C iklm = sebagai tensor elastisitas

Teori elastisitas menjadi dasar pokok untuk mendiskripsikan perambatan gelombang elastik.

Tensor stress

σ

_ik dan tensor strain

ε

_ik dihubungkan oleh persamaan keadaan untuk suatu medium.

Pada material elastik ideal, hubungan antara tensor stress dan tensor strain ditunjukkan dengan bentuk umum hukum Hooke:

lm iklm

ik

C

ε

σ

=

C

_iklm = sebagai tensor elastisitas

Jika strain dipandang sebagai stress maka persamaan:

Keberadaan potensial elastik dan kesimetrian dari stress dan strain menghasilkan 21 dari 81 tensor yang bebas (Helbig, 1992).

Pada material isotropik hanya ada dua konstanta bebas yang menggambarkan sifat elastik secara lengkap.

Sifat elastik dari fluida dan gas ditunjukkan dengan

k

(modulus kompres) atau

c = 1/k

(kompresibilitas).

D

_iklm = sebagai tensor komplayen (pemenuhan), yang sering dituliskan sebagai

S

_iklm

'

ik iklm lm

D

σ

ε

=

ik lm iklm ik

λ

ϑ

ε

µε

σ

=

+

2

Konstanta elastik untuk material Konstanta elastik untuk material Konstanta elastik untuk material

kecepatan gelombang longitudinal (gelombang kompresi)

kecepatan gelombang transversal (shear wave)

(

) (

)

2 1 2 1 2 1

1

2

1

1

2













=













+

⋅

−

−

⋅

=













+

=

d

M

d

E

d

v

_p

σ

σ

σ

µ

λ

(

)(

)

E M ⋅ + − − =

σ

σ

σ

1 2 1 1

(

)

2 1 2 1 1 2 1       + ⋅ ⋅ =       =

σ

µ

d E d v_s

Ratio Poisson dan kuantitas kecepatan 2 1 2 1 1 2       − − =

σ

σ

s p v v

)

1

(

2

2

−

−

=

θ

θ

σ

2













=

s p

v

v

θ

Dalam material anisotropi elastik, kecepatan gelombang sebagai fungsi arah perambatan.

Gelombang kompresi dan gelombang shear hanya berada pada arah dan keadaan khusus.

Pada medium isotropik transversal dengan sumbu vertikal yang simetri disebut juga ratio anisotropi yang didefinisikan oleh gambaran sederhana berikut: //

v

v

v

v

A

horizontal vertikal

=

⊥

=

Dua observasi penting untuk menggambarkan stress-strain pada batuan:

1.Modulus elastik (komponen tensor elastik)

bergantung pada stress. Oleh karena itu hubungan stress-strain adalah nonlinear.

2.Batuan bukan material elastik ideal. Reaksi batuan

terhadap stress bergantung juga pada kecepatan deformasi dan sejarahnya.

Penyimpangan dari hukum Hooke menghasilkan:

– fenomena dari serapan energi

– ketidaksesuaian penentuan modulus secara statis

Satuan yang digunakan untuk sifat elastik:

Satuan SI untuk modulus elastik (modulus Young, modulus shear, modulus gelombang bidang, konstanta Lame, modulus kompres) yaitu Pascal (Pa)

Paling umum digunakan Gigapascal (GPa) atau Megapascal (MPa)

1 Pa = 1 Nm-2 _{=1 kg m}-1 _s-2

Konversi kp cm-2_{, bar dan psi sebagai berikut:}

1 kp cm-2 _{= 9,8067 x 10}4 _Pa ≈ _{0,1 MPa}

1 Pa = 1,0197 x 10-5 _{kp cm}-2 _{1MPA = 10}6 _Pa

1 bar = 0,1 MPa

1 psi = 6,894 x 10-3 _{Pa = 6,894 kPa = 0,006894 MPa}

1 Pa = 1,45038 x 10-4 _{psi 1MPa=145,038 psi}

Kecepatan sering digunakan sebagai km s-1

(1 km s-1 _{= 10}3 _ms-1₎

Konversi satuan ft s-1

1 ft s-1 _{= 0,3048 ms}-1

Sifat elastik pembentukan mineral Sifat elastik pembentukan mineral Sifat elastik pembentukan mineral Sifat elastik pembentukan mineral Sifat elastik pembentukan mineral Sifat elastik pembentukan mineral Sifat elastik pembentukan mineral Sifat elastik pembentukan mineral

Sifat elastik pembentukan mineral ditentukan oleh elemen kimianya dengan ikatan antara unsur-unsur pokok dan sifat-sifat mineral serta

dipengaruhi oleh temperatur dan tekanan.

Kebergantungan kelas kristal khususnya

bilangan elemen bebas tensor elastik diperlukan untuk melengkapi karakteristik dari sifat elastik.

Contoh konstanta elastik Contoh konstanta elastik Contoh konstanta elastik

Contoh konstanta elastik

C

C

C

C

_mnmnmnmn (dalam Pa) untuk (dalam Pa) untuk (dalam Pa) untuk (dalam Pa) untuk mineral

mineral mineral

mineral----mineral trigonal simetrimineral trigonal simetrimineral trigonal simetri (quartz, calcite, mineral trigonal simetri (quartz, calcite, (quartz, calcite, (quartz, calcite, dolomite) dan orthorombik simetri (olivine)

dolomite) dan orthorombik simetri (olivine)dolomite) dan orthorombik simetri (olivine) dolomite) dan orthorombik simetri (olivine)

Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan Pengaruh komposisi mineral pada sifat elastik dan

mineral lainnya mineral lainnya mineral lainnya mineral lainnya

karakteristik sifat elastik batuan, modulusnya sering digunakan pada material isotropik.

Diasumsikan bahwa dalam batuan alam arah sumbu kristalografik yang terdistribusi secara statistik,

ditentukan oleh medium quasi-isotropik disebut juga “effektif” atau “makroskopik”.

Modulus untuk mineral (seperti modulus Young, modulus geser, modulus tekanan ratio Poisson).
Modulus seperti ini ditentukan secara eksperimen

Pada d < 4 x 10-3 kg m-3, umumnya kecepatan

meningkat (modulus elastic) dengan densitas yang makin besar.

Unsur-unsur yang bersifat asam (quartz) secara umum memiliki densitas yang rendah sehingga kecepatannya rendah. Pada d > 4 x 103 _{kg m}-3

cenderung sebaliknya.

v

_p yang meningkat dengan pertambahan densitas dijelaskan oleh Dortman dan Magid (1969) dalam bentuk empiris

Persamaan ini merekomendasikan untuk

beberapa batuan pembantuk mineral untuk densitas dibawah 4 x 103 _{kg m}-3_.

(

)

(

)

[

A

]

p

d

m

Pori, celah dan retakan dari batuan beriisi gas (udara, gas alam), fluida (air, minyak) dan

campuran keduanya. Umumnya, modulus elastik fluida dan gas lebih rendah dari pada mineral.

Kompresibilitas (atau modulus kompres k_f)

biasanya digunakan untuk mengarakteristik sifat elastik fluida dan gas.

(

)

12

, f f f

p

k

d

Perambatan gelombang elastik pada gas dapat dianggap sebagai proses adiabatik. Kecepatan gelombang kompres atau sonik:

Ebert (1976) telah mempublikasikan data untuk udara dan mencatat pengaruh tekanan relatif kecil (peningkatan tekanan 50 atm ≈ 5 Mpa

menghasilkan peningkatan kecepatan dengan faktor kali 1,022). 2 1 2 1 ,













=













=

d

p

K

d

k

v

_{p gas} ad

Data kecepatan sonik pada temperatur 273 Data kecepatan sonik pada temperatur 273 Data kecepatan sonik pada temperatur 273

Data kecepatan sonik pada temperatur 273 0000 _{K, K, K, K,}

koefisien temperatur rata koefisien temperatur rata koefisien temperatur rata

koefisien temperatur rata----rata dan ratio panas rata dan ratio panas rata dan ratio panas rata dan ratio panas spesifik untuk gas yang bervariasi

spesifik untuk gas yang bervariasi spesifik untuk gas yang bervariasi spesifik untuk gas yang bervariasi

Beberapa data dan nilai rata Beberapa data dan nilai rata Beberapa data dan nilai rata

Beberapa data dan nilai rata----rata yang sesuai setelah rata yang sesuai setelah rata yang sesuai setelah rata yang sesuai setelah Gearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SI

Gearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SI Gearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SI

Gearhart (1985) dikonversi kedalam satuan SI----yang yang yang yang dirangkum dalam tabel berikut

dirangkum dalam tabel berikutdirangkum dalam tabel berikut dirangkum dalam tabel berikut::::

Kecepatan gelombang Kompresi (P) dan sonic dari fluida bergantung pada komposisi kimia,

temperatur dan tekanan.

Tabel berikut menunjukkan nilai rata-rata untuk air, lumpur dan minyak. Sebagai hasil pengamatan eksperimental oleh Del Groso, 1952

mengembangkan rumusan empiris pada kecepatan sonic di air (m s-1₎

p

C

T

T

v

_water

=

1410

+

4

.

21

−

0

.

037

2

+

0

.

114

+

0

.

18

Batzle dan Wang (1992) mengambil data dari Chen (1978) sebuah solusi rumusan kecepatan pada air asin (brine) v_B, kecepatan air v_W, temperatur T (0_C),

tekanan p (MPa), dan konsentrasi air laut C (fraksi berat dari sodium klorida)

Pada air dan lumpur, Podio dan Gregory, 1990 menyelidiki kecepatan dan perlambatan sebagai fungsi densitas lumpur hingga 1,68 x 103 _{kg m}-₃

pada frekuensi 200 sampai 600 kHz (gambar di bawah). Hasilnya berupa rumusan kecepatan

gelombang kompres (m/s) 2 2 5 . 1 2 3 5 2 820 ) 16 . 0 10 780 ( ) 0476 . 0 0029 . 0 6 . 2 10 5 . 8 055 . 0 6 . 9 1170 ( C p p C p pT p T T T C v v_{B w} − + − + − − + ⋅ − + − + = − 2

420

.

70

336

.

99

2

.

1463

_{m m} p

d

d

v

=

+

−

Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang Efek densitas lumpur pada kecepatan gelombang

kompres air kompres airkompres air kompres air

Untuk minyak, Batzle dan Wang (1992) merumuskan

atau dalam gravitasi minyak API

Nur (1989Nur (1989) menunjukkan untuk hidrokarbon murni Nur (1989Nur (1989 (alkana dan alkena) berkurangnya kecepatan

gelombang kompres dengan meningkatnya temperature (antara 22 dan 110 o_{C) dan}

berkurangnya jumlah karbon atau meningkanya berat molekul

m.

pT d p d v_oil           −       − + + −       = 3.7 4.64 0.0115 4.12 1.08 1 1 6 . 2 2096 2 1 0 2 / 1 0

(

)

T p

(

)

pT

v_oil =15450 77.1+API 1/2 −3.7 +4.64 +0.0115 0.36 API1/2 −1

) ( 6 . 7 0.36 ) ( ) ( ₀ T T₀ m T v T v_p  −      − − =

Jika pori atau celah mengandung fluida dan gas maka efek dari medium pada sifat elastik batuan bergantung:

a) sifat elastik dan densitas dua elemen atau lebih b) fraksi volume

c) distribusi atau susunan pori atau fraksi ruang dan

efek gaya di bidang batas

Domenico (1976, 1977) mempublikasikan dua rumusan untuk “kompresibilitas efektif) dari percampuran air dan gas.

gas water water water eff

S

c

S

c

c

=

⋅

+

(

1

−

)

gas water water water eff c S c S c − + = 1 1

Gambar Gambar Gambar