matlan_05_pd-non-homogen

PERSAMAAN

PERSAMAAN DIDIFERENSIALFERENSIAL

LINI

LINIER NON ER NON HOMOGENHOMOGEN

Contoh PD linier non homogen orde 2. Contoh PD linier non homogen orde 2. Bentuk

Bentuk umum umum persamaan persamaan PD PD Linier Linier NonNon Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut : Homogen Orde 2, adalah sebagai berikut :

y”

y” + + f(xf(x) ) y’ y’ + + g(xg(x) ) y y = = r(xr(x) ) ( ( 2-2- 35)35) Solusi umum y(x) akan

Solusi umum y(x) akan didapatkan bila solusididapatkan bila solusi umum y

umum y_hh(x) dari PD (x) dari PD homogen diketahui.homogen diketahui. PD homogen :

PD homogen : y”

y” + + f(x) f(x) y’ y’ + + g(x) g(x) y y = = 0 0 (2-36)(2-36) Kemudian y(x) dibentuk dengan penambahan Kemudian y(x) dibentuk dengan penambahan y

y_hh(x) (x) sembarang sembarang solusi solusi termasuk termasuk konstantakonstanta tak tetapnya. tak tetapnya.





y y





Theorema 1 :

f(x), g(x) dan r(x) merupakan fungsi kontinyu pada interval I. y(x) merupakan solusi dari PD di atas yang berisikan konstanta yang tetap. y(x) dibentuk oleh dua konstanta. Konstanta pertama, berubah-ubah, terdapat pada solusi umum (homogen) y_h(x). Konstanta kedua,

tetap,terdapat pada fungsi (x), yaitu sembarang solusi PD pada interval I. Theorema 2 :

Solusi umum dari PD seperti di atas adalah

penjumlahan solusi persamaan homogen y_h(x) dengan solusi partikular yang tetap (tak ber-ubah-ubah) y_P(x).

Sehingga y(x) = y_h(x) + y_P(x) (2-38)



y

1. METODE KOEFISIEN TAK TENTU.

Bentuk Persamaan Umum :

y” + ay’ + by = r(x) ( 2-39 )

⊕

_{Fungsi r(x) yang merupakan bentuk solusi}

partikular y_P(x) diperoleh dng cara

menebak, seperti misalnya : fungsi cos, fungsi sin, fungsi exponensial atau jumlah dari beberapa fungsi.

⊕

_{r(x) berisikan koefisien tak tentu.}

⊕

_{Turunkan yP sesuai persamaan umum (2-39)} di atas.

⊕

_{Substitusikan yP dan seluruh turunannya ke} dalam persamaan (2-39).

Tabel 2-1. Metode koefisien tak tentu

iq K cos x + M sin x k cos qx 0 K_nxn _{+ k} n-1xn-1 +...+ k1x + k0 kxn _(n=0,1....) p Cepx kepx Pilihan untuk y_P Bentuk r(x)

Aturan :

⊕

_{Bila r(x) merupakan salah satu fungsi}

seperti dalam tabel, maka pilih bentuk y_P yang sesuai dan merupakan kombinasi linier dengan konstanta tak tentu. Turunan r(x) harus bebas linier pula.

⊕

_{Bila r(x) merupakan penjumlahan, maka} pilih y_P yang merupakan penjumlahan fungsi yang sesuai.

⊕

_{Bila r(x) adalah solusi dari persamaan}

homogen, maka pilihan dapat dimodifikasi seperti berikut

Aturan Modifikasi

Kalikan pilihan pada kolom 2 dengan x atau x2

tergantung dari apakah pada kolom 3 berupa akar tunggal atau akar-akar ganda dari

Contoh-contoh Soal

1. Selesaikan persamaan berikut : y” – 4y’+ 3y = 10e-2x

Jawab : Jawab partikular y_P Turunan e-2x _{adalah ke}-2x maka y_P = ke-2x y_P’ = -2ke-2x _{dan y} P”= 4 ke-2x

4ke-2x_-4(-2ke-2x _{) + 3ke}-2x _{= 10e}-2x _{; k= 2/3}

y_P = (2/3)e-2x Jawab homogen y_h

λ

2 _{- 4}

λ

_{+ 3 = 0 ;}

λ

1 = 3 dan

λ

2 = 1 y_h= k₁eλ1x _{+ k} 2eλ2x = k1e3x+ k2ex Solusi Umum y = y_h + y_P y = k e3x _{+ k e}x _{+ (2/3)e}-2x

2. Selesaikan y” + 4y = 8x2

Jawab :

Jawab homogen :

λ

2 _{+ 4 = 0}

λ

_{1 = p + jq = +j2 ;}

λ

_{2 = p – jq = -j2 ; p= 0} Solusi umum PD homogen untuk D < 0 : y_h = epx_{[A cos qx + B sin qx]}

y_h = [A cos 2x + B sin 2x] Jawab partikular :

Misal 1 : y = kx2 _{; y” = 2k}

2k + 4 kx2 _{= 8x}2 _{; 2k = 0 ; 4k = 8}

Gagal, tidak konsisten.

Misal 2 : y_P = kx2 _{+ Lx + m ; y” = 2k}

2k + 4(kx2 _{+ Lx + M) = 8x}2

4kx2 _{+ 4Lx +(2k + 4m) = 8x}2

dengan metode identifikasi : k = 2 ; L = 0 ; m = 1 maka y_P = 2x2 _{+ 1}

Solusi umum y = y_P + y_h

3. Selesaikan y” – y’ – 2y = 10 cos x Jawab : Jawab homogen

λ

2 _-

λ

_{- 2 = 0} y_h = c₁eλ2x _{+ c} 2 eλ2x y_h = c₁e2x _{+ c} 2 e-x Jawab partikular y_P = k cos x + m sin x y_P’ = -k sin x + m cos x y_P” = -k cos x – m sin x (-k cos x – m sin (-k sin x + m cos x)-2(k cos x + m sin x) = 10 cos x

(-3k – m) cos x + (k-3m) sin x = 10 cos x -3k – m = 10 ; k – 3m = 0 ;

k = -3 ; m = -1

y_P = -3 cos x – sin x Solusi umum : y = y_h + y_P

4. Selesaikan : y” – 3y’+ 2y = 4x + e3x Jawab : Jawab homogen : y_h = c₁e2x _{+ c} 2ex Jawab partikular : y_P = k₁x +k₀ + Ce3x y_P’ = k₁ + 3Ce3x y_P” = 9Ce3x (9Ce3x_)-3(k 1 + 3Ce3x)+2(k1x +k0 + Ce3x) = 4x + e3x k₁ = 2 ; k₀ = 3 ; C = (1/2) yp = 2x + 3 + (1/2) Ce3x Solusi umum : y = c₁e2x _{+ c} 2ex + 2x + 3 + (1/2) Ce3x

5. Selesaikan : y” – 2y’ + y = (D-1)2 _{= e}x _{+ x}

Jawab :

Jawab homogen y_h = c₁ex _+c

Jawab partikular :

Lihat tabel k₁x + k₀

karena akar ganda cx2_ex

sehingga yp = k₁x + k₀ + cx2_ex

Bila disubstitusikan ke dalam persamaan : yp” – 2yp’ + yp = ex _{+ x} maka didapatkan : 2cex _{+ k} 1x – 2k1 + k0 = ex + x c = ½ ; k₁ = 1 ; k₀ = 2 Solusi umum : y = (c₁x + c₂) ex _{+ ½ x}2_ex _{+ x + 2}

SOAL-SOAL LATIHAN 6

Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y” + 4y = e-x

2. y” + 2y + y = 2x2

3. y” + y – 2y = 3ex

4. y” + y = 2 sin x

5. y” + y’ – 6y = 52 cos 2x 6. y””-5y” + 4y = 10 cos x 7. y” – 2y’ + 2y = 2ex _{cos x}

8. y” + y = x2 _{+ x}

9. y” + 5y + 6y = 9x4 _{– x}

10. y” – 2y’ + y = 2x2 _{– 8x + 4}

11. y’’’+ 2y” – y’ – 2y = 1 – 4x3

12. y” – 4 y’ + 9y = 10 e2x _{– 12 cos 3x}

13. y” + 2y’ + 10y = 4.5 cos x – sin x 14. y” + 2y’ + 2y = -2 cos 2x – 4 sin 2x 15. y” + 4y’ + 8y = 4 cos x + 7 sin x

2. METODE KOMPLEKS UNTUK MENENTUKAN SOLUSI PARTIKULAR

Bentuk umumnya seperti persamaan (2-35) Contoh :

(2-40) Dengan metode koefisien tak tentu akan diperoleh :

I_P(t) = 3 cos t + 3 sin t

Menurut hukum Euler, ruas kanan pers (2-40), 6 cos t, adalah komponen nyata

(riel), karena :

6 eit _{= 6 (cos t + i sin t)}

Sehingga persamaan (2-40) dapat ditulis dengan : ( 2-41) .. .

I + I + 2I = 6 cos t

.. . it

I + I + 2I = 6 e

Solusi partikular kompleks dapat dibuat dalam bentuk :

Ip*(t) = keit _(2-42)

dan * = ikeit _{* = -ke}it

Bila disubstitusikan ke dalam pers (2-41) : (-1 + I +2) keit _{= 6 e}it

= 3 – i 3

Sehingga solusi umum pers. (2-41) adalah : I_P*(t) =(3-i3)eit = (3-i3)(cos t + i sin t) dan komponen nyatanya adalah :

I_P(t) = 3 cos t + 3 sin t . P

I

6

k =

1 + i

.. p

I

3. METODE UMUM

Bentuk umum PD non homogen

y” + f(x)y’ + g(x)y = r(x) (2-43) f, g dan r kontinyu pada interval terbuka I

Sedangkan bentuk umum PD homogen :

y” + f(x)y’ + g(x)y = 0 (2-44)

maka solusi umumnya y_h(x) pada interval terbuka I berbentuk :

Y_h(x) = c₁ y₁(x) + c₂ y₂(x)

Bila c₁ dan c₂ diganti dengan u(x) dan v(x) maka diperoleh solusi partikular pada

interval terbuka I, sbb :

Jika pers. (2-45) diturunkan, hasilnya : y_P’ = u’y₁ + uy₁‘ + v’y₂ + vy₂’

Karena u(x) dan v(x) adalah pengganti c₁ dan c₂, maka :

u’y₁ + v’y₂ = 0 (2-46) Sehingga y_P’ menjadi :

y_P’ = uy₁’+ vy₂’ (2-47) Bila pers.(2-43) diturunkan, hasilnya :

y_P” = u’y₁’+ uy₁”+ v’y₂’ + vy₂” (2-48) Pers.(2-45), (2-47) dan (2-48) disubstitusi-kan ke dalam pers.(2-43), dan mengumpul-kan komponen yang mengandung u dan v :

u(y₁”+ fy₁’+ gy₁) + v(y₂”+ fy₂’+ gy₂) + u’y₁’+v’y₂’ = r

Bila y₁ dan y₂ merupakan solusi homogen dari pers. (2-44), sehingga terjadi

penyederhanaan persamaan, menjadi ; u’y₁’+v’y₂’ = r

Pers. (2-46) : u’y₁ + v’y₂ = 0

Sebuah sistem dari 2 persamaan aljabar linier dengan 2 fungsi u’ dan v’ yang tak diketahui.

Penyelesaian selanjutnya dengan memakai aturan Cramer, sehingga :

dan (2-49)

dengan W = y₁ y₂’ – y₁’y₂ ; W

≠

0. W = Bilangan Wronskian dari y dan y

2 y r u' = -W 1

y r

v' =

-W

Dengan integrasi diperoleh : dan

substitusikan hasil ini ke dalam pers(2-45), sehingga didapatkan :

(2-50) Contoh :

Selesaikan PD berikut ini : y” + y = sec x Jawab :

misalkan y₁ = cos x dan y₂ = sin x Solusi homogen :

Bilangan Wronskian :

W(y₁,y₂) = cos x cos x –(-sin x) sinx =1 Solusi partikular : Dari pers. (2-50), 2 y r u = - dx W

∫ 

y r1 v = - dx W

∫ 

2 1 p 1 2 y r y r y (x) = -y dx y dx W

+

W

∫

∫ 

y_P = cos x ln|cos x| + x sin x

maka solusi umumnya adalah : y = y_h + y_P y = [c₁ + ln|cos x|] cos x + (c₂ + x) x sin x SOAL-SOAL LATIHAN 7

Selesaikan PD non homogen berikut ini : 1. y” + y = cosec x + x

2. y”+ 9y = sec 3 x

3. y” – 4y’ + 4y = [e2x_]/x

4. y” + 2y’ + y = e-x _{ln x}

5. y” + 6y’ – 9y = [e-3x_]/[x2 _{+ 1]}

6. y” + 2y’ + y = e-x _{cos x}

7. x2_{y” – 5xy’ + 9 = 3x}2

8. x2_{y” – 4xy’ + 6y = 1/[x}2_]

9. x2_{y” – (1-2x)y’ + (6-4x}2_{)y = x}2 _{cos x}