Masalah Transportasi dan Penugasan terbatas

A. Masalah Transportasi

 Masalah transportasi diformulasikan menurut karakteristik-karakteristik unik sebagai berikut :

(1). Suatu barang dipindahkan, dari sejumlah sumber ke tempat

tujuan dengan biaya seminimum mungkin

(2). Setiap sumber dapat memasok suatu jumlah yang tetap dan tiap

tempat tujuan mempunyai permintaan yang tetap.

Contoh :

Gandum di panen di Kansas City, Omaha, dan Des Moines kemudian

dikirim di 3 penggilingan tepung yang berlokasi di Chicago,

St.Louis, dan Cincinati. Datanya sebagai berikut :

Tempat Panen Jumlah yang ditawarkan 1. Kansas City 150

2. Omaha 175

 Jumlah gandum yang diminta oleh tempat penggilingan adalah

 Biaya pengiriman 1 ton gandum dari setiap tempat panen (sumber) ke tempat penggilingan adalah

Persoalannya adalah untuk mengirim gandum dari tempat panen ke

tempat penggilingan setiap bulannya agar total biaya transportasi

minimum

Tempat Penggilingan Jumlah yang diminta

A.Chicago 200

B. St. Louis 100

C. Cincinati 300

600 ton

Tempat Panen

Biaya Penggilingan ($)

Chicago St. Louis Cincinati

A B C

Kansas City 6 8 10

Omaha 7 11 11

 Rute transportasi pengiriman gandum

 Formulasi program linearnya adalah

B. Solusi ModelTransportasi

 Penyelesaian Program Linear dengan metode simpleks akan membutuhkan banyak waktu karena melibatkan 9 peubah keputusan dan 6 batasan oleh karena itu digunakan solusi alternatif yang lebih memerlukan sedikit usaha

 Pada model ini solusi fisibel awal dapat ditentukan dengan motede alternatif , yaitu : metode northwest corner, metode biaya sel minimum, dan metode pendekatan vogel

1.

Metode Northwest Corner

Masukan 150 (pasokan paling besar) ke sel 1A, masukan nilai 50 ke

sel 2A, masukan 100 ke sel 2B, masukan nilai 15 ke sel 2C, masukan

nilai 275 ke sel 3C.

 Ringkasan langkah-langkah pada metode northwest corner:

1. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel di pojok kiri atas, disesuaikan dengan batasan penawaran dan permintaan.

2. Alokasikan sebanyak mungkin ke sek feasibel berikutnya yang berdekatan.

3. Ulangi langkah 2 sampai semua kebutuhan telah terpenuhi.

2. Metode Biaya Sel Minimum

Tujuan

 Langkah-langkah yang dilakukan pada metode biaya sel minimum

1. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel fisibel dengan biaya

transportasi minimum, dan sesuaikan dengan kebutuhan.

2. Ulangi langkah a sampai semua kebutuhan terpenuhi.

3. Metode PendekatanVogel

 Biaya PenaltiVAM

Tujuan Permintaan 200 100 300 600

 Alokasi Awal Permintaan 200 100 300 600

 AlokasiVAM kedua

Permintaan 200 100 300 600

 AlokasiVAM Ketiga

 SolusiVAM Awal

 Metode Northwest nilai Z = $5.925, metode biaya sel minimum nilai Z = $4.550, dan Metode PendekatanVogel nilai Z = $5.125

Tujuan

 Ringkasan langkah-langkah yang dilakukan pada metode pendekatanVogel

1. Tentukan biaya penalti untuk tiap baris dan kolom dengan cara mengurangkan biaya sel terendah pada baris dan kolom terhadap

biaya sel terendah berikutnya pada baris atau kolom sel yang

sama.

2. Pilih baris atau kolom dengan biaya tertinggi.

3. Alokasikan biaya sebanyak mungkin ke sel feasible dengan biaya

transportasi terendah pada baris atau kolom dengan biaya penalti

tertinggi.

4. Metode Solusi Stepping-Stone

Ada dua metode solusi yaitu : Stepping-Stone dan metode modified distribution (MODI).

Pertama, Metode Solusi Stepping-Stone. Gunakan tabel solusi awal dari metode Solusi Biaya Sel Minimum karena mempunyai nilai Z paling minimum.

Solusi Biaya Sel Minimum

Tujuan

 Prinsipnya menggunakan sel-sel kosong yang ada. Apakah sel-sel kosong tersebut jika digunakan dapat menghasilkan biaya

transportasi yang lebih kecil ?.

Alokasi SatuTon ke sel A

Tujuan

 Pengurangan 1 Ton dari sel B

Tujuan

Pasokan

A B C

Sum

be

r

1 +1 6 -1 8 10

25 125 150

2 7 11 11

175 175

3 4 5 12

200 75 275

 Penambahan 1 Ton ke Sel 3B dan Pengurangan 1 Ton dari Sel 3A

1A  1B 3B  3A

 Lintasan Stepping-stone untuk sel 2A

 Lintasan Stepping-stone untuk Sel 2B

 Lintasan Stepping-Stone untuk sel 3C

 Kembali ke lintasan Stepping-stone untuk sel 1A

Tujuan

Pasokan

A B C

Sum

be

r

1 + 6 - 8 10

25 125 150

2 7 11 11

175 175

3 - 4 + 5 12

175 100 275

 Pengulangan kedua dari Metode Stepping-Stone

Tujuan

Pasokan

A B C

Sum

be

r

1 6 8 10

25 125 150

2 7 11 11

175 175

3 4 5 12

175 100 275

 Lintasan Stepping-Stone untuk Sel 2A

175 100 275

Lintasan Stepping-Stone untuk sel 1B

175 100 275

 Lintasan Stepping-Stone untuk Sel 2B

175 100 275

 Lintasan Stepping-Stone untuk sel 3C

3C 3A 1A  1C +12 – 10 + 6 – 4 = +4

Evaluasi atas ke-empat sel menunjukan tidak ada lagi penurunan biaya, sehingga solusi optimalnya adalah

x1A = 25ton, x1C = 125 ton, x2C = 175 ton, x3A = 175 ton, dan

175 100 275

 Ringkasan langkah-langkah pada metode Stepping-Stone adalah:

a. Tentukan lintasan Stepping-Stone dan perubahan biaya untuk setiap sel yang kosong dalam Tabel.

b. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong yang mengalami penurunan terbesar

c. Ulangi langkah a dan b sampai semua sel kosong memiliki perubahan biaya yang positif yang mengindikasikan tercapainya

 Solusi Optimal Alternatif

Tujuan

Pasokan

A B C

Sum

be

r

1 6 8 10

150 150

2 7 11 11

25 150 175

3 4 5 12

175 100 275

5. Metode Distribusi yang Dimodifikasi (MODI)

Merupakan suatu modifikasi dari metode Stepping-Stone tanpa

melibatkan identifikasi sel-sel kosong. Sebagai contoh akan

digunakanTabel Solusi Awal Biaya Sel Minimum.

Tambahan simbol ui pada kolom sisi kiri dan vj pada baris teratas

dalam MODI. Nilai-nilai ini dihitung untuk semua sel berisi

pengalokasian dengan menggunakan formula sbb :

ui– vj =cij

cij adalah nilai biaya transportasi barang untuk sel ij. Sebagai contoh

Solusi Awal Biaya Sel Minimum

u₁ + v_B = c_1B = 8; x_1C: u₁ + v_C = 10; x_2C: u₂ + v_c = 11; x_3A:

u₃ + v_A = 4; x_3B: u₃ + v_B = 5. Misal u1 = 0 ( untuk memperoleh nilai-nilai ui dan vj lainnya ).

Diperoleh vB = 8; vC = 10; u2 = 1; u3 = -3, vA = 7.

vj v_A= v_B= v_C=

u_i A B C Pasokan

u₁= 1 6 8 10

25 125 150

u₂= 2 7 11 11

175 175

u₃= 3 4 5 12

200 75 275

 Solusi Awal dengan Semua Nilai ui dan vj

 Selanjutnya sel-sel kosong dapat dievaluasi oleh formula berikut: Cij-ui-vj=kij. Kij adalah penurunan atau kenaikan biaya yang timbul karena pengalokasian pada sebuah sel.

x1A: k1A=c1A-u1-vA = 6-0-7=-1 x2A:k2A=c2A-u2-vA=7-1-7=-1 x2B:k2B=c2B-u2-vB=11-1-8=2

x3C:k3C = c3C-u3-vC=12-(-3)-10=5. Perhatikan sel 1A dan 2A akan menurunkan biaya sebesar $1 per ton. Pilih secara acak.

vj v_A= 7 v_B= 8 v_C= 10

 Misal sel 1A dipilih sebagai variabel non-dasar. Maka

Untuk sel yang kosong berlaku : x1B: k1B=c1B-u1-vB = 8-0-7=1 x2A:k2A=c2A-u2-vA=7-1-6=0 x2B:k2B=c2B-u2-vB=11-1-7=3

x3C:k3C = c3C-u3-vC=12-(-2)-10=4. Perhatikan tidak ada nilai negatif berarti sudah optimal.

vj v_A= 6 v_B= 7 v_C= 10

175 100 275

 Ringkasan langkah-langkah metode distribusi yang dimodifikasi.

a. Tentukan solusi awal menggunkan salah satu dari ketiga metode yang ada.

b. Hitung nilai ui dan vj untuk setiap baris dan kolom dengan menerapkan formula ui + vj = cij pada sel yang telah memiliki

alokasi.

c. Hitung perubahan biaya, kij, untuk setiap sel kosong dengan menggunakan rumus cij-ui-vj = kij.

d. Alokasikan sebanyak mungkin ke sel kosong yang menghasilkan penurunan biaya bersih terbesar (kij yang paling negatif). Alokasi

sesuai dengan lintasan stepping-stone untuk sel terpilih.

6. Model Transportasi tidak Seimbang

Sering muncul permasalahan penawaran tidak seimbang dengan permintaan. Misalkan :

Permintaan 650 ton sedangkan penawaran 600 ton. Untuk mengatasi persoalan ini ditambahkan peubah dummy pada baris.

Tempat Panen Jumlah yang ditawarkan 1. Kansas City 150

2. Omaha 175

3. Des Moines 275 600 ton

Tempat Penggilingan Jumlah yang diminta

A.Chicago 200

B. St. Louis 100

C. Cincinati 350

 Suatu model tidak seimbang ( Permintaan > Penawaran )

Baris dummy ditugaskan untuk memasok sebanyak 50 ton.

Permintaan tambahan sebesar 50 ton yang tidak akan dipasok, akan

dialokasikan ke sebuah sel dalam baris dummy. Sel-sel dummy ini

sebenarnya merupakan variabel pengurang.

Tujuan

 Suatu model tidak seimbang ( Penawaran > Permintaan )

Penambahan sebuah baris atau kolom dummy tidak mempengaruhi

solusi awal atau metode untuk menentukan solusi optimal. Sel-sel

baris atau kolom dummy diperlakukan sama seperti sel lainnya dalam

Tabel.

7. Degenerasi

Kondisi berikut dibawah ini dipenuhi dalam semua tabel yang

memperlihatkan solusi permasalahan transportasi gandum.

m baris + n kolom – 1 = jumlah sel dengan alokasi.

Sebagai contoh pada sel seimbang sebelumnya berlaku m + n – 1 =

3 + 3 – 1 = 5 sel dengan alokasi.

Tabel-tabel akan selalu mempunyai sel dengan alokasi. Jika kondisi

ini tidak terpenuhi dan sel yang teralokasi mempunyai sel kurang

 Solusi Awal Biaya Sel Minimum

Tabel diatas tidak memenuhi kondisi m + n -1 = 5 sel. Alasannya

untuk lintasan tertutup pada metode stepping-stone dan semua

perhitungan u_i + v_j = c_ij pada MODI tidak bisa dilengkapi. Untuk

menciptakan suatu lintasan tertutup suatu sel artifisial harus

diperlakukan seperti sel beralokasi, masukan nilai nol pada sebuah

sel. Sel tersebut akan diperlakukan sebagaimana sel beralokasi baik

pada stepping-stone ataupun MODI.

Tujuan

 Pengalokasian 0 pada sebuah sel bersifat acak, karena tidak ada jaminan pengalokasian 0 pada sebuah sel akan terbentuk semua

lintasan.

 Contoh jika, 0 dialokasikan ke sel 2B bukannya sel 1A tidak ada satupun lintasan stepping stone akan terbentuk .

Solusi awal 0 dialokasikan ke sel 1A

x_2A: 2A2C1C1A; x_3B: 3B 1B1A3A;

 Pengulangan Stepping-stone kedua

Berlaku m + n – 1 = 5

8. Rute yang Dilarang

Kadangkala satu atau lebih rute tidak boleh dilalui. Dalam hal ini

ditambahkan nilai biaya M ( angka yang sangat besar ) pada sel

dengan rute yang tidak boleh dilalui tersebut. Cara ini sama seperti

pada metode simplek yang menambahkan nilai M pada peubah

artifisial.

100 100 200

Model Penugasan

 Model penugasan adalah model khusus dari program linear yang mirip dengan model transportasi. Perbedaannya adalah setiap

pernawaran pada setiap sumber den permintaan pada setiap

 Contoh penugasan tim oleh sebuah organisasi untuk memantau 4 pertandingan. Jarak tempuh, Tim, dan lokasi pertandingan adalah

sebagai berikut:

Tabel penugasan dengan penurangan baris Tim

Lokasi pertandingan

Raleigh Atlanta Durham Clemson

A 210 90 180 160

Raleigh Atlanta Durham Clemson

A 120 0 90 70

B 30 0 60 130

C 70 0 35 65

 Tabel dengan pengurangan kolom

 Tabel dengan garis pengujian Tim

Lokasi pertandingan

Raleigh Atlanta Durham Clemson

A 105 0 55 15

Raleigh Atlanta Durham Clemson

A 105 0 55 15

B 15 0 25 75

C 55 0 0 10

 Pengulangan kedua

Tim

Lokasi pertandingan

Raleigh Atlanta Durham Clemson

A 90 0 40 0

B 0 0 10 60

C 55 15 0 10

D 0 15 5 0

Penugasan Lokasi Jarak Tim A Atlanta 90 Tim B Raleigh 100 Tim C Durham 140 Tim D Clemson 120

450 mil

Penugasan Lokasi Jarak Tim A Clemson 160 Tim B Atlanta 70 Tim C Durham 140 Tim D Raleigh 80

 Seandainya ditemukan model penugasan tidak seimbang maka ditambahkan dummy. Sebagai contoh ada 5 tim pemantau dan 4

lokasi pertandingan, maka tambahkan kolom dummy untuk

lokasi pertandingan.

Tim

Lokasi pertandingan

Raleigh Atlanta Durham Clemson Dummy

A 210 90 180 160 0

B 100 70 130 200 0

C 175 105 140 170 0

D 80 65 105 120 0

 Ringkasan untuk menemukan solusi pada persoalan penugasan: a. Lakukan pengurangan baris dengan cara mengurangkan nilai

terendah pada beris tersebut dari unsur-unsur baris lainnya.

b. Lakukan pengurangan kolom dengan cara mengurangkan nilai

terendah pada kolom tersebut dari unsur-unsur pada kolom

lainnya.

c. Tarik sejumlah garis horisontal atau vertikal untuk mencoret angka

nol pada tabel biaya oportunity yang lengkap.

d. Jika diperlukan garis lagi karena belum mencapai m garis, maka

semua nilai lain yang tidak tercoret dikurangkan nilai terendah

dari nilai—nilai yang tidak tercoret tersebut. Kemudian nilai

terendah tersebut ditambah pada sel-sel dimana dua baris

berpotongan, sedangkan nilai yang lain tetap, dan ulangi langkah

c.

e. Jika ditemukan garis sebanyak m, maka solusi optimal tercapai

sehingga dapat dilakukan m penugasan yang unik. Jika diperlukan