Catatan Kuliah. MATEMATIKA DASAR S1 / Semester 1 / 3 sks. Oleh : Dyah Ratri Aryuna

Catatan Kuliah MATEMATIKA DASAR

S1 / Semester 1 / 3 sks

Oleh :

Dyah Ratri Aryuna

Program Studi Pendidikan Fisika Universitas Sebelas Maret

2019

Limit

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Menghitung limit suatu suatu fungsi di suatu titik dengan menggunakan teorema tentang limit yang sesuai

2. Menghitung limit tak hingga

3. Menghitung limit di ketakhinggaan

Materi Ajar :

Tinjau fungsi

1 3 1 )

( −

= − x x x

f . Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisi pada x =1. Tapi mungkin kita masih bertanya apa yang terjadi dengan f(x) jika x mendekati 1 ? Untuk melihat hal tersebut kita dapat melakukan dengan cara menghitung nilai f(x) untuk beberapa nilai x di sekitar 1, menunjukkan diagram skematik untuk nilai-nilai tersebut atau membuat sketsa grafik y = f(x)

Dari ketiga cara tersebut kita melihat bahwa f(x)mendekati 3 jika x mendekati 1. Hal ini diungkapkan dengan “limit

1 3 1 )

( −

= − x x x

f jika x mendekati 1 sama dengan 3. Dalam

lambang matematika ditulis 3

1 3 1 ) ( 1

lim =

−

= −

→ x

x x f x

Secara intuisi kita mengatakan limit f(x) sama dengan L bilamana x mendekati c, ditulis

L x f c x

→ ( )= lim

jika kita dapat membuat f(x) mendekati L dengan cara mengambil nilai x mendekati c tapi tidak sama dengan c

Ungkapan “tapi tidak sama dengan c ” menunjukkan bahwa dalam menentukan nilai limit f(x) bilamana x mendekati c kita tidak pernah menganggap x =c, hal itu berarti kita tidak mempedulikan bagaimana f didefinisikan di c bahkan f tidak harus terdefinisi di . Ilustrasi berikut memperlihatkan ^lim_x→c ^f(x)=L dalam tiga kasus

Soal :

Untuk fungsi f yang grafiknya diberikan berikut , tentukan

Selanjutnya definisi persis tentang limit dapat dibuat. Tapi kita tidak akan membahas secara mendalam tentang definisi limit. Untuk keperluan praktis kita akan lebih berkonsentrasi pada teorema-teorema berikut .

Teorema Limit Utama

Jika n bilangan bulat , k konstanta dan f ,gadalah fungsi-fungsi yang mempunyai limit di c , maka :

1. k k

c x

→ = lim

2. x c

c x

→ = lim

3. lim ( ) lim f(x) c x k x kf c

x = →

→

4. lim



( ) ( )



lim ( ) lim g(x) c x x f c x x g x f c

x + →

= →

→ +

5. ^lim



^{( ) ( )}



^{lim ( ) lim g(x)}

c x x f c x x g x f c

x − →

= →

→ −

6. ^lim



^{( ) ( )}



^{lim ( ) lim g(x)}

c x x f c x x g x f c

x = → →

→

7. lim ( )

) ( lim )

( ) lim (

x g c x

x f c x x g

x f c

x →

= →

→ , asalkan lim ( )0

→ g x c x

8.

 

^{f x n}

c x x n

f c

x 

 





= →

→ ( ) lim ( )

lim dengan n bilangan bulat ( asalkan lim ( )0

→ f x c x

jika

0 n )

9. n f x

c x n f x c x

) ( lim )

(

lim = →

→ dengan n bilangan bulat positif ( asalkan lim ( )0

→ f x c x jika n genap )

Walaupun teorema di atas dinyatakan untuk limit dua sisi, tapi sebenarnya berlaku juga untuk limit dari satu sisi. Selanjutnya kita memiliki teorema berikut

Teorema Substitusi:

Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi rasional, maka lim f(x) f(c) c

x

→ = asalkan dalam

kasus fungsi rasional nilai penyebutnya tidak sama dengan nol di c Teorema :

Jika f(x)=g(x)untuk semua x pada interval buka di sekitar c kecuali pada c itu sendiri, dan jika limg(x)

c

x→ ada maka lim f(x)

c

x→ ada dan lim f(x) limg(x)

c x c

x→ = →

Soal : Hitunglah

a. lim5 ² 2 3

4 − +

→ x x

x b. 

 





+ +

− +

→ 2 3

lim ₄ 6

2 4

1 x x

x x

x

c.

6 lim ₂ 2

2 − −

+

−

→ x x

x

x d.

x x x

3 3 0

lim + −

→

e.

1 lim ₂ 2

2

1 −

− +

−

→ x

x x

x

Nanti kita akan membicarakan limit tipe ini lebih lanjut pada saat membicarakan limit tak hingga

Teorema Apit :

Jika f ,g dan h adalah fungsi-fungsi yang memenuhi f(x)g(x)h(x)untuk semua x dekat c , kecuali mungkin di c . Jika h x L

c x x f c x

→ =

→ ( )= lim ( )

lim maka g x L

c x

→→lim ( )=

Teorema-teorema yang berikut adalah teorema-teorema limit yang berkaitan dengan fungsi trigonometri

Soal : Hitunglah

x x

x

cos1 lim ²

→0

Teorema Limit Fungsi Trigonometri

Untuk sebarang bilangan riil c pada daerah asalnya, berlaku

Teorema Limit Trigonometri Istimewa

Soal : Hitung a.

x x

x 3

2 sin 0

lim→ b.

x x

x x

x cos

sin lim tan

0

−

→ c.

x x x

x sin

lim 3

2

0

+

→

Limit di Ketakhinggaan Tinjau fungsi

) 1

( ₂

= + x x x

g . Apa yang terjadi dengan g(x) jika x semakin besar ? Atau dalam simbol matematika berapa nilai ₂

lim1 x x

x^→ + ? Perhatikan tabel dan grafik berikut :

Dari tabel dan grafik kita membuat dugaan bahwa jika x makin besar maka nilai )

(x

g mendekati 0 atau dengan menggunakan simbol matematika 0 lim1 ₂ =

+



→ x

x

x .

Dengan cara yang serupa kita juga bisa menduga jika x makin kecil maka nilai )

(x

g mendekati 0 atau dengan menggunakan simbol matematika 0 lim 1 ₂ =

+

−

→ x

x

x .

Kita tidak akan membuktikan teorema berikut , tapi akan sering menggunakannya pada pembahasan selanjutnya.

Teorema A

Jika k bilangan asli, maka

1. 1 0

lim =



→ k

x x 2. 1 0

lim =

−

→ k

x x

3 =



→ k

x x

lim 4.

ganjil genap k x^k k

x jika

lim jika







−

= 

−

→

Soal : Hitung

a. 1 2

2 lim

x x

x→+ + b.

x x x

lim sin +

→ c. x x x

− + +

→lim 2

Limit Tak Hingga

Tinjau grafik fungsi

2 ) 1

( = −

x x

h . Apa yang terjadi dengan h(x) jika x semakin dekat dengan 2 ? Atau dalam simbol matematika berapa nilai

2 lim 1

2 −

→ x

x ? Perhatikan grafik berikut :

Jika x semakin dekat dengan 2 dari arah kiri maka h(x)semakin kecil tanpa batas dan sementara jika x semakin dekat dengan 2 dari arah kanan maka h(x)semakin besar tanpa batas. Dengan menggunakan simbol matematika kita katakan =−

−

=

→ − 2

lim 1

2 x

x

,



− =

→ + 2

lim 1

2 x

x

dan menjadi tidak ada maknanya bicara tentang

2 lim 1

2 −

→ x

x

. Teorema berikut ini dapat dibuktikan dengan definisi limit tak hingga

Teorema B

Jika k bilangan asli, maka

1. ₊ =

→ k

x x

lim 1

0 3.

ganjil genap k k jika jika ada tidak lim 1

0  

− =

→ k

n x

2. ganjil

genap k k jika 1 jika

lim

0 



−

= 

→− k

n x

Teorema B di atas dapat diperumum , dan dinyatakan sebagai berikut : Teorema C

Jika lim ( )= 0

→ f x L

c

x dan lim ( )=0

→ g x

c

x , maka

(a) =

→ ( )

) lim (

x g

x f

c

x jika L0dan g(x)→ 0⁺ jika x →c

(b) =−

→ ( )

) lim (

x g

x f

c

x jika L0dan g(x)→ 0⁺ jika x →c

(c) =−

→ ( )

) lim (

x g

x f

c

x jika L 0dan g(x)→ 0⁻ jika x →c

(d) =

→ ( )

) lim (

x g

x f

c

x jika L0dan g(x)→ 0⁻ jika x →c Catatan :

Teorema C juga berlaku bila x→ c⁺atau x→ c⁻ Soal :

Hitung

a. ₂

1( 1) lim 1

−

→ x

x b.

1 2

7 lim ₂ 3

3

1 − +

+ +

→ x x

x x

x c.

2 1 lim ₂2

2 − −

−

→ x x

x

x

Kekontinuan

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

1. Memutuskan apakah suatu fungsi kontinu atau tidak di suatu titik 2. Mengidentifikasi kasus-kasus di mana suatu fungsi tidak kontinu Materi Ajar :

Dalam kehidupan sehari-hari proses kontinu sering kita artikan sebagai suatu yang berlangsung terus menerus, tanpa interupsi atau perubahan yang mendadak. Definisi matematis untuk kekontinuan sebenarnya mirip dengan itu

Definisi :

Sebuah fungsi dikatakan kontinu di c jika beberapa selang terbuka di sekitar c terkandung dalam daerah asal f dan lim f(x) f(c)

c

x =

→

Secara implisit definisi tersebut menyatakan bahwa suatu fungsi f dikatakan kontinu di cjika memenuhi tiga hal berikut :

1. f(c) terdefinisi ( yaitu c berada di daerah asal f ) 2. lim f(x)

c

x→ ada ( sehingga f harus terdefinisi pada suatu selang yang memuat c ) 3. lim f(x) f(c)

c

x =

→

Jika salah satu dari ketiga hal di atas tidak dipenuhi, dikatakan f tidak kontinu di c . Ilustrasi berikut memberikan gambaran tentang grafik fungsi untuk kasus-kasus kontinu dan tidak kontinu di suatu titik c .

tidak kontinu tidak kontinu kontinu

Kekontinuan suatu fungsi di suatu titik dikatakan dapat dihapuskan jika kita dapat mendefinisikan nilai di titik tersebut sehingga fungsi menjadi kontinu.

tidak ada ada tapi

Soal : 1. Misal

1 1 ) 2

(

2

− +

= − x

x x x

f , hitung ( )

1 lim f x x→

Bagaimana f harus didefinisikan agar f kontinu di x=1 ? 2. Misal

2 2 0

0

jika jika jika

2 1 )

(

2













 −

=

x x x x

x x f

Turunan

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Memutuskan apakah suatu fungsi dapat diturunkan atau tidak di suatu titik 2. Menentukan turunan dari suatu fungsi dengan menggunakan definisi

3. Menentukan turunan dari suatu fungsi dengan menggunakan aturan pencarian turunan

4. Menggunakan aturan rantai dan menggunakannya untuk mencari turunan dari suatu fungsi

5. Menggunakan berbagai notasi dalam pencarian turunan 6. Menentukan turunan tingkat tinggi dari suatu fungsi

7. Menentukan turunan suatu fungsi menggunakan teknik implisit Materi Ajar

Konsep limit memberikan cara untuk mendapatkan deskripsi yang paling baik tentang gagasan garis singgung.

Misal suatu kurva adalah grafik fungsi dengan persamaan y = f(x). Misal P memiliki koordinat P(c,f(c)) dan titik Q di dekatnya mempunyai koordinat

)) ( ,

(c h f c h

Q + + . Tali busur PQ memiliki gradien

h c f h c f

mPQ = ( + )− ( ). Dengan menggunakan konsep limit, definis formal dari garis singgung diberikan sebagai

Definisi

Garis singgung terhadap kurva y = f(x) pada titik P(c, f(c)) adalah garis yang melalui P dan dengan kemiringan

h c f h c m f

mgsP h h

) ( ) lim (

lim talibusur 0 0

−

= +

= → →

asalkan limitnya ada dan bukan atau −

Turunan

Kita telah melihat bahwa gagasan kemiringan garis singgung memberikan bentuk limit . Selanjutnya kita akan membahas lebih jauh bentuk limit tersebut secara khusus.

Definisi :

Turunan fungsi f adalah fungsi lain f' ( dibaca f aksen ) yang nilainya pada sebarang bilangan riil x adalah

h x f h x x f

f h

) ( ) lim (

) (

' 0

−

= +

→

Jika

h c f h c f

h

) ( ) lim (

0

− +

→ ada untuk suatu bilangan riil c , maka kita katakan f dapat diturunkan di c dan ditulis

h c f h c c f

f

h

) ( ) lim (

) ( '

0

−

= +

→ . Pencarian turunan disebut

pendiferensialan.

Soal :

1. Gunakan definisi

h c f h c c f

f

h

) ( ) lim (

) ( '

0

−

= +

→ untuk menentukan f'(3) jika x

x x

f( )= ² − 2 Gunakan

h x f h x x f

f h

) ( ) lim (

) (

' 0

−

= +

→ untuk menentukan f' x( ), jika f(x)= 3x 3

h h

h

3 3

0

) 5 ( 2 ) 5 (

lim 2 + −

→ adalah nilai suatu turunan dari suatu fungsi di suatu titik.

Fungsi apa dan di titik mana ?

Penggunaan huruf h dalam definisi yang dituliskan di atas bukan sesuatu yang keramat, perhatikan yang berikut ini :

Selanjutnya perhatikan ilustrasi berikut ini

Dengan menggantikan c + dengan x dan h dengan h x −c, maka bentuk limit di atas dapat ditulis sebagai

Soal :

1. Gunakan definisi

c x

c f x c f

f x c −

= −

→

) ( ) lim ( ) (

' untuk menentukan f'(4) jika

1 ) 1

( = −

x x

f

2. Gunakan

x t

x f t x f

f

x

t −

= −

→

) ( ) lim ( ) (

' untuk menentukan f' x( ), jika

1 ) 1

( +

= − x x x f

3. 2

lim 8

3

2 −

−

→ x

x

x adalah nilai suatu turunan dari suatu fungsi di suatu titik. Fungsi apa dan di titik mana ?

Pencarian turunan

Proses untuk mencari turunan suatu fungsi langsung dari definisi turunan dapat membutuhkan waktu dan menjemukan. Berikut ini kita akan membangun alat yang membantu kita untuk memotong proses tersebut , dan memungkinkan kita mencari turunan dari fungsi-fungsi yang lebih rumit.

Turunan dari fungsi f adalah fungsi lain . Kita sering menggunakan simbol D_x untuk menunjukkan operasi pencarian turunan. Simbol D_xmengatakan bahwa kita menentukan turunan terhadap variabel x . D_x adalah contoh operator.

Aturan Pencarian Turunan :

1. Jika f(x)=k, k konstanta maka f'(x)=0, atau D_xk =0 2. Jika f(x)=x maka f'(x)=1atau D_xx=1

3. Jika f(x)=xⁿ, n bilangan positif maka f'(x)=nxn−¹ atau D_xxⁿ =nxⁿ⁻¹ 4. Jika f terdiferensial dan k konstanta maka (kf)'(x)=kf'(x) atau

) ( )

(

(kf x kD f x

D_x = _x

5. Jika f dan g terdiferensial, maka

(i) (f +g)'(x)= f'(x)+g'(x) atau D_x(f +g)(x)=D_xf(x)+D_xg(x) (ii) (f −g)'(x)= f'(x)−g'(x) atau D_x(f −g)(x)=D_xf(x)−D_xg(x)

(iii) (fg)'(x)= f'(x)g(x)+ f(x)g'(x) atau D_x(fg)(x)=g(x)D_xf(x)+ f(x)D_xg(x) (iv)

))2 ( (

) ( ' ) ( ) ( ) ( ) ' ( '

x g

x g x f x g x x f

g

f  = −



 



 , g(x)0atau

))2

( (

) ( ) ( ) ( ) ) (

( g x

x g D x f x f D x x g

g

D_x f ^x − ^x

 =



 



 ,g(x)0

Dengan menggunakan aturan pencarian turunan di atas kita dapat menunjukkan bahwa fungsi polinomial dapat diturunkan di mana-mana dan fungsi rasional juga dapat diturunkan di mana-mana kecuali di titik-titik di mana penyebutnya bernilai 0.

Soal :

1. Tentukan Dxy

a. y =(x2 +17)(x3−3x+1) b.

2 1 2 1

+ +

= − x

x y x

2. Tunjukkan bahwa aturan pangkat berlaku untuk pangkat bilangan bulat negatif, yakni Dx(x−n)=−nx−n−1, n bilangan bulat positif

Turunan Fungsi Trigonometri

Kita bisa menemukan rumus turunan dari fungsi sin dan x cosxlangsung dari definisi . Perhatikan yang berikut ini :

Telah kita ketahui bahwa

Maka

dan sin dapat diturunkan di mana-mana. Dengan cara yang serupa dapat ditunjukkan x bahwa D_xcosx=−sinx dan cosx juga dapat diturunkan di mana-mana.

Selanjutnya dengan menggunakan aturan pencarian turunan kita dapat menunjukkan yang berikut ini :

Soal :

Tentukan Dxy

a. x x

y x

cos sin

sin

= + b.

x x y x

sin 2 +1

=

Aturan Rantai

Aturan pencarian turunan dan rumus turunan fungsi trigonometri yang telah kita punya dalam banyak kasus sulit untuk digunakan. Misalnya untuk mendapatkan turunan dari f(x)=(3x² −4x+1)⁵⁰ maka kita harus melakukan perkalian sebanyak 50 kali faktor (3x²− x4 +1). Untuk mencari turunan dari sin3x, kita harus menggunakan identitas-identitas trigonometrik untuk mendapatkan sesuatu yang bergantung pada

x

sin dan cosx. Untungnya terdapat cara yang lebih baik, yang memudahkan kita untuk menentukan turunan suatu fungsi, yang di kenal dengan aturan rantai

Teorema:

Misal y = f(u) dan u =g(x) menentukan fungsi komposit y= f(g(x))= fog(x). Jika g terdiferensialkan di x dan f terdiferensialkan di u =g(x) maka fog terdiferensialkan di

x dan fog'(x)= f'(g(x))'g'(x) atau Dxy=DuyDxu Soal :

Tentukan Dxy jika

a. (3 2 3)9

1

−

= +

x x

y b. 











= +

2 3 2 cos x

y x c. y= xsin22x

d. ^y=



^{(x2 +1)sinx}



³ e.

4 1 )4 3 2 (

+

= + x

x y x

Notasi Leibniz

Misal y = f(x) menyatakan suatu fungsi dalam peubah x . Misal peubah bebas x berubah dari x ke x+x , maka perubahan yang berpadanan dalam peubah tak bebas

y adalah y= f(x+x)− f(x) dan

x x f x x f x y







 = ( + )− ( ) adalah kemiringan talibusur

yang melalaui (x,f(x)). Jika x→0 maka kemiringan tali busur akan mendekati kemiringan garis singgung. Leibniz menggunakan lambang

dx

dy untuk menyatakan

x y

x 



 0

lim→ sehingga

) ( ) ' ( ) (

0 lim 0

lim f x

x x f x x f x x

y dx x

dy + − =

= →

= →





 





Selanjutnya pandang dx

d sebagai lambang operator yang sama dengan Dx . Semua teorema tentang turunan tetap berlaku, hanya penulisannya berbeda.

Turunan Tingkat Tinggi

Operasi pendiferensialan terhadap f mengahasilkan sebuah fungsi baru f'. Jika operasi pendiferensialan dilakukan pada f'akan diperoleh f" ( dibaca f dua aksen ) dan disebut turunan kedua. Cara penulisan untuk turunan dari y = f(x) adalah sebagai berikut :

Turunan-ke Notasi f' Notasi y' Notasi Dx Notasi Leibniz

1 f' x( ) y' Dxy

dx dy

2 f' x'( ) y''

xy D2

2 2 dx y d

3 f'''(x) y' ''

xy D3

3 3 dx y d

4 f(4)(x) y(4) D4xy

4 4 dx y d

…

n fn(x) y(n) ny

Dx

dxn ny d

Soal : 1. Hitung

3 3 dx y d , jika

a. = 2 +1 x

y x b. y=xcosx

2. Tentukan f"(0) jika f(x)=sin3x+sin23x

Pencarian Turunan Secara Implisit

Misal y3+7y= x3, bagaimana menentukan dx

dy ? Kita mengalami kesulitan untuk

secara eksplisit menyatakan ydalam peubah x dan kemudian menghitung dx

dy . Masalah

tersebut dapat diatasi dengan mendiferensialkan kedua ruas terhadap x. Mencari dx

dy dengan tanpa menyatakan y secara eksplisit dalam x terlebih dahulu disebut pencarian turunan secara implisit.

Soal :

1. Tentukan dx

dy jika diketahui yadalah fungsi dari x

a. y⁵ +x²y³ =1 +x⁴y b. x+y + xy =6 c. cos(x−y)= ysinx

Penggunaan Turunan

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Menentukan nilai maksimum dan minimum global dari suatu fungsi pada suatu interval tutup

2. Menentukan jenis ekstrim lokal dengan menggunakan uji turunan pertama ekstrim lokal

3. Menentukan jenis ekstrim lokal dengan menggunakan uji turunan kedua ekstrim lokal

4. Menyelesaikan masalah nilai ekstrim

5. Menggambar grafik fungsi dengan terlebih dahulu menentukan di mana fungsi naik, turun, cekung ke atas dan cekung ke bawah, titik ekstrim lokal, titik belok dan asimtot

Materi Ajar

Dalam kehidupan sehari-hari seringkali kita bertemu dengan masalah-masalah seperti bagaimana dokter harus menentukan dosis minimum untuk suatu obat yang dapat menyembuhkan penyakit tertentu, bagaimana perusahaan harus menentukan biaya pendistribusian barang agar keuntungan maksimum atau bagaimana petani harus memilih kadar pupuk yang pas agar hasil panen maksimum . Masalah tersebut biasanya dirumuskan sebagai masalah menentukan nilai maksimum dan minimum suatu fungsi.

Kalkulus menyediakan alat yang bisa digunakan untuk menyelesaikan masalah tersebut.

Maksimum dan minimum fungsi Definisi

Misal S daerah asal dari f dan memuat titik c . Dikatakan bahwa

(1) f(c) nilai maksimum dari f pada S jika f(c) f(x)untuk semua x pada S (2) f(c) nilai minimum dari f pada S jika f(c) f(x)untuk semua x pada S (3) f(c) nilai ekstrim dari f pada S jika f(c)adalah nilai maksimum atau minimum (4) Fungsi yang akan dicari nilai maksimum dan minimumnya dikatakan fungsi objektif Teorema

Jika f kontinu pada selang tutup [ ba, ]maka f mencapai nilai maksimum dan minimum di selang tersebut

Gambar berikut adalah ilustrasi yang menunjukkan tempat-tempat di mana sustu fungsi mungkin mencapai nilai maksimum dan minimum

Selanjutnya titik di mana fungsinya bernilai nol di namakan titik stasioner, sedangkan titik di mana fungsinya tidak dapat diturunkan dinamakan titik singular. Titik ujung selang, titik stasioner dan titik singular dinamakan titik-titik kritis.

Teorema

( Teorema Titik Kritis )

Misal f didefinisikan pada interval I yang memuat c. Jika f(c)adalah nilai ekstrim, maka c haruslah titik kritis, yakni

(1) Titik ujung dari I

(2) Titik stasioner dari f , yakni f'(c)=0 (3) Titik singular dari f , yakni f' c( ) tidak ada

Berdasarkan kedua teorema di atas, untuk mencari nilai maksimumdan minimum dari suatu fungsi kontinu di selang tutup kita dapat melakukan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Cari titik-titik kritis dari f pada selang tutup yang diberikan 2. Cari nilai f pada titik-titik kritis

3. Nilai yang paling besar pada langkah ke 2 menjadi nilai maksimum dan yang paling kecil menjadi nilai minimum

Soal :

Carilah nilai maksimum dan minimum mutlak f(x)=5x^2/3−x^5/3 pada −1x5

Kemonotonan dan Kecekungan

Jika kita mengamati grafik berikut , adalah suatu yang natural jika kita mengatakan f turun di kiri c dan naik di kanan c

titik ujung

selang titik di mana

fungsi tidak dapat diturunkan titik di mana

turunann sama dengan 0

Definisi persis tentang naik dan turunnya suatu fungsi diberikan sebagai berikut : Definisi

Misal f didefinisikan pada interval I ( buka, tutup atau bukan keduanya ). Kita katakan bahwa

(i) f naik pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x₁ dan x₂ dalam I )

( )

( _{1 2}

2

1 x f x f x

x   

(i) f turun pada I jika untuk setiap pasangan bilangan x₁ dan x₂ dalam I )

( )

( _{1 2}

2

1 x f x f x

x   

(ii) f monoton murni pada I jika f naik pada I atau turun pada I

Bagaimana kita memutuskan grafik suatu fungsi adalah naik ? Kita dapat saja menggambar grafiknya. Tapi biasanya grafik digambarkan dengan memplot beberapa titik dan menghubungkannya dengan suatu kurva mulus. Siapa yang bisa menjamin bahwa grafik tidak bergoyang diantara titik-titik tersebut ? Kita membutuhkan cara yang lebih baik.

Teorema

( Teorema Kemonotonan)

Misal f dapat didiferensialkan pada titik dalam selang I

(i) Jika f'(x)0 untuk semua titik dalam x dari I maka f naik pada I (ii) Jika f'(x)0 untuk semua titik dalam x dari I maka f turun pada I

Dengan teorema di atas kita dapat menentukan di mana suatu di mana suatu fungsi naik dan dimana suatu fungsi turun. Selanjutnya misal kita mengetahui dua titik yang dilalui suatu fungsi, dan kita tahu bahwa pada selang tersebut fungsinya naik.

Bagaimana kita menghubungkan kedua titik ? Apakah cekung ke atas atau ke bawah ? Definisi :

Misal f dapat didiferensialkan pada selang selang buka I . Jika f' naik pada I dikatakan f cekung ke atas di I dan jika f' turun pada I dikatakan f cekung ke bawah di I

Karena f"adalah turunan dari f', maka dengan mengingat teorema kemonotonan, maka masuk akal jika kemudian kita bisa menerima teorema berikut ( bukti yang lebih ketat tidak akan kita bahas di sini )

turun naik

Teorema :

( Teorema Kecekungan)

Misal f dapat didiferensialkan dua kali pada selang buka I

(i) Jika f"(x)0 untuk semua titik dalam x dari I maka f cekung ke atas pada I (ii) Jika f"(x)0 untuk semua titik dalam x dari I maka f cekung ke bawah pada I

Misal f kontinu pada c . Titik (c,f(c)) dikatakan titik belok dari grafik f jika f cekung ke atas di satu sisi dari c dan f cekung ke bawah di sisi lainnya. Gambar berikut menunjukkan beberapa kemungkinan :

Soal :

Tentukan dimana fungsi-fungsi berikut naik, turun, cekung ke atas atau cekung ke bawah dan titik beloknya ( jika ada )

a. ₂

) 1

( x

x x

g = + b. f(x)=x+2sinx ke bawah pada selang

( )

^,0

Uji Ekstrim lokal

Terkadang kita tidak hanya tertarik pada nilai ekstrim dari suatu fungsi pada suatu interval, tapi juga pada nilai ekstrim di suatu lingkungan pada interval tersebut . Selain itu seperti yang telah pernah kita bicarakan pada interval yang bukan tutup, bisa jadi fungsi tidak mencapai nilai maksimum global atau minimum global tapi masih memiliki nilai maksimum atau minimum pada suatu lingkungan pada interval tersebut.

Ini membawa kita pada istilah ekstrim global dan ekstrim lokal. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut :

Titik belok

Titik belok

Maks global

Min lokal

Maks lokal

Min lokal

Maks lokal

Min lokal

Maks lokal

Berikut adalah definisi formal dari pengertian maksimum lokal dan minimum lokal

Definisi :

Misal S adalah daerah asal f dan c S. Kita katakan bahwa

(i) f(c) nilai maksimum lokal f pada S jika terdapat selang buka I yang memuat c sedemikian sehingga f(c) f(x), xIS

(ii) f(c) nilai minimum lokal f pada S f pada S jika terdapat selang buka I yang memuat c sedemikian sehinggaf(c) f(x)^, xIS

(iii) f(c) nilai ekstrim lokal f pada S jika f(c) nilai maksimum lokal atau nilai minimum lokal

Teorema titik kritis juga berlaku pada nilai ekstrim lokal , yakni nilai ekstrim lokal hanya dapat dicapai di titik-titik kritis . Jadi titik-titik kritis adalah calon di mana nilai Teorema :

( Uji Pertama Untuk Ekstrim Lokal )

Misal f dapat didiferensialkan pada selang buka ( ba, )yang memuat titik kritis c (i) Jika f'(x)0 untuk semua x ( ca, ) dan f'(x)0 untuk semua titik x ( ca, ) maka

) (c

f adalah nilai maksimum lokal

(ii) Jika f'(x)0 untuk semua x ( ca, ) dan f'(x)0 untuk semua titik x ( ca, ) maka )

(c

f adalah nilai minimum lokal

(iii) Jika f' x( ) bertanda sama untuk kedua belah pihak, maka f(c) bukan nilai ekstrim Terdapat uji ekstrim lokal yang lain yang bisa digunakan, tapi dalam uji ini titik yang diperiksa adalah titik stasioner dan yang ditinjau adalah turunan kedua fungsi pada titik tersebu

Teorema :

( Uji Kedua Untuk Ekstrim Lokal )

Misal f dan f' dapat didiferensialkan pada selang buka ( ba, )yang memuat titik c dengan f'(c)=0

(i) Jika f"(c)0 maka f(c) adalah nilai minimum lokal (ii) Jika f"(c)0 maka f(c) adalah nilai maksimum lokal

Uji turunan kedua untuk ekstrim lokal ini mungkin lebih mudah digunakan tetapi di sisi lain uji ini juga mungkin gagal untuk memberikan kesimpulan , yakni jika

0 ) (

" x =

f pada titik stasioner.

Soal :

Gunakan uji turunan pertama dan uji turunan kedua pada fungsi

x x x

f 1

)

( = ² − untuk menentukan titik-titik kritis yang mana yang memberikan nilai maksimum dan minimum

Menggambar Grafik Fungsi

Kalkulus menyediakan alat yang bisa digunakan untuk menganalisa struktur grafik, terutama mengidentifikasi tempat-tempat dimana perilaku grafik berubah. Kita dapat menentukan lokasi titik maksimum lokal,mimimum lokal, titik belok. Kita juga dapat menentukan pada interval mana fungsi naik atau turun, di mana cekung ke atas atau ke bawah. Selain turunan , kita juga memanfaatkan limit tak hingga dan limit di ketak hinggaan. Terkait dengan ini kita mengenal istilah asimtot tegak, asimtot datar dan asimtot miring seperti berikut ini

Definisi

Garis x =cdikatakan asimtot tegak dari kurva y = f(x) jika paling sedikit satu dari pernyataan berikut benar :

(i) =

→ ⁺ ( ) lim f x

c x

(ii) =

→ ⁻ ( ) lim f x

c x

(iii) =−

→ ⁺ ( ) lim f x

c x

(iv) =−

→ ⁻ ( ) lim f x

c x Definisi

Garis y =bdikatakan asimtot datar dari kurva y = f(x) jika syarat berikut dipenuhi

1. f x b

x

 =

→ ( )

lim atau f x b

x

− =

→lim ( )

2. Setelah batas tertentu grafik fungsi f tidak memotong lagi garis y =b Definisi

Garis y =mx+cdikatakan asimtot miring dari kurva y = f(x) jika syarat berikut dipenuhi

1. lim [ ( )−( + )]=0



→ f x mx c

x

atau lim [ ( )−( + )]=0

−

→ f x mx c

x

2. Setelah batas tertentu grafik fungsi f tidak memotong lagi gais y=mx+c

Soal :

Buat sketsa grafik berikut : a.

2 4 ) 2

(

2

− +

= − x

x x x

f b.

4 ) 5 ) (

(

− 2

= x x x

g

Catatan Kuliah 2 MATEMATIKA DASAR

S1 / Semester 1 / 3 sks

Oleh :

Dyah Ratri Aryuna

Program Studi Pendidikan Fisika Universitas Sebelas Maret

2019

Anti Turunan dan Integral Tak Tentu

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

Menghitung integral taktentu dengan menggunakan aturan pangkat, sifat linier dan substitusi

Materi Ajar

Dalam matematika tidak jarang kita bekerja dengan pasangan invers. Invers penting peranannya dalam menyelesaikan suatu persamaan. Misalnya dalam menyelesaikan persamaan x⁵ =32 kita menggunakan penarikan akar sebagai invers dari perpangkatan. Jika kita ingin menyelesaikan persamaan yang melibatkan turunan kita memerlukan inversnya, yakni fungsi yang turunannya diketahui yang disebut antiturunan atau integrasi.

Definisi :

Fungsi F disebut suatu anti turunan dari fungsi f pada interval I jika F'(x)= f(x) untuk semua

x

dalam I

Soal :

Cari suatu anti turunan dari fungsi f(x)=3x² pada interval (−,) :

Perhatikan bahwa 4x , ³ 4x³ +2 , 4x³+1 , 4x³ − 2, semua adalah anti turun dari f . Secara natural kita bisa mempertanyakan apakah secara umum penambahan sebarang konstanta pada anti turunan F yang diketahui akan memberikan anti turunan juga ? Pertanyaan berikutnya yang mungkin muncul adalah apakah ada anti turunan yang tidak dapat diperoleh dengan menambahkan konstanta pada anti turunan yang diketahui ?

Teorema berikut menjawab pertanyaan tersebut : Teorema 1:

Jika F(x) adalah sebarang anti derivatif dari f(x) pada interval I, maka untuk setiap konstanta C , fungsi adalah juga antiturunan pada interval I. Lebih lanjut setiap anti turunan dari pada interval I dapat dinyatakan dalam bentuk

Jadi jika suatu fungsi f memiliki anti turunan, maka bisa dibentuk keluarga dari semua anti turunan dan setiap anggotanya dapat diperoleh satu sama lain dengan menambahkan konstanta yang bersesuaian. Kita menamakan keluarga fungsi ini dengan anti turunan umum dari f . Selanjutnya anti turunan umum biasanya disebut tanpa kata “umum”.

Leibniz menyebut anti turunan sebagai integral tak tentu. Proses mencari anti turunan dinamakan mengintegralkan. Leibniz menggunakan simbol



^{f(x)dx untuk}

menunjukkan integral tak tentu dari f .



disebut tanda integral dan f(x) disebut integran. Jadi kita mengintegralkan integran berarti menentukan integral tak tentu.

Soal :

Cari integral tak tentu yang berikut :

a) dx

x 1

3 2



b)



^{3x5 −45x3 + 2x dx}

Teorema-teorema berikut membantu kita dalam mengintegralkan suatu fungsi Teorema 1 : Aturan Pangkat

Jika r sebarang bilangan rasional , r −1 maka



^xrdr= _r¹₊₁^xr+1+C

Teorema 2 :



^{sinxdx=−cosx+C}



^{cosxdx=sinx+C}



^{sec2xdx=tanx+C}



^{csc2xdx=−cotx+C}



^{secxtanxdx=secx+C}



^{cscxcotxdx=−cscx+C}

Teorema 3 : Kelinieran dari



^....dx

Misal f dan g mempunyai anti turunan dan misal k suatu konstanta. Maka : (i)



^kf(x)dx=k



^f(x)dx

(ii)



^f(x)+g(x)dx=



^f(x)dx+



^g(x)dx

Soal :

Cari integral tak tentu berikut :

a.



x³ + x +1dx b.



(y² +4y)²dy c. dx x

x x³ 3 ² 1



^{− +}

d.



^{3sint−2costdt} e. dx x

x x

sin sin 3 csc

2 ²



⁻

Teorema 4 : Substitusi Integral Tak Tentu

Misal gadalah fungsi yang dapat diturunkan dan Fadalah suatu anti turunan dari f . Jika u =g(x) maka



f⁽g⁽x⁾⁾g^'(x⁾dx=



f⁽u⁾du=F⁽u⁾+C =F⁽g⁽x⁾⁾+C

Soal :

Gunakan substitusi untuk menghitung integral tak tentu berikut : a.



^(3x+1)3dx b.



⁽⁵x^{2 +1) 5}x³⁺³x⁻²dx c. dy

y



y

2+ 5 2

3

d.



xcosx2dx e.



^{(sin5x2)(xcosx2)dx} f.



^dx

x x sin

g.



x ¹⁺xdx h.



^{x2 2− dxx}

Integral Tentu

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam :

1. Menghitung integral tentu dengan menggunakan teorema dasar kalkulus dan sifat- sifat integral tentu ( kelinieran, penambahan selang, pembandingan, keterbatasan ) 2. Menghitung integral tentu dengan menggunakan teknik substitusi

3. Menghitung integral tentu dengan memanfaatkan kesimetrian 4. Menghitung integral tentu dengan memanfaatkan keperiodikan Materi Ajar

Tinjau f fungsi yang terdefinisi pada interval tutup. Bagi selang tersebut atas berhingga selang bagian yang tidak berimpit. Pada setiap setiap selang bagian ambil sebuah titik sebarang. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut :

Bentuk penjumlahan bertanda dari luas persegi panjang yang ukurannya ditentukan oleh panjang selang bagian dan nilai fungsi di selang bagian. Penjumlahan itu dinamakan Jumlah Riemann untuk f .

Interpretasi geometrinya dapat diilustrasikan pada gambar berikut :

Jumlah Riemann sebagai jumlah aljabar dari luas

Selanjutnya definisi integral tentu dilihat sebagai limit dari jumlah Riemann dengan banyak selang bagian yang semakin banyak. Kita tidak akan membahas secara mendalam tentang definisi integral tentu. Untuk keperluan praktis kita hanya akan lebih berkonsentrasi pada bagaimana menghitung integral tentu dengan menggunakan teorema-teorema sesuai. Tetapi sebelumnya ada beberapa istilah dan notasi yang kita sepakati terlebih dahulu.

Secara geometri ^b



a

dx x

f( ) menyatakan luas bertanda daerah antara kurva )

(x f

y = dan sumbu- x dalam selang [a,b]. Tanda positif dikaitkan untuk luas bagian- bagian yang berada di atas sumbu x , dan tanda negatif dikaitkan untuk luas bagian- bagian yang berada di bawah sumbu- x . Secara simbolik Abawah

b a

Aatas dx

x

f = −



^{( )}

Hal-hal berikut perlu diperhatikan a. Pada lambang ^b



a

dx x

f( ) , a disebut batas bawah pengintegralan dan b disebut batas atas pengintegralan

b. Pada lambang ^b



a

dx x

f( ) , a disebut batas bawah pengintegralan dan b disebut batas atas pengintegralan

c. Pada definisi Integral Riemann ^b



a

dx x

f( ) secara implisit mengatakan a  , untuk b menghilangkan pembatasan seperti itu disepakati bahwa

^a



⁼

a

dx x

f( ) 0 dan ^b



⁼⁻



a

a b

x f dx x

f( ) ( ) jika a  b

d.

x

dalam hal ini adalah peubah boneka, sehingga ^b



⁼



⁼



a

b a

b a

ds s f dt t f dx x

f( ) ( ) ( )

A atas

A bawah

Berikut ini akan disajikan beberapa sifat yang berkaitan dengan integral tentu yang sering digunakan dalam menghitung integral tentu

Teorema :

( Kelinieran Integral Tentu ) Misal f dan gterintegralkan pada [a,b], dan bahwa k suatu konstanta. Maka f + g dan kf terintegralkan pada

 

a,b dan

(i) ^b



⁼



a

b a

dx x f k dx x

kf( ) ( )

(ii) ^b



^{+ =}



⁺



a

b a

b a

dx x g dx x f dx x g x

f( ) ( ) ( ) ( )

Teorema :

( Sifat Penambahan Selang ) Misal f terintegralkan pada suatu selang yang memuat titik a ,,b c maka



^{c =}



⁺



a

b a

c b

dx x g dx x f dx x

f( ) ( ) ( ) bagaimanapun urutan dari a ,,b c

Dengan menggunakan definisi kita menghitung integral tentu menggunakan limit jumlah Riemann dan kita mendapati bahwa prosedur tersebut dapat membutuhkan waktu yang lama dan sulit. Teorema Dasar Kalkulus Kedua memberikan metode yang jauh lebih mudah dalam menghitung integral

Teorema :

( Teorema Dasar Kalkulus ) Misal f kontinu pada

 

^a,b dan misal F sebarang anti turunan dari f pada [a,b], maka ^b



^{= −}

a

a F b F dx x

f( ) ( ) ( )

Seringkali ditulis

 

a x b F a F b

F( )− ( )= ( ) . Dalam lambang integral taktentu boleh

dituliskan

 

a b b

a

dx x f dx x



f^{( ) =}



^{( )}

Latihan :

Hitung integral yang berikut :

a. ^b



a

xdx b. dx



x₊ 7

1 2 2

1 c.



²

0

3 cos 23

sin



xdx x

d. x 2x 1)dx 1

0 2

( − +



e. ⁴



0 ) ( dxx

f jika

4 2

2 1

1 0

4 1 ) (



















−

=

x x x jika

jika jika x x x

f

f.

_  

^{x dx}

− 2 1

g.



x dx

− 2 −

1

1 2

Ketika menghitung integral tentu menggunakan substitusi, ada dua metoda yang mungkin. Suatu metode adalah dengan menghitung integral taktentu terlebih dahulu dan kemudian menggunakan Teorema Dasar Kalkulus Kedua. Metode lain adalah dengan mengganti batas integrasi ketika variabel diganti.

Teorema :

( Substitusi dalam Integral Tentu) Jika g mempunyai turunan kontinu pada [a,b] dan f kontinu pada daerah nilai g, dan u = g(x)maka

^b



⁼



a

b g

a g

du u f dx x g x g f

) (

) (

) ( )

( ' )) (

(

Perhatikan pada teorema di di atas, bahwa jika menggunakan aturan substitusi integral tentu, setelah integrasi kita tidak balik ke variabel x . Kita hanya menghitung ungkapan dalam u diantara nilai u yang benar.

Latihan : Hitung a.



+ 4

1 ( 1)3

1 dt

t t

b.



^/2

0

) sin(cos sin



dx x x

dx x x

x +



¹

1

0 d.



+ 15

0(1 w)3/4 wdw

Ingat kembali bahwa f disebut fungsi genap jika f(−x)= f(x) untuk setiap Df

x  dan f disebut fungsi ganjil jika f(−x)=−f(x) untuk setiap x Df . Fungsi genap grafiknya simetri terhadap sumbu-y dan fungsi ganjil grafiknya simetri terhadap titik asal.

Teorema :

( Teorema Simetri ) Jika f fungsi genap maka

 

− a =

a

a

dx x f dx x f

0 ) ( 2 )

( dan jika f fungsi

ganjil maka



− a =

a dx x

f( ) 0

Berikut adalah ilustrasi geometris untuk teorema simetri :

f genap,

 

−

=

a

a

a

dx x f dx x f

0

) ( 2 )

( f ganjil,



−

=

a

a

dx x

f( ) 0

Suatu fungsi f adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p0 demikian sehingga f(x+ p)= f(x) untuk semua nilai x dalam daerah definisi f . Bilangan p terkecil yang memenuhi hal di atas dinamakan periode

Teorema :

Jika f fungsi periodik dengan periode p maka ⁺



⁼



+

b a

dx x f p

b p a

dx x

f( ) ( )

Berikut adalah ilustrasi untuk teorema yang berkaitan dengan integral untuk fungsi periodik :

f periodik dengan periode p,



⁺



+

=

p b

p a

b

a

dx x f dx x

f( ) ( ) Latihan :

Hitung a.



−



 



 



x dx

sin 4 b.



− 2 +

2

) 6 1

(x dx

c. dx

x x



x

− + +

1

1 2 4

1

tan

d.



−

+ + 2 +

2

5) 2 3 2

( x x x dx d. ²



^ xdx 0

sin e. ⁴



^ xdx 2

cos

Luas Bidang Rata dan Volume Benda Putar

Indikator Pencapaian Hasil Belajar

Mahasiswa menunjukkan kemampuan dalam : 1. Menjelaskan pengertian anti turunan

2. Mencari suatu anti turunan dari suatu fungsi

3. Mencari integral taktentu dengan menggunakan aturan pangkat, sifat linier dan substitusi

Materi Ajar

Luas Daerah Bidang Rata

Tinjau kurva y = f(x) dan y =g(x) di bidang-xydengan f ,g kontinu dan f(x)g(x) pada selang [a,b]. Tinjau daerah yang dibatasi oleh kurva y = f(x) dan y =g(x) pada selang [a,b]. Berikut adalah langkah-langkah untuk menentukan luas daerah antara dua kurva

1. Gambar daerah yang bersangkutan 2. Potong menjadi jalur-jalur

3. Cermati satu jalur tertentu dan hampiri luas jalur tersebut dengan luas persegi panjang yang sesuai Ai [f(xi)−g(xi)]. Lakukan untuk semua jalur

4. Jumlahkan luas hampiran tersebut



=

−

 n i

xi xi i g x f A

1

)]

( ) (

[ 

5. Ambil kemudian limit dari jumlah tersebut dengan lebar jalur makin mendekati nol

sehingga diperoleh integral tentu



⁼



⁻

=

 −

= → b

a

dx x g x f n

i

xi xi i g x f n

A [ ( ) ( )]

1

)]

( ) ( [

lim 

Selanjutnya prosedur diatas kita singkat menjadi potong, hampiri dan integralkan

potong

integralkan

hampiri