan
semakin banyak.
3. Biaya penyiapan (setup cost).
Menurut Handoko [6], setup cost terjadi ketika bahan baku tidak dibeli
melainkan diproduksi sendiri. Konsep darisetup costanalog dengan
ordering-cost, sehingga dapat diasumsikan sama dengan ordering cost.
4. Biaya kerugian (shortage cost).
Taha [12] menyatakan bahwa biaya kerugian terjadi apabila ada permintaan
commit to user
Menurut Taha [12], model dasar inventory dapat didefinisikan sebagai berikut.
2.2.4
Variabel yang mempengaruhi biaya
inventory
Selain keempat jenis yang telah dibicarakan pada sub bab sebelumnya,
terdapat variabel lain yang mempengaruhi biaya total persediaan.
1. Waktu Tunggu (lead time).
Menurut Taha [12], waktu tunggu merupakan waktu antara pemesanan
dan penerimaan barang. Selama waktu tunggu permintaan tetap
berlang-sung. Jika persediaan selama waktu tunggu tidak dapat memenuhi
per-mintaan pelanggan maka dapat menyebabkan kekurangan persediaan. Oleh
karena itu, perlu adanya pengurangan waktu tunggu untuk mempercepat
kedatangan barang (Ben-daya dan Raouf [5]).
2. Persediaan penyelamat (safety stock).
Menurut Assauri [2], persediaan penyelamat adalah persediaan tambahan
yang diadakan untuk melindungi atau menjaga kemungkinan terjadinya
stock out. Kasus stock out terjadi karena adanya ketidakteraturan
per-mintaan dan kekurangan persediaan.
3. Titik pemesanan kembali (reorder point).
Menurut Assauri [2], titik pemesanan kembali (reorder point) adalah suatu
titik atau batas jumlah persediaan yang ada pada suatu saat dimana
peme-sanan harus dilakukan. Dalam penentuanreorder point harus diperhatikan
besarnya penjualan barang selama barang yang dipesan belum diterima dan
commit to user
4. Siklus pemesanan (ordering cycle).
Menurut Assauri [2], siklus pemesanan (ordering cycle) adalah suatu cara
pemesanan barang dengan interval waktu tetap, misalnya tiap minggu atau
tiap bulan. Akan tetapi, Taha [12] mengklasifikasikan ordering cycle
men-jadi dua yaitu
(a) periodic review, pemesanan dilakukan dengan interval waktu yang sama,
misalnya setiap minggu atau bulan dan
(b) continuous review, pemesanan dilakukan ketika level persediaan
men-capaireorder point.
2.2.5
Model Persediaan
Economic Order Quantity
(EOQ) Klasik
Menurut Aminuddin [1], model persediaanEconomic Order Quantity (EOQ)
klasik merupakan salah satu bentuk model persediaan sederhana. Model
perse-diaan EOQ klasik untuk kasus permintaan yang bersifat deterministik semua
parameter-parameternya diketahui secara pasti. Asumsi dasar dari model EOQ
Gambar 2.3. Model Persediaan EOQ Klasik
klasik adalah
1. barang yang dipesan dan disimpan hanya barang sejenis,
commit to user
3. biaya pemesanan konstan,
4. biaya penyimpanan konstan dan berdasarkan rata-rata persediaan yang
be-rada di gudang,
5. harga per unit barang konstan, dan
6. ketika persediaan mencapai titik nol, pemesanan kembali segera dilakukan
dan langsung diterima seketika itu juga (tanpa waktu tunggu), sehingga
tidak terjadi kerugian.
Berdasarkan Gambar 2.3,Qmerupakan jumlah barang yang dipesan untuk mengisi persediaan yang akan ditentukan oleh pihak perusahaaan. Setiap siklus
persediaan mempunyai periode T, yang artinya setiap T satuan waktu, peme-sanan kembali dilakukan. Nilai T tergantung pada besarnya permintaan Dyang konstan setiap waktu, sehingga dapat didefinisikan sebagai
T = Q
D.
Selain itu,Q/Djuga melambangkan laju persediaan habis, sehingga dapat didefini-sikan
banyaknya frekuensi pemesanan per tahun = D
Q.
Jika biaya pemesanan per pemesanan (A) proporsional terhadap banyaknya frekuen-si pemesanan per tahun, maka besarnya biaya pemesanan per tahun dapat
didefini-sikan
biaya pemesanan per tahun =AD Q.
Komponen biaya kedua adalah biaya penyiapan. Biaya penyiapan per tahun
ditentukan oleh banyaknya permintaan D dan biaya penyiapan sebesar c setiap unit barang, sehingga
biaya penyiapan =Dc.
Komponen biaya ketiga adalah biaya penyimpanan. Biaya penyimpanan per
tahun yang ditentukan oleh jumlah barang yang disimpan dan lama
commit to user
berkurang, sehingga perlu diperhatikan tingkat persediaan rata-rata di gudang.
Pada Gambar 2.3, persediaan bergerak dari Q unit sampai nol unit, sehingga persediaan rata-rata untuk setiap siklus dapat didefinisikan sebagai
Q
2.
Jika terdapat biaya penyimpanan per unit barang sebesar h dengan rata-rata persediaan per siklus Q2 dan banyaknya persediaan selama satu siklus DQ, maka besarnya biaya penyimpanan per siklus adalah
hQ
2
Q D =
hQ2
2D.
Besarnya biaya penyimpanan per tahun adalah banyaknya biaya penyimpanan
per siklus yang proporsional terhadap banyaknya frekuensi pemesanan per tahun,
dapat didefinisikan sebagai,
hQ2
2D D Q =
hQ
2 .
Berdasarkan persamaan (2.3), maka model persediaan EOQ klasik adalah
D
Q +Dc+h Q
2.
2.2.6
Model Dasar Persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A)
Menurut Rangkuti [9], pada pengendalian persediaan dimungkinkan terjadi
pada kondisi tidak tentu dan terdapat pemesanan kembali. Pada Gambar 2.4,
laju permintaan per siklus dan laju permintaan selama waktu tunggu bersifat
probabilistik. Pada siklus pertama, permintaan selama waktu tunggu lebih
be-sar dari jumlah persediaan pengaman yang disediakan sehingga mengakibatkan
adanya kekurangan persediaan. Pada siklus kedua, adanya persediaan pengaman
cukup untuk memenuhi permintaan sampai dengan barang diterima. Sejumlah
pemesanan, Q, dipesan kembali apabila persediaan telah mencapai titik peme-sanan kembali,R, dengan persediaan pengaman sebesarS. Pada bagian ini akan dijabarkan penurunan ulang model persediaan (Q,r,L) menurut Ouyanget al.[8].
commit to user
Gambar 2.4. Model Persediaan (Q, r, L)
1. waktu tunggu (lead time), L, bersifat deterministik dan diasumsikan per-mintaan selama waktu tunggu mengikuti distribusi normal dengan rata-rata
permintaan per tahun D, rata-rata permintaan selama waktu tunggu DL, dan variansi σ2L,
2. titik pemesanan kembalireorder point,r, merupakan ekspektasi permintaan selamalead time + persediaan pengaman (safety stock),S, denganS meru-pakan k x σ√L dan k merupakan faktor pengaman serta σ√L merupakan standar deviasi permintaan selama lead time L, sehingga r =DL+kσ√L, dan
3. sejumlah pemesanan Q dipesan ketika persediaan telah mencapai reorder point r (continuous review).
Biaya total persediaan merupakan jumlahan dari biaya pemesanan, biaya
penyimpanan, biaya kekurangan persediaan dan crashing cost yang terjadi pada
kasus partial backorder.
commit to user
Besarnya biaya pemesanan pada kasusbackorder,lostsales danpartial
back-order sama karena biaya pemesanan hanya dipengaruhi oleh banyaknya
frekuensi pemesanan per tahun.
Biaya pemesanan (Bp) per tahun =A
D Q.
2. Biaya Penyimpanan (Bs).
Pada awal siklus, kondisi persediaan maksimum adalah Q+S dan akan minimum pada akhir siklus sebesarS, denganSmerupakan nilai ekspektasi persediaan bersih pada saat pemesanan datang atau ekspektasi persediaan
pengaman selama terjadinya waktu tunggu. Jika diasumsikan rata-rata
permintaan tetap maka jumlah persediaan di gudang akan berkurang secara
linear dariQ+SmenjadiSsehingga rata-rata jumlah persediaan di gudang selama satu siklus adalah
m= 1
2(Q+S) + 1 2S =
Q
2 +S. (2.4)
(a) Kasus backorder dengan batasan Y =Q.
Jika x merupakan jumlah permintaan selama waktu tunggu, maka jumlah persediaan pengaman selama waktu tunggu adalah ξ(x, r) =
r−x. Pada kasus backorder, nilai ξ(x, r) dapat bernilai negatif. Hal ini dikarenakan pelanggan bersedia menunggu sampai barang yang
dipesan tersedia, sehingga diperoleh ekspektasi jumlah persediaan
penga-man selama terjadinya waktu tunggu adalah,
S =R∞
−∞ξ(x, r)f(x)dx
=R∞
−∞(r−x)f(x)dx
=R∞
−∞rf(x)dx−
R∞
−∞xf(x)dx
=r−DL .
penyim-commit to user
panan per siklus pada kasus backorder adalah
Bs= biaya penyimpanan per unit x rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus x banyaknya persediaan selama satu siklus
= hmQD
= h[Q2 +S]QD
= h[Q2 +r−DL]DQ.
Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per
sik-lus yang proporsional terhadap banyaknya frekuensi pemesanan per
tahun dapat dinyatakan sebagai berikut,
Bs =h[Q2 +r−DL]DQDQ =h[Q2 +r−DL].
(b) Kasus lostsales dengan batasan Y =Q.
Pada kasuslostsales jumlah persediaan pengaman selama waktu
tung-gu ξ(x, r) tidak boleh bernilai negatif. Hal ini dikarenakan, jika per-mintaan pelanggan tidak dapat dipenuhi, maka perusahaan akan
kehi-langan pelanggan. Dapat didefinisikan jumlah persediaan pengaman
selama waktu tunggu pada kasus lostsales adalah
ξ(x, r) =
r−x, r−x≥0; 0, r−x <0,
sehingga diperoleh ekspektasi jumlah persediaan pengaman selama
waktu tunggu pada kasuslostsales adalah
S = R∞
−∞ξ(x, r)f(x)dx
= Rr
−∞ξ(x, r)f(x)dx
= Rr
−∞(r−x)f(x)dx
= R∞
−∞(r−x)f(x)dx−
R∞
r (r−x)f(x)dx = R∞
−∞(r−x)f(x)dx+
R∞
commit to user
Jika nilaiSdisubstitusikan ke dalam Persamaan 2.4, maka biaya penyim-panan per siklus pada kasus lostsales adalah
Bs= biaya penyimpanan per unit x rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus x banyaknya persediaan selama satu siklus
= hmQD
= h[Q2 +S]QD
= h[Q2 +r−DL+E(X−r)]QD.
Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per
siklus yang proporsional dengan banyaknya frekuensi pemesanan per
tahun dapat dinyatakan sebagai berikut,
Bs =h[Q2 +r−DL+E(X−r)]DQDQ =h[Q2 +r−DL+E(X−r)].
(c) Kasus partial backorder dengan batasan Y =Q.
Misalkanβ merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami kasusbackorder dengan 0 ≤β ≤1 maka pada kasus partial backorder
rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus adalah
m = β(Q2 +r−DL) + (1−β)(Q2 +r−DL+E(X−r))
= Q2 +r−DL+ (1−β)E(X−r). (2.5)
Biaya penyimpanan per siklus pada kasus partial backorder adalah
Bs= biaya penyimpanan per unit x rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus x banyaknya persediaan selama satu siklus
= hmQD
= h[Q2 +r−DL+ (1−β)E(X−r)]DQ
Biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per
siklus yang proporsional dengan banyaknya frekuensi pemesanan per
tahun dapat dinyatakan sebagai berikut,
Bs = h[Q2 +r−DL+ (1−β)E(X−r)]QDDQ
commit to user
3. Biaya Kekurangan Persediaan (Bk).
Biaya kekurangan persediaan disediakan untuk mengantisipasi kerugian
aki-bat kehabisan persediaan selama waktu tunggu. Kehabisan persediaan
mengakibatkan hilangnya kepercayaan pelanggan. Jumlah permintaan
se-lama waktu tunggu yang mengalami kehabisan persediaan pada kasus
back-order maupun lost sales adalah
η(x, r) =
0, x−r <0;
x−r, x−r ≥0.
Ekspektasi jumlah permintaan yang mengalami kehabisan persediaan
sela-ma waktu tunggu adalah
¯
η(x, r) = R∞
r η(x, r)f(x)dx = R∞
r (x−r)f(x)dx = E(X−r),
sehingga ekspektasi jumlah permintaan yang mengalami kehabisan
perse-diaan selama waktu tunggu selama satu tahun adalah
¯
η(x, r)DQ = E(X−r)DQ. (a) Kasus Backorder dengan batasan Y =Q.
Pada kasus ini, perusahaan tidak akan mengalami kehilangan
pen-jualan tetapi perusahaan akan kehilangan kepercayaan dari para
pelang-gannya. Jika terdapat sebesarπ yang merupakan biaya kerugian kare-na hilangnya kepercayaan dari pelanggan, maka besarnya biaya
keku-rangan persediaan pada kasus backorder adalah
Bk =πE(X−r)
D Q.
(b) Kasus lostsales dengan batasan Y =Q.
Pada kasus ini perusahaan akan kehilangan penjualan karena
pelang-gan tidak mau menunggu barang yang dipesan dan kehilanpelang-gan
commit to user
π0 yang merupakan biaya kerugian yang dikarenakan hilangnya
pen-jualan, maka besarnya biaya kekurangan persediaan pada kasus lost
sales adalah
Bk = (π+π0)E(X−r)
D Q.
(c) Kasus partial backorder dengan batasan Y =Q.
Misalkanβ merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami kasusbackorder dengan 0 ≤β ≤1 maka pada kasus partial backorder
biaya kekurangan persediaan pada kasus partial backorder
dengan-batasanY =Qadalah
Bk =βπE(X−r)DQ + (1−β)(π+π0)E(X−r)DQ
= (π+ (1−β)π0)E(X−r)DQ.
(2.7)
4. Crashing Cost (R(L)).
Besarnya crashing cost (R(L)) merupakan biaya tambahan yang dikelu-arkan untuk mempercepat kedatangan barang per siklus. Misalkan L0 =
Pn
j=1bj, merupakan waktu tunggu awal sebelum adanya pengurangan
wak-tu wak-tunggu. Diasumsikan bahwa wakwak-tu wak-tungguL memiliki sejumlah n kom-ponen yang saling asing. Masing-masing komkom-ponenimemiliki durasi waktu tunggu minimumai, durasi waktu tunggu normalbi, dan biaya pengurangan waktu tunggu per unit waktu adalahcidenganc1 ≤c2 ≤ · · · ≤cn. Besarnya
ci digunakan sebagai biaya percepatan kedatangan barang pesanan. Li merupakan lama waktu tunggu yang telah di crash dengan masing-masing
komponen. Menurut Ben Daya dan Raouf [5], dapat ditulis sebagai
Li =Pnj=1bj−Pij=1(bj −aj), dengan i= 1,2, ..., n.
Besarnya R(L) untuk L∈[Li, Li−1] per siklus adalahR(L) =ci(Li−1−L)
+Pi−1
j=1cj(bj −aj) dan R(L0) = 0. Besarnya crashing cost pada kasus
backorder, lostsales dan partial backorder sama. Besarnya R(L) selama satu tahun adalah
R(L)D
commit to user
Model dasar persediaan (Q,r,L) pada kasus partial backorders menurut Ouyang
et al. [8] adalah
Bt(Q, r, L) = ADQ +h[Q2 +r−DL+ (1−β)E(X−r)] +DQ[π+π0(1−β)]E(X−r) + DQR(L).
(2.8)
Pada Persamaan 2.8 biaya pemesanan (A) konstan. Biaya pemesanan merupakan biaya yang dikeluarkan untuk memesan barang. Menurut Ouyang
et al. [7], biaya tersebut dapat berkurang jika ada investasi. Masalah persediaan
dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu dan biaya pemesanan
dapat dimodelkan dengan model persediaan (Q,r,L,A). Menurut penelitian yang
dilakukan oleh Hall dan Porteus (Wu dan lin [15]), sejumlah investasi I(A) dapat mengurangi besarnya biaya pemesanan. Jika terdapat A0 yang merupakan
be-sarnya biaya pemesanan awal yang dikeluarkan oleh perusahaan, maka bebe-sarnya
akan berkurang sampai dengan A dengan laju pengurangan sebesar δ, sehingga dapat didefinisikan sebagai berikut
I(A) =b ln(A0
A) 0< A≤A0 denganb=
1
δ,
Jika diberikan sejumlah potongan sebesarθper tahun, maka besarnya biaya inves-tasi per unit waktu adalahθI(A). Diperoleh fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L,A) adalah
Bt(Q, r, L, A) = θ b ln(A0 A) +A
D Q +h[
Q
2 +r−DL+ (1−β)E(X−r)]
+D
Q[π+π0(1−β)]E(X−r) + D QR(L).
(2.9)
2.2.7
Optimisasi Fungsi Multivariabel
Menurut Rao [10], optimisasi dapat didefinisikan sebagai proses untuk
menemukan keadaan yang memberikan nilai maksimum atau minimum terhadap
suatu fungsi. Ide dasar dari masalah optimisasi adalah mengoptimumkan
(memak-simumkan atau meminimumkan) suatu besaran skalar yang merupakan harga
commit to user
barang adalah untuk meminimumkan biaya total persediaan, sehingga akan
di-cari nilai dari masing-masing variabel yang dapat meminimumkan biaya total
persediaan.
Definisi 2.2.9 (Chong dan Zak, 1996). Bentuk kuadratik f : Rn → R adalah
sebuah fungsi
f(x) =xTQx,
dengan Q merupakan matrik berukuran n x n dan simetri, Q=QT.
1. Matrik Q dikatakan semidefinit positif jika xTQx ≥ 0 untuk setiap vektor
tak nol x∈ Rn dan sekurang-kurangnya terdapat satu x, sehingga xTQx= 0.
2. Matrik Q dikatakan definit positif jika xTQx > 0 untuk setiap vektor tak
nol x∈Rn.
Penyelesaian optimum (meminimumkan) suatu fungsi multivariabel dapat
ditemukan jika syarat perlu berupa ∇f(x) = 0 dan matriks Hessian Hf bersifat semi definit positif. Penentuan sifat semi definit positif dapat dilihat dari nilai
principal minor determinant test.
Definisi 2.2.10 (Winston, 2003). Principal minor ke-i dari matriks berukuran
n×n adalah determinan dari matrik berukurani×iyang diperoleh dengan meng-hapus n−i baris dan n−i kolom yang bersesuaian dari matriks tersebut.
Menurut Rao [10], principal minor dari matriks A =
a11 · · · a1n ... ... ...
an1 · · · ann
adalah
∆1 =a11, ∆2 =
a11 a12
a21 a22
, · · · ∆n= [A].
Sifat semidefinit positif terpenuhi jika semua principal minor determinant test
bersifat nonnegatif, atau dapat didefinisikan
commit to user
Teorema 2.2.2(Chong dan Zak, 1996). Bentuk kuadratikxTQx, Q=QT, definit
positif jika dan hanya jika principal minor dari Q semua bernilai positif.
Definisi 2.2.11 (Bazaraa dan Shetty, 1979). Fungsi f(x) dikatakan memiliki minimum relatif (minimum lokal) di x∗ dalam D jika terdapat N∗
x (persekitaran
x∗ di dalam D) sedemikian hingga
f(x)≥f(x∗),∀x∈Nx∗.
Definisi 2.2.12 (Bazaraa dan Shetty, 1979). Fungsi f(x) dikatakan memiliki minimum mutlak (minimum global) di x∗ dalam D jika ∀x∈D, f(x)≥f(x∗).
Definisi 2.2.13 (Bazaraa dan Shetty, 1979). Suatu fungsi f(x) adalah convex pada suatu selang S jika untuk setiap dua titik x1 dan x2 di dalam S dan untuk
sembarang 0≤λ≤1, maka berlaku
f(λx1 + (1−λ)x2)≤λf(x1) + (1−λ)f(x2).
Teorema 2.2.3 (Bazaraa dan Shetty, 1979). K merupakan himpunan konveks tak kosong. Diberikan f :K → R terdiferensial dua kali, maka berlaku f fungsi konveks jika dan hanya jika semi definit positif ∀x∈K
Teorema 2.2.4 (Bazaraa dan Shetty, 1979). Diberikan f : Rn → R dengan x∗
minimum lokal
1. jika f fungsi konveks, maka x∗ merupakan titik minimum global dan
2. jikaf fungsi konveks tegas makax∗ merupakan satu-satunya titik minimum
global.
Vektor gradien ∇f dari sebuah fungsi f(x1, x2,· · ·, xn) adalah matriks kolom turunan parsial dari f, atau dapat didefinisikan
commit to user
Jika ∇f ada, maka dikatakan f terdiferensiabel. Notasi ∇f(x∗) menunjukkan
harga gradien di x∗.
Matriks Hessian Hf = ∇2f dari sebuah fungsi f(x1, x2,· · · , xn) adalah matriks kolom turunan parsial kedua dari f yang kontinu, atau dapat didefini-sikan
Jika Hf = ∇2f ada maka dikatakan f terdiferensiabel tingkat dua. Notasi
Hf(x∗) = ∇2f(x∗) menunjukkan harga dari matriks Hessian di x∗. Matriks Hessian adalah matriks yang simetri, yaitu jika A=Hf maka A=At.
Teorema 2.2.5 (Rao, 1984). Jika f(X) mempunyai titik ekstrim (maksimum atau minimum) saatX =X∗ maka turunan parsial pertama dari f(X)pada X∗,
Teorema 2.2.6 (Bazaraa dan Shetty, 1979). Diberikanf :Rn →R terdiferensial
dua kali pada x∗. Jika x∗ merupakan titik lokal minimum, maka turunan parsial
pertama,∇f(x∗) = 0dan matriks Hessian,H(x∗), merupakan semidefinit positif.
Teorema 2.2.7 (Bazaraa dan Shetty, 1979). Diberikanf :Rn →R terdiferensial
dua kali padax∗. Jika turunan parsial pertama,∇f(x∗) = 0dan matriks Hessian,
H(x∗), merupakan semidefinit positif, makax∗ merupakan titik lokal minimum.
2.3
Kerangka Pemikiran
Persediaan merupakan salah satu hal penting dalam sebuah perusahaan.
Perencanaan persediaan yang baik akan memperkecil resiko kerugian karenastock
out dan memperkecil kelebihan barang di gudang. Persediaan barang didalam
gudang, dapat dimodelkan secara matematis untuk menentukan jumlah barang
persedi-commit to user
aan. Pada saat pemesanan barang, dimungkinkan adanya waktu tunggu.
Sela-ma waktu tunggu permintaan tetap berlangsung. Jika persediaan selaSela-ma
wak-tu wak-tunggu tidak dapat memenuhi permintaan pelanggan maka dapat
menye-babkan biaya kerugian karena hilangnya pelanggan. Oleh karena itu, perlu adanya
pengurangan waktu tunggu untuk mempercepat kedatangan barang. Masalah
persediaan dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu dapat
dimo-delkan dengan model persediaan (Q,r,L). Pada model persediaan (Q,r,L)
dia-sumsikan biaya pemesanan konstan. Biaya pemesanan dapat berkurang jika ada
investasi. Masalah persediaan dengan mempertimbangkan pengurangan
wak-tu wak-tunggu dan biaya pemesanan dapat dimodelkan dengan model persediaan
(Q,r,L,A). Ketika barang yang dipesan sampai pada perusahaan, terkadang
jum-lah barang yang diterima tidak sesuai dengan jumjum-lah barang yang dipesan
sehing-ga diperlukan model persediaan yang tepat densehing-gan mempertimbangkan waktu
tunggu, adanya pengurangan biaya pemesanan dan ketidaksesuaian barang yang
commit to user
Bab III
METODE PENELITIAN
Metode penelitian yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah studi
literatur. Berikut adalah langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi
ini.
1. Menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) pada kondisi
barang yang diterima berbeda dengan barang yang dipesan.
Berikut langkah-langkah yang harus dilakukan adalah
(a) menentukan asumsi yang diperlukan untuk menurunkan ulang model
persediaan pada kasusbackorders,lost sales dan partial backorders,
(b) menurunkan ulang model persediaan pada kasus backorders,lost sales
dan partial backorders dengan batasan barang yang diterima sama
dengan barang yang dipesan,Y =Q,
(c) menurunkan ulang model persediaan pada kasus partial backorders
dengan batasan barang yang diterima tidak sama dengan barang yang
dipesan. Menurut Silver [11], jika barang yang diterima berbeda
dengan-barang yang dipesan, maka ekspektasi jumlah dengan-barang yang diterima
adalahE(Y|Q) =α Q, sehingga diperoleh model persediaan (Q,r,L), dan
(d) menurunkan ulang model persediaan (Q,r,L,A) berdasarkan model (Q,r,L)
dengan menambahkan adanya investasi yang telah diteliti oleh Hall
dan Porteus (Wu dan lin [15]) sehingga diperoleh model persediaan
(Q, r, L, A).
2. Menentukan penyelesaian optimal berdasarkan masing-masing model yang
commit to user
Langkah-langkah yang dilakukan untuk menemukan penyelesaian optimal
dari kedua model tersebut adalah
(a) menentukan matriks Hessian,
(b) menentukan nilaideterminant test leading prinsipal minor berdasarkan
matriks Hessian, dan
(c) menentukan jenis definit dari matriks Hessian berdasarkan nilai dari
determinant test leading prinsipal minor, jika nilai dari determinant
test leading principal minor > 0 maka model tersebut merupakan fungsi yang konveks sehingga dapat ditentukan nilai dari Q, r, L
maupunA yang dapat meminimumkan biaya total persediaan dengan turunan parsial pertama sama dengan nol, dan
(d) nilaiQ,r,LmaupunAdiperoleh dengan melakukan iterasi berdasarkan algoritma Wu [14] dan [15].
3. Menerapkan pada sebuah kasus penjualan disket dengan menggunakan
commit to user
Bab IV
HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini akan diturunkan ulang model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A)
pada kasus partial backorder pada saat jumlah barang yang diterima berbeda
dengan jumlah barang yang dipesan mengacu pada bab II. Selanjutnya
penyele-saian optimal pada model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) dicari untuk
memini-mumkan biaya total persediaan. Kemudian menerapkan model persediaan (Q,r,L)
dan (Q,r,L,A) pada sebuah kasus penjualan disket. Asumsi yang diperlukan
dalam pembentukan model persediaan (Q,r,L) dan (Q,r,L,A) adalah
1. waktu tunggu atau lead time (L) bersifat deterministik dan diasumsikan permintaan selama waktu tunggu mengikuti distribusi normal dengan
rata-rata permintaan per tahun D, rata-rata permintaan selama waktu tunggu
DL, dan variansi σ2L,
2. titik pemesanan kembali atau reorder point (r) merupakan ekspektasi per-mintaan selama waktu tunggu + persediaan pengaman atau safety stock
(S) denganS merupakan k x σ√Ldan k merupakan faktor pengaman ser-ta σ√L merupakan standar deviasi permintaan selama waktu tunggu L, sehingga r =DL+kσ√L,
3. ekspektasi jumlah barang yang diterima, E(Y|Q) =α Q, denganα meru-pakan faktor bias yang bernilai 0≤α ≤1 jika ekspektasi barang yang dite-rima lebih sedikit atau sama dengan jumlah barang yang dipesan,
sedang-kan α > 1 jika ekspektasi barang yang diterima lebih besar dari jumlah barang yang dipesan dan diberikan nilai V ar(Y|Q) =σ2
0 +σ12Q2, dan
commit to user
4.1
Model Persediaan (Q,r,L)
4.1.1
Penurunan Ulang Model
Pada bagian ini akan dijabarkan penurunan ulang model persediaan (Q,r,L)
pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang
dipesan. Biaya total persediaan merupakan jumlahan dari biaya pemesanan,
biaya penyimpanan, biaya kekurangan persediaan dan crashing cost yang terjadi
pada kasus partial backorder.
1. Biaya Pemesanan (Bp).
Jika terdapat Y jumlah barang yang diterima, maka banyaknya frekuensi pemesanan per tahun adalah DY. Berdasarkan asumsi ekspektasi banyaknya
frekuensi pemesanan per tahun adalah D E(Y|Q) =
D
αQ. Besarnya biaya
peme-sanan pada kasus backorder, lostsales dan partial backorder sama, karena
biaya pemesanan hanya dipengaruhi oleh banyaknya frekuensi pemesanan
per tahun.
Bp = Biaya pemesanan sekali pesan x banyaknya frekuensi pemesanan per tahun
= ADαQ.
2. Biaya Penyimpanan (Bs).
Pada awal siklus, kondisi persediaan maksimum adalah Q+S akan mini-mum pada akhir siklus sebesarS, denganSmerupakan ekspektasi persedia-an pengampersedia-an selama terjadinya waktu tunggu. Jika diasumsikpersedia-an rata-rata
permintaan tetap, maka jumlah persediaan di gudang akan berkurang
se-cara linear dari Q+S menjadi S, sehingga rata-rata jumlah persediaan di gudang selama satu siklus adalah
m= 1
2(Q+S) + 1 2S =
Q
2 +S.
Penurunan ulang model persediaan (Q,r,L) pada biaya penyimpanan
commit to user
dengan jumlah barang yang dipesan telah dibahas pada bab landasan teori
sehingga diperoleh persamaan (2.6). Selanjutnya akan akan dibahas
penu-runan ulang model persediaan (Q,r,L) untuk biaya penyimpanan pada
ka-sus partial backorder pada saat jumlah barang yang diterima berbeda
de-ngan jumlah barang yang dipesan. Kasus partial backorder merupakan
kondisi perusahaan mengalami kasus backorder, kasus lostsales maupun
kedua-duanya. Misalkanβ merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami kasus backorder dengan 0 ≤ β ≤ 1. Pada kasus partial back-order, mengacu pada persamaan (2.5), rata-rata jumlah persediaan selama
satu siklus adalah
m = β(Y2 +r−DL) + (1−β)(Y2 +r−DL+E(X−r)) = Y
2 +r−DL+ (1−β)E(X−r).
Biaya penyimpanan per siklus pada kasus partial backorder adalah
Bs= biaya penyimpanan per unit x rata-rata jumlah persediaan selama satu siklus x banyaknya persediaan selama satu siklus
= hmYD
= h[Y
2 +r−DL+ (1−β)E(X−r)]
Y D,
karena jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang
dipesan maka digunakan E(Y|Q),
Besarnya biaya penyimpanan per tahun merupakan biaya penyimpanan per
siklus yang proporsional dengan banyaknya frekuensi pemesanan per tahun
dapat dinyatakan sebagai berikut,
Bs = [hαQD [r−DL+ (1−β)E(X−r)] + 2hD[σ20 + (σ02+α2)Q2]]αQD = h[r−DL+ (1−β)E(X−r)] + h
2αQ[σ
2
commit to user
3. Biaya Kekurangan Persediaan (Bk).
Biaya kekurangan persediaan disediakan untuk mengantisipasi kerugian
akibat kehabisan persediaan selama waktu tunggu. Kehabisan persediaan
mengakibatkan hilangnya kepercayaan pelanggan. Jumlah permintaan
se-lama waktu tunggu yang mengalami kehabisan persediaan pada kasus
back-order maupun lost sales adalah
η(x, r) =
0, x−r <0;
x−r, x−r ≥0.
Ekspektasi jumlah permintaan yang mengalami kehabisan persediaan
sela-ma waktu tunggu adalah
¯
η(x, r) = R∞
r η(x, r)f(x)dx = R∞
r (x−r)f(x)dx = E(X−r)
sehingga ekspektasi jumlah permintaan yang mengalami kehabisan
perse-diaan selama waktu tunggu selama satu tahun adalah
¯
η(x, r)E(YD|Q) =E(X−r)αQD .
Penurunan ulang model persediaan (Q,r,L) untuk biaya kekurangan
perse-diaan pada kasusbackorder,lostsales, dan partial backorder pada saat
jum-lah barang yang diterima sama dengan jumjum-lah barang yang dipesan tejum-lah
dibahas pada bab landasan teori, sehingga diperoleh persamaan (2.7).
Se-lanjutnya akan akan dibahas penurunan ulang model persediaan (Q,r,L)
untuk biaya kekurangan persediaan pada kasus partial backorder pada saat
jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang dipesan.
Misalkan β merupakan persentase jumlah permintaan yang mengalami ka-sus backorder dengan 0 ≤ β ≤ 1, sehingga biaya kekurangan persediaan pada kasuspartial backorder adalah
Bk = E(YD|Q)(π+ (1−β)π0)E(X−r)
= D
commit to user
4. Crashing Cost (R(L)).
Besarnya crashing cost (R(L)) merupakan biaya tambahan yang dikelu-arkan untuk mempercepat kedatangan barang per siklus. Misalkan L0 =
Pn
j=1bj, merupakan waktu tunggu awal sebelum adanya pengurangan
wak-tu wak-tunggu. Diasumsikan bahwa wakwak-tu wak-tungguL memiliki sejumlah n kom-ponen yang saling asing. Masing-masing komkom-ponenimemiliki durasi waktu tunggu minimumai, durasi waktu tunggu normalbi, dan biaya pengurangan waktu tunggu per unit waktu adalahcidenganc1 ≤c2 ≤ · · · ≤cn. Besarnya
ci digunakan sebagai biaya percepatan kedatangan barang pesanan. Li merupakan lama waktu tunggu yang telah di crash dengan masing-masing
komponen. Menurut Ben Daya dan Raouf [5], dapat ditulis sebagai
Li =Pnj=1bj−Pij=1(bj −aj), dengan i= 1,2, ..., n.
Besarnya R(L) untuk L∈[Li, Li−1] per siklus adalahR(L) =ci(Li−1−L)
+Pi−1
j=1cj(bj −aj) dan R(L0) = 0. Besarnya crashing cost pada kasus
backorder, lostsales dan partial backorder sama. Besarnya R(L) selama satu tahun adalah
R(L) D
α Q.
Diperoleh model biaya total persediaan pada kasus partial backorder pada
saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang dipesan
dengan mempertimbangkan pengurangan waktu tunggu atau model persediaan
(Q,r,L) adalah
Bt(Q, r, L) = Bp+Bs+Bk+R(L)
= ADαQ +h[r−DL+ (1−β)E(X−r)] + 2αQh [σ2
0 + (σ21+α2)Q2]
+D
αQ(π+ (1−β)π0)E(X−r) + R(L)D
αQ .
commit to user
4.1.2
Model Persediaan dengan Permintaan Selama
Waktu Tunggu Berdistribusi Normal
Jika permintaan selama waktu tunggu diasumsikan berdistribusi normal
dengan meanDLdan standar deviasi σ√L, maka ekspektasi jumlah permintaan karena kekurangan persediaan adalah
E(X−r) =
L dz, maka persamaan (4.2) menjadi
E(X−r) = √1 pdf dan CDF dari distribusi normal standar.
4.1.3
Penyelesaian Optimal
Tujuan dari permasalahan persediaan barang adalah mengambil keputusan
yang optimal tetapi dapat meminimalkan biaya yang dikeluarkan. Pada bagian
ini akan dicari penyelesaian optimal pada model persediaan (Q,r,L) yang dapat
meminimumkan biaya total persediaan. Pada landasan teori telah dijelaskan
bahwa untuk dapat meminimumkan biaya total persediaan, maka fungsi biaya
total merupakan fungsi yang konveks. Kekonveksan suatu fungsi dapat dilihat
dari matriks Hessian dengan sifat definit positif.
Jika fungsi biaya total (Bt(Q, r, L)) pada persamaan (4.1), dengan r di-substitusikan dengan r = DL+kσ√L dan E(X − r) disubstitusikan dengan persamaan (4.3) maka fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L) menjadi
commit to user
Turunan parsial kedua dari fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L)
pada persamaan (4.4) adalah
∂Bt(Q,k,L)
demikian, diperoleh matriks Hessian untuk fungsi biaya total model persediaan
(Q,k,L) pada persamaan (4.4) adalah
∇2Bt(Q, k, L) =
Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.5), diperoleh nilai determinant
test principal minor ke-1 adalah
∂2Bt(Q, k, L)
Berdasarkan nilai darideterminant test principal minor ke-1 terlihat bahwa
fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L) pada persamaan (4.4) tidak definit
commit to user
dari matriks Hessiannya bernilai negatif, sehingga merupakan fungsi yang tidak
konveks pada Q, k, dan L . Jika diberikan nilai Q dan k tetap, maka fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L) merupakan fungsi konkav yang penyelesaian
optimumnya ada di titik ujung interval [Li, Li−1]. Namun, jika diberikan nilaiL∈
[Li, Li−1] tetap, maka matriks Hessian dari fungsi biaya total model persediaan
(Q,k,L) pada persamaan (4.4) adalah
∇2Bt(Q, k, L) =
Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.6), diperoleh nilai determinant test
principal minor ke-1 adalah
∂2Bt(Q, k, L)
nilai determinant test principal minor ke-2 adalah
∂2Bt(Q, k, L)
Berdasarkan nilai darideterminant test principal minor ke-1 dan 2 terlihat bahwa
jika diberikan nilaiL∈[Li, Li−1] tetap, maka fungsi biaya total model persedi-aan (Q,k,L) pada persampersedi-aan (4.4) merupakan fungsi konveks. Berdasarkan hal
tersebut penyelesaian optimal untuk Q dan k adalah,
Q=
Nilai Q∗ dan k∗ diperoleh dengan iterasi menggunakan algoritma Wu [14]
berikut.
commit to user
(a) Dimulai dengan memberikan nilai awal ki1 = 0. Berdasarkan tabel
distribusi normal standar diperoleh nilai φ(ki1) = 0.39894, Φ(ki1) =
0.5, dan Ψ(ki1) = 0.39894.
(b) Kemudian mensubstitusikan Ψ(ki1) = 0.39894 ke Persamaan 4.7
se-hingga diperoleh nilai Qi1.
(c) HasilQi1selanjutnya disubstitusikan ke Persamaan 4.8 sehingga
dipero-leh nilai Φ(ki2).
(d) Dengan melihat tabel distribusi normal standar diperoleh nilai φ(ki2)
dan Ψ(ki2).
(e) Mengulangi langkah (a) sampai (d) sehingga diperoleh nilai Q dan k
yang konvergen.
2. Masing-masing biaya total (Qi, ki, Li) diperoleh dengan mensubstitusikan nilai Qi dan ki yang telah konvergen serta nilai Li, i = 0,1,· · ·, n ke Per-samaan 4.4
3. Selanjutnya, mencari nilai mini=0,1,···,nbiaya total (Qi, ki, Li). Jika mini=0,1,···,n biaya total (Qi, ki, Li) = biaya total(Q∗, k∗, L∗) maka (Q∗, k∗, L∗) meru-pakan penyelesaian optimal dengan titik pemesanan kembali r∗ = DL∗ +
k∗σ√L∗.
4.2
Model Persediaan (Q, r, L, A)
4.2.1
Penurunan Ulang Model
Pada bagian ini akan dijabarkan penurunan ulang model persediaan (Q,r,L,A)
pada saat jumlah barang yang diterima berbeda dengan jumlah barang yang
pe-san. Biaya pemesanan (A) pada fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L) persamaan (4.1) diasumsikan konstan. Menurut penelitian yang dilakukan oleh
Hall dan Porteus (Wu dan lin [15]), sejumlah investasi I(A) dapat menguran-gi besarnya biaya pemesanan. Jika terdapat A0 yang merupakan besarnya
commit to user
berkurang sampai dengan A dengan laju pengurangan sebesar δ, sehingga da-pat didefinisikan sebagai berikut
I(A) =b ln(A0
A) 0< A≤A0 denganb=
1
δ.
Jika diberikan sejumlah potongan sebesar θ, maka besarnya biaya investasi per unit waktu adalahθI(A). Diperoleh fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L,A) adalah
Tujuan dari permasalah persediaan barang adalah mengambil keputusan
yang optimal yang dapat meminimalkan biaya yang dikeluarkan. Pada bagian
ini akan dicari penyelesaian optimal pada fungsi biaya total model persediaan
(Q,r,L,A) dengan kendala 0 < A ≤ A0 yang dapat meminimumkan biaya total
persediaan. Pada landasan teori telah dijelaskan bahwa untuk dapat
memini-mumkan biaya total persediaan, maka fungsi biaya total merupakan fungsi yang
konveks. Kekonveksan suatu fungsi dapat dilihat dari matriks Hessian dengan
sifat definit positif.
Jika permintaan selama waktu tunggu diasumsikan berdistribusi normal
dengan mean DL dan standar deviasi σ√L maka ekspektasi jumlah permintaan karena kekurangan persediaan adalah persamaan (4.3), kemudian fungsi biaya
total model persediaan (Q,r,L,A) pada persamaan (4.9), jika r disubstitusikan denganr =DL+kσ√Ldan E(X−r) disubstitusikan dengan persamaan (4.3), maka fungsi biaya total model persediaan (Q,r,L,A) menjadi
commit to user
dengan 0< A≤A0. Turunan parsial kedua dari fungsi biaya total model
perse-diaan (Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) adalah
∂Bt(Q,k,L,A)
demikian, diperoleh matriks Hessian untuk fungsi biaya total model persediaan
(Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) adalah
∇2Bt(Q, k, L, A) =
Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.11), diperoleh nilaideterminant
test principal minor ke-1 adalah
commit to user
Berdasarkan nilai dari determinant test principal minor ke-1 terlihat
bah-wa fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) tidak
definit positif. Hal tersebut dikarenakan nilai determinant test principal minor
ke-1 matriks Hessiannya bernilai negatif, sehingga merupakan fungsi yang tidak
konveks padaQ, k, A, dan L. Jika diberikan nilaiQ, k, danAtetap, maka fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L,A) merupakan fungsi yang konkav dengan
penyelesaian optimumnya berada di titik ujung interval [Li, Li−1]. Namun, jika
diberikan nilaiL∈[Li, Li−1] tetap, maka matriks Hessian dari fungsi biaya total model persediaan (Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) adalah
∇2Bt(Q, k, L, A) =
Berdasarkan persamaan matriks Hessian (4.12), diperoleh nilai determinant test
principal minor ke-1 adalah
∂2Bt(Q, k, L, A)
nilai determinant tes principal minor ke-2 adalah
∂2Bt(Q, k, L, A)
Berdasarkan nilai darideterminant test principal minor ke-1 dan 2 terlihat bahwa
commit to user
(Q,k,L,A) pada persamaan (4.10) merupakan fungsi konveks. Berdasarkan hal
tersebut penyelesaian optimal untuk Q, A dan k adalah
Q=
s
2D[A+ h
2Dσ02+ (π+ (1−β)π0)σ
√
LΨ(k) +R(L)]
h(σ2 1 +α2)
, (4.13)
Φ(k) = 1− hαQ
h(1−β)αQ+D(π+ (1−β)π0)
, dan (4.14)
A= θb
DαQ. (4.15)
Nilai Q∗, k∗, dan A diperoleh dengan iterasi menggunakan algoritma Wu
dan Lin [15] berikut.
1. Untuk setiap Li, i= 0,1,· · · , n dilakukan langkah sebagai berikut
(a) Dimulai dengan memberikan nilai awalAi1 =A0danki1 = 0. Berdasarkan
tabel distribusi normal standar diperoleh nilaiφ(ki1) = 0.39894, Φ(ki1) =
0.5, dan Ψ(ki1) = 0.39894.
(b) Kemudian mensubstitusikan nilai Ai1 dan Ψ(ki1) = 0.39894 ke
Per-samaan 4.13 sehingga diperoleh nilaiQi1.
(c) HasilQi1selanjutnya disubstitusikan ke Persamaan 4.15 sehingga
dipero-leh nilai Ai2.
(d) Hasil Qi1 juga disubstitusikan ke Persamaan 4.14 sehingga diperoleh
nilai Φ(ki2).
(e) Dengan melihat tabel distribusi normal standar diperoleh nilai φ(ki2)
dan Ψ(ki2).
(f) Mengulangi langkah (a) sampai (d) sampai diperoleh nilai Qi,ki, dan
Ai yang konvergen.
2. Selanjutnya membandingkan nilaiAi dan A0.
(a) Jika diperoleh nilai Ai < A0, maka penyelesaian optimal telah
dipero-leh.
(b) Jika diperoleh nilaiAi ≥A0 maka dilakukan kembali langkah 1 dengan
commit to user
Tabel 4.1. Data Waktu Tunggu
Komponen Waktu normal Waktu minimum Biaya tambahan
waktu tunggu i bi (hari) ai (hari) ci (dollar/hari)
1 20 6 0,4
2 20 6 1,2
3 16 9 5,0
3. Masing-masing biaya total (Qi, ki, Li, Ai) diperoleh dengan mensubstitusikan nilai Qi, ki, dan Ai yang telah konvergen serta nilai Li, i = 0,1,· · · , n ke Persamaan 4.10
4. Selanjutnya, mencari nilai mini=0,1,···,n biaya total (Qi, ki, Li, Ai).
Jika mini=0,1,···,nbiaya total (Qi, ki, Li, Ai) = biaya total(Q∗, k∗, L∗, A∗) ma-ka (Q∗, k∗, L∗, A∗) merupakan penyelesaian optimal dengan titik pemesanan
kembali r∗ =DL∗+k∗σ√L∗.
4.3
Penerapan Kasus
Kasus ini merupakan kasus penjualan disket pada sebuah perusahaan
kom-puter. Perusahaan tersebut setiap tahunnya menjual rata-rata 600 kotak disket.
Selama pemesanan disket terdapat waktu tunggu. Permintaan selama waktu
tunggu diasumsikan berdistribusi normal dengan standar deviasi sebesar 7 unit
barang. Tabel 4.1 merupakan tabel biaya untuk mempercepat kedatangan barang
pesanan.
Perusahaan tersebut mengeluarkan biaya pemesanan sebesar 200 (dalam
dollar) sekali pesan dan biaya penyimpanan satu kotak disket adalah 10 (dalam
dollar). Untuk mengantisipasi kerugian karena hilangnya kepercayaan pelanggan,
ditetapkan biaya sebesar 50 (dalam dollar) dan untuk mengantisipasi kerugian
karena hilangnya penjualan, ditetapkan biaya sebesar 150 (dalam dollar).
Penelitian ini disimulasi dengan berbagai kondisi, yaitu jika seluruh
commit to user
Tabel 4.2. Biaya Total Model Persediaan (Q, r, L) (Li dalam satuan minggu)
β Li R(Li) Qi ri Bt(Qi, ri, Li)
0,0 8 0 123,028 133,688 3309,06
6 5,6 123,418 105,067 3214,89 4 22,4 126,783 75,2738 3191,15 3 57,4 134,879 59,5916 3228,75
0,5 8 0 123,339 129,728 3242,76
6 5,6 123,703 101,638 3151,67 4 22,4 126,983 72,4738 3140,47 3 57,4 135,521 57,0454 3190,7
0,8 8 0 123,991 125,57 3172,61
6 5,6 124,29 98,0368 3090,89
4 22,4 127,441 69,5338 3094,07 3 57,4 135,803 54,4993 3144,95
1,0 8 0 124,528 120,818 3087,33
6 5,6 124,773 93,9216 3017,01 4 22,4 127,811 66,1738 3036,2 3 57,4 136,394 51,4682 3095,25
dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus backorder (β = 0,8), dan seluruh permintaan selama waktu tunggu mengalami backorder (β = 1,0). Perusahaan menetapkan nilai awal σ2
0 = 100, σ12 = 0,1; dan α= 0,9.
Dengan menerapkan algoritma Wu [14], diperoleh biaya total seperti pada
Tabel 4.2. Setelah diperoleh biaya total untuk masing-masing nilai β dengan pengurangan waktu tunggu yang bervariasi, langkah selanjutnya adalah mencari
penyelesaian optimal untuk masing-masing nilai β, sehingga diperoleh penyele-saian optimal yang disajikan pada Tabel 4.3. Berdasarkan Tabel 4.3, kebijakan
yang harus dilakukan oleh pemilik perusahaan agar biaya total pada perusahaan
minimum tetapi tetap dapat memenuhi permintaan pelanggan adalah
commit to user
Tabel 4.3. Penyelesaian Optimal Model Persediaan (Q, r, L) (Li dalam satuan minggu)
β L R(L) Q r Bt(Q, r, L) 0,0 4 22,4 126,783 75,2738 3191,15 0,5 4 22,4 126,983 72,4738 3140,47 0,8 6 5,6 124,29 98,0368 3090,89 1,0 6 5,6 124,773 93,9216 3017,01
0), perusahaan tersebut harus melakukan pemesanan kembali pada saat
barang di gudang sebesar 75,2738≈76 buah kotak disket dan perusahaan harus melakukan pemesanan sebesar 126,783 ≈ 127 buah kotak disket dengan pengurangan waktu tunggu selama 4 minggu atau waktu tunggu
menjadi 4 minggu.
2. Jika setengah dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
back-order(β= 0,5), perusahaan tersebut harus melakukan pemesanan kembali pada saat barang di gudang sebesar 72,4738 ≈ 73 buah kotak disket dan perusahaan harus melakukan pemesanan sebesar 126,983 ≈ 127 buah ko-tak disket dengan pengurangan waktu tunggu selama 4 minggu atau waktu
tunggu menjadi 4 minggu.
3. Jika 0,8 dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus backorder
(β = 0,8), perusahaan tersebut harus melakukan pemesanan kembali pada saat barang di gudang sebesar 98,0368≈99 buah kotak disket dan perusa-haan harus melakukan pemesanan sebesar 124,29≈125 buah kotak disket dengan pengurangan waktu tunggu selama 2 minggu atau waktu tunggu
menjadi 6 minggu.
4. Jika seluruh dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
ko-commit to user
Tabel 4.4. Biaya Total Model Persediaan (Q, r, L, A) (Li dalam satuan minggu)
β Li R(Li) Ai Qi ri Bt(Qi, ri, Li, Ai)
0,0 8 0 63,8049 73,3389 137,647 2991,48
6 5,6 66,358 76,2735 108,239 2903,29
4 22,4 74,4668 85,594 77,4438 2938,93 3 57,4 90,1681 103,641 60,804 3420,41
0,5 8 0 63,5928 73,0952 134,084 2979,5
6 5,6 66,497 76,4333 105,067 2902,23
4 22,4 75,1339 86,3608 74,7138 2931,06 3 57,4 90,7263 104,283 58,3791 3043,79
0,8 8 0 64,4794 74,1142 130,223 2914,46
6 5,6 66,8167 76,8008 101,809 2841,31 4 22,4 75,1777 86,4112 72,0538 2878,39 3 57,4 90,9772 104,571 55,9543 2999,11
1,0 8 0 65,6152 75,4198 125,768 2840,78
6 5,6 67,7684 77,8947 97,951 2777,3
4 22,4 76,0265 87,3868 68,8338 2831,45
3 57,4 91,2888 104,93 53,1656 2947,8
tak disket dengan pengurangan waktu tunggu selama 2 minggu atau waktu
tunggu menjadi 6 minggu.
Jika ada pihak asing yang menanamkan modalnya untuk perusahaan
terse-but denganθ= 0,1 per dollar per tahun danb= 5800, maka dengan menerapkan algoritma yang diperkenalkan oleh Wu dan Lin [15],diperoleh biaya total
seper-ti pada Tabel 4.4. Setelah diperoleh biaya total untuk masing-masing nilai β
dengan pengurangan waktu tunggu yang bervariasi, langkah selanjutnya adalah
mencari penyelesaian optimal untuk masing-masing nilai β, sehingga diperoleh penyelesaian optimal yang disajikan pada Tabel 4.5.
Berdasarkan Tabel 4.5, kebijakan yang harus dilakukan oleh pemilik
commit to user
Tabel 4.5. Penyelesaian Optimal Model Persediaan (Q, r, L, A) (Li dalam satuan minggu)
β L R(L) A Q r Bt(Q, r, L, A) 0,0 6 5,6 66,358 76,2735 108,239 2903,29 0,5 6 5,6 66,497 76,4333 105,067 2902,23 0,8 6 5,6 66,8167 76,8008 101,809 2841,31 1,0 6 5,6 67,7684 77,8947 97,951 2777,3
permintaan pelanggan adalah
1. Jika seluruh dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
lost-sales (β = 0), perusahaan tersebut harus melakukan pemesanan kembali pada saat barang di gudang sebesar 108.239 ≈109 buah kotak disket dan perusahaan harus melakukan pemesanan sebesar 76,2735 ≈ 77 buah ko-tak disket dengan pengurangan waktu tunggu selama 2 minggu atau waktu
tunggu menjadi 6 minggu. Adanya penanaman modal dapat mengurangi
biaya pemesanan sampai 66,358≈67 (dalam dollar).
2. Jika setengah dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
back-order (β = 0,5), perusahaan tersebut harus melakukan pemesanan kembali pada saat barang di gudang sebesar 105,067 ≈106 buah kotak disket dan perusahaan harus melakukan pemesanan sebesar 76,4333 ≈ 77 buah ko-tak disket dengan pengurangan waktu tunggu selama 2 minggu atau waktu
tunggu menjadi 6 minggu. Adanya penanaman modal dapat mengurangi
biaya pemesanan sampai 66,497≈67 (dalam dollar).
3. Jika 0,8 dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus backorder
(β = 0,8), perusahaan tersebut harus melakukan pemesanan kembali pa-da saat barang di gupa-dang sebesar 101,809 ≈ 102 buah kotak disket dan perusahaan harus melakukan pemesanan sebesar 76,8008 ≈ 77 buah ko-tak disket dengan pengurangan waktu tunggu selama 2 minggu atau waktu
commit to user
biaya pemesanan sampai 66,8167≈67 (dalam dollar).
4. Jika seluruh dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
back-order (β = 1,0), perusahaan tersebut harus melakukan pemesanan kembali pada saat barang di gudang sebesar 97,951 ≈ 98 buah kotak disket dan perusahaan harus melakukan pemesanan sebesar 77,8947 ≈ 78 buah ko-tak disket dengan pengurangan waktu tunggu selama 2 minngu atau waktu
tunggu menjadi 6 minggu. Adanya penanaman modal dapat mengurangi
biaya pemesanan sampai 67,7684≈68 (dalam dollar).
Berdasarkan biaya total masing-masing model persediaan, Tabel 4.2 dan
Tabel 4.4, diperoleh kesimpulan bahwa
1. nilai waktu tunggu 8 menandakan bahwa tidak terjadi pengurangan waktu
tunggu terhadap pengiriman barang, sedangkan nilai 6,4 dan 3 menandakan
terjadinya pengurangan waktu tunggu terhadap pengiriman barang dan
2. berdasarkan hasil simulasi pada kasus penjualan disket diperoleh bahwa
biaya total paling minimum didapatkan ketika seluruh permintaan selama
waktu tunggu mengalami kasusbackorder (β = 1,0).
Berdasarkan penyelesaian kebijakan optimal, Tabel 4.3 dan Tabel 4.5, diperoleh
kesimpulan bahwa
1. jika seluruh dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
lost-sales (β = 0), maka biaya total persediaan paling minimum pada model persediaan (Q, r, L) terjadi ketika pengurangan waktu tunggu selama 4
minggu atau waktu tunggu menjadi 4 minggu, sedangkan model
persedi-aan (Q, r, L, A) terjadi ketika waktu tunggu selama 6 minggu,
2. jika setengah dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
back-order (β = 0,5), maka biaya total persediaan paling minimum pada model persediaan (Q, r, L) terjadi ketika pengurangan waktu tunggu selama 4
minggu atau waktu tunggu menjadi 4 minggu, sedangkan model
commit to user
3. jika 0,8 dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasusbackorder
(β = 0,8), maka biaya total persediaan paling minimum terjadi ketika pengurangan waktu tunggu selama 2 minggu atau waktu tunggu menjadi
6 minggu baik pada model persediaan (Q, r, L) maupun model persediaan
(Q, r, L, A) , tetapi biaya total persediaan paling minimum terdapat pada
saat adanya efek penanaman modal, dan
4. jika seluruh dari permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
backo-rder (β = 1,0), maka biaya total persediaan paling minimum terjadi ketika pengurangan waktu tunggu selama 2 minggu atau waktu tunggu menjadi
6 minggu baik pada model persediaan (Q, r, L) maupun model persediaan
(Q, r, L, A) , tetapi biaya total persediaan paling minimum terdapat pada
commit to user
Bab V
PENUTUP
5.1
Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan, dapat ditarik kesimpulan,
1. model persediaan (Q, r, L) ketika jumlah barang yang diterima berbeda
dengan jumlah barang yang dipesan adalah
Bt(Q, r, L) = Bp+Bs+Bk+R(L)
2. model persediaan (Q, r, L, A) ketika jumlah barang yang diterima berbeda
dengan jumlah barang yang dipesan adalah
Bt(Q, r, L, A) = θI(A) +Bp +Bs+Bk+R(L) 3. penyelesaian optimal berdasarkan masing-masing model jika diasumsikan
permintaan selama waktu tunggu berdistribusi normal adalah
commit to user
4. jika diberikan nilai k, L dan A tetap, maka penyelesaian optimal banyak barang yang harus dipesan (Q) untuk kasus permintaan selama waktu tung-gu seluruhnya mengalamilostsales (β = 0,0) lebih besar dibandingkan den-gan kasus permintaan selama waktu tunggu seluruhnya mengalami
backo-rder (β = 1,0),
5. adanyacrashing cost dimaksudkan untuk mempercepat kedatangan barang
pesanan, sehingga akan mempengaruhi secara signifikan terhadap total
bi-aya persediaan, dan
6. berdasarkan simulasi beberapa nilai β, jika diberikan nilaiQ, r, Lmaupun
Atetap, maka total biaya pemesanan akan minimum pada saat perusahaan tersebut seluruh permintaan selama waktu tunggu mengalami kasus
back-order (β = 1,0).
5.2
Saran
Pada penelitian ini permasalahan dibatasi pada permintaan selama waktu
tunggu terjadi berdistribusi normal, pada penelitian selanjutnya dapat
diasum-sikan permintaan selama waktu tunggu berdistribusi yang lain. Selain itu, pada
penelitian ini hanya diteliti untuk satu produk barang saja, pada penelitian