MST Stochastic Processes [Proses Stokastik]

...

UNIVERSITI SAINS MALAYSIA First Semester Examination Academic Session 2006/2007

October/November 2006

MST 562 - Stochastic Processes [Proses Stokastik]

Duration : 3 hours [Masa : 3 jam]

Please check that this examination paper consists of Nl NE pages of printed material before you begin the examination.

[Sila pastikan bahawa kertas peperiksaan ini mengandungi SEMBILAN muka surat yang bercetak sebe/um anda memulakan peperiksaan ini.]

Instructions : [Arahan

_. .

Answer all four [4] questions.

Jawab semua empat [4] soalan.]

. .

. ... 21-

225

1.

1.

(a) The number of storms in the upcoming season is Poisson distributed but with a parameter value that is uniformly distributed over (0,7). That is, A is uniformly distributed over (0, 7) and given that Y =II., the number of storms is Poisson with mean II. . Find the probability at least two storms this season.

(30 marks]

(b) Consider a Poisson process with mean A. Name the distribution of kth arrival time ~ and obtain its expectation using the Laplace transform.

[30 marks]

(c) The number of aircraft arriving at a maintenance station for repairs in a month follows a Poisson random variable with parameter A . The number of repair hours for repairing an arriving aircraft follows another independent Poisson distribution with parameter a . Let Y be the number of repair hours needed in a month.

(a)

(i) Find the probability generating function of Y . (ii) Use (i) to obtain E(Y) and Var(Y).

[40 marks]

Bilangan ribut dalam musim akan datang adalah tertabur secara Poisson tetapi dengan suatu nilai parameter yang tertabur secara seragam pada (0, 7). Iaitu, II. adalah tertabur secara seragam pada (0, 7) dan diberi bahawa Y

=

^{II. ,} bilangan ribut adalah Poisson dengan min II. . Cari kebarangkalian bahawa sekurang-kurangnya dua ribut berlaku pada

musim ini.

•

[30 markah]

(b) Pertimbangkan suatu proses Poisson dengan min A. Namakan taburan bagi masa ketibaan ke-k, ~ dan dapatkan jangkaannya dengan menggunakan jelmaan Laplace.

[30 markah]

(c) Bilangan kapal terbang yang tiba di suatu stesen penyelenggaraan untuk dibaiki dalam satu bulan mengikut suatu pemboleh ubah rawak Poisson dengan parameter A. Bilangan jam untuk membaiki sebuah kapal terbang yang tiba mengikut suatu lagi taburan Poisson tak bersandar dengan parameter a . Andaikan Y adalah bilangan jam yang diperlukan untuk

membaiki dalam satu bulan.

(i) Dapatkan fungsi penjana kebarangkalian bagi Y.

(ii) Gunakan (i) untuk memperolehi E(Y) dan Var(Y).

-~ ;}

-~

[40markah]

2 . 26.

I

· ... 3/-

2.

2.

3 [MST 562]

(a) Explain the concepts of

(i) positive and null recurrent,

(ii) regular transition probability matrix, (iii) stationary increment.

[30 marks]

(b) Consider the problem of sending a binary message, 0 or 1, through

a

signal channel consisting of several stages, where transmission through each stage is subject to a fixed probability of error a. Suppose that X₀ = 0 is the signal that is sent and let X ⁿ be the signal that is received at the nth stage. Assume that {Xn} is a Markov chain with transition probabilities p₀₀

=

p₁₁ = 1-a and p₀₁

=

p₁₀

=

^a where 0 <a < 1 .

(i) Determine P(X₀ = O,X₁

=

0, X₂

=

0), the probability that no error occ"Qrs up to stage n

=

^{2 .}

(ii) Determine the probability that a correct signal is received at stage 2.

(Hint: This isP(X₀ = O,X1 = O,X₂ =0)+P(X₀ =0,X₁

=

l,X2 =0)) (iii) Let X₀ be the signal that is sent and let X,, be the signal that is

received at the nth stage. Determine P(X₅ = 0

I

X₀ = 0), the probability of correct transmission through five stages.

[40 marks]

(c) A gas station is providing the people auto inspection service. Arrival of cars for inspection follow a Poisson process with rate A. . Each inspection takes a constant of c minutes. The gas station opens for business at 7:00 a.m ..

(a)

(i) Find the probability the second arriving car will not have to wait.

(ii} Find the mean waiting time for the second arrival.

Terangkan konsep

(i) jadi semula positif dan nul,

(ii) matrik kebarangkalian peralihan 'regular', (iii) tokokan pegun.

'

.

[30 marks}

{30markah]

... 41·

3.

(b) Pertimbangkan suatu masalah penghantaran maklumat 'binary', 0 atau 1, melalui suatu saluran isyarat yang terdiri dari beberapa peringkat, yang mana pemindahan melalui setiap peringkat adalah tertakluk kepada suatu kebarangkalian tetap ralat a. Andaikan bahawa X₀

=

0 ialah isyarat yang dihantar dan biar X, sebagai isyarat yang diterima pada peringkat ke-n. Andaikan bahawa {Xn} adalah su(ltu rantai Markov dengan kebarangkalian peralihan p₀₀ = p₁₁

=

^{1-a dan p}01

=

p₁₀

=

^{a yang mana}

O<a<l.

(i) Tentukan P(X 0

=

^{0, XI = 0,}

x 2 =

^0), kebarangkalian bahawa tiada ralat ber/aku sehingga peringkat n

=

2 .

(ii) Tentukan kebarangkalian bahawa isyarat betu/ diterima pada peringkat 2.

(Petua:

lni adalahP(X₀

=

O,X₁ =0,X₂ = O)+P(X₀ =0,X₁ = l,X₂

=

⁰⁾⁾

(iii) Biar X₀ sebagai isyarat yang dihantar dan X,. sebagai isyarat yang diterima pada peringkat ke-n. Tentukan P(X₅ = 0

I

X₀ = 0), kebarangka/ian pemindahan yang betu.l melalui lima peringkat.

[40 markah]

(c) Sebuah stesen minyak menyediakan servis pemeriksaan kereta kepada orang ramai. Ketibaan kereta untuk pemeriksaan adalah menurut proses Poisson dengan kadar A.. Setiap pemeriksaan mengambil suatu pemalar c minit. Stesen minyak ini dibuka u"ntuk perniagaan pada pukul 7:00 pagi.

(a)

(i) Cari kebarangkalian bahawa kereta kedua yang tiba tidak per/u menunggu.

(ii) Cari min masa menunggu bagi ketibaan kedua.

[30 markah}

Determine the classes and periodicity of the states for the Markov chain with transition probability matrix below and specify whether they are recurrent or transient.

.1 ³ 0 0 0

0 1 0 0 ^{4 4}

.1 .L 0 0 0

0 0 0 1 ^{2 2}

(i) 0 (ii) 0 0 1 0 0

0 1 0

0 0 ^{I 2} 0

1 0 ² 0 ^{3 3}

3 3

1 0 0 0 0

[40 marks]

22B

^{: .. 5/-}

3.

5 [MST 562]

(b) Prove that if the number of states in a Markov chain is M, and if state j can be reached from state ^i, then it can be reached in M steps or less.

[30 marks]

(c) Suppose -that a production process changes state according to a Markov process whose transition probability matrix is given by

(a)

0.3 0.5 0 0.2 P= 0.5 0.2 0.2 0.1

0.2 0.3 0.4 0.1 0.1 0.2 0.4 03 I . _{t 1s} kn _own th at :r₁

=

_{379 .} ¹¹⁹

(i) Determine the limiting probabilities n₀^, n₂ and _{1l3 .}

(ii) Suppose that the states 0 and 2 are "In-Control" while states 1 and 3 are deemed "Out-of-Control". In the long run, what fraction of time is the process "Out-of-Control"?

(iii) In the long run, what fraction of transitions is from an "In-Control"

state to an "Out-of-Control'' state?

(30 marks]

Tentukan kelas-kelas dan perkalaan bagi keadaan untuk rantai Jt,farkov dengan matrik kebarangkalian peralihan di bawah dan nyatakan samada ianya jadi semula atau fana.

l. l 0 0 0

0 0 0 ^{4 4}

J. l. 0 0 0

0 0 0 1 ^{2 2}

(i) (ii) 0 0 1 0 0

0 I 0 0

0 0 ^{1 2} 0

l ₃ 0 ^l. _J 0 ^{3 3}

1 0 0 0 0

[40 markah]

(b) Buktikan bahawa jika bilangan keadaan dalam suatu rantai Markov ialah M, dan jika keadaan j bo/eh sampai dari keadaan i, maka ianya boleh sampai dalam M langkah atau kurang.

[30 markah]

.•• 61-

4.

(c) Katakan bahawa keadaan suatu proses pengeluaran berubah menurut proses Markov dengan matrik kebarangkalian peralihan diberi oleh

(a)

0.3

0.5

0

0.2

P=

0 .5

0.2 0.2

0.1

0.2 0.3 0.4 0.1 0.1 0.2 0.4 0.3

Diketahui bahawa tr₁ = j~:

.

(i) Tentukan kebarangkalian penghad tr₀, tr₂ and 1r₃.

(ii) Katakan bahawa keadaan 0 dan 2 ada/ah 'In-Control' manakala keadaan 1 and 3 dikatakan sebagai 'Out-ofControl'. Dalam jangka masa panjang, apakah pecahan masa bagi proses 'Out-of

Control'?

(iii) Dalam jangka masa panjang, apakah pecahan peralihan dari keadaan 'In-Control ' kepada suatu keadaan 'Out-of Control'?

{30markah]

Consider a Markov chain with state space S

=

{0,1, ... } and transition probability matrix given by

q p ..

q

0

p

0 q 0 p 0 0 q 0 p

where p > 0, q > 0 , q > p and p + q

=

1.

(i) Display transition diagram and give the name of the process.

(ii) Is the chain aperiodic? Justify your answer.

[30 marks]

(b) Consider a barber shop with two barbers and two waiting chairs for the customers to sit while waiting for their turn. Customers arrive at a rate of 5 per hour. Each barber serves customers at a rate of 2 per hour. Customers arriving to fully occupied shop leave without being served. When the shop opens at 9:00 in the morning, there are already two waiting customers. Let X(t) represent the number of customers in the system at time t (waiting and being served).

...71-

...

_{~ ~}

230

_<~ ^·•.

..

^'

4.

7 [MST 562]

(i) Explain how we can model X(t) as a birth and death process. State the rates and necessary assumptions involved.

(ii) Suppose we have s barbers and the number of customers in the system at time t is unlimited. Explain this birth and death model as a queuing process. State the rates involved.

[30 marks]

(c) LetZ = {Z(t),t ~ 0} be a standard Brownian motion process. Define

(a)

Y(t) =

J;

^Z(u)du

The definition implies the rate of change dY(t) I dt follows Brownian motion.

(i) Find E[Y(t)].

(ii) For 0 ~ s < t, find Cov[Y(s),Y(t)].

(iii) Is Y = {Y(t), t ~ 0} a Gaussian process? Explain your answer.

(iv) Is Y a Markov process? Explain your answer.

[40 marks]

Pertimbangkan suatu rantai Markov dengan ruang keadaan S = {0,1, ... } dan matrik kebarangkalian peralihan diberi oleh

q p q

0

p

0 q 0 p 0 0 q 0 p

dengan p > 0, q > 0, q > p dan p + q

=

^1.

(i) Lukis gambarajah peralihan dan namakan proses ini.

(ii) Adakah rantai ini 'aperiodic'? Tentusahkan jawapan anda.

{30 markah]

(b) Pertimbangkan se~ah kedai gunting rambut dengan dua orang tukang gunting rambut dan dua buah kerusi untuk pelanggan yang-sedang menunggu giliran mereka. Pelanggan tiba pada kadar 5 orang sejam.

Setiap tukang gunting melayan pelanggan pada kadar 2 orang sejam.

Pelanggan yang tiba dan mendapati kedai penuh akan balik akan balik tanpa di/ayan. Apabila kedai dibuka pada pukul 9:00 pagi, sudah terdapat dua pelanggan menunggu. Katakan X(t) mewakili bilangan pelanggan dalam sistem pada masa t (menunggu dan dilayan).

.... 81-

-~J _{'t •· .} ~· _~... :' _..·.

231

(i) Terangkan bagaimana X(t) bo/eh dimodelkan sebagai suatu proses ke/ahiran dan kematian. Nyatakan kadar dan andaian yang perlu yang terlibat.

(ii) Andaikan terdapat s pekerja dan bilangan pelanggan dalam sistem pada masa t adalah tak terhad. Terangkan model ke/ahiran dan kematian ini sebagai suatu proses giliran. Nyatakan kadar yang terlibat.

[30 markah]

(c) Biar Z

=

{Z(t),t ~ 0} sebagai suatu proses gerakan Brown piawai.

Ditakrifka.n

Y(t) =

J~

Z(u)du

Takrifini menunjukkan kadar ubahan dY(t) I dt ada/ah mengikut gerakan Brown.

{i) Cari E[Y(t)].

(ii) Bagi 0 ~ s < t, cari Cov[Y(s),Y(t)].

(iii) Adakah Y

=

^{{Y(t), t ~} 0} suatu proses Gaussian? Huraikan jawapan anda.

(iv) Adakah Y suatu proses Markov? Huraikanjawapan anda.

[40markah]

'

. .

I .'1 I' (

•

232 ^{... 9/·}

9

APPENDIX

1. If X is distributed as Poisson with parameter A. > 0 , then e-A.A.x

P(X =x)=-- ; x=0,1,2, ...

x!

2. If X distributed as geometric with parameter p, 0 < p < 1, then

P(X=x)=p(I-pf-^{1 ;} x=l,2,···

3. If ^X distributed as Binomial with parameter p, 0 < ^p < 1, then

P(X=x)=(:Jp' q--' ; x=0,1,2,-··,n

4. If X distributed as exponential with parameter A> 0, then

f(x)=Ae-A.x ; x>O

5. If X is distributed as gama with parameter a> 0 and A> 0 then

f(x)=~(Axr-

¹

e-.u

; x>O

r(a)

6. If X is distributed as normal with parameter ;.t and a² > 0 then

!(X) -- Jfi,l

e-(x-.uPt2ul

2;ra· ; -oo<x<ao

7. Formula of geometric series

ao a

:Lark=- ; lrl<l

k..o 1-r

8. Gama function

r(t)= r

^{YH e-x}dx ' 1>0 9. Exponential series

eJ;

= f ^(x)'

1..0 i!

-oooOOOooo-

. _· . _. ^,. _.

.. .

'

[MST562]