1
MODIFIKASI METODE HUNGARIAN UNTUK PENYELESAIAN MASALAH PENUGASAN
Idris1*, Endang Lily2, Sukamto2
1
Mahasiswa Program S1 Matematika 2
Dosen Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Riau Kampus Binawidya Pekanbaru (28293), Indonesia
*[email protected] ABSTRACT
This paper discusses a new method resulting from the Hungarian method modification to solve an assignment problem. This new method uses one of the basic properties of determinant to reduced the cost matrix in assignment problem to obtain the optimal solution. This method can be utilized for different types of assignment problem with minimize or maximize objective functions.
Keywords: assignment problem, Hungarian method, linear programming
ABSTRAK
Pada artikel ini dibahas mengenai bagaimana cara menyelesaikan suatu persoalan penugasan dengan menggunakan metode baru yang dihasilkan dari modifikasi metode Hungarian. Metode baru ini menggunakan salah satu sifat dasar determinan matriks untuk mereduksi matriks biaya pada persoalan penugasan sehingga mendapatkan solusi yang optimal. Metode ini dapat digunakan untuk berbagai jenis masalah penugasan, baik untuk masalah minimisasi maupun masalah maksimisasi.
2
1. PENDAHULUAN
Masalah penugasan (assigment problem) adalah masalah khusus dari program linear yang mirip dengan masalah transportasi. Perbedaannya adalah setiap penawaran pada setiap sumber dan permintaan pada setiap tujuan dibatasi hanya satu unit saja. Untuk menyelesaikan masalah penugasan ini dapat digunakan metode transportasi, tetapi pada umumnya diselesaikan dengan menggunakan metode Hungarian.
Pada metode Hungarian diuraikan untuk setiap baris atau kolom pada matriks biaya dikurangi oleh elemen terkecil pada masing-masing baris atau kolom. Proses ini dapat dilakukan berulang–ulang sehingga ditemukan sebuah elemen nol pada setiap baris dengan kolom yang berbeda. Dalam artikel ini, penulis mengusulkan suatu metode baru yang terdapat pada artikel yang ditulis oleh Basirzadeh, 2012 [2, h. 2347] yang berjudul “Ones Assignment Method for Solving Assignment Problem”. Diharapkan metode baru ini dapat menjadi alternatif untuk menyelesaikan masalah penugasan.
2. MASALAH PENUGASAN
Masalah penugasan ini muncul pada kasus membuat keputusan siapa dari n operator yang harus mengoperasikan masing-masing satu mesin dari unit mesin, sehingga mendapatkan hasil total biaya masalah penugasan yang optimum.
2.1 Bentuk Masalah Penugasan
Masalah penugasan muncul pada kasus membuat keputusan siapa dari n operator yang harus mengoperasikan masing-masing satu mesin dari unit mesin, sehingga mendapatkan hasil total biaya masalah penugasan yang minimum.
Operator Mesin 33 32 31 23 22 21 13 12 11 c c c c c c c c c n n n c c c 3 2 1 nn n n n c c c c 1 2 3 n 3 2 1 3 2 1 n
Gambar 1. Biaya Penugasan Operator.
Misalkan
0, jika operator i tidak ditugaskan ke mesin j. =
1, jika operator i ditugaskan ke mesin j.
3 dengan batas–batas
= 1,
= 1,
,
Dengan persamaan (1) menunjukkan menunjukkan fungsi obyektif, persamaan (2) adalah batasan penawaran dan persamaan (3) adalah kendala permintaan.
2.2 Metode Hungarian
Metode Hungarian dikembangkan oleh seorang ahli matematika berkebangsaan Hungarian yang bernama D Konig pada tahun 1916 [5, h. 109]. Melalui metode Hungarian fungsi obyektif dari persoalan penugasan direduksi dengan cara mengurangi tiap elemen pada masing-masing baris dan kolom dengan elemen tekecil yang ada pada masing-masing baris dan kolom tersebut untuk mendapatkan solusi optimal pada persoalan penugasan.
3. MODIFIKASI METODE HUNGARIAN
Metode alternatif ini menggunakan salah satu sifat dasar determinan matriks untuk mereduksi matriks penugasan. Selanjutnya untuk menguraikan metode tersebut terlebih dahulu diuraikan beberapa teori matriks yang akan digunakan untuk membentuk sebuah matriks biaya pada persoalan penugasan.
3.1 Determinan Matriks Definisi 3.1 [1, h. 77]
Jika matriks , , maka didefinisikan minor elemen ditulis yaitu determinan matriks setelah baris ke-i dan kolom ke-j dieleminasi. Selanjutnya, didefinisikan dengan adalah kofaktor elemen .
Melalui Definisi 3.1 dapat dibentuk determinan matriks seperti yang diuraikan pada Definisi 3.2.
Definisi 3.2 [1, h. 79]
Determinan matriks yang berukuran dapat dihitung dengan mengalikan elemen-elemen dalam suatu baris atau kolom dengan kofaktor-kofaktornya dan menambahkan hasil-hasil kali yang dihasilkan untuk setiap , maka dapat ditulis sebagai berikut:
, ( untuk kofaktor sepanjang kolom ke-j )
(1)
(2)
4 dan
. ( untuk kofaktor sepanjang baris ke-i )
Proposisi 3.1 [2, h. 2349]
Misalkan adalah matriks dan adalah determinan matriks tidak nol. Jika adalah faktor pada baris ke-i dari , maka
dan adalah matriks yang telah dieleminasikan faktor nya.
Bukti
Misalkan > 0 adalah faktor baris ke-k dari matriks = dengan
sehingga elemen-elemen baris ke-k adalah , , . . . , . Dengan demikian diperoleh,
= =
= ( )
,
dengan = ( ) adalah matriks yang telah dieleminasi faktor nya.
Selanjutnya, Proposisi 3.1 juga menunjukkan jika masing-masing adalah faktor-faktor baris ke-i, dari matriks , maka
dan adalah matriks yang telah dieleminasi faktor masing-masing dari baris ke-i, .■
Proposisi 3.2 [ 2, h. 2349]
Misalkan adalah matriks dan adalah determinan matriks tidak nol. Jika adalah faktor pada baris ke-i dari matriks , dan > 0 adalah faktor kolom ke-l dari matriks . Maka berdasarkan proposisi 3.1 didapat,
dengan adalah matriks yang telah dieleminasi faktor dari tiap barisnya dan faktor dari tiap kolomnya.
Bukti
Misalkan = ( ) adalah matriks A yang telah dieleminasi nya, dan > 0 adalah faktor kolom ke-l dari matriks . Sehingga elemen-elemen kolom ke-l adalah , , . . . , . Dengan demikian diperoleh,
= =
= ( )
5
Berdasarkan Proposisi 3.1 diperoleh , sehingga . Dan adalah matriks yang telah dieleminasi faktor dan faktor nya.■
3.2 Modifikasi Metode Hungarian
Di bagian ini diuraikan metode baru untuk mereduksi matriks yang termuat pada masalah penugasan, sehingga pada fungsi obyektif dicapai nilai optimal. Metode ini menggunakan salah satu sifat determinan matriks untuk memperoleh solusi optimal masalah penugasan.
Pemecahan optimal dari persoalan penugasan pada persamaan (1) tidak berubah jika pada baris atau kolom matriks biaya dibagi atau dikali dengan sebuah konstanta. Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut :
Jika setiap elemen dari baris ke-i dan kolom ke-j masing-masing dibagi dengan dan , elemen biaya yang baru menjadi . Ini menghasilkan fungsi tujuan yang baru.
dengan dan .
maka diperoleh konstanta. Ini menunjukkan bahwa minimisasi fungsi tujuan menghasilkan pemecahan yang sama dengan minimisasi .
3.2.1 Masalah Minimum
Jika adalah elemen terkecil dari baris pada matriks biaya dan ditulis
maka diperoleh hasil reduksinya
6
dengan ,
Jika pada matriks belum ditemukan elemen 1 pada setiap baris dengan kolom berbeda maka ditentukan elemen terkecil pada setiap kolom matriks ditulis,
Dari matriks diperoleh hasil reduksinya,
dengan = ,
proses reduksi dapat dilakukan berulang–ulang sehingga diperoleh nilai total minimum, yaitu elemen setiap baris dengan kolom berbeda memiliki elemen 1.
3.2.2 Masalah Maksimum
7
4. CONTOH PERSOALAN PENUGASAN
Sebuah perusahaan memiliki lima orang karyawan yaitu , dan yang akan mengerjakan lima jenis pekerjaan yaitu 1, 2, 3, 4 dan 5. Adapun biaya keuntungan karyawan mengerjakan pekerjaan ke-j dimana disajikan dalam bentuk matriks biaya penugasan sebagai berikut:
Tentukan produk apa yang harus dijual tiap karyawan agar diperoleh keuntungan maksimum.
Penyelesaian : Langkah 1.
Tentukan elemen terbesar pada masing-masing baris, dan tuliskan di kanan matriks tersebut.
maks
Langkah 2.
Kemudian bagi tiap elemen pada masing-masing baris dengan elemen yang bernilai paling besar pada baris tersebut. Sehingga didapat
karena belum terdapat elemen 1 pada tiap baris dengan kolom berbeda, maka lanjutkan le langkah selanjutnya.
Langkah 3.
8
Langkah 4.
Kemudian bagi tiap elemen pada masing-masing kolom dengan elemen yang bernilai paling besar pada kolom tersebut. Sehingga didapat
selanjutnya, periksa apakah telah terdapat elemen 1 pada masing-masing baris dengan kolom yang berbeda.
Karena belum ditemukan elemen 1 pada tiap baris dengan kolom yang berbeda, maka lanjutkan ke langkah selanjutnya.
Langkah 5.
Tarik beberapa garis yang melewati tiap elemen 1. Namun jumlah garis yang terbentuk harus seminimal mungkin.
9
langkah selanjutnya adalah periksa apakah sudah terdapat elemen 1 pada masing-masing baris dengan kolom yang berbeda.
Karena telah ditemukan elemen 1 pada masing-masing baris dengan kolom yang berbeda, maka hasil optimalnya telah didapat, yaitu :
- mengerjakan pekerjaan 3 - mengerjakan pekerjaan 5 - mengerjakan pekerjaan 4 - mengerjakan pekerjaan 2 - mengerjakan pekerjaan 1.
Dengan keuntungan maksimumnya adalah 10 + 5 + 14 + 14 + 17 = 50
5. KESIMPULAN
Modifikasi metode Hungarian menghasilkan sebuah metode baru yang menggunakan salah satu sifat dasar determinan matriks untuk mereduksi matriks penugasan guna mendapatkan hasil yang optimal. Metode baru ini dapat dijadikan sebagai alternatif untuk menyelesaikan berbagai jenis persoalan penugasan, baik untuk masalah minimisasi maupun masalah maksimisasi. Perbedaan antara metode baru ini dan metode Hungarian adalah nilai optimal pada masing-masing matriks penugasannya ditunjukkan oleh elemen satu dan nol, namun kedua metode ini tetap memiliki solusi optimal yang sama.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Anton, H. 1987. Aljabar Linier Elementer. Terj. dari Elementary Linear Algebra, Fifth Edition, oleh Silaban, P & Susila, I.N. Penerbit Erlangga, Jakarta.
[2] Bazirzadeh, H. 2012. Ones Assignment Method for Solving Assignment Problems, Journal Applied Mathematical Science, 47, 2345-2355.
[3] Dimyati, T. T. & Ahmad D. 1992. Operations Research : Model-model Pengambilan Keputusan. Sinar Baru Algensindo, Bandung.
10
[5] Subagyo, P., A. Marwan, & T. H. Handoko, 1985. Dasar-Dasar Operations Research. PT BPFE, Yogyakarta.
[6] Supranto, J. 1988. Linier Programming Edisi Kedua. Penerbit Fakultas Ekonomi Universitas Indonesia, Jakarta.
[7] Supranto, J. 1988. Riset Operasi: Untuk Pengambilan Keputusan. Penerbit Universitas Indonesia, Jakarta.
